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第七章 万有引力与宇宙航行
【题型1 开普勒定律的应用】.....................................Error! Bookmark not defined.
【题型2 万有引力的计算】..................................................................2
【题型3 天体质量的计算】..................................................................3
【题型4 天体密度的计算】..................................................................4
【题型5 万有引力与重力的关系】............................................................5
【题型6 环绕天体运动参量的分析与计算】....................................................6
【题型7 双星、多星系统】..................................................................7
【题型8 宇宙速度】........................................................................9
【题型9 人造地球卫星】....................................................................9
【题型10 同步卫星、近地卫星赤道上物体的比较】............................................10
【题型11 卫星变轨问题】..................................................................11
【题型12 卫星追及相遇问题】...............................................................13
【题型 1 开普勒定律的应用】
1．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆中心
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
a3
C．表达式 =k中，月球绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同
T2
D．该定律是在牛顿运动定律的基础上推导出来的2.国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平
面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。
忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间
3.如图所示，哈雷彗星绕太阳运动的轨迹是一个高度扁平的椭圆形，A点是远日点，B点是近日点，C、D
分别为弧线AB、BA的中点，弧线AF、AE的长度相同。关于哈雷彗星的运动，下列说法正确的是（ ）
A．经过B点时的速度最小
B．经过AC段和CB段的时间相同
C．经过E、F两点时的速度相同
D．经过EA段和AF 段的时间相同
【题型 2 万有引力的计算】
4.下列说法正确的是（ ）
mm
A．万有引力定律的数学表达式F =G 1 2 适用于任意两物体间的作用力计算
r2
mm
B．据F =G 1 2 ，当r®0时，物体m 、m 间引力F 趋于无穷大
r2 1 2
C．把质量为m的小球放在质量为M 、半径为R的匀质大球球心外，则大球与小球间万有引力
Mm
F =G
R2D．两个质量分布均匀的、分离的球体可视为质量分别集中在球心，它们之间的相互作用力可以用
mm
F =G 1 2 计算，r是两球体球心间的距离
r2
5.潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的
海水受月球引力大小在（ ）
A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
6.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，球体与质
1
点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为 R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小
2
为（ ）
7 1 4 7
A． F B． F C． F D． F
36 9 9 9
【题型 3 天体质量的计算】
7.天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道
半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ）
A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍
8.据《甘石星经》记载，我国古代天文学家石申，早在2000多年前就对木星的运行进行了精确观测和记录。
若已知木星公转轨道半径r，周期T，木星星体半径R，木星表面重力加速度g，万有引力常量G。则太阳
质量（ ）
gR2 gr2
A．M = B．M =
G G4p2r3 4p2R3
C．M = D．M =
GT2 GT2
9.地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r ，周期为T ，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r ，周
1 1 2
期为T ，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
2
gr2
A．地球的质量可表示为 1
G
4p2r3
B．地球的半径可表示为 2
gT2
2
r3T2
C．太阳与地球的质量之比为 2 1
r3T2
1 2
r3T2
D．太阳与地球的质量之比为 1 2
r3T2
2 1
【题型 4 天体密度的计算】
10.在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周
期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）
2 2 2 2
æT ö æT ö 1 æT ö 1 æT ö
A．k3 ç 1 ÷ B．k3 ç 2 ÷ C． ç 1 ÷ D． ç 2 ÷
èT ø èT ø k3 èT ø k3 èT ø
2 1 2 1
11.如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），
卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h、h ，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。
1 2
忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为g 。则星球的平均密度为（ ）
cæ 2ö æ 3ö
3g ç1-k3÷ 3g ç1-k2÷
c c
è ø è ø
A． B．
æ 2 ö æ 3 ö
2pGçh k3 -h ÷ 2pGçh k2 -h ÷
2 1 2 1
è ø è ø
æ 3ö æ 2ö
3g ç1-k2÷ 3g ç1-k3÷
c c
è ø è ø
C． D．
æ 3 ö æ 2 ö
4pGçh k2 -h ÷ 4pGçh k3 -h ÷
2 1 2 1
è ø è ø
12.我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为
质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67´10-11N×m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的密度最小值
约为（ ）
A．5´109 kg/m3 B．5´1012kg/m3
C．5´1015kg/m3 D．5´1018kg/m3
【题型 5 万有引力与重力的关系】
13.关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（ ）
A．地面附近的物体所受的重力就是万有引力
B．由于地球的自转，物体在纬度越高的地方所受重力越大
C．物体在赤道上时，万有引力和重力的合力提供物体随地球自转所需的向心力
D．地球上的所有物体都会在万有引力、重力和支持力三个力的作用下处于平衡状态
14.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力
加速度大小为g ，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为
0
质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（ ）
(g-g )T2 （g -g）T2 (g-g )T2 (g -g)T2
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
4p2 4p2 2p2 2p2
15.如图所示，假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力
为零。O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox。则在x轴上各位置的重力加速度g随x的变化关系图正确的
是（ ）A． B．
C． D．
16.某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行
