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2017 年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项符合题目要求．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B．C．2D．﹣2
2．（3分）随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016年国
民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109B．12×107 C．0.12×109D．1.2×108
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）含30°角的直角三角板与直线l 、l 的位置关系如图所示，已知l ∥l ，
1 2 1 2
∠ACD=∠A，则∠1=（ ）
A．70° B．60° C．40° D．30°
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S 2=2，S 2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
甲 乙
6．（3分）若a2﹣ab=0（b≠0），则 =（ ）
A．0B．C．0或 D．1或 2
第1页（共32页）7．（3分）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到
这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米
BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出
这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2米B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
8．（3分）已知x+ =3，则下列三个等式：①x2+ =7，②x﹣ ，③2x2﹣6x=﹣2中，正
确的个数有（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小
值为﹣2，则m的值是（ ）
A．B．C． 或 D． 或
10．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴
上，点B坐标为（6，4），反比例函数y= 的图象与AB边交于点D，与BC边交于点
E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象
上，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）3﹣2= ．
12．（3分）二元一次方程组 = =x+2的解是 ．
第2页（共32页）13．（3分）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的
对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积
之和为 ．
14．（3分）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则
点C到线段AB所在直线的距离是 ．
15．（3分）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达
了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得
到一个等式（符号语言）：1= + + +…+ +…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC ⊥AB于点
1
C ，再过点C 作C C ⊥BC于点C ，又过点C 作C C ⊥AB于点C ，如此无限继续下
1 1 1 2 2 2 2 3 3
去，则可将利△ABC分割成△ACC 、△CC C 、△C C C 、△C C C 、…、△C C
1 1 2 1 2 3 2 3 4 n﹣2 n﹣
C 、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．
1 n
16．（3分）对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．
例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．
已知：y= x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为 ；
（2）若方程y′=m﹣ 有两个正数根，则m的取值范围为 ．
第3页（共32页）三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）计算：2sni60°+|1﹣ |+20170﹣ ．
18．（9分）求不等式组 的所有整数解．
19．（9分）如图，延长 ▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，
分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ ．
21．（10分）为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了
部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据
图表信息解答下列问题：
组别 分数段（分） 频数 频率
A组 60≤x＜70 30 0.1
B组 70≤x＜80 90 n
C组 80≤x＜90 m 0.4
D组 90≤x＜100 60 0.2
（1）在表中：m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在
组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中
A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
第4页（共32页）22．（10分）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处
测得屋顶 C 与树梢 D 的仰角分别是 45°与 60°，∠CAD=60°，在屋顶 C 处测得
∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成
本不断降低，具体数据如下表：
年 度 2013 2014 2015 2016
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示
其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多
少万元？（结果精确到0.01万元）．
24．（10分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB
第5页（共32页）于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系
并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明
理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
26．（13分）如图1，抛物线C ：y=x2+ax与C ：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C 与C 分
1 2 1 2
别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C 的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
2
①点P为抛物线C 对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
2
②如图2，点E在抛物线C 上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存
2
在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共32页）第7页（共32页）2017 年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项符合题目要求．
1．（3分）（2017•乐山）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B．C．2D．﹣2
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣ ）=1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选A．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）（2017•乐山）随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增
长，2016年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表
示为（ ）
A．1.2×109B．12×107 C．0.12×109D．1.2×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n
为整数，据此判断即可．
【解答】解：120 000 000=1.2×108．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中
1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）（2017•乐山）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
第8页（共32页）A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
4．（3分）（2017•乐山）含30°角的直角三角板与直线l 、l 的位置关系如图所示，
1 2
已知l ∥l ，∠ACD=∠A，则∠1=（ ）
1 2
A．70° B．60° C．40° D．30°
【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得
到∠1的度数．
【解答】解：∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠1=∠CDB=60°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：
第9页（共32页）两直线平行，内错角相等．
5．（3分）（2017•乐山）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S 2=2，S 2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
甲 乙
【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；
B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；
C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S 2=2，S 2=4，说明甲的射击成绩比乙稳定，
甲 乙
D错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、方差，掌握随机事件的概
念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质是解题的关键．
6．（3分）（2017•乐山）若a2﹣ab=0（b≠0），则 =（ ）
A．0B．C．0或 D．1或 2
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab=0（b≠0），
∴a=0或a=b，
当a=0时， =0．
当a=b时， = ，
故选C．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏
掉值为0的情况．
7．（3分）（2017•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游
玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，
第10页（共32页）AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请
你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2米B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解
方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE= = =0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦
是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．
