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2017 年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，其中1~8题每小题3分，9~12题每小题3分，满
分40分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3C．±3 D．
2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路客流量达到
4640万人次，4640万用科学记数法表示为（ ）
A．4.64×105B．4.64×106C．4.64×107D．4.64×108
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于
（ ）
A．120° B．30° C．40° D．60°
6．（3分）式子 有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
第1页（共26页）B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
8．（3分）反比例函数y= 的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图
象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，
连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B．C．5D．
10．（4分）如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分
线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设
⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大
致为（ ）
第2页（共26页）A． B． C． D．
11．（4分）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的
值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
12．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点
坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
第3页（共26页）A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）分解因式：2m3﹣8m= ．
14．（4分）为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门调查了某周一
至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：
183 191 169 190 177
则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是 ．
15．（4分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆
弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的
面积是 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点
B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 ，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为
．
三、解答题
17．（9分）（1）计算：﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（ ）﹣2；
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a= ．
18．（9分）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
第4页（共26页）（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
19．（10分）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为
“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由
数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽
取一次．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积
能被10整除的概率．
20．（10分）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若
干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿
化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完
成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
21．（12分）阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d= ．
0 0
例如：求点P （0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
0
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P （0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d= = ．
0
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P （3，4）到直线y=﹣ x+ 的距离为 ；
1
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣ x+b相
切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上
第5页（共26页）的两点，且AB=2，请求出S 的最大值和最小值．
△ABP
22．（14分）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴
分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三
点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S
四边形
=8S ，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请
OPMN △QAB
说明理由．
第6页（共26页）2017 年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，其中1~8题每小题3分，9~12题每小题3分，满
分40分）
1．（3分）（2017•日照）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3C．±3 D．
【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
2．（3分）（2017•日照）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对
称图形，也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180
度后两部分重合．
3．（3分）（2017•日照）铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路
第7页（共26页）客流量达到4640万人次，4640万用科学记数法表示为（ ）
A．4.64×105B．4.64×106C．4.64×107D．4.64×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值是易错点，由于4640万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：4640万=4.64×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）（2017•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（
）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，
∴sinA= = ，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫
做∠A的正弦是解题的关键．
5．（3分）（2017•日照）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若
∠1=60°，则∠2等于（ ）
A．120° B．30° C．40° D．60°
【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AEF=∠1=60°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEF=60°，
第8页（共26页）故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
6．（3分）（2017•日照）式子 有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子 有意义，
则a+1≥0，且a﹣2≠0，
解得：a≥﹣1且a≠2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
7．（3分）（2017•日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转
变换的性质进行判断即可．
【解答】解：如图∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则
△ABC与△ADE全等，D错误；
故选：A．
第9页（共26页）【点评】本题考查的是正多边形和圆、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋
转变换的性质，掌握相关的性质和判定是解题的关键．
8．（3分）（2017•日照）反比例函数y= 的图象如图所示，则一次函数y=kx+b
（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象可以确定kb的符号，易得k、b的符号，根据图象与
系数的关系作出正确选择．
【解答】解：∵y= 的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
A、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
B、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
C、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
第10页（共26页）D、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的图象，正确得出k，b的符号
是解题关键．
9．（4分）（2017•日照）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长
交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B．C．5D．
【分析】方法1、过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，
再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
方法2、先求出∠AOP=60°，进而求出∠ACP=∠P，即可得出AC=AP，求出AC即可．
【解答】解：
方法1、过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
第11页（共26页）∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD= AO=2.5，
∴AD= = ，
∴AC=2AD=5 ，
故选A，
方法2、如图，
连接BC，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠BOC=60°，
∴∠ACP=∠BAC= ∠BOC=30°=∠P，
∴AP=AC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=10，
∴AC=5 ，
∴AP=5 ，
故选A．
第12页（共26页）【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切
线的性质定理是解题的关键．
10．（4分）（2017•日照）如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿
∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC
的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间（t s）
的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线
根据直角三角形的性质得到r=t，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=30°，
设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，
∵AO=2t，
∴r=t，
∴S=πt2，
第13页（共26页）∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，
∵π＞0，
∴抛物线的开口向上，
故选D．
【点评】此题考查动点问题的函数图象，求得函数解析式，利用函数的性质得出图
象是解决问题的关键．
11．（4分）（2017•日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的
规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续
的奇数，左边的数为21，22，23，…26，由此可得a，b．
【解答】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为21，22，23，…，
∴b=26=64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a=11+64=75，
故选B．
【点评】此题考查数字变化规律，观察出上边的数与左边的数的和正好等于右边
的数是解题的关键．
第14页（共26页）12．（4分）（2017•日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x
轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点
坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、
c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可
得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即
可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x
增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交
点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴﹣ =2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，
第15页（共26页）∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函
数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2017•日照）分解因式：2m3﹣8m= 2m （ m + 2 ）（ m﹣ 2 ） ．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m3﹣8m=2m（m2﹣4）
=2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到
不能分解为止．
14．（4分）（2017•日照）为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门
调查了某周一至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如
下：
183 191 169 190 177
则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是 18 2 ．
【分析】根据平均数的计算公式用所有数据的和除以数据的个数即可计算出这组
数据的平均数，从而得出答案．
【解答】解：根据题意，得在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是
（183+191+169+190+177）÷5=182．
故答案为182．
【点评】此题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
第16页（共26页）15．（4分）（2017•日照）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，
BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中
阴影部分）的面积是 6π ．
【分析】证明△ABE是等边三角形，∠B=60°，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=6，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴S = =6π，
扇形BAE
故答案为：6π．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公
式，熟练掌握扇形的面积公式是本题的关键，扇形面积计算公式：设圆心角是n°，
圆的半径为R的扇形面积为S，则S = 或S = lR（其中l为扇形的弧长）．
扇形 扇形
16．（4分）（2017•日照）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞
0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 ，∠AOB=∠OBA=45°，则
k的值为 1 + ．
第17页（共26页）【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则 OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出
OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS 证明△AOM≌△BAN，得出
AM=BN= ，OM=AN= ，求出B（ + ，﹣ ），得出方程（ + ）•（ ﹣ ）=k，解方程即可．
【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于
点N，如图所示：
则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中， ，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN= ，OM=AN= ，
∴OD= + ，OD=BD= ﹣ ，
∴B（ + ， ﹣ ），
∴双曲线y= （x＞0）同时经过点A和B，
∴（ + ）•（ ﹣ ）=k，
整理得：k2﹣2k﹣4=0，
解得：k=1± （负值舍去），
∴k=1+ ；
故答案为：1+ ．
第18页（共26页）【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判
定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
三、解答题
17．（9分）（2017•日照）（1）计算：﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（ ）﹣2；
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a= ．
【分析】（1）根据去括号得法则、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂
可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答
本题．
【解答】解：（1）﹣（2﹣ ）﹣（π﹣3.14）0+（1﹣cos30°）×（ ）﹣2
= ﹣2﹣1+（1﹣ ）×4
=
= ；
（2） ﹣ ÷
=
=
=
= ，
当a= 时，原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值、去括号得法则、零指数幂、特殊角的三角函数
值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．（9分）（2017•日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
第19页（共26页）（2）只需添加一个条件，即 AD=BC （ 答案不唯一） ，可使四边形ABCD为矩形．
请加以证明．
【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即
可得出结论．
【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中， ，
∴△DCA≌△EAC（SSS）；
（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
由（1）得：△DCA≌△EAC，
∴∠D=∠E=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；
熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（10分）（2017•日照）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，
则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加
者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，
且只能抽取一次．
（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；
第20页（共26页）（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积
能被10整除的概率．
【分析】（1）根据“两位递增数”定义可得；
（2）画树状图列出所有“两位递增数”，找到个位数字与十位数字之积能被10
整除的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这
4个；
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数
为3，
所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事
件A或事件B的概率．
20．（10分）（2017•日照）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动
计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，
实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完
成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x
万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任
务”列出方程；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过 2
第21页（共26页）年”列出不等式．
【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为
1.6x万平方米，根据题意，得
﹣ =4，
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×3+2（54+a）≥360，
解得：a≥45．
答：则至少每年平均增加45万平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解分式方程时，一
定要记得验根．
21．（12分）（2017•日照）阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d= ．
0 0
例如：求点P （0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
0
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P （0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d= = ．
0
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P （3，4）到直线y=﹣ x+ 的距离为 4 ；
1
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣ x+b相
切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上
的两点，且AB=2，请求出S 的最大值和最小值．
△ABP
第22页（共26页）【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距
离的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）点P （3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d= =4，
1
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣ x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，
∴ =1，
解得b= 或 ．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d= =3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S 的最大值= ×2×4=4，S 的最小值= ×2×2=2．
△ABP △ABP
【点评】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等
知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C=0的形式，
学会构建方程解决问题，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值，属于
中考压轴题．
22．（14分）（2017•日照）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，
且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C
交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点
第23页（共26页）D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S
四边形
=8S ，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请
OPMN △QAB
说明理由．
【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定
理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P
点坐标；
（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S =8S 可求得点Q到x轴
四边形OPMN △QAB
的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN
即可．
【解答】解：
（1）如图，连接OC，
第24页（共26页）∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC= MN= ，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD= = = ，
∴PD=PC﹣CD= ﹣ =1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S =S +S = OM•PD+ OM•ON= ×4×1+ ×4×3=8=8S ，
四边形OPMN △OMP △OMN △QAB
∴S =1，
△QAB
设Q点纵坐标为y，则 ×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，
第25页（共26页）当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及勾股定理、垂径定理、待定系数法、相似
三角形的性质和判定、二次函数的性质等知识．在（1）中利用垂径定理得到
OD=2，从而求得CD的长是解题的关键，在（2）中注意设抛物线的顶点式更容易
求解，在（3）中求得Q点的纵坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较
强，难度适中．
第26页（共26页）
