文档内容
陈熙谋 吴祖仁
蔡铁权 周昌鲜
尹 强 李勇强 宋怀彬 张丹彤
张生文 谭崇宇 薛义荣
主 编
本册主编
本册编者（按姓氏笔画排序）
第一章 抛体运动
1. 认识曲线运动… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
2. 运动的合成与分解… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6
3. 探究平抛运动的特点… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10
4. 研究平抛运动的规律… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
5. 斜抛运动（选学）… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18
反思·小结·交流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22
本章复习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23
第四章 机械能及其
守恒定律
1. 功… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯74
2. 功率… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯79
3. 动能 动能定理… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯84
4. 势能… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯90
5. 机械能守恒定律… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯96
6. 实验：验证机械能守恒定律… ⋯⋯102
反思·小结·交流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯105
本章复习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯106
第二章 匀速圆周运动
1. 圆周运动… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26
2. 匀速圆周运动的向心力和向心
加速度… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31
3. 圆周运动的实例分析… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯39
4. 圆周运动与人类文明（选学）… ⋯⋯46
反思·小结·交流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51
本章复习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯52
第三章 万有引力定律
1. 天体运动… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯54
2. 万有引力定律… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯57
3. 预言未知星体 计算天体质量…⋯⋯⋯62
4. 人造卫星 宇宙速度…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯65
5. 太空探索（选学）… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯69
反思·小结·交流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯71
本章复习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72
第五章 经典力学的局限
性与相对论初步
1. 经典力学的成就与局限性…⋯⋯⋯⋯108
2. 相对论时空观简介…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111
3. 宇宙的起源和演化…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯117
反思·小结·交流⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯120
本章复习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯120
附录… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯121
后记… ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯122
喷泉射出的水柱在空中划出一
道道美丽的弧线，令人赏心悦目。
这种弧线具有什么特征？哪些运动
的轨迹跟它具有相同的特征？这类
运动遵循怎样的规律？
这是一种常见的曲线运动——
抛体运动。本章我们将认识它的特
点与规律。
第一章
第一章
抛 体 运 动
◆ 认识曲线运动
◆ 运动的合成与分解
◆ 探究平抛运动的特点
◆ 研究平抛运动的规律
◆ 斜抛运动（选学）
主题一 曲线运动
主题二 抛体运动
物理 必修 第二册
2
● 随处可见的曲线运动
本章首页图中，景观喷泉喷出的水柱在空中形成美丽
的弧线。在公路上，有许多提示车辆转弯的交通标志（图
1-1-1），它们引导车辆沿正确的方向行驶；在足球场上，
你可能看到“香蕉球”在空中划出一道漂亮的弧线。物理
学中，我们把物体运动轨迹是曲线的运动，叫作曲线运动
（curvilinear motion）。曲线运动是一种十分常见的运动形
式（图1-1-2）。
在《物理 必修第一册》中，我们学习了匀变速直线
运动及其规律。但在现实生活中，我们接触的却是大量的
曲线运动。
● 曲线运动的速度方向
▲ 图1-1-1 表示转弯的交通标志
▲ 图1-1-2 形形色色的曲线运动
物体做曲线运动时，怎样确定该物体在某一位置的
速度方向呢？
观察图1-1-3，你能从中得到怎样的启示？
（a）汽车在环形立交桥上的运动
（b）里约奥运会开幕式上灯随杆的运动
（c）飞行表演
▲图1-1-3 砂轮切割钢材时，火
花飞溅
认识曲线运动
1
第一章 抛体运动
3
在《物理 必修第一册》的学习中，我们知道，瞬时
速度是描述物体运动快慢的物理量。那么做曲线运动的物
体的瞬时速度方向是怎样的？
实验探究
如图1-1-4 所示，水平桌面上放一磁性画板，在画板上固定一塑料圆弧形挡板。
让一个磁性小球以一定的初速度在圆弧形挡板的约束下运动。更换挡板，可
以改变挡板的弯曲程度，重复几次实验。观察并思考：
1. 小球离开挡板后，运动轨迹是怎样的？
2. 根据运动轨迹，你能指出小球离开挡板时的速度方向吗？
▲ 图1-1-4 研究曲线运动的方向
（a）实验装置
（b）运动轨迹
理论探究
如图1-1-5所示，质点沿曲线运动，某段时间从A运动到B，过A、B两点作直线，
这条直线叫作曲线的割线。从A 到B 就是质点位移的方向，也就是这段时间内的
平均速度方向。设想研究的时间段逐渐缩短，则B 点逐渐向A 点靠近，这条割线
的位置将不断变化。当时间段变得非常非常小的时候，B 点非常非常接近A 点，
这条割线就将与过A 点的切线重合。因此，可以认为质点在A 点的瞬时速度方向
沿曲线在A 点的切线方向。
▲ 图1-1-5 所取的时间段逐渐变
小，B点逐渐向A点靠近
磁性画板的构造及原理
画板的两层板之间夹着
蜂窝状的孔，孔内装有铁粉，
下底面装有一根磁条。当移
动磁条时，铁粉被吸到孔的底
部，上面板只显示白色；当磁
性笔或磁性物体在上面板上滑
动时，所经之处的铁粉被吸上，
从而显示出运动轨迹。
物理 必修 第二册
4
实验和理论分析表明，质点做
曲线运动，经过某一位置时的速度
方向就是曲线在这一点的切线方向
（图1-1-6）。因为曲线运动的速度
方向时刻在变化，所以曲线运动是
一种变速运动。
在曲线运动中，当所取
运动过程足够短时，质点在
这一极短过程的运动就可视
为直线运动。
“化曲为直”是处理数学
问题的一种重要方法，在处
理某些物理问题时，通过“化
曲为直”，转换思维，可使问
题得以简化。
实验表明，当运动物体所受合外力的方向跟它的速度
方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
如果要改变速度方向，
力的方向能否与速度方向相
同？能否与速度方向相反？
力的方向应当与速度方向成
怎样的关系才能使速度方向
发生变化？力的方向、速度方
向与运动轨迹之间有怎样的
关系？
▲图1-1-8 曲线运动的实例
● 物体做曲线运动的条件
实验探究
曲线运动是一种变速运动。根据牛顿第一定律，
要使物体的运动状态发生改变，必须对物体施加力
的作用。如图1-1-7 所示，钢珠在水平面上做直线
运动，进行实验并观察：把磁铁置于什么区域，钢
珠才会偏离原来的方向而做曲线运动？
▲图1-1-7 研究曲线运动的条件
如图1-1-8 所示，抛出去的篮球靠什么力来改变
运动方向而做曲线运动？
讨论交流
▲图1-1-6 曲线运动的速度方向
第一章 抛体运动
5
1．学习驾驶汽车时需要进行多次转弯的训练，图1-1-9为一汽车训练时的运动轨迹，汽
车在水平地面上先后经过A、B、C三点。试在图上标出汽车经过这三个位置时的速度方向。
2．一质点做曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．质点速度方向不可能始终不变
B．质点速度大小不可能始终不变
C．质点速度方向一定与加速度方向相同
D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向
3．若已知物体运动初速度
0的方向及它受到恒定合外力F的方向，图1-1-10中曲线a、
b、c、d表示物体运动的轨迹，其中可能正确的是（ ）
自我评价
▲图1-1-9
▲图1-1-10
课外阅览
“香蕉球”成因探秘
你喜欢观看足球比赛吗？如图1-1-11所示，在球场上罚任意球时，运动员踢出的足球有
时会在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，图1-1-12是它的运动轨迹的俯视图，这就是所谓
的“香蕉球”。那你知道“香蕉球”是怎样形成的吗？
发展空间
▲ 图1-1-11 运动员踢出“香蕉球”
▲ 图1-1-12 从空中俯视，看到的“香蕉球”的轨迹
物理 必修 第二册
6
原来，运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转［设旋转方
向和前进方向如图1-1-13（a）所示］。若自上向下看，如图1-1-13（b）所示，由于足球的自转，
紧贴着足球表面的一薄层空气被球带动做同一旋向的转动。结果，造成足球A、B 两侧附近
空气相对于球的速度不相等，A 侧附近空气的流速大于B 侧附近空气的流速。根据流体的速
度与压强的关系可知，空气对足球B 侧
的压强大于对A 侧的压强，从而使足球
的A、B 两侧形成一个压力差，其合力
F 的方向由B 指向A。正是这个压力差，
使足球偏离了原来的运动方向，在空中
划出一条形如香蕉的轨迹。
▲ 图1-1-13 “香蕉球”的成因分析
（a）
（b）
2
运动的合成与分解
● 矢量的合成与分解
通过《物理 必修第一册》模块的学习，大家已经知
道力的合成与分解遵循平行四边形定则。描述物体运动的
位移、速度和加速度也是矢量，其合成与分解的方法也遵
循平行四边形定则。研究表明，平行四边形定则是矢量合
成与分解遵循的普遍法则。这也是矢量与标量在运算方面
的显著区别。
力（运动）的合成与分解，既体现了矢量的运算法则，
同时又反映了物理学研究问题的重要方法——等效替代。
合成与分解本身也是研究物理问题的基本方法。
通过平行四边形定则将合矢量与分矢量的关系转化为
平行四边形的对角线和邻边的关系，可以把矢量运算转化
为几何运算。所以，在解决力（运动）的合成与分解的问
题时，作图是非常关键的一步。
◎等效替代
等效替代是在保证某种
效果（特性和关系）相同的前
提下，将实际的、复杂的物
理问题和物理过程转化为等效
的、简单的、易于研究的物理
问题和物理过程来研究和处理
的方法。
等效替代既是科学家研
究问题的方法，也是同学们在
学习物理中常用的方法。
第一章 抛体运动
7
▲ 图1-2-1 小车与履带同时运动
● 位移和速度的合成与分解
观察思考
如图1-2-1 所示，小明将玩具电动车（以下简称“小车”）放在跑步机上做游
戏。跑步机履带外侧的机身上有正对的A、B 两点。他想让小车从A 点出发，运
动到对面的B 点。跑步机启动后，释放小车时车头指向B 点。但他发现，小车并
未到达正对面的B 点，而是到达了D 点，行驶的路线也并不跟跑步机履带运动方
向垂直。怎样来研究这种运动呢？
若跑步机履带不动时，小车从A 点启动，车头
正对B 点，经过一段时间，小车将到达B 点，如图
1-2-2 所示。
若将小车静置于跑步机履带上，履带向右运动，
小车将到达A 点右方的C 处，如图1-2-3 所示。
▲ 图1-2-2 小车运动，履带静止
▲ 图1-2-3 小车静止，履带运动
实际上，图1-2-1 中小车同时参与了以上两个运动。
我们把这两个运动叫作分运动，实际的运动叫作合运
动。那么合运动的位移与分运动的位移之间有什么样的
关系呢？
由上述实验可以得到：一个物体同时发生两个方向
的位移（分位移），它的效果可以用合位移来替代；同样，
这个物体运动的合位移也可以用两个分位移来替代。已知
分位移求合位移叫作位移的合成；已知合位移求分位移叫
作位移的分解，它们都遵循平行四边形定则。
由于合运动与分运动对应的时间是相同的，而位移
的合成与分解遵循平行四边形定则，那么，速度的合成
2
物理 必修 第二册
8
在图1-2-1 中，为了使玩具电动车从A 点出发到达正对的B 点，小车的车头
应该朝什么方向？
讨论交流
▲ 图1-2-4 位移和速度的合成与分解
与分解也必然遵循平行四边形定则，如图
1-2-4 所示。同样的，加速度的合成与分
解也必然遵循平行四边形定则。
位移、速度和加速度都是描述物体运
动的物理量，运动的合成与分解包括这些
物理量的合成与分解。已知分运动求合运动，叫作运动的
合成；已知合运动求分运动，叫作运动的分解。
● 运动合成与分解的应用
研究比较复杂的运动时，常常可以把一个运动分解成
两个或几个比较简单的运动，从而使问题变得容易解决。
运动的合成与分解在生产、生活和科技中有广泛的应用。
某条河宽度为x = 700 m，河水均匀流动，流速为
2 = 2 m/s。若小船在静
水中的运动速度为
1 = 4 m/s，则小船的船头指向哪个方向才能恰好到达河的正对
岸？渡河时间为多少？
如图1-2-5所示，为了使小船恰好到达河的正对
岸，必须使船的合速度的方向与河岸垂直。
由图可知
α= 30°
即小船应朝偏上游30°的方向行驶。
由图还可以得到合速度的大小为
渡河时间为
分析
分析
问题
问题
解
例题示范
▲ 图1-2-5 小船垂直河岸运动
第一章 抛体运动
9
拓展
拓展 在上述例题中，若小船在行驶的过程中始
终保持船头的指向垂直于河岸（图1-2-6），则
渡河时间是多少？小船到达对岸时向下游偏移的
位移是多少？
自我评价
1. 关于合运动与分运动的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定大于分运动的速度
B．合运动的速度可以小于分运动的速度
C．合运动的位移就是两个分运动位移的代数和
D．合运动的时间与分运动的时间不一样
2. 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的。设没有风时，雨滴着地的速度为6 m/s。
现在有风，雨滴随风水平向西的速度大小是3 m/s。试求此时雨滴着地的速度。
3. 在长江三峡库区中，在江的同一侧有甲和乙两地，甲在上游，乙在下游，两地相距为
x。三峡大坝建造前，甲、乙两地之间江水的流速为
1。有一只快艇相对于静水行驶的速度为
2，已知
2大于
1，则这只快艇在甲、乙两地之间往返一次需要多少时间？现由于建造了三
峡大坝，甲、乙两地之间江水假定不再流动。则此时同一只快艇在甲、乙两地往返一次需要
的时间有什么变化？
4. 某同学以10 m/s 的初速度，与水平方向成60º 的倾角，将篮球斜向上投出，请作出
初速度沿水平方向和竖直方向分解的示意图，并求出这两个分速度的大小。
跑马射箭
民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射向固定目标 （即
图1-2-7中的箭靶，箭靶平面与马运动方向平行）。
假设运动员骑马奔驰的速度为
1，运动员静止时射出的箭速度为