第11页（共32页）8．（3分）（2017•乐山）已知x+ =3，则下列三个等式：①x2+ =7，②x﹣ ，③2x2﹣
6x=﹣2中，正确的个数有（ ）
A．0个B．1个 C．2个 D．3个
【分析】将x+ =3两边同时平方，然后通过恒等变形可对①作出判断，由x﹣ =±
可对②作出判断，方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x，然后再通过恒等变形可
对③作出判断．
【解答】解：∵x+ =3，
∴（x+ ）2=9，整理得：x2+ =7，故①正确．
x﹣ =± =± ，故②错误．
方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x得：x﹣3=﹣ ，整理得：x+ =3，故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题
的关键．
9．（3分）（2017•乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函
数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．B．C． 或 D． 或
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根
据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，
解得：m=﹣ ；
②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，
解得：m= ＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m= 或m=﹣ ＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣ 或 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题
第12页（共32页）的关键．
10．（3分）（2017•乐山）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分
别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y= 的图象与AB边交于点D，与
BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函
数y=kx图象上，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D（6，1），E（ ，4），根
据勾股定理得到ED= = ，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，根据轴对
称的性质得到BF=B′F，BB′⊥ED求得BB′= ，设EG=x，则BG= ﹣x根据勾股定理即
可得到结论．
【解答】解：∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y= 的图象上，
∴D（6，1），E（ ，4），
∴BE=6﹣ = ，BD=4﹣1=3，
∴ED= = ，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF•ED=BE•BD，
即 BF=3× ，
第13页（共32页）∴BF= ，
∴BB′= ，
设EG=x，则BG= ﹣x，
∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2，
∴（ ）2﹣（ ﹣x）2=（ ）2﹣x2，
∴x= ，
∴EG= ，
∴CG= ，
∴B′G= ，
∴B′（ ，﹣ ），
∴k=﹣ ．
故选B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠
的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2017•乐山）3﹣2= ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．
【解答】解：原式= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数
指数幂当成正的进行计算．
12．（3分）（2017•乐山）二元一次方程组 = =x+2的解是 ．
第14页（共32页）【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：原方程可化为： ，
化简为 ，
解得： ．
故答案为： ；
【点评】本题考查二元一次方程的解法，解题的关键是将原方程化为方程组，本题
属于基础题型．
13．（3分）（2017•乐山）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心
对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴
影部分的面积之和为 6 ．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对
称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如
果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形．
14．（3分）（2017•乐山）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形
的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是 ．
第15页（共32页）【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出
AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S =3×3﹣ ×2×1﹣ ×2×1﹣ ×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣ ﹣1= ，AB= = ，
△ABC
∴ × h= ，
∴h= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的
平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（3分）（2017•乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文
字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割
的方法，可得到一个等式（符号语言）：1= + + +…+ +…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC ⊥AB于点
1
C ，再过点C 作C C ⊥BC于点C ，又过点C 作C C ⊥AB于点C ，如此无限继续下
1 1 1 2 2 2 2 3 3
去，则可将利△ABC分割成△ACC 、△CC C 、△C C C 、△C C C 、…、△C C
1 1 2 1 2 3 2 3 4 n﹣2 n﹣
C 、…．假设 AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 2 =
1 n
．
第16页（共32页）【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC ⊥AB，求得S = ；进而得到 = × ， = ×
1 △ACC1
（ ）2， = ×（ ）3，根据规律可知 = ×（ ）n﹣1，再根据S = AC×BC= ×2×2
△ABC
=2 ，即可得到等式．
【解答】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC ⊥AB，
1
∴Rt△ACC 中，∠ACC =30°，且BC=2 ，
1 1
∴AC = AC=1，CC = AC = ，
1 1 1
∴S = •AC •CC = ×1× = ；
△ACC1 1 1
∵C C ⊥BC，
1 2
∴∠CC C =∠ACC =30°，
1 2 1
∴CC = CC = ，C C = CC = ，
2 1 1 2 2
∴ = •CC •C C = × × = × ，
2 1 2
同理可得，
= ×（ ）2，
= ×（ ）3，
…
∴ = ×（ ）n﹣1，
又∵S = AC×BC= ×2×2 =2 ，
△ABC
∴2 = + × + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n﹣1+…
∴2 = ．
故答案为：2 = ．
【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部
分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接
利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．（3分）（2017•乐山）对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常
数）．
第17页（共32页）例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．
已知：y= x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为 ；
（2）若方程y′=m﹣ 有两个正数根，则m的取值范围为 且 ．
【分析】根据新定义得到y′= x3+（m﹣1）x2+m2=x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）由判别式等于0，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得y′=x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，
∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，
解得：m= ，
故答案为： ；
（2）y′=m﹣ ，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣ ，
化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+ =0，
∵方程有两个正数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的
理解题意是解题的关键．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）（2017•乐山）计算：2sni60°+|1﹣ |+20170﹣ ．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多
少即可．
【解答】解：2sni60°+|1﹣ |+20170﹣
=2× + ﹣1+1﹣3
=﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在
第18页（共32页）进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺
序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（9分）（2017•乐山）求不等式组 的所有整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
所以，不等式组的解集为1＜x≤4，
故不等式组的整数解为2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的
解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（9分）（2017•乐山）如图，延长 ▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点
E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，
进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
第19页（共32页）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边
平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2017•乐山）化简：（ ﹣ ）÷ ．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
=
=
=
=
= ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计
算方法．
21．（10分）（2017•乐山）为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情
况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如
图所示．请根据图表信息解答下列问题：
组别 分数段（分） 频数 频率
A组 60≤x＜70 30 0.1
B组 70≤x＜80 90 n
C组 80≤x＜90 m 0.4
D组 90≤x＜100 60 0.2