3
星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为 F。已知引力常量
4
为G。下列说法正确的是（ ）
4p2mR FR2
A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为
F 4Gm
3F
C．该行星赤道处的重力加速度为Fm D．该行星的密度为
4pRGm
【题型 6 环绕天体运动参量的分析与计算】
17.2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。
1 2
已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的 ，其母恒星质量约为太阳质量的 ，则Gliese12b绕其母恒星的
14 7
运动周期约为（ ）
A．13天 B．27天 C．64天 D．128天
18.“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，
且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、
地球公转的说法正确的是（ ）A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小
19.如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的
亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M ，引力常量
为G。关于P的公转，下列说法正确的是（ ）
GMt -t 2
A．周期为2t
1
-t
0
B．半径为3 1 0
4p2
p 2pGM
C．角速度的大小为 D．加速度的大小为3
t -t t -t
1 0 1 0
【题型 7 双星、多星系统】
20.（多选）设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得
两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO>OB，则（ ）
4p2L3
A．两星球的总质量等于
GT2
B．星球A的向心力大于星球B的向心力
C．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小21.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于
等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中
心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则下列说法中不正确的是（ ）
Gm
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
R
3Gm
B．每颗星做圆周运动的角速度为
R3
R3
C．每颗星做圆周运动的周期为2p
3Gm
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
22.（多选）天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用下，做着不同的运动。如图1、2所示分别为双星、三星
模型，星体都绕它们之间的某一点做匀速圆周运动，轨迹圆半径都为R，五个环绕天体质量均为m，引力
常量为G，忽略其他天体对系统的作用，则（ ）
R3
A．图1中两环绕天体向心力相同 B．图1中天体运动的周期为4p
Gm
2m2
C．图2中天体运动的向心力大小为G D．图1和图2中环绕天体的线速度之比为43:2
3R2
【题型 8 宇宙速度】23.关于宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A．静止卫星绕地球运行的速度小于第一宇宙速度
B．中国空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度是指飞行器脱离太阳的束缚，飞出太阳系的速度
D．第三宇宙速度是指飞行器脱离地球的束缚，绕太阳运行的速度
24.我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的
50%，下列说法正确的是（ ）
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
25.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某行星，在该行星“北极”距地面h处由静止释放一个小球（引力视为恒力，
阻力可忽略），经过时间t落到地面，已知该行星半径为R，自转周期为T，引力常量为G。
（1）求该行星的第一宇宙速度v；
（2）求该行星的平均密度r。
【题型 9 人造地球卫星】
26.下列关于地球静止卫星的说法正确的是（ ）
A．它的周期与地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小
B．它的周期、高度、线速度都是确定的
C．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星不一定在赤道上空27.我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星
的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球
赤道平面成一定夹角。该卫星（ ）
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的静止卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的静止卫星
28.北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统。2023年5月17日，我国在西昌卫星发射中心
用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道
示意图，已知a、b、c三颗卫星的运动均看作匀速圆周运动，其中a是静止同步轨道卫星，b是倾斜同步轨
道卫星，c是中轨道卫星，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，忽略地球的自转，则（ ）
A．卫星a的线速度大于卫星c的线速度
B．卫星c的环绕速度应该大于 gR
C．w =w v
A B
C．B、C的向心加速度大小关系为a T
A C B
【题型 11 卫星变轨问题】
31.某空间探测器发射后，先在圆轨道1上做匀速圆周运动，在圆轨道1上的P点变轨进入椭圆轨道2，在
椭圆轨道2上的远地点Q点变轨进入椭圆轨道3,M 是椭圆轨道3的远地点，则下列说法正确的是（ ）
A．探测器在轨道1上P点速度一定小于在轨道3上Q点速度
B．探测器在轨道1上P点速度可能小于在轨道2上Q点速度C．探测器在M 点速度一定小于在轨道2上P点速度
D．探测器在M 点速度可能等于在轨道1上P点速度
32.太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。
为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，
从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（ ）
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
33.（多选）探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：卫星由地面发射后，进入地月转移
轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨
道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车将在M点着陆月球。下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小
B．“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大
C．“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小D．“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点时的加速度
【题型 12 卫星追及相遇问题】
34.如图所示，A、B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它们轨道在同一平面内且转动方向相反。若已知
R 1
A卫星转动周期为T，A、B两卫星轨道半径之比 A = ，从图示位置开始A、B两卫星每隔时间t再次相距
R 4
B
最近，则（ ）
1 8 8 1
A．t = T B．t = T C．t = T D．t = T
8 7 9 9
35.如图甲所示，A、B两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗
卫星之间的距离Dr随时间t的变化图像，t =0时刻A、B两颗卫星相距最近。已知卫星B的周期T =7t ，
B 0
则A、B两颗卫星运行轨道半径之比为（ ）
A．1∶7 B．1∶4 C．1: 349 D．1∶2
36.（多选）如图所示，甲、乙两卫星沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，甲卫星周期为T ，乙卫星周期为T
1 2
，某时刻两卫星恰好相距最远，则（ ）TT
A．至少需时间 1 2 ，两卫星相距最近
2T -T
2 1
TT
B．至少需时间 1 2 ，两卫星相距最近
T -T
2 1
TT
C．至少需时间 1 2 ，两卫星再次相距最远
2T -T
2 1
TT
D．至少需时间 1 2 ，两卫星再次相距最远
T -T
2 1