2，跑道离固定目标的最
近距离为d。要想命中目标且射出
的箭在空中飞行时间最短。不考
虑空气阻力和重力的影响，则：
1. 箭被射出到射中靶的最短
时间为多少？
2. 运动员放箭处与目标的距
离为多少？
发展空间
▲ 图1-2-7 跑马射箭
走向社会
▲ 图1-2-6 小船船头垂直河岸的运动
物理 必修 第二册
10
● 什么是平抛运动？
● 描绘平抛运动的轨迹
观察思考
设想你正乘着一架滑翔机（图1-3-1）沿水平方
向运动，下面是你熟悉的地方。当滑翔机经过你的一
位好友住宅的正上方时，你将一包礼物释放。虽然空
中没有风，但这包礼物却没有落在朋友的住宅处。为
什么会造成这样的结果呢？
3
探究平抛运动的特点
▲ 图1-3-1 现代滑翔机
原来，礼物释放后在水平方向上具有一定的初速度，
由于惯性，它在水平方向仍要继续向前运动，就像水平桌
面上被推出的物体离开桌面后的运动一样（图1-3-2），它
的运动轨迹并不是一条竖直线，而是一条被称为“抛物线”
的曲线。
物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气
的阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫作平抛运动
（motion of body projected horizontally）。以一定速度沿水
平方向飞出的小球的运动、运动员水平击出的排球的运动、
沿水平方向飞行的飞机所释放的物体的运动等，如果空气
阻力对运动的影响可以忽略，都可视为平抛运动。
要研究平抛物体的运动规律，最好能记录下它在空中
画出的优美曲线。我们怎样才能得到平抛运动的轨迹呢？
1. 实验仪器
如图1-3-3 所示的装置是实验室中常见的用来描绘平
抛运动轨迹的仪器。
▲ 图1-3-3 实验装置
▲ 图1-3-2 平抛运动
定位板
轨道
重垂线
接球
挡板
调平
螺丝
记录面板
第一章 抛体运动
11
观察思考
请仔细观察如图1-3-3 所示仪器的构造，思考以下问题：
1．怎样确保小球做的是平抛运动？
2．如何记录小球的位置？
3．如何得到平抛运动的轨迹？
2. 实验操作
我们可以按照下面的步骤进行操作，描出小球运动的
轨迹。
（1）将实验仪器置于桌面，调节调平螺丝，观察重垂
线，使面板处于竖直平面内，卡好定位板。装好平抛轨道，
使轨道的抛射端处于水平位置。
（2）在描迹记录纸后衬垫一张复写纸或打字蜡纸，并
用压纸板将它们紧贴固定在面板上。使横坐标x 轴在水平
方向上，纵坐标y 轴沿竖直方向向下，并注意使坐标原点
的位置在平抛物体（钢球）的中心离开轨道处。
（3）把接球挡板置于最上方一格。
（4）将定位板在某一位置固定好。钢球紧靠定位板释
放，球沿轨道向下运动，以一定的初速度由轨道的平直部
分水平抛出。
下落的钢球打在接球挡板上，由于挡板平面向记录面
板倾斜，小球将挤压记录纸，留下一个迹点。
（5）将接球挡板向下移动一格，重复上述操作方法，
得到第二个印迹点，如此继续下移接球挡板，直至最低点，
即可得到平抛的钢球下落时的一系列迹点。
（6）改变定位板的位置，即可改变钢球平
抛的初速度，重复上述实验操作步骤，便可获得
另一系列迹点。
3．描绘平抛运动的轨迹
取下记录纸，将各次实验所记录的点分别
用平滑曲线连接起来，即可得到以不同的初速
度做平抛运动的小钢球的轨迹图线，如图1-3-4
所示。
▲ 图1-3-4 以不同的初速度做平抛运动的轨迹
调节水平和竖直的目的
是什么？
若用白纸作为记录纸，可
事先用铅笔在纸上画出x 轴和
y 轴两条坐标轴。
物理 必修 第二册
12
1．实验中，为了减小误差，我们可以采取哪些措施？
2．你能对该实验提出改进的方案吗？
3．你还有其他更好的方案描绘平抛运动的轨迹吗？
讨论交流
在《物理 必修第一册》的学习中我们了解到，频闪
照相技术可以记录下运动物体在不同时刻的位置，是研究
各种运动的有效手段。随着技术的进步，要获得“频闪照
片”变得简单起来。
我们用手机对平抛运动进行“录像”，再用软件把连
拍的多张照片合成到一张照片上，也可以得出平抛运动的
大致轨迹，如图1-3-5 所示。
▲ 图1-3-5 用手机结合软件描绘
平抛运动的轨迹
用二维运动传感器探究平抛运动的特点
如图1-3-6（a）所示，我们可以用二维运动传感器探究平抛运动的特点。装置主要由超
声红外发射器和接收器组成。图1-3-6（b）为其结构示意图。该装置将对在二维平面内运动
的物体的轨迹进行实时跟踪描绘，并记录在计算机屏幕上。
如图1-3-7所示，超声红外发射器做平抛运动时，它能够
在竖直平面内向各个方向同时发射超声脉冲和红外脉冲。在
它运动的平面内安放着超声红外接收器（内有两个接收器，
设为A和B，并与计算机相连），A和B各自测出收到超声脉
冲和红外脉冲的时间差，并由此算出它们与超声红外发射器
的距离。这两个距离确定之后，由于A、B之间的距离是已知
的，超声红外发射器的位置也就唯一地确定下来了，计算机可以即时给出超声红外发射
器的位置坐标。
发展空间
实验室
（a）实物图
（b）结构示意图
▲ 图1-3-6
超声红外
发射器
轨道
数据线
超声红外接收器
铁架台
▲ 图1-3-7 二维运动传感器
的原理
第一章 抛体运动
13
二维运动传感器，还可以用来进行许多有关曲线运动的实验，同学们不妨自己想一想、
试一试。
如图1-3-6所示，将接收器固定
在铁架台上，并连接到计算机；启动
软件，接通发射器电源；将发射器放
在轨道的抛射点处，点击软件按钮，
校准接收器的水平坐标；点击“开始
记录”按钮，并从轨道上释放发射
器；待发射器完成平抛运动后，再点
击“停止记录”，即可得到发射器的
轨迹图，如图1-3-8所示。
▲ 图1-3-8 计算机描出的平抛运动的轨迹
4
研究平抛运动的规律
● 平抛运动的实验研究
1. 假如物体在空中被水平抛出后不受重力的作用，将会怎样运动？
2. 假如物体没有水平速度，松手后，物体将会怎样运动？
3. 在空中以水平速度抛出一个物体，物体将如何运动？
讨论交流
实验探究
1. 如图1-4-1 所示的仪器称为平抛竖落仪。把它固定在铁架台上，B 球被弹
片夹住，A 球放在弹片右边的水平平台上，两球处于同一高度。用小锤击打弹片，
A 球沿水平方向抛出，同时B 球被释放，做自由落体运动。观察两球的运动路径，
比较它们落地时间的先后。
平抛运动是一种曲线运动，其速度的大小和方向时刻
发生改变。对这种比较复杂的运动，能否利用运动的分解，
将它转化为我们所熟悉的、简单的运动呢？
物理 必修 第二册
14
▲ 图1-4-1 比较平抛运动
和自由落体运动
▲ 图1-4-2 对平抛运动频闪照片的研究
（a）截取平抛运动的部分
（b）建立平面直角坐标系
（1）保持仪器离地的高度不变，改变击打弹片的力度，
多次重复上面的实验，看看实验结果有什么不同，这说
明了什么问题？
（2）改变仪器离地面的高度，再多次重复上面的实验，
看结果有什么变化，这又说明了什么问题？
当我们保持仪器的高度不变，而改变打击弹片的力
度，就是改变小球A 抛出时的初速度。比较各次实验结果，
可发现各次都与做自由落体运动的小球B 同时落地，但
各次A 球落地点的距离远近不同，这说明平抛物体抛出
时的水平初速度的大小不影响在空中运动的时间，只影响水平分运动的位移。
当我们改变仪器离地的高度，再多次重复上面的实验，A、B 两球仍然是同
时落地，这说明做平抛运动的物体沿竖直方向的分运动与自由落体运动相同。
2. 图1-3-5 记录了钢珠运动时每隔相同的时间间隔所处的位置。我们截取图
1-3-5 钢珠做平抛运动的部分图像，适当放大，并把钢珠球心的各位置用一条光
滑的曲线连接起来，这就是钢珠做平抛运动的轨迹，如图1-4-2（a）所示。以抛
出点为原点，以抛出时初速度方向为x 轴正方向，以竖直向下为y 轴正方向建立
平面直角坐标系，如图1-4-2（b）所示。
在图1-4-2（b）的直角坐标系中，我们把小球各位置的x 坐标和y 坐标都标
示出来，分别为x1、x2、x3、x4、x5 及y1、y2、y3、y4、y5，它们分别是做平抛运
动的小球的两个分运动各个时刻已发生位移的数值。测量沿x 方向各段相等时
间间隔内的位移值，发现Ox1=x1 x2=x2 x3=x3 x4=x4 x5，可以认为沿x 方向的分运动
是匀速运动；测量沿y 方向各段相等时间间隔内的位移值，发现Oy1: y1 y2 : y2 y3 :
y3 y4 : y4 y5 ≈1 : 3 : 5 : 7 : 9, 可以认为沿y 方向的分运动是初速为零的匀加速直线
运动。
第一章 抛体运动
15
若要更精确地测量和计算，我们可以拍摄小球的频闪
照片（图1-4-3），沿x 方向和沿y 方向各固定一把刻度尺，
可测量出各段位移的数值。只要知道频闪照片的时间间隔，
就可以计算出它在竖直方向的加速度。其值近似等于g，
即小球在竖直方向做的是自由落体运动。
▲ 图1-4-3 平抛运动和自由
落体运动的频闪照片
物体的运动与受力情况有关。做平抛运动的物体，
在空中运动的过程中，只受重力作用，方向竖直向下。
在水平方向，由于惯性，物体将保持原来的速度做匀速
直线运动；在竖直方向，物体受重力的作用，且竖直方向
的初速度为零，因此物体在竖直方向上做自由落体运动。
这就是平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和
竖直方向的自由落体运动的动力学原因。
如图1-4-2（b）所示，设物体水平抛出时的初速度为
0，则经过时间 t，它的位置坐标分别是
它的两个分速度分别是
● 平抛运动的理论探究
请联系牛顿运动定律等动力学知识，解释为什么
平抛物体的运动具有上述的运动规律。
讨论交流
由水平和竖直方向的位移公式可以求得任一时刻物体的位置坐标（x，y），
在坐标系上标出物体在不同时刻的位置，并用平滑的曲线将它们连起来，就得到
平抛运动的轨迹。这是一条什么类型的曲线？
讨论交流
物理 必修 第二册
16
由x = 0t， 得
， 将它代入
， 得
式中g、
0都是不随时间变化的常量，即y=kx2，这正是
我们数学中学过的抛物线方程！
一架直升机沿水平方向匀速飞行，速度是30 m/s，离地面高度是200 m，
它要把机上携带的救灾物资投放到灾区的接收场。（不考虑空气阻力的影响）
（1）它需要在到达接收场前水平距离多远处释放物资？
（2）该物资接触地面时的速度大小和方向如何？
直升机上携带的救灾物资随直升机沿水平方向做匀速运动，从直升机上释放
的瞬间，具有水平初速度0 =30 m/s，而后在空中做平抛运动。根据平抛运动的规律，
可以分解为两个分运动，沿竖直方向做自由落体运动，沿水平方向做匀速直线运动。
（1）以平抛物体的抛出点为坐标原点O，初速度方向为x 轴的正方向，竖
直向下为y 轴的正方向，建立一个平面直角坐标系
xOy（图1-4-4），图中的A 点为接收场的位置。
在竖直方向，物资做自由落体运动，所用时间为t，
满足关系式
2
2
1 gt
h =
在水平方向，物资做匀速运动，水平飞行距离
l =
0t
联立以上二式，解得
9.8
200
2
30
2
0
×
×
=
=
g
h
l
m ≈ 191.7 m
（2）落地时刻，其水平分速度
Ax =
0，
竖直分速度
合速度大小
它与水平方向的夹角
查阅数学用表得θ ≈ 64.7º。
分析
分析
问题
问题
例题示范
解
▲ 图1-4-4 建立坐标系
第一章 抛体运动
17
自我评价
1. 用m、0、h 分别表示做平抛运动物体的质量、初速度和抛出点离水平地面的高度。在
这三个量中：
（1）物体在空中运动的时间是由 决定的；
（2）物体在空中运动的水平位移是由 决定的；
（3）物体落地时瞬时速度的大小是由 决定的；
（4）物体落地时瞬时速度的方向是由 决定的。
2. 如图1-4-5 所示，玩具手枪的枪管AB 对准竖直墙面上的C 点，B、C 间距20 m，
处于同一水平线上。弹丸以40 m/s 的速度从枪管B 端射出，
到达墙面时打在D 点。不计空气阻力，求：
（1）C、D 两点间的距离；
（2）弹丸打到D 点时的速度。
▲ 图1-4-5
C
D
A
B
探究排球运动中沿水平方向近网扣球的最大速度
你观看过排球比赛吗？你是否曾为运动员将球扣出界
外而惋惜？在排球比赛中，如果运动员在近网处沿水平方
向（垂直于网）扣球（图1-4-6），要使球不被扣出界外，
球的最大初速度为多大？
以男排比赛为例，并把扣球后排球的运动近似看作平
抛运动，分析如图1-4-7所示。
1．射程 x 一定时，排球的初速度与扣球高度的关系是
。
2．根据公式 ，当高度y取 m，射程x
取 m时初速度最大，且为 m/s。
从以上计算中，你对排球比赛中的扣球有什么认识？
发展空间
▲ 图1-4-6 排球比赛
▲ 图1-4-7 扣球后排球的运动轨迹
1．排球赛场的长为18m，
男排网高为2.43m。
2．在要求不扣出界外的条
件下，前排近网不同高度处沿
水平方向扣球，球的最大初速
度见下表。
高度/m
2.60
2.80
3.00
最大速度/（m · s
-1）
12.36
11.90
11.50
真实的排球比赛中，空
气的影响不能忽略，这是因为
排球的表面积比较大，空气阻
力相比自身重力不是很小。此
外，球的旋转也会明显地影响
着球的运行轨迹。
走向社会
物理 必修 第二册
18
观察思考
●什么是斜抛运动
斜抛运动（选学）
5
▲图1-5-1 户外闯关竞技活动
在一项户外竞技娱乐活动中，选手以一定的初速度起跳后，没有抓住横杆上
的小环，而是直接跳到对面平台上（图1-5-1）。若要闯关成功，则两平台之间距
离的最大值是多少呢？
将物体以一定的初速度沿斜向抛出，不考虑空气的阻
力，物体只在重力作用下所做的运动叫作斜抛运动（motion
of body projected obliquely）。如图1-5-2 所示的是一些常
见的斜抛运动。
（a）铅球出手后的运动
（b）喷泉水流的运动
▲图1-5-2 常见的斜抛运动
第一章 抛体运动
19
实验探究
观察思考
1. 还有哪些物体的运动可以看作斜抛运动？
2. 斜抛运动是什么性质的运动？
●斜抛运动的特点
●斜抛运动的规律
仔细观察如图1-5-3所示的斜抛运动的频闪照片，
并思考以下问题：
1．斜抛运动和平抛运动有什么联系？
2．如果将斜抛运动沿水平方向和竖直方向分解，
抛射体在水平方向上做什么运动？在竖直方向上做什
么运动？
▲图1-5-3 斜抛运动的频闪照片
在斜抛运动中，物体初速度方向与水平方向的夹角叫
作抛射角，物体能达到的最大高度叫作射高，物体从抛出
点到落回同一高度的水平位移大小叫作射程。射高和射程
的大小与哪些因素有关呢？我们可以通过下面的实验进行
探究。
每4 个同学为一组，每组备1 个医用盐水瓶（带有橡皮塞）、1 个一次性输液器。
把输液器上的针头插在橡皮塞上，并在橡皮塞上
再插入1 个针头（图1-5-4），如果输液器出水口
和瓶子的高度差不变，从输液器出水口处射出的
水流的速度就不变。高度差越大，速度越大。
你认为斜抛运动的射高与射程可能跟哪些因
素有关？
再给你1 个铁架台、1 个接水盆、1 只量角器、
▲图1-5-4 研究斜抛运动规律的
实验装置
讨论交流
可以看出，斜抛运动的轨迹也是一条抛物线。
物理 必修 第二册
20
1 把刻度尺、1 根细木杆。怎样利用这些器材定性地研究喷水的射程跟哪些因素有
关？怎样利用实验检验你的猜想？先跟组内同学讨论，再跟其他组的同学交流。
根据大家比较认同的实验方案进行探究，你能得出什么结论？
实验表明：
当斜抛运动的抛射角一定时，随着初速度的增大，射
高、射程均增大，如图1-5-5所示。
当斜抛运动的初速度大小一定时，随着抛射角的增
大，射高增大；当抛射角约为45°时，射程最大，如图1-5-6
所示。
▲图1-5-6 斜抛运动的射高、射程与抛射
角的关系（初速度大小相等）
h1
h2
▲图1-5-5 斜抛运动的射高、射程与初速
度的关系（抛射角相等）
理论探究
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平
向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，
建立如图1-5-7 所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可以分解为
0x= 0 cosq，0y= 0 sinq。
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x = xt
①
x= 0x= 0 cosq
②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
2
0
2
0
2
1
)
sin
(
=
2
1
=
gt
t
θ
gt
t
y
y
③
y = 0y - gt = 0sinq - gt
④
在最高点时，y=0，由④式得到
g
θ
t
sin
=
0
⑤
▲图1-5-7
0
0x
0y
θ
第一章 抛体运动
21
将⑤式代入③式得物体的射高
θ
⑥
物体落回到与抛出点同一高度时，有y=0，由③式得总时间
g
θ
t
sin
2
=
0
ᘏ
⑦
将②⑦式代入①式得物体的射程
⑧
当q = 45°时，sin2q 最大。所以对于给定大小的初速度
0，沿q = 45°方向斜
向上抛出时，射程最大。
1．怎样证明斜抛运动的轨迹也是一条抛物线?