（1）在表中：m= 12 0 ，n= 0. 3 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 C 组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中
A、C两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
第20页（共32页）【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可
得m、n的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解
可得．
【解答】解：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1=300（人），
∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，
故答案为：120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为：C；
第21页（共32页）（4）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，
∴抽中A﹑C两组同学的概率为 = ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解
决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．
22．（10分）（2017•乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面
观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C
处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求
出答案．
【解答】解：如图3，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=6m，
∴ （m）；
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴ （m）；
在Rt△DEA中，∠EAD=60°， ，
答：树DE的高为 米．
第22页（共32页）【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解
题关键．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）（2017•乐山）某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进
后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年 度 2013 2014 2015 2016
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示
其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多
少万元？（结果精确到0.01万元）．
【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例
函数，利用待定系数法求解即可；
（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；
②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；
【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，
当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，
∴ ，
解得k=﹣2.4，b=13.2
第23页（共32页）∴一次函数解析式为y=﹣2.4x+13.2
把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为y= ．
当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2= ，
解得k=18
∴反比例函数是y= ．
验证：当x=3时，y= =6，符合反比例函数．
同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立．
可用反比例函数y= 表示其变化规律．
（2）①当x=5万元时，y=3.6．
4﹣3.6=0.4（万元），
∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．
②当y=3.2万元时，3.2= ，
∴x=5.625，
∴5.625﹣5=1.125≈0.63（万元）
∴还约需投入0.63万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函
数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式
再根据自变量的值求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．
24．（10分）（2017•乐山）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，
连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
第24页（共32页）【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出
∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结 BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得 AC 长，再证明
△CAE∽△CPA，进而可得 ，然后可得CE•CP的值．
【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=30°，
∵PA=PD，
∴∠PAO=∠D=30°，
∴∠OPD=90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，
∵AB=4， ．
∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴ ，
第25页（共32页）∴CP•CE=CA2=（2 ）2=8．
【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切
线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）（2017•乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分
∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系
并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明
理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD= AC，AB= AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交
AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论： ．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰
直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【解答】解：（1）AC=AD+AB．
理由如下：如图1中，
第26页（共32页）在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，
∴∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠B=90°，
∴ ，同理 ．
∴AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的
另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC=AE=CE，
∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，
∴△DAC≌△BEC，
第27页（共32页）∴AD=BE，
∴AC=AD+AB．
（3）结论： ．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=45°，
∴∠E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD=BE，
∴AD+AB=AE．
在Rt△ACE中，∠CAB=45°，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性
质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（13分）（2017•乐山）如图1，抛物线C ：y=x2+ax与C ：y=﹣x2+bx相交于点O、
1 2
第28页（共32页）C，C 与C 分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
1 2
（1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C 的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
2
①点P为抛物线C 对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
2
②如图2，点E在抛物线C 上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存
2
在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为
OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得 C 点坐标，过 C 作 CD⊥x 轴于点 D，可证得
△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的
长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P
点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于
点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积
则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及 E点
的坐标．
【解答】解：
（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x =0，x =﹣a，
1 2
∴B（﹣a，0），
在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x =0，x =b，
1 2
∴A（0，b），
第29页（共32页）∵B为OA的中点，
∴b=﹣2a，
∴ ；
（2）联立两抛物线解析式可得 ，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x =0， ，
1
当 时， ，
∴ ，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴ ，
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴ ，
∴CD2=AD•OD，即 ，
∴a =0（舍去）， （舍去）， ，
1
∴ ， ，
∴ ；
（3）①抛物线 ，
∴其对称轴 ，
点A关于l 的对称点为O（0，0）， ，
2
则P为直线OC与l 的交点，
2
设OC的解析式为y=kx，
∴ ，得 ，
∴OC的解析式为 ，
当 时， ，
第30页（共32页）∴ ；
②设 ，
则 ，
而 ， ，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为 ，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则 ，即x= ，
∴EN= ，
∴
∴S =S +S = = ，
四边形OBCE △OBE △EBC
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、
轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别
表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性
质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）
②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识
点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
第31页（共32页）第32页（共32页）