2．做斜抛运动的物体从某一点上升到最高点和从最高点下降到同一高度所
用的时间有什么关系？
3．若图1-5-1 中选手的起跳速度大小为6 m/s，两平台间距的最大值不超过
多少时，选手才可能成功闯关？
●空气阻力对斜抛运动的影响
物体在空气中运动时，会受到空气阻力的作用。空
气阻力对物体运动的影响有时可以忽略。但是，像子弹或
炮弹等物体，由于其飞行速度很大，空气阻力对它们的运
动就会产生很大的影响。你能想象空气阻力对子弹运动的
影响有多大吗？
从图1-5-8 可以看出，由于空气阻力的影响，子弹不
但射不到原来那么高，也射不到原来那么远，而且其轨迹
的形状也变得不对称了。弹丸或抛射体在空气中运动的轨
迹叫作弹道，军事科学上有一门学科叫作外弹道学，专门
研究弹丸在空中飞行运动的现象及其规律（图1-5-9、图
1-5-10）。
讨论交流
物理 必修 第二册
22
反思 • 小结 • 交流
▲图1-5-8 子弹的初速度为620 m/s，沿与水平面成45°角的方向斜向上射出
▲图1-5-9 各种火炮弹道示意
▲图1-5-10 水管中射出的水流轨
迹也是一条“弹道”
1．平抛运动与斜抛运动有哪些不同之处？有哪些相同之处？
2．有一小球，从距地面高h =1.80m处，以与水平面夹角为q = 45°、大小为0=10 m/s的
初速度斜向上抛出。求：
（1）小球达到的离地最大高度H。
（2）小球落到地面所用的时间t。（忽略空气阻力，取g = 10 m/s
2）
练习与评价
学后反思
1. 曲线运动中的力、速度、轨迹三者之间存在什么样的定性关系？
2. 现实生活中的运动往往是复杂的，如飞机投下的救灾物资的运动、喷泉喷出的水流
的运动，铅球出手后的运动等。我们如何研究这些纷繁复杂的运动呢？
3. 从处理平抛运动的方法中我们得到什么样的启示？
自主小结
1. 物体做曲线运动的速度方向有什么特点？
2. 物体做曲线运动的条件是什么？
3. 什么是平抛运动？
4. 处理平抛运动的基本方法是什么？
第一章 抛体运动
23
本章复习题
1．如图所示，某同学将一小球水平抛出，最后
球落在了正前方小桶的左侧，不计空气阻
力。为了能将小球抛进桶中，他可采取的办
法是（ ）
A. 保持抛出点高度不变，减小初速度大小
B. 保持抛出点高度不变，增大初速度大小
C. 保持初速度大小不变，降低抛出点高度
D. 减小初速度大小，同时降低抛出点高度
2．各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。
如图所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿
悬臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着
货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂
水平方向运动。现天车吊着货物正在沿水平
方向向右匀速行驶，同时又使货物竖直向上
做匀减速运动。此时，我们站在地面上观察
到货物运动的轨迹可能是图中的（ ）
3．飞机水平飞行时向下投弹，不计空气阻力，下列
四幅图中正确表示炮弹加速度方向的是（ ）
4．如图所示，
“套圈”是一项很受欢迎的小游戏。
它的规则是：每次从同一位置水平抛出圆环，
套住与圆环前端水平距离为3 m 的20 cm 高
的小奖品，即为获胜。一身高1.4 m 的儿童
从距地面1 m 高度处，水平抛出圆环。圆环
半径为10 cm，要想套住小奖品，他水平抛
出的速度可能为（g ＝10 m/s2）（ ）
A．7.4 m/s
B．7.6 m/s
C．7.8 m/s
D．8.2 m/s
5．如图所示，将甲、乙两个小球分别从图示位
置以初速度
甲、
乙水平抛出，结果同时落到
P点。不计空气阻力，下列判断中正确的有
（ ）
▲第3题图
▲第2题图
相互交流
1. 通过本章的学习，说说分析抛体运动这类曲线运动的基本方法。
2. 与同学一起谈谈本章内容在高中力学课程中的重要性。
▲第4题图
▲第1题图
物理 必修 第二册
24
A．它们的初速度关系是甲> 乙
B．它们的初速度关系是甲< 乙
C．它们一定是同时抛出
D．甲一定先抛出
6．河宽l＝300 m，水速u =1 m/s，船在静水中的
速度 = 3 m/s，欲分别按下列要求过河时，船
头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？
（1）以最短时间过河；
（2）以最小位移过河；
（3）到达正对岸上游100 m处。
7．如图所示，靶盘竖直放置，A、O两点等高且
相距4 m，将质量为20 g的飞镖从A点沿AO方
向抛出，经0.2 s落在靶心正下方的B点。不计
空气阻力，重力加速度取g = 10 m/s2，求：
（1）飞镖飞行中受到的合力；
（2）飞镖从A点抛出时的速度；
（3）飞镖落点B与靶心O的距离。
8．做特技表演的汽车从高台水平飞出，在空中运
动一段时间后着地。一架照相机通过多次曝
光，拍摄到汽车在着地前后一段时间内的运动
照片如图所示（虚线为正方形格子）。已知汽
车长度为3.2 m，相邻两次曝光的时间间隔相
等，由照片可推算出汽车离开高台时的速度为
多大？（g 取10 m/s2）
9．某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石
子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所
示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角
为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚
度为10 cm，抛出点到A点在竖直方向上刚好
相距200块砖，取g =10 m/s2，sin37°= 0.6，
cos 37°= 0.8，求：
（1）石子在空中运动的时间 t；
（2）石子水平抛出的速度 0 。
▲第8题图
▲第9题图
▲第5题图
▲第7题图
“飞车走壁”是观众喜爱的一项
杂技表演。演员驾驶摩托车在口大底
小的巨型木制“圆桶”内壁上运动。
摩托车的运动有什么特征？它为什么
能在内壁上运动？
这需要我们认识一种常见的曲线
运动——圆周运动，并从动力学角度
理解物体做圆周运动的条件。
匀速圆周运动是最简单的圆周运
动。让我们从匀速圆周运动出发，逐步
了解圆周运动，乃至各种曲线运动。
第二章
第二章
匀速圆周运动
◆ 圆周运动
◆ 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
◆ 圆周运动的实例分析
◆ 圆周运动与人类文明（选学）
主题一 圆周运动及其基本特性
主题二 圆周运动与现实生活
物理 必修 第二册
26
观察思考
● 形形色色的圆周运动
本章首页介绍的“飞车走壁”表演中，演员逐渐增
大摩托车的速度，可从圆桶底部沿桶壁攀升，最后在同一
水平面上紧贴圆桶运动，此时的运动轨迹是一个圆。物
体的运动轨迹是圆的运动叫作圆周运动( circular motion)。
这是一种常见的运动，如图2-1-1 所示，从手表的指针到
大型发电机的转子，从玩具小车到游乐场的摩天轮，从
自行车到汽车、火车和飞机⋯⋯这些物体的运动中都包含
圆周运动。即使在寂静的夜晚，沉睡着的你也在跟随地
球不停地做圆周运动。
圆周运动
1
（c）电扇工作时，扇叶上的每个质点都
在绕中心做圆周运动
（d）打开怀表后盖，你会看到里面有许多
齿轮，齿轮上的每个质点都在做圆周运动
▲ 图2-1-1 圆周运动是一种常见的运动
（a）你坐在游乐场的摩天轮上，饱览
美丽的风光时，你正在做圆周运动
（b）当你用线操纵航模飞机参加比赛
时，飞机在做圆周运动
◎ 转动与圆周运动
事实上，转动的物体上除
轴外的任一质点都在绕轴做圆
周运动。
第二章 匀速圆周运动
27
1. 什么是匀速圆周运动？
2. 有人说：描述匀速圆周运动的快慢，可以观测圆周上一个点在单位时间内
通过的弧长。你认为这个想法可行吗？
3. 你认为还可以怎样描述匀速圆周运动的快慢？
▲ 图2-1-2 行进中的自行车
1. 从运动学的角度看，上面的这些实例有什么
共同的特点？
2. 你观察过自行车吗？自行车行进时（图2-1-2），
有哪些部件绕轴转动？这些部件上的质点以什么为参
考系做圆周运动？圆心在哪儿？
讨论交流
● 描述匀速圆周运动的物理量
在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动。
质点沿圆周运动，如果在任意相等时间内通过的圆
弧长度都相等，这种运动就叫作匀速圆周运动( uniform
circular motion)。若在时间Dt 内，做匀速圆周运动的质
点通过的弧长是Ds（图2-1-3），则可以用
来描述匀速
圆周运动的快慢，这个比就反映匀速圆周运动的线速度
（linear velocity）的大小，用公式表示为
在匀速圆周运动中，质点运动的线速度的大小是个常
量，它与所取弧长的长短无关。由曲线运动的速度方向可
知，质点在圆周运动中任一点的线速度方向就是圆周上该
点的切线方向（图2-1-4）。
线速度是矢量，做匀速圆周运动的质点在各个时刻的
线速度的大小虽然相同，但线速度的方向在不断变化，因
▲ 图2-1-3 线速度的大小
▲ 图2-1-4 匀速圆周运动线速度
的方向
物理 必修 第二册
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“闹钟”与“手表”为什么会有如图2-1-6 所示的快慢之争？提出你的看法，
和同学进行讨论。
▲ 图2-1-6 “闹钟”与“手表”之争
你的秒针针尖60 s转
一圈，我也是60 s转一
圈，我并不比你慢呀！
我的秒针针尖的线速度
是3×10−3m/s，你的秒针针尖
的线速度只有8×10−4m/s，我
比你快得多。
讨论交流
显然，“闹钟”的意见是正确的。我们在《物理 必
修第一册》中已经学过，速度是描述运动快慢和方向的物
理量，而圆周运动的线速度就是速度。角速度是描述物体
（或物体的一部分）绕轴转动快慢的物理量。做匀速圆周
运动的质点，也可以用角速度表示它绕圆心转动的快慢，
但“转得快”与“运动得快”是两个不同的概念。
此，匀速圆周运动实际上是一种变速运动，这里所说的“匀
速”只是速率不变的意思。
对于做匀速圆周运动的质点（图2-1-5），连接质点和
圆心的半径所转过的角度Dφ 跟所用时间Dt 的比叫作匀速
圆周运动的角速度（angular velocity），用w 来表示：
Dt
D
匀速圆周运动是角速度不变的运动。在国际单位制中，
角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s。
▲ 图2-1-5 对角速度定义的说明
圆心角φ 的大小可以利用
弧长与半径的比来表示，其单
位是弧度（radian），用符号rad
表示。周角是2π（rad）；平角
是π（rad）；直角是
（rad）。
第二章 匀速圆周运动
29
除了角速度以外，还可以怎样描述匀速圆周运动转动的快慢呢？
讨论交流
● 线速度、角速度和周期之间的关系
我们可以比较物体转过一圈所用时间的多少或比较物
体在一段时间内转过的圈数。在物理学中，做匀速圆周运
动的物体，运动一周所用的时间叫作周期( period)，用符
号T 表示。周期也是描述匀速圆周运动转动快慢的一个物
理量。我们常说匀速圆周运动具有“周期性”，指的是做
匀速圆周运动的物体经过一个周期T 后，会重新回到原来
的位置及运动方向。
既然线速度、角速度和周期都是描述匀速圆周运动的
物理量，那么它们之间有什么关系呢？
设一质点沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动，它在一
个周期T 内转过的弧长为2pr，转过的角度为2p，所以线
速度和角速度分别为
由以上两式得
= rω
这就是匀速圆周运动中线速度与角速度的关系。对于
非匀速圆周运动，角速度和线速度的大小都是变化的，但
在任一时刻，角速度和线速度的瞬时值都满足这个关系。
从 = rω 可以看出，质点做圆周运动时，如果角速度
相同，半径不同，线速度也不同。
现在你能化解“闹钟”与“手表”关于秒针针尖运动
的快慢之争了吗？
▲ 图2-1-7 汽车转速表
技术中常用转速来描述
物体绕轴转动的快慢。转速是
指转动物体转过的圈数与所
用时间的比，常用符号n 表示，
转速的单位有转每秒，符号是
r/s，或转每分（r/min）。角速
度与转速的关系是
ω = 2πn
由此，你能理解如图2-1-7
所示的汽车转速表刻度值的含
义吗？
物理 必修 第二册
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1. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是（ ）
A. 线速度不变
B. 线速度的大小不变
C. 角速度不变
D. 周期不变
2. 地球绕太阳公转的运动可以近似地看作匀速圆周运动，地球
距太阳约1.5×l0
8 km，地球绕太阳公转的角速度是多大？线速度是
多大？
3. 如图2-1-8所示，小强正在荡秋千。关于绳上a点和b点的线速
度和角速度，下列关系正确的是（ ）
A. a = b
B. a > b
C. ωa = ωb
D. ωa < ωb
4. 如图2-1-9所示，自行车的大齿轮与小
齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同
的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径
分别为r1、r2和r3，在它们的边缘分别取一点
A、B、C。设A点的线速度大小为，求B点和
C点的线速度大小和角速度。
5. 观察自行车，你能运用所学的圆周运
动的知识提出什么样的问题？
自我评价
▲ 图2-1-9
圆周运动与一般曲线运动的关系
如图2-1-10 所示，车辆的运动轨迹通常不是圆周，而是比较复杂的曲线，这样的曲线运
动应当如何描述呢？如果在复杂的运动轨迹中取出一小段来观察，问题就会变得简单。从图
2-1-10 的照片中取一小段轨迹放大，你会发现它的轨迹非常接近某个圆的一部分。这个发现
对你有什么启发？
发展空间
课外阅览
▲ 图2-1-10 上海南浦大桥夜景。图中的一缕缕曲线是用照相机长时间曝
光摄得的，显示的是车辆运动的径迹
▲ 图2-1-8
第二章 匀速圆周运动
31
设计师常用如图2-1-11 所示的曲线板来画比较复杂的弧线。任
何一条平滑的曲线都可以看作是由一系列不同半径的圆弧连接而
成的，这些圆弧的半径叫作曲率半径，记作r（图2-1-12）。因此，
我们就可以把物体沿任一曲线的运动，看成是物体沿一系列不同半
径的小段圆弧的运动。
▲ 图2-1-12 曲线运动中，各点的曲率半径表示了曲线在此处的弯曲程度
匀速圆周运动的向心力和向心加速度
2
在圆周运动这一特殊的曲线运动中，物体的受力有什
么特点呢？本章首页图片的“飞车走壁”中，摩托车的受
力比较复杂，我们通过下面这些简化的情形来研究做圆周
运动的物体的受力情况。
● 什么是向心力
如图2-2-1（a）所示，在桌上有一个倒扣着的玻璃杯，杯中有一个乒乓球，
请你设法将它从一张课桌缓慢移到另一张课桌上。
（要求：使杯口始终朝下，手不能接触乒乓球，不能用其他器材。）
用如图2-2-1（b）或（c）所示的玻璃杯能取得成功吗？
活动 | 移动乒乓球
▲ 图2-1-11 曲线板
匀速圆周运动是变速运动。那么，它的受力情况和加
速度是怎样的？
物理 必修 第二册
32
观察思考
1. 如图2-2-3（a）所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，它受到了指向圆心
的力的作用吗？
2. 如图2-2-3（b）所示，“旋转秋千”做匀速圆周运动时，它受到了指向圆
心的力的作用吗？它所受的作用力的合力指向圆心吗？
3. 月球、“旋转秋千”做匀速圆周运动时，它们所受的合力是否改变了速度
▲ 图2-2-1 移动乒乓球
（b）
（a）
（c）
如图2-2-2 所示，用一根结实的细绳，一端拴一个小物体，如橡皮或软木塞。
在光滑桌面上抡动细绳，使小物体做圆
周运动，体验手对做圆周运动的物体的
拉力。
1. 拉力的方向是怎样的？
2. 减小旋转的速度，细绳的拉力怎
样变化？
3. 增大旋转半径，拉力怎样变化？
4. 松手后，物体还能维持圆周运动吗？
5. 换一个质量较大的铁球进行实验，拉力怎样变化？
活动 | 感受向心力
▲ 图2-2-2 体验手拉绳的力
当你抡动细绳，使物体做匀速圆周运动时，作用在物
体上的拉力总是沿绳子指向圆心。那么，做匀速圆周运动
的物体，是否都受到指向圆心的力的作用呢？
第二章 匀速圆周运动
33
▲ 图2-2-3 匀速圆周运动的两个实例
（a）月球在地球引力作用下所做的运动，可视为匀速圆
周运动
（b）游乐场里的“旋转秋千”，受重力和吊绳的拉力共同
作用，在水平面内做匀速圆周运动
的大小？其方向与线速度方向有什么关系？
大量实例说明，物体做匀速圆周运动时所受合力
方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫作向心力
（centripetal force）。
向心力可以由弹力提供，也可以由其他性质的力提供；
可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供。
请同学间相互交流，解释本节开始关于移动乒乓球的“活动”中看到的现象，
并试着简要分析章首情景中“飞车走壁”的原理。
上述“感受向心力”的活动表明，物体做匀速圆周运
动所需向心力的大小与物体的质量、角速度大小和运动半
径有关。
那么，做匀速圆周运动的物体所需向心力的大小与质
量、角速度和半径之间有什么定量关系？
牛顿很早就认识到了向心力和圆周运动的关系。他
认为，所有做圆周运动的物体，如果没有向心力，物体
将由于惯性而沿圆周的切线方向飞出，正是由于向心力
时刻改变着速度的方向，才使得物体可以沿着一个圆周
运动。
● 向心力的大小
讨论交流
物理 必修 第二册
34
实验探究 | 探究向心力F的大小与质量m、角速度w和半径r之间的关系
我们用如图2-2-4 所示的实验装置来探究这个关系。请仔细观察实验仪器的
结构，弄清它为什么能测定向心力F 的大小与质量m、角速度w 和半径r 之间
的关系。
转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运
动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠
▲ 图2-2-4 探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间关系的实验装置
（b）实物图（底部）
（a）实物图（平视）
（c）结构说明
这个实验装置的巧妙之处在于：
①通过皮带连接，可以使两个变速轮塔的转速按不同的实验目的进行变换（相同或不同）。
②两块长短不同的带槽金属板分别与不同轴固定连接，金属板随各自的轴同步转动。转动时，由于
没有一个构件给槽内的球提供向心力，球就会出现向外运动的趋势，挤压挡板。
③通过横臂使弹簧测力筒上下移动，从标尺进行读数，可测量出两个球对挡板的压力大小。这个力
与球做圆周运动所需的向心力大小相等，由此就测出了球做圆周运动的向心力。而球的质量m 可以任
意调换；角速度w 由手柄控制，可任意调节；半径r 有多个挡位可供选择。
第二章 匀速圆周运动
35
杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出
两个球所受向心力的比值。
1. 把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1 : 1。将质量不同的铝球和钢球
分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持ω 和r 相同。然后摇动手
柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F 与质量m 之间的关系。（图
2-2-5）
2. 把皮带放在皮带盘第二挡（第三挡），此时转速比为1 : 2（1 : 3）；将质量
相同的钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持m 和r 相同。
然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F 与角速度ω
之间的关系。（图2-2-6）
3. 把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1 : 1 ；将长槽上的钢球由第一挡
板内侧移到第二挡板，此时两个质量相同的钢球相对转轴的半径之比为2 : 1。然
后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F 与半径r 之间的
关系。（图2-2-7）
▲ 图2-2-5 研究向心力与
质量之间的关系
▲ 图2-2-6 研究向心力与
角速度之间的关系
▲ 图2-2-7 研究向心力与
半径之间的关系
分析实验所测得的数据，你认为物体做匀速圆周运动所需向心力的大小与物
体的质量、角速度和运动半径之间有什么关系？
精确的实验表明：做匀速圆周运动所需向心力的大
小，跟转动半径r 成正比，跟角速度ω 的平方成正比，跟
物体的质量m 成正比。用公式表示为
F ＝ mω
2r
由于
= rω，可得
F ＝ m
物理 必修 第二册
36
因为向心力的方向总与物体的速度方向垂直，所以它
只改变速度的方向，不改变速度的大小。
为什么在向心力大小的两种表达式中，一个式子中向心力的大小与半径成正
比，而另一式子中向心力的大小却与半径成反比？它们相互矛盾吗？
根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在
向心力的作用下，必然要产生一个向心加速度( centripetal
acceleration)，它的方向与向心力的方向相同，总是指向圆
心，它的大小为
，即
a =
或
a = ω2r
如果线速度的单位是米每秒（m/s）［或角速度的单位
是弧度每秒（rad/s）］，圆周半径的单位是米（m），那么
向心加速度的单位就是米每二次方秒（m/s
2）。
对于某一做匀速圆周运动的物体来说，质量m 以及
圆周半径r、线速度和角速度ω 的大小一定时，向心力
F 和向心加速度a 的大小不变，但向心力F 和向心加速度
a 的方向却时刻在改变，所以匀速圆周运动是加速度的方
向不断改变的变加速运动。
● 向心加速度
这两个表达式并不矛盾。在角速度ω 不变时，向心
力F 的大小与半径r 成正比；当线速度的大小不变时，
向心力F 的大小与半径r 成反比。
向心力和向心加速度的公式是从匀速圆周运动得出的，它是否也适用于一
般的圆周运动呢？
当线速度的大小发生变化时，向心力和向心加速度
讨论交流
讨论交流
第二章 匀速圆周运动
37
的大小也必定同步发生变化，利用公式求质点在圆周的
某一时刻的向心力和向心加速度的大小，必须用质点在
该时刻的瞬时速度值。
此外，还有一点要特别注意：对于做匀速圆周运动
的物体，其向心加速度就是它的加速度，所受到的向心
力就是它受到的合力；而对于做非匀速圆周运动的物体，
它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个分量
（另一个分量沿切线方向，称为切向加速度），它受到的
向心力也只是它受到的合力中指向圆心方向的一个分力
（另一个分力沿切线方向）。
“神舟五号”飞船（图2-2-8）发射升空后，进入
椭圆轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343 km的
圆形轨道。已知飞船的质量为8000 kg，飞船约90 min绕
地球一圈，地球半径为6.37×l03 km，试求飞船在圆形
转道上运行时的向心加速度及其所受的向心力。
已知飞船运动的周期，可由公式ω =
求出
角速度；结合飞船距地面的高度和地球半径，可求飞船的轨道半径；再根据公
式 a = ω2r可求向心加速度；最后根据牛顿第二定律求出向心力。
由已知数据可算出飞船的角速度
ω =
=
rad/s≈ 1.16×10-3 rad/s
飞船向心加速度的大小
a = ω
2r =（1.16×10
-3）
2×（6370 + 343）×10
3 m/s
2
≈ 9.03 m/s
2
飞船所受的向心力
F = mω
2r = 8000×（1.16×10
-3）
2×（6370 + 343）×10
3N
≈ 7.23×10
4N
在本题中，还可以用哪些方法求向心力？
分析
分析
问题
问题
拓展
拓展
解
例题示范
▲ 图2-2-8 “神舟五号”飞船
自我评价
1. 在某旋转餐厅（图2-2-9），餐桌离转轴中心约20 m，转动一周的时间约1h，请估算，
想一想，飞船所需的向
心力是由什么力来提供？这
个问题我们将在第三章中进
行深入研究。
物理 必修 第二册
38
利用加速度定义求向心加速度
做匀速圆周运动的物体，其速度的大小（速率）不变，方向不断改变，所以加速度a 没
有与同方向的分量，它只是反映了速度方向的不断改变。
设某一时刻t质点运动到A点，速度为
A，经过∆t时间后，运动到B点，速度为
B。平移
速度
B，使起点B与速度
A的起点A重合，则从
A末端到
B末
端的连线为速度的变化量∆，如图2-2-11所示。
因为
A和
B大小相等，
A⊥OA，
B⊥OB，可知
A、
B及
∆构成的等腰三角形和△OAB是相似三角形。用表示
A和
B的大小，用∆l表示弦AB的长度，根据相似三角形的性质可
以得到：
，所以有
。
用∆s表示弧AB的长度。当∆t→0时，B→A，弦长∆l→弧长
∆s，这时
就是加速度a的大小，
就是线速度的大小。于
是得到
。
a的方向就是∆的极限方向。在
A、
B和∆构成的等腰三角形中，∆与
A的夹角
。当∆t→0时，∆φ→0，这时α→
，即a⊥
A。这表明A点加速度的方向与A点速度
的方向垂直，沿半径指向圆心，因此被称为向心加速度。
发展空间
就餐的顾客随餐厅旋转所需的向心力大约是多少？它与重力
的比是多少？为什么感觉不到向心力的作用？
2. 质点做半径为r 的匀速圆周运动，其向心力的大小为
F，当它的半径不变，角速度增大到原来的2 倍时，其向心
力的大小比原来增大了15 N，则原来的向心力大小F 是多大？
3. 在长0.2m 的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定
在水平桌面上，使小球以0.6 m/s 的速度在桌面上做匀速圆
周运动，求小球运动的向心加速度和角速度。
4. 如图2-2-10 所示是A、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度a 的大小随半径r 变
化的图像，其中A 为反比例函数图像的一个分支，由图可知（ ）
A. A 物体运动的线速度大小不变
B. A 物体运动的角速度不变
C. B 物体运动的角速度不变
D. B 物体运动的线速度大小不变
▲ 图2-2-9 旋转餐厅
▲ 图2-2-10
▲ 图2-2-11 匀速圆周运动中
速度和加速度的关系
课外阅览
第二章 匀速圆周运动
39
圆周运动的实例分析
3
在现实生活中，圆周运动随处可见。有的物体真正沿
圆周做周期性运动；也有的物体做一般的曲线运动，其中
的很多小段都可以看作圆周运动的一部分。
对于这些圆周运动，按速率是否变化可分为匀速圆周
运动和非匀速圆周运动两大类；按运动轨迹所处的平面划
分，常见的有水平面内的圆周运动、竖直面内的圆周运动
以及倾斜面内的圆周运动。本节我们将讨论几个简单的圆
周运动实例。
变速圆周运动的加速度
如果物体做变速圆周运动，那么加速度的方向还指向圆心吗？
答案是：当物体做变速圆周运动时，物体的加速度a 不指向圆心，而与速度成某一个角
度。我们把加速度沿速度方向和垂直于速度的方向（即半径方向）进行分解，其中沿速度方
向的分量at 称为切向加速度，它反映速度大小变化的快慢。若at 与速度方向一致，则表示
速度在增大，反之，则表示速度在减小。垂直于速度方向的分量an 仍称为向心加速度（或
称法向加速度），它只改变速度的方向而不改变速度的大小。
如图2-2-12（a）所示，物体的加速度a 沿切线方向的分量at 与速度
同向，物体做加
速圆周运动。
如图2-2-12（b）所示，物体的加速度a 沿切线方向的分量at 与速度
反向，物体做减
速圆周运动。
▲ 图2-2-12 变速圆周运动的加速度方向
（a）加速圆周运动
（b）减速圆周运动
物理 必修 第二册
40
公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路
面”。如图2-3-2 所示，汽车通过凹形桥的最低点时，
汽车对桥的压力比汽车所受的重力大还是小？汽车
的速度越大，汽车对桥面的压力越大还是越小？
● 汽车通过拱形桥
汽车通过拱形桥时的运动可看作圆周运动的一部分，
质量为m 的汽车以速度通过拱形桥最高点时，若桥面的
圆弧半径为R，则此时汽车对拱桥的压力多大？
选择汽车为研究对象，把它抽象成质点模型。分析汽
车所受的力，求得桥对汽车的支持力N，
就可以知道桥所受的压力N'。
如图2-3-1 所示，在拱形桥最高点
汽车在竖直方向上受到重力G 和桥的支
持力N，它们的合力提供使汽车做圆周
运动所需的向心力。即
F 合 = G − N = mg − N
以a 表示汽车此时的向心加速度，根据牛顿第二定律
F 合 = ma = m
则有
mg − N = m
由此解出桥对汽车的支持力
N = mg − m
汽车对桥的压力N' 与桥对汽车的支持力N 是一对作用
力和反作用力，大小相等。所以汽车对桥面压力的大小为
N' = mg − m
分析最后结果可以看出，汽车对桥的压力N' 小于汽
车所受的重力mg，而且汽车通过最高点时的速度越大，
汽车对桥面的压力就越小。
想一想，当汽车的速度为
多大时，汽车对桥面的压力
恰好为零？
▲ 图2-3-1 汽车通过拱形桥
▲ 图2-3-2 汽车通过凹形桥
讨论交流
第二章 匀速圆周运动
41
● “旋转秋千”
“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，它有数十
个座椅通过缆绳固定在旋转圆盘上，每一座椅可坐一人。
启动时，座椅在旋转圆盘的带动下围绕竖直的中心轴旋转，
如图2-3-3 所示。角速度越来越大，座椅越转越高，想一想，
“旋转秋千”的圆周运动中有哪些物理问题？能否对这些
问题进行分析？
例如：“旋转秋千”中的缆绳跟中心轴的夹角与哪些
因素有关？
体重不同的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹
角相同吗？
“旋转秋千”的运动经过简化，与如下的情形类似：
在一根长为l 的细线下面系一质量为m 的小球，将小球
拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α 角，给小球一个
初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转
形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。小球做匀速圆
周运动的向心力是其所受的重力mg 与悬线拉力T 的合力
F 合提供的，如图2-3-4 所示。
F 合一定在圆轨道平面内且指向圆心O，由力的分解
和几何关系可得
F 合 = mg tanα
r = l sinα
根据牛顿第二定律 F 合= mω2r
解得
ω =
所以
cosα =
由此式可知，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的
角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关。在绳长一
定的情况下，角速度越大则缆绳与中心轴的夹角也越大（小
于90°）。想一想，怎样求出它的运动周期？
解决匀速圆周运动问题的
关键是分析什么力提供了向
心力。
▲ 图2-3-3 “旋转秋千”
▲ 图2-3-4 圆锥摆
物理 必修 第二册
42
● 火车转弯
火车在水平面内以恒定的速率转弯时，可以把它视为匀速圆周运动，其向心
加速度指向圆心，它所需的向心力由谁提供呢？
假定你是一个铁路设计的工程师，你打算用什么方法为火车转弯提供向心
力？与你的同学交流并评价各自的方法。
▲ 图2-3-5 火车车轮内侧有突
出的轮缘
▲ 图2-3-6 火车转弯时，由外轨
对轮缘的弹力提供向心力
▲ 图2-3-7 火车转弯时，由重力
和支持力的合力提供向心力
观察火车的车轮，可以发现，车轮内侧有突出的轮
缘（图2-3-5），在铁轨上可以起到限定方向的作用。如果
让火车在水平路基上转弯，外侧车轮的轮缘将挤压外轨，
使外轨发生弹性形变而产生弹力。外轨对轮缘的弹力就
为火车转弯提供了向心力，如图2-3-6 所示。在这种设计
方案中，由于轮缘与外轨挤压、摩擦而产生磨损，而且
火车的质量、车速越大时，磨损越厉害。显然这不是一
种最佳的设计方案。
在通常的设计中，设计师总使转弯处的外轨略高于内
轨（图2-3-7），火车转弯时铁轨对火车的支持力N 的方向
不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G 的合力
为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨
的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和设计的行驶
速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力
几乎完全由重力G 和支持力N 的合力来提供。
讨论交流
外轨
第二章 匀速圆周运动
43
某铁路转弯处的圆弧半径是300 m，两铁轨之间的距离是1.435 m。若规定
火车通过这个弯道的速度为72 km/h，则内外铁轨的高度差应该是多大才能使火
车转弯时内外轨均不受轮缘的挤压？
若火车转弯时内外轨均不受轮缘的挤压，则火
车所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持
力的合力提供（图2-3-8）。根据图中的几何关系，可
以求出支持力与竖直方向的夹角。
图中h为内外铁轨的高度差，d为轨道之间的距
离。由向心力公式和几何关系可知
F = mg tanα = m
解得
tanα =
由于轨道平面和水平面间的夹角一般较小，可以近似地认为
tanα≈sinα =
代入上式，得
h
倾斜的路面，为转弯的汽车或火车获得向心力提供了条件。与此相类似，
盘旋的鸟或飞机，也是依靠倾斜翼面来获得所需要的向心力。鸟或飞机在空中
飞翔，受到垂直于翼面的作用力——升力，当翼面倾斜时，垂直于翼面的升力F
和重力G的合力F合提供向心力，使鸟或飞机转弯（图2-3-9，图2-3-10）。
分析
分析
问题
问题
拓展
拓展
解
例题示范
▲ 图2-3-9 鹰盘旋时受到的力
▲ 图2-3-10 飞机的盘旋
▲ 图2-3-8 倾斜的铁路路基
物理 必修 第二册
44
▲ 图2-3-12 离心运动
● 离心运动
用一个侧壁上扎有许多小孔的瓶盖做成一个能
绕中心轴转动的竖直滚筒（图2-3-11），在里面放些
湿棉球，转起来时可以看到有小水滴向外飞出。
活动
▲ 图2-3-11 小小甩干机
在做圆周运动时，由于合外力提供的向心力消
失或不足，以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或
远离圆心而去的运动叫作离心运动，如图2-3-12、图
2-3-13 所示。
离心运动有许多重要的应用，利用离心运动的
机械叫作离心机械。
洗衣机的脱水筒是家庭常见的离心机械，当它
高速转动时，由于筒内衣服上的水滴所受合力不足
以提供向心力，水滴离开衣服，从脱水筒壁的小孔
飞出筒外（图2-3-14），衣服就被甩干了。
▲ 图2-3-13 离心运动
（a）在游乐园里玩“魔盘”游戏的
人，会被抛到盘的边缘地带
（b）当拉力突然消失时，链球做
离心运动，沿切线方向飞出
▲ 图2-3-14 洗衣机脱水的原理
离心机是科研、生产中重要的实验装置，它可以把
一些混合物中不同的成分分离开。在医学领域，常将血液
放入低温离心机（图2-3-15）内，离心机高速转动时，血
液中的红细胞所受合力不足以提供向心力而做离心运动，
第二章 匀速圆周运动
45
▲ 图2-3-15 低温离心机
▲ 图2-3-16 在道路转弯的地方，汽车的行驶速度不允许超过限定的值，以免
因为离心运动造成交通事故
沉积于窗口底部，从而实现血液中不同成分的分离。
离心运动在生产和生活中广泛存在，但它并不总是
有利的，有时会造成危害（图2-3-16），对圆周运动进行
受力分析，能帮助我们找到有效的控制方法。
自我评价
1. 本章首页图中呈现的“飞车走壁”情景可简化成如图2-3-17
所示的情形，若不考虑摩托车动力及一切阻力，人和摩托车（看成
一个质点）在某一水平面内做匀速圆周运动，则这时人和摩托车受
到的力有（ ）
A. 重力和向心力
B. 重力和支持力
C. 重力、支持力和向心力
D. 重力
2. 如图2-3-18 所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣物贴靠在匀速转动
的圆筒内壁上而不掉下来，则衣物（ ）
A. 受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B. 所需的向心力由重力提供
C. 所需的向心力由弹力提供
D. 转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
3. 飞机俯冲时，在最低点附近做半径为200 m 的圆周运动。如果飞行员的质量是70 kg，
飞机经过最低点时的速度是360 km/h，求这时飞行员对座位的压力。（g 取10 m/s
2）
4. 在高速公路的拐弯处，路面都筑成外高内低的形状，即当车向右拐弯时，司机左侧
的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为q。设拐弯路段是半径为R 的圆弧，
要使车速为时车轮与路面之间横向（即垂直于行驶方向）摩擦力等于零，则q 应为多大？
▲ 图2-3-17
▲ 图2-3-18
物理 必修 第二册
46
5. 如图2-3-19 所示为工厂中的行车示意图。设钢丝绳悬
点O 到所吊铸件的重心P 的距离为3 m，铸件质量为3 t，行
车以3 m/s 的速度匀速行驶。当行车突然刹车停止时，钢丝绳
受到的拉力是多大？（g = 10 m/s
2）
▲ 图2-3-19 行车
大家都看过杂技演员表演的“水流星”（图2-3-20）。一根
细绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直面内做
圆周运动，甚至杯子在运动到最高点时，水也不会从杯里洒出
来。这是为什么？自己动手做一个“水流星”，感受一下。
通过网络查询或与有关部门联系，了解有关公路、铁路弯
道路面设计的资料。并对公路、铁路弯道进行实地考察，研究汽
车、火车是怎样转弯的。
发展空间
实验室
▲ 图2-3-20 杂技演员在表
演“水流星”
物理在线
圆周运动与人类文明（选学）
4
在古代乃至现代，人们都很崇尚圆周运动，因为在
大家的眼中，有太多的自然现象与圆有关。我们的祖先
很早就在生产和生活中利用物体的转动了。在人类发展
的历程中，圆周运动的应用对社会进步起到了十分重要
的推动作用。
第二章 匀速圆周运动
47
● 圆周运动与古代文明
1. 钻木取火
火的利用是人类社会文明进程中的重要里程碑，钻木
取火（图2-4-1）是通过转动木棒与木块摩擦发热，直至
引起燃烧。这是早期人类利用圆周运动的一项发明。
2. 陶器制作
陶器是古代文化的重要象征。5000 多年前，我们的
祖先就能利用圆周运动的特点（图2-4-2），制造出精致的
陶器制品。
3. 车轮的发明
我们的祖先在5000 多年前就已经发明了车轮，车
轮第一次把圆周运动和直线运动联系起来，使人类开始
走出肩挑、背扛的时代，为大量利用畜力、开展远距离
的运输和商贸活动创造了条件，这是一项伟大的发明（图
2-4-3）。
4. 机械能的利用
水轮的发明推进了人类利用自然界机械能的历史，利
用水轮获得动力的水磨、水碓、水碾和水车（图2-4-4）
展示了灿烂的古代文明。
▲ 图2-4-2 “拉坯”：制陶时将
泥坯摔掷在转动的辘轳车中
心，拉出坯体的大致形状
▲ 图2-4-4 “吱吱”鸣唱了千年的水车
▲ 图2-4-3 东汉时期（25—220）出现的记里鼓车：每行
驶一里路，木人自动击鼓一次，因此而得名。车内装有
一套具有减速作用的传动齿轮，是近代里程表和减速装
置的先驱
▲ 图2-4-1 钻木取火：原始人
通过钻木获取火种
物理 必修 第二册
48
圆周运动的应用解决了蒸汽机技术中近一个世纪的
困惑，没有圆周运动的应用，蒸汽机（图2-4-5）就只能
停留在往复运动状态，不能成为原动力，人类社会就不会
有工业革命。在工业化过程中首先是机械化的实现，没有
圆周运动的基础理论就不可能设计和制造出齿轮和轴的机
构，没有齿轮和轴就不可能有各种大型的、精密的、专用
的或通用的机器（图2-4-6 至图2-4-9），不可能有金属切
削机床、矿山机械、化工机械、能源机械、交通机械、仪
器仪表和医疗卫生器械，也不可能有发电机、电动机。离
开齿轮和轴的传动链，任何一部机器都会变成一堆废铁。
可以说，没有圆周运动就没有机械化和工业化。即使在信
息技术、数字技术越来越发达的当代，充分利用圆周运动
仍然是十分必要的。
▲ 图2-4-8 装配线将直线运动和圆周运动
相结合，实现连续装配生产
▲ 图2-4-9 蜘蛛形机器人将帮助人类对其他星球进行探测，
它的每一个动作都是通过轴和齿轮的转动而实现的
▲ 图2-4-5 瓦特（James Watt）
改进后的蒸汽机
▲ 图2-4-6 在一台多轴自动车床
上可以同时从几个方向对工件
实现多种工艺的切削加工，既
提高效率，又提高精度
▲ 图2-4-7 万能工作台：圆形工作台可
以绕中心轴转动，中心轴又可以在空
间转动。在万能工作台上可以对复杂
几何构件进行切削加工和检测
台面
● 圆周运动与工业技术
第二章 匀速圆周运动
49
● 圆周运动与科学实验
● 圆周运动与文化生活
1. 粒子物理和核物理实验
回旋加速器是进行粒子物理和核物理研究的一种设备
（图2-4-10）。带电粒子在垂直于运动方向的匀强磁场作用
下，就会沿圆形轨道运动，再用适当频率的高频电场多次
加速带电粒子，就可以使带电粒子获得很高的能量，在粒
子物理和核物理实验室中还有质子加速器、重离子加速器，
它们大都利用了圆周运动。
2. 航天技术
火箭靠什么进入预定轨道？导弹靠什么击中目标？它
们都靠高速旋转的陀螺仪（图2-4-11）来控制轨道方向。
卫星绕地球做近似的圆周运动时还有自转运动，卫
星在轨道定点和返回过程中都需通过发动小火箭改变圆
形轨道。
3. 生命科学
21 世纪是生命科学时代，各种生命体的基因图谱测
序和解读是现代生命科学研究最基本的任务，高速或超速
离心机（图2-4-12）是基因提取中的关键设备，超速离心
机转速高达80 000 r/min，不仅要求回转台具有极高的中
心对称性，而且要在真空中运行。
圆是对称性最好的平面结构，从圆心到圆周的任意一
点距离都相等。建筑学家把这种空间特性广泛地应用于现
代城市的结构设计中，如环形通道（图2-4-13）、环形
地铁、环形立交桥、螺旋形引桥等，以加强人流、车流密
集的都市中心向四周辐射的能力，改善城市的交通环境，
提高城市居民的生活质量和工作效率。
▲ 图2-4-12 用超速离心机提取
DNA分子
▲ 图2-4-10 世界上第一台回旋加
速器
▲ 图2-4-11 运载火箭中的陀螺仪
物理 必修 第二册
50
电视塔和高层建筑往往利用自己的高空优势设计旋转
餐厅，顾客静坐转椅，品茶饮酒、会客交友的同时，还可
以环视全城美景，这些已成为现代化都市旅游文化的亮点。
圆周运动被广泛地应用于现代化游乐设施之中（图
2-4-14），为人们提供了节假日和业余生活的文化享受。
圆周运动在体育、杂技、舞蹈设计中占有重要地位，
是许多高难度动作的设计基础。单杠中的大回环，链球
比赛的快速旋转，花样滑冰和芭蕾舞蹈中赏心悦目的旋
转（图2-4-15），杂技表演中的“车技”“蹬技”“碟技”“帽
技”和“飞车走壁”等惊险动作，无不基于圆周运动的
原理。
科学玩具是儿童早期教育的重要媒介，各种各样基于
圆周运动的玩具丰富了儿童的心灵世界（图2-4-16）。
▲ 图2-4-14 游乐园中的圆周运动
▲ 图2-4-15 花样滑冰的优美舞姿
▲ 图2-4-16 应用圆周运动的玩具
▲ 图2-4-13 环形通道
发展空间
车轮与人类历史的发展
车轮产生于人类搬运物体的劳动实践中，它是人类历史上最重要的发明之一。从现有的
文献记载上看，人类使用车轮已有近6000 年历史。可以说，人类的发展离不开车轮，车轮
的发展从另一个侧面反映了人类的进步。
物理在线
第二章 匀速圆周运动
51
反思 • 小结 • 交流
学后反思
1．圆周运动的典型特点是什么？根据这一特点，我们又引入了哪些物理量来描述圆周
运动？
2．做匀速圆周运动的物体，受力有什么特征？
自主小结
1．准确描述圆周运动的线速度、角速度、周期、频率、向心力、向心加速度等概念。
2．在具体问题中，向心力的来源有哪些？请举出一些例子。
3．什么是离心运动？说说它有哪些应用和危害。
相互交流
1．通过本章学习，说说如何分析圆周运动。
2．说说人类关于圆周运动的认识和应用在社会进步中所起的作用。
在石器时代，人类难以将木头加工成合适的圆柱形，更不必说复杂到带辐条的轮子了。
所以，车轮的出现只能是青铜时代以后的事。
5500多年前，生活在美索不达米亚平原的苏美尔人首先发明了车轮。最原始的车轮是圆木片。
中国古人关于轮子的运用是超前的。计里鼓车发明于东汉时期，是中国古代用于计算
道路里程的车辆，又称“司里车”“大章车”。计里鼓车上有两个木人，车行一里就击一次鼓。
这是近代里程表、减速器的先驱，是科学技术史上的一项重大成就。
木制车轮没有减震功能，但在没有技术突破的年代，它被人们沿用了几千年。1493—
1496 年，哥伦布第二次探索新大陆时，在西印度群岛中的海地岛发现橡胶，并将它带回了欧
洲。若干年以后，橡胶得到了广泛的应用，车轮也逐渐由木制变成了由硬橡胶制造。1845 年，
第一条充气轮胎诞生，让人们告别了颠簸的时代。
未来，随着科技的进步，车轮还有广阔的发展空间，无气轮胎、胎压自控轮胎都可能出
现在我们的生活中。而有朝一日，车轮会不会完成它几千年承载人类文明前行的使命，告别
我们呢？请通过查询互联网，了解可能到来的无车轮时代。
▲ 图2-4-17 车轮的发展
物理 必修 第二册
52
本章复习题
1. 走时准确的大挂钟和小闹钟，它们的分针的
周期、角速度都一样吗？分针针尖线速度的
大小呢？
2. 一般自行车车轮的直径约为0.7 m。当自行
车以5 m/s 的速度匀速行驶时，车轮边缘的
质点相对于车轮的轴做匀速圆周运动。试求
车轮边缘质点的向心加速度。若小轮自行车
以相同速度匀速行驶时，其车轮边缘质点的
向心加速度是大一些还是小一些？
3. 如图所示，质量为800 kg 的小汽车驶过一座
半径为50 m 的圆形拱桥。当它到达桥顶时，
速度为5 m/s，求此时车对桥的压力。求出压
力后，与它在水平公路上行驶时进行比较，
看看在什么样的路面上行驶，车对路面的压
力较大。（g 取10 m/s2）
4. 某同学在轻杆OA 的A 端固定一个可视为质
点的重物，轻杆以O 点为圆心在竖直平面内
做圆周运动。则下列说法正确的是（ ）
A．在最高点，杆对重物的作用力可能向上，
也可能向下
B．在最低点，杆对重物的作用力可能向上，
也可能向下
C．在最高点，速度越大，杆对重物的作用
力一定越小
D．在最低点，速度越大，杆对重物的作用
力越大
5. 甲、乙两球都做匀速圆周运动。甲球的质量
是乙球的3 倍，甲球在半径为25 cm 的圆周
上运动，乙球在半径为16 cm 的圆周上运动，
乙球的线速度是甲球的2 倍。试求两球所需
向心力之比。
6. 如图所示，在以角速度ω = 2 rad/s 匀速转动
的水平圆盘上，放一质量m = 5 kg 的滑块，
滑块离转轴的距离r = 0.2 m，滑块跟随圆盘
一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑
动）。
（1） 求滑块运动的线速度大小；
（2） 求滑块受到的摩擦力的大小。
7. 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳
一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩
动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当
小球某次运动到最低点时，绳突然断掉，小
球飞行水平距离d 后落地，如图所示。已知
握绳的手离地面高度为d，手与小球之间的绳
长为
，重力加速度为g，忽略手的运动半
径和空气阻力。求：
（1）绳断时小球的速度大小
1 和小球落地时
的速度大小
2 ；
（2）小球在运动过程中，细绳受到的最大拉力。
▲ 第3题图
▲ 第7题图
▲ 第6题图
牛顿发现的万有引力定律揭示了
天体运行的规律与地面上物体运动的
规律具有内在的一致性，成功地实现
了天上的力学与地上的力学的统一。
在这一理论指导下，人类迈向了太
空。牛顿建立的力学理论显示出无穷
的魅力。
第三章
第三章
万有引力定律
◆ 天体运动
◆ 万有引力定律
◆ 预言未知星体 计算天体质量
◆ 人造卫星 宇宙速度
◆ 太空探索（选学）
主题一 天体运动及探因
主题二 万有引力定律的应用
翟志刚——中国第一位在太
空行走的宇航员
物理 必修 第二册
54
地球上的人们总感觉其他天体在环绕地球运动。然而，运动是相对的，就像
我们在行驶的车上看到路旁的电线杆在后退一样，是否有可能地球也在运动呢？
如果其他天体和地球都在运动，它们的运动会有什么特点呢？
讨论交流
● 中国古代对宇宙的认识
● 地心说与日心说
中国古代宇宙理论产生于周代至晋代，形成的所谓
“论天六家”是指盖天、浑天、宣夜、昕天、穹天、安天。
盖天说出现于周代，主张“天圆如张盖，地方如棋局”
的天圆地方说。
浑天说始于战国时期，比较详细的描述见于三国时的
王蕃：“天地之体，状如鸟卵，天包于地外，犹卵之裹黄，
周旋无端，其形浑浑然，故曰浑天。其术以为天半覆地上，
半在地下，其南北极持其两端，其天与日月星宿斜而回转。”
这是宇宙理论中，从感性认识到理性认识的一次飞跃，是
人类认识宇宙历史的一个重要里程碑。
在长期的发展中，浑天说成为我国古代宇宙理论的主
流学说。
浑天仪（图3-1-2）是西汉时期落下闳制造的用于测
量天体位置的仪器，是我国古代天文学领域的一项杰出成
就。在欧洲，一直到16 世纪左右，才出现与我国的浑天
仪同等水平的仪器。
盛夏季节，银河高悬，明亮的牛郎星、织女星隔“河”
遥望（图3-1-1）。夜空中，斗转星移，星体的运动都遵循
一定的规律，人类对这种规律的正确认识经过了漫长而曲
折的历程。
天体运动
1
▲ 图3-1-2 中国古代著名的天文
仪器——浑天仪
▲ 图3-1-1 “卧看牵牛织女星”
织女星
牛郎星
第三章 万有引力定律
55
▲ 图3-1-5 开普勒
（Johannes Kepler，1571—1630）
哥白尼日心说的提出，
使人们对宇宙的认识从主观
的、神秘的、原始的见解，
上升到近代的、比较客观合
理的观点。哥白尼的日心体
系引起了一连串思想上和科
学上的革命。
● 开普勒行星运动定律
丹麦天文学家第谷（Tycho Brahe，1546—1601），坚
持对天体进行系统观测20 余年，获得了大量精确资料。
这些资料为开普勒发现行星运动定律做好了准备。
开普勒（图3-1-5）是德国天文学家，第谷是他的
导师。在研究第谷的观测资料时，他运用行星绕太阳做匀
速圆周运动的模型算出了火星运行轨道数据，发现与第谷
的观测数据之间有一个不大的偏差，开普勒坚信他导师的
观测数据是不会出错的，从而断然放弃了圆轨道，而用椭
圆轨道进行计算，结果偏差消除了。1609 年开普勒的《新
早期，人类只是对一些直观的自然现象（如太阳、月
亮的东升西落）加以简单的解释。公元150 年前后，古希
腊学者托勒密（Cloudius Ptolemy，约90 —168）在他的
著作《天文学大成》中构建了地心宇宙体系。他认为地球
位于宇宙的中心，是静止不动的，其他天体围绕地球转动。
波兰天文学家哥白尼（图3-1-3）在1543 年出版了
不朽著作《天球运行论》，提出了日心说。他在长达36
年的时间里进行了研究、观测和核校后，认为地球和别
的行星一样，围绕太阳运行，只有太阳固定在这个体系
的中心（图3-1-4）。
《天球运行论》的出版，标志着科学开始从各种传统
观念的束缚中和宗教神学的桎梏下解放出来。哥白尼开辟
了科学的新时代，使古代科学走向了以牛顿力学为代表的
近代科学。
▲ 图3-1-4 哥白尼的日心系
1.太阳
2.水星
3.金星
4.地球和
月球
5.火星
6.木星
7.土星
8.恒天星
1
2
3
4
6
7
8
5
▲ 图3-1-3 哥白尼
（Nicolaus Copernicus，1473 —1543）
物理 必修 第二册
56
▲ 图3-1-7 开普勒第二定律图示
▲ 图3-1-6 椭圆是一种圆锥曲
线，它有两个焦点（F1 和F2），
OA 和OB 称为它的半长轴
天文学》出版，在此书中他发表了行星运动第一定律、第
二定律。1619 年《宇宙的和谐》一书出版，他又在该书
中发表了第三定律，后人称为开普勒三定律。
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都
是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上（图3-1-6）。
开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间
内扫过相等的面积。
图3-1-7 中，阴影部分的面积相同，可知行星越接近
太阳，运动越快； 越远离太阳，运动越慢。
开普勒第三定律： 行星轨道半长轴的三次方与公转
周期的二次方的比是一个常量，用r 代表椭圆轨道的半长
轴，T 代表公转周期，得到
比值k 是一个与行星无关的常量。
开普勒的重要发现，为人们解决行星运动学问题提供
了依据，澄清了多年来人们对天体运动神秘、模糊的认识，
也为牛顿创立他的天体力学理论奠定了基础。开普勒是用
数学公式表达物理定律并最早获得成功的人之一。
1. 关于地心说和日心说，下列说法中正确的是（ ）
A. 地心说的参考系是太阳
B. 日心说的参考系是太阳
C. 地心说和日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值
D. 日心说是由开普勒提出来的
2. 关于行星绕太阳的运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B. 行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C. 离太阳越近的行星公转周期越小
D. 离太阳越近的行星公转周期越大
3. 下表给出了太阳系八个行星平均轨道半径和公转周期的数值，请你设法利用这些数
据验证开普勒第三定律。
自我评价
第三章 万有引力定律
57
1. 为什么苹果从树上落向地面而不飞向天空？
2. 在地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到
地球的吸引力吗？
3. 如果月球受到地球的吸引力，为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕
地球运动？
讨论交流
行星
平均轨道半径/m
公转周期/s
水星
5.79 × 10
10
7.60 × 10
6
金星
1.08 × 10
11
1.94 × 10
7
地球
1.50 × 10
11
3.16 × 10
7
火星
2.28 × 10
11
5.94 × 10
7
木星
7.78 × 10
11
3.74 × 10
8
土星
1.43 × 10
12
9.30 × 10
8
天王星
2.87 × 10
12
2.66 × 10
9
海王星
4.50 × 10
12
5.20 × 10
9
通过查阅图书或浏览互联网，查找太阳系各行星（包括地球）的卫星的相关信息（包括
文字、数据、动画、图片等）。它们的运动遵循开普勒定律吗？
发展空间
物理在线
万有引力定律
2
● 苹果落地引发的思考
物理 必修 第二册
58
4. 在浩瀚宇宙中，天体在不停地运动着。太阳系中的行星都在围绕太阳运行，
月球在围绕地球运行。是什么力使天体维持这样的运动？
苹果由于受到地球的吸引力而落向地面；月
球如果不受外力的作用，它将沿直线由A 运动到
B，而事实上月球偏离了直线，绕地球做圆周运动，
这表明月球受到向心力作用，方向指向地心（图
3-2-1）。牛顿思考了这个问题，他认为月球不沿
直线运动，必定有力的作用，这个力就是地球对
月球的引力。而且牛顿假设苹果与月球在运动中
受到的是同种性质的力，都是地球对它们的引力，
并进一步认为行星围绕太阳运动的向心力也是太
阳对行星的引力。
在牛顿所处的年代，许多物理学家如哈雷、胡克等都
从开普勒行星运动定律中认识到行星所受的太阳引力应当
与距离的平方成反比，但当时人们并不知道这种引力能否
使行星按椭圆轨道运动。物理学家们同时对此进行着研究，
其中牛顿比较早地应用数学方法证明了这个问题，还进一
步指出这种引力应当与星体的质量成正比，从而确定了它
的数学表达式。
下面我们用所学知识，推导万有引力定律。
如图3-2-2 所示，为了使问题简化，我们把行星的运
动当作匀速圆周运动，则有
式中的
用天文观测很难直接测得，但行星公转周期
容易测量，它们之间的关系是
，代入上式，可得
▲ 图3-2-2 行星绕太阳运动
▲ 图3-2-1 一个指向地心的力使月球维持
在它的轨道上
● 万有引力定律的建立
第三章 万有引力定律
59
理论探究 | 月-地检验
由开普勒第三定律可知，
是常量，由此可得
根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星, 行星也必然
吸引太阳, 设此力为F' 。设想F' 与F 遵守相同的规律，
则F' 也应与太阳的质量M 成正比，即
又F' 与F 大小相等，因此
写成等式
，式中的G 为比例系数，与太阳、
行星都无关。
如何验证地面上物体所受的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一
性质的力？
如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，
则
。又已知月心到地心的距离r 是地球半径R
的60 倍，根据牛顿第二定律F = ma，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度
与地面重力加速度的比值应为
月球的轨道半径r = 384403 km，公转周期T = 27.32d，月球绕地球运动的实
际向心加速度
。
所以
，显然假设成立。
我们必须普遍地承认，一
切物体，不论是什么，都被赋
予了相互引力的原理。
——牛顿
物理 必修 第二册
60
牛顿得到太阳与行星之间作用力的规律后，还研究了
其他不同物体之间的引力，并认为它们都遵循上述规律。
这样，他就认识到普遍存在于宇宙间并且是由于物体具
有质量而产生的一种作用力——万有引力。1687 年，牛
顿正式发表了万有引力定律（law of universal gravitation）：
任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大
小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间
的距离的平方成反比（图3-2-3）。
如果用m1 和m2 分别表示两个物体的质量，用r 表
示它们之间的距离，万有引力定律可以用下面的公式来
表示
式中G 称为引力常量（gravitational constant），是一
个与物质种类无关的普适常量。
万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；
对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离。
万有引力定律的发现是几代科学家长期探索、研究
的结果。牛顿是一个集大成者，他最终给出了在科学上
具有划时代意义的万有引力定律。正如牛顿自己所说：
“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩
膀上。”
因为缺少精密测量仪器，牛顿并没有能测定引力常
量G。在牛顿发表万有引力定律100 多年之后的1798 年，
英国物理学家卡文迪许（Henry Cavendish，1731—1810）
首先做了精确的测量。
国际科学联盟理事会科技数据委员会2002 年推荐的
引力常量数值为G = 6.672（10）× 10
-11N • m
2/kg
2，通常
可以取G = 6.67×10
-11N • m
2/kg
2。
万有引力定律可以用来计算太阳、月亮和行星等任意
一对天体之间的引力，也可以用来计算地球上物体之间的
● 引力常量
你能认出真理，因为它既
美又简单。
——费曼（Richard Feynman）
▲ 图3-2-3 两个物体之间万有引
力的大小与物体之间距离的关系
O
第三章 万有引力定律
61
引力。例如相距1 m 的两个质量为1 kg 的质点之间的引
力，大小为6.67×10
-11N，如此微小的引力是很难探测到的。
而在质量很大的物体之间，如两个星体，尽管它们距离遥
远，引力依然巨大。
自我评价
1. 既然任何物体间都存在着引力，为什么当两个人接近时他们不会吸在一起？
2. 在宇宙天体中，大麦哲伦云的质量为太阳质量的10
10 倍，即2.0×10
40 kg。小麦哲
伦云的质量为太阳质量的10
9 倍，即2.0×10
39 kg。两者相距6.6×10
14 l.y.（光年）。求两者
之间的引力。（ 1 l.y. ≈ 9.5×10
15 m)
3. 地球质量约为月球质量的81 倍，一飞行器位于地球与月球之间，当它受到地球和
月球的引力的合力为零时，飞行器到地心的距离与到月心的距离之比为多少？
4. 查阅有关资料，计算一个60 kg 的人站在赤道上受到的重力与万有引力的数量关系。
卡文迪许测定引力常量的实验
卡文迪许的实验装置是一个扭秤。测量的原理如图3-2-4 所
示。两个质量为m1 的小球（铅球，m1 = 730 g）固定在一根轻杆
的两端，用一根石英悬丝将轻杆水平地悬挂起来。测量时，把
两个质量为m2 的大球（铅球，m2 = 158 kg）放在质量为m1 的
小球附近。根据万有引力定律，当大球放在A 位置时，由于小
球受到大球的吸引力，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，
从而使石英悬丝扭转。引力力矩最后被悬丝的弹性恢复力矩所
平衡，这时悬丝扭转的角度q 可以从一个读尺系统中读出。为
了提高测量的灵敏度，还可将大球放在B 位置，即向相反方向
吸引小球。这样，两次悬杆平衡位置之间的夹角就增大了一倍。
通过平面镜反射，可以把微小的转动清晰地显示出来，测量的
灵敏度又一次得到提高。卡文迪许通过测量扭秤的偏转角度，得到了G 值。
为了使G 的测量值精确，卡文迪许经过多次实验，设法避免空气不均匀受热引起的漂移
等干扰，还进行了其他各种修正。
卡文迪许测定的引力常量数值G = 6.745×10
-11 N • m
2/kg
2。这个测量值与现代更精确的
测量结果很接近。
发展空间
课外阅览
▲ 图3-2-4 卡文迪许测定引
力常量的实验原理图
物理 必修 第二册
62
天体之间的相互作用力，主要是万有引力。万有引力
定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用。
一个成功的理论不仅要能
解释已知的事实，更重要的是
能预言未知的现象。
● 预言彗星回归
● 预言未知星体
在牛顿之前，彗星的出现被看作一种神秘的现象，牛
顿却断言，行星的运动规律同样适用于彗星。哈雷（Edmond
Halley，1656—1742）根据牛顿的引力理论，对1682 年出
现的大彗星（后来被命名为哈雷彗星）的轨道运动进行了
计算，指出它与1531 年、1607 年出现的彗星是同一颗彗星，
并预言它将于1758 年再次出现。
1743 年，克雷洛（Clairault. A.C.，1713—1765）计算
了遥远的行星（木星和土星）对这颗彗星运动规律的影响，
指出它将推迟于1759 年4 月份经过近日点。这个预言果
然得到了证实。1986 年哈雷彗星又一次临近了地球（图
3-3-1），它的下次来访将是在2062 年。
1781 年，人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的
观测发现：天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来
的轨道之间存在明显的偏差。由此一些人对万有引力定律
产生了怀疑，而另一些人则认为可能在天王星附近存在未
知天体，偏差是由于未知天体对天王星的引力作用引起的。
为了证实后一种猜想，在1843 年至1845 年间，英国
剑桥大学的学生亚当斯、法国年轻的天文爱好者勒维耶同时
独立地预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，
并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。勒维耶将他
▲ 图3-3-1 哈雷彗星1986年4月
临近地球时的照片
3
预言未知星体 计算天体质量
第三章 万有引力定律
63
● 计算天体质量
卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的重量”（严
格地说应是“测量地球的质量”）。如果已知引力常量G、
地球半径R 和重力加速度g，我们可以认为地球表面的物
体受到的重力等于地球对物体的万有引力：mg = G Mm
R2 ，
那么就可以计算地球的质量M = gR2
G 。
另外，如果已知某行星绕太阳运行的情况，由于其所
需的向心力是由太阳对该行星的万有引力提供的，我们可
以由此求出太阳的质量。设太阳的质量为mS，某个行星
的质量为m，它们之间的距离为r，行星公转的周期为T，
行星做匀速圆周运动所需的向心力为
行星运动的向心力是由万有引力提供的，所以
由此解出
可见，只要测出行星的公转周期T 以及它和太阳之间
的距离r，就可以计算出太阳的质量。
的计算结果写信告诉了柏林天文台的伽勒。伽勒于1846 年
9 月23 日夜间在预定的区域发现了这颗神秘的行星——海
王星。它的发现，被认为是牛顿引力理论的伟大胜利。
一些近地轨道的人造地球卫星绕地球的运动可以近似地看作匀速圆周运动，
地球对卫星的万有引力为卫星提供了绕地球做圆周运动所需要的向心力。若我们
知道引力常量G = 6.67×10
-11 N • m
2/kg
2，卫星绕地球的周期T = 5400 s，如何估
测地球的平均密度？
活动 | 估测地球的平均密度
物理 必修 第二册
64
自我评价
1. 已知引力常量G 和下列某组数据，就能计算出地球的质量。这组数据是（ ）
A. 地球绕太阳运行的周期及地球与太阳之间的距离
B. 月球绕地球运行的周期及月球与地球之间的距离
C. 人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D. 若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
2. 2016 年12 月22 日，我国首颗二氧化碳探测卫星发射成功，卫星在离地面高h 的圆
轨道上绕地球运动。地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星受到地球的引力
为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 我国卫星移动通信系统首发星，被誉为“中国版海事卫星”的“天通一号”01 星，
于2016 年8 月6 日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地面约36000 km 的地球同步轨
道。这标志着我国迈入了卫星移动通信的“手机时代”。根据这一信息以及必要的常识，尚
不能确定该卫星的（ ）
A．质量
B．轨道半径
C．运行速率
D．运行周期
4. 登月舱在离月球表面112 km 的高空环绕月球运行，运行周期为120.5 min。已知月球
半径约为1.7 × 10
3 km，试估算月球质量。 （不考虑地球对登月舱的作用力）
估测太阳的密度
设太阳的半径为R，地球到太阳中心的距离OO'
（即地球做圆周运动的轨道半径）为r，地球做圆周运
动的周期为T。地球上观察太阳的视角为θ，这时，与
观察者眼睛距离为D、视角为θ的物体宽度为d，如图
3-3-2所示。根据相似三角形的关系可以近似得
由此可得太阳密度与相关量之间的关系为
其中D、d 的值可用仪器测得。
由于一般不能用裸眼直接观察太阳，那么，上述观测应如何进行？请针对图中D、d的
值的测量，设计实验方案。这样的测量，可以有哪些方法？
发展空间
实验室
▲ 图3-3-2 观测太阳时的几何关系
第三章 万有引力定律
65
基于对抛体运动规律的认识，牛顿在《自然哲学的
数学原理》一书中作出了下面的推论：“如果在高山顶上
架起一门大炮，用炮火的推力把一铅质的炮弹平射出去，
铅弹在落到地面以前，就会沿着曲线飞过2 英里的距离。
假设没有空气阻力，发射炮弹的速度增加一倍，它飞行
的距离也差不多会增加一倍；如果炮弹的速度增加十倍，
它飞行的距离差不多会增加十倍。加快速度，我们可以使
炮弹落到更远的地方，甚至绕地球飞行⋯⋯” （图3-4-1）
1895 年，俄国宇航先驱齐奥尔科夫斯基（图3-4-2）
率先提出了制造并发射人造地球卫星的设想。
1957 年10 月4 日，苏联将第一颗人造卫星送入环绕
地球的轨道。今天，地球周围运行着上千颗人造卫星，它
们在为地面上的我们提供着通信、气象、侦察、导航（图
3-4-3）等服务。
▲ 图3-4-1 牛顿的设想
人造卫星 宇宙速度
4
● 从幻想到现实——人造卫星
地球是人类的摇篮，但人
类不可能永远被束缚在摇篮里。
——齐奥尔科夫斯基
▲ 图3-4-2 齐奥尔科夫斯基
（K.E. Tsiolkovsky，1857—1935）
物理 必修 第二册
66
从地球表面发射人造地球卫星，一般使用三级火箭，
如图3-4-4 所示。使卫星能环绕地球运行所需的最小速度
叫作第一宇宙速度（first cosmic velocity)。
如果忽略空气阻力，被发射的人造卫星的质量为m，
地球的质量为mE，人造卫星到地心的距离为r，人造卫星
沿圆轨道绕地球飞行的速度为，由于人造卫星做圆周运
动所需的向心力就是地球对它的万有引力，所以
由此解得
从上式可以知道，卫星距地心越远，它运行的速度越
小。但是，向高轨道发射卫星，火箭克服地球引力所消耗
的能量更多，所以发射更困难。
对于靠近地面运行的人造卫星，可以认为此时的轨道
半径r 近似等于地球的半径R，所以
▲ 图3-4-3 北斗卫星导航系统（BeiDou Navigation Satellite System，BDS）
是中国自行研制的全球卫星导航系统
● 宇宙速度
▲ 图3-4-4 用三级火箭发射卫星
第三章 万有引力定律
67
使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，
从地球表面发射所需的最小速度叫作第二宇宙速度（second
cosmic velocity) 。第二宇宙速度的大小为11.2 km/s（图
3-4-5）。
人造卫星进入地面附近轨道，如果它发射时的初速度
大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，它仍将绕地球运转，但
这时运动的轨道不再是一个圆，而是偏心率不同的椭圆。
达到第二宇宙速度的物体还受到太阳的引力束缚，它
将绕太阳运转。要使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，
从地球表面发射所需的最小速度，叫作第三宇宙速度（third
cosmic velocity) 。第三宇宙速度的大小为16.7km/s。
这就是第一宇宙速度。
在地球表面附近，重力近似等于万有引力。请用所学知识推导第一宇宙速度
与地球表面附近重力加速度（g）、地球半径（R）之间的关系。
活动
对于椭圆而言，偏心率等
于两焦点的距离的一半与半长
轴的比值。可以看出，偏心率
越小，椭圆越趋近于圆。
▲ 图3-4-5 三个宇宙速度
7.9 km/s＜ ＜11.2 km/s
自我评价
1. 在绕地球做匀速圆周运动的太空实验室内，下列仪器中可正常使用的有（ ）
A. 摆钟
B. 天平
C. 弹簧测力计
D. 秒表
2. 有人根据公式 = Rω 认为，人造卫星的轨道半径增大2 倍，卫星的速度也增大2 倍，
但由公式
可知，轨道半径增大时，卫星的速度是减小的，应当怎样正确理解这个
问题？人造卫星的轨道半径越大，周期越大还是越小？
3. 一位同学根据向心力公式
认为，如果人造卫星的质量不变，当轨道半径增大
到2 倍时，人造卫星需要的向心力减小为原来的
；另一位同学根据卫星的向心力是地球对
物理 必修 第二册
68
它的引力，由公式
推断，当轨道半径增大到2 倍时，人造卫星需要的向心力减小
为原来的。哪位同学的看法对？错了的同学错在哪里？说明理由。
4. 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如卫星的线速度减小到原来的，卫星仍做
匀速圆周运动，则（ ）
A. 卫星的向心加速度减小到原来的
B. 卫星的角速度减小到原来的
C. 卫星的周期增大到原来的8 倍
D. 卫星的周期增大到原来的2 倍
发展空间
地球同步卫星
1984 年4 月8 日，我国成功发射了一颗地球同步轨道通信卫星。8 天后，该卫星定位于
东经125°的赤道上空，使我国成为少数几个能独立发射地球同步卫星的国家之一。
地球同步轨道卫星是保持在地球赤道的地面上空、运行周期与地球自转周期相等的人造
地球卫星（图3-4-6）。
地球同步轨道卫星的轨道近似于圆形，偏心率不大于0.001，轨道半径约为地球半径
的6.6 倍，约42000 km，离地高度约为35840 km。由于卫星运行周期与地球自转周期相同，
运转方向与地球自转方向相同，轨道倾角为零度，轨道平面与赤道平面一致，所以从地面
上看来，卫星在赤道上空一定的经度处静止不动。因此，地球同步轨道卫星又称静止轨道
卫星。
怎样把卫星发射到同步轨道上去呢？有两种方法。一种是直线发射，由火箭把卫星发
射到离地面约36000 km的赤道上空，然后使它转折飞行而进入轨道。另一种方法是变轨发射，
即先把卫星发射到离地面高度为200 ～300 km 的圆形轨道上，这条轨道叫作停泊轨道。当
卫星穿过赤道平面时，火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地
球赤道上空约36000 km 处，并经过赤道平面，这条轨道叫作转移轨道。当卫星到达远地点时，
再启动卫星上的发动机，使之加速并调整方向，进入同步轨道，也叫作静止轨道。第一种
发射方法，在整个发射过程中，火箭都处于动力飞行状态，要消耗大量燃料，还必须在赤
道上设置发射场，有一定的局限性；第二种发射方法，运载火箭消耗的燃料较少，发射场
的位置也不受限制，目前各国发射同步卫星都用第二种方法，但这种方法在操作上和控制
上都比较复杂。
卫星在地球同步轨道上定位后，由于受到太阳、月球和其他天体引力作用的影响，会产
生不同方向的漂移运动，偏离原来的位置，因此在地球上看到的同步轨道卫星并不是完全静
止的。卫星偏离轨道，可以通过卫星的小发动机进行修正，但是由于受到卫星上携带燃料的
课外阅览
第三章 万有引力定律
69
限制，只在偏离较大时才进行修正。
了解在人造卫星上进行的失重条件下的实验，在你已有的科学知识范围内（不限于物理
学科），设计一套在人造卫星或宇宙飞船上进行失重条件下实验的方案，并说明基本的原理，
试试看。
请通过互联网了解经典力学对航天技术发展的贡献，收集关于世界与我国航天技术发展
的历史和前景的资料，特别是有关我国“神舟”系列飞船载人航天、宇航员太空行走及登月
计划的资料。
▲ 图3-4-6 用三颗同步卫星就可以基本实现全球通信
物理在线
实验室
1895 年，俄国宇航先驱齐奥尔科夫斯基发表的题为
《天地幻想和全球引力效应》的论文中关于制造人造地球
卫星的设想，开启了现代人类探索太空的伟大征程。
1957 年10 月4 日，苏联将第一颗人造卫星送入环绕
太空探索（选学）
5
● 世界航天发展史
北极
物理 必修 第二册
70
地球的轨道，震惊了全世界。此后，数以千计的人造卫星、
空间站，被相继发射送入轨道，运行于距地面几百至几
万千米的太空中，为地面上的人们提供多个领域的服务。
1969 年7 月16 日，美国发射“阿波罗11 号”载人飞船，
第一次把人送上月球。航天员阿姆斯特朗将左脚踏到月球
表面，成为世界上第一个踏上月球的人（图3-5-1）。
今天，人类探索太空的足迹已延伸到太阳系的边缘。
▲ 图3-5-1 这是我个人的一小步,
却是人类迈出的一大步。——
阿姆斯特朗
▲ 图3-5-2 位于西昌卫星发射中
心的“万户飞天”雕像
▲ 图3-5-3 “神舟五号”载人飞船
▲ 图3-5-4 杨利伟在太空
▲ 图3-5-5 王亚平在“天宫一
号”上进行太空授课
中华民族探索太空的步伐也从未停止。明朝初年，
一位名叫陶成道的万户官，就曾尝试利用火箭实现人们
的飞天梦想（图3-5-2）。陶成道设想利用火箭的推力起飞，
但不幸火箭爆炸，他为此献出了生命。
2003 年10 月15 日，中国第一艘载人飞船“神舟五号”
（图3-5-3）成功发射，中国首位航天员杨利伟成为浩瀚太
空的第一位中国访客（图3-5-4）。2008 年9 月25 日，中
国第三艘载人飞船“神舟七号”成功发射，三名航天员
翟志刚、刘伯明、景海鹏顺利升空。27 日，翟志刚在刘
伯明的辅助下，进行了19 min35 s 的出舱活动。中国随
之成为世界上第三个掌握空间出舱活动技术的国家。
● 我国航天事业取得的成就
与此同时，中国的空间站计划和“嫦娥工程”也稳
步推进。“天宫一号”（图3-5-5）是中国首个目标飞行器
和空间实验室，于2011 年9 月29 日在酒泉卫星发射中
心发射。在轨期间，它先后完成与“神舟八号”“神舟九号”
和“神舟十号”飞船的对接任务，这标志着中国已经初
第三章 万有引力定律
71
反思 • 小结 • 交流
首先他们将小心翼翼地
穿出大气层，然后去征服整个
太阳系。
——齐奥尔科夫斯基
▲ 图3-5-6 中国“天宫二号”空间站
▲ 图3-5-7 “玉兔号”月球车登陆月球
随着社会的进步，人类已经掌握了越来越丰富的航天
技术。虽然还没有完善的理论支撑我们进行更远的太空探
索以及星际航行，但是正如齐奥尔科夫斯基所说，敢于探
索征服太阳系的人类已经在向更远的星际进发。2016 年1
月11 日，中国政府正式批复首次火星探测任务，我国的
火星探测工程正式立项，并将在2020 年左右发射一颗火
星探测卫星，在以“为人类社会的持续发展服务”的总目
标下，将探讨火星的长期改造与今后建立人类第二个栖息
地的可能性。
● 展望未来
步拥有建立空间站的能力。此后，在2016 年9 月，中国
成功发射“天宫二号”（图3-5-6），并计划于2020 年前
后建立中国首个长期性太空空间站。
在中国的神话故事里，嫦娥长居月球，登陆月球是中
国人的美丽梦想，中国的登月工程因此得名。“嫦娥一号”
是我国首颗绕月探测卫星，于2007 年10 月24 日成功发
射升空，而“嫦娥三号”则携带“玉兔号”月球车顺利登
陆月球（图3-5-7）。中国人的登月梦想正一步步变成现实。
学后反思
1．开普勒行星运动定律的发现在科学思想上的重大意义是什么？
2．卡文迪许测定引力常量的实验和牛顿地-月检验中，都蕴含了什么科学思维？
物理 必修 第二册
72
本章复习题
1. 一个物体在地球表面所受的引力为F，则在
距地面高度为地球半径的2 倍时，所受引力
为（ ）
A.
B. C.
D.
2. 质量分别为m1 和m2 的两个物体相距r，它们
之间的万有引力大小为
，若m1 >
m2，则关于m1 和m2 之间万有引力的说法正
确的是（ ）
A．m1、m2 之间的万有引力总是大小相等、
方向相反，是一对平衡力
B．m1、m2 之间的距离r 趋于零时，万有引
力趋于无穷大
C．m1 受到的万有引力比m2 受到的万有引力大
D．式中G 为引力常量，它的数值是由实验得
出的
3. 2005 年，我国成功发射了“神舟六号”载人
飞船．飞船入轨后，环绕地球飞行77 圈，历
时115 个小时。2016 年3 月30 日，我国在
西昌卫星发射中心用“长征三号”甲运载火箭，
成功发射第22 颗地球同步轨道卫星——北斗
导航卫星。假设飞船和该卫星都做圆周运动，
那么飞船和卫星在各自轨道上运行时（ ）
A．飞船运动速度比卫星小
B．飞船运动的加速度比卫星小
C．飞船离地面的高度比卫星小
D．飞船运行的角速度比卫星小
4. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则离地
面越近的卫星（ ）
A. 速度越大
B. 角速度越大
C. 向心加速度越大
D. 周期越大
5. 某行星的一颗小卫星在半径为r 的轨道上绕
该行星运行，运行的周期是T。已知引力常
量为G，求这颗行星的质量m。
6. 某中子星的质量约为3.0 × 1030 kg，与太阳的
质量大致相等，但是它的半径只有10 km，求：
（1）此中子星表面的重力加速度；
（2）贴近中子星表面，沿圆轨道运动的小卫
星的速度。
7. 网上消息：某年某月某日，一质量为100 kg、
周期为1.0 h 的人造环月宇宙飞船发射成功。
一位同学记不住引力常量G 的数值，手边
也没有可查找的资料，但他记得月球半径约
为地球半径的，月球表面重力加速度约为
地球表面重力加速度的。经过推理，他认
定该消息是一则假新闻， 试写出他的论证方
案。（地球半径约为6.4×103km, 地球表面的
重力加速度为9.8 m/s2）
8. 随着科技的进步，探索太空已由遥不可及的
幻想变成可能。假设你是一名宇宙学家，即
将登陆一颗未知星球。你通过测量哪些物理
量可以获知该星球的质量？
自主小结
1．准确表述开普勒三定律、万有引力定律。
2．说说利用万有引力定律测算天体质量、预言未知天体、发射人造地球卫星等方面的
原理。
3．什么是第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度？
相互交流
1．说说卡文迪许测定引力常量实验的巧妙之处。
2．谈谈万有引力定律在天文学上和宇宙航行中的广泛应用。
宇宙间形式多样的能量，赋予世界
勃勃的生机和无限的活力，使世界不断
地发生运动和变化，时刻呈现出欣欣向
荣的新景象。
本章，我们来研究与机械运动有关
的能量——机械能。
第四章
第四章
机械能及其守恒定律
◆ 功
◆ 功率
◆ 动能 动能定理
◆ 势能
◆ 机械能守恒定律
◆ 实验：验证机械能守恒定律
主题一 功和功率
主题二 动能和势能
主题三 机械能守恒定律
物理 必修 第二册
74
在燃烧同样多的燃料的情况下，讨论以下几个问题：
1. 竖直提升重物时，怎样比较蒸汽机“能力”的大小？
2. 水平推动物体时，怎样比较蒸汽机“能力”的大小？
3. 衡量蒸汽机“能力”大小的因素是什么？
4. 如何方便地定量比较蒸汽机“能力”的大小？
● 功的概念的起源
▲ 图4-1-1
（a）纽可门蒸汽机
提水
（b）瓦特双动式蒸汽机从矿井中提煤（c）富尔顿制造的“克莱蒙特”号
汽船
（d）史蒂芬孙制造的蒸汽机车
功
1
观察图4-1-1中的四张图片，我们不难发现，当时人
们使用蒸汽机的主要目的有两个：提升重物和推动物体。
竖直提升重物时，提升相同的物体，提升的高度越
高，蒸汽机的“能力”越大；提升相同的高度，提升的物
体越重，蒸汽机的“能力”越大。类似地，水平推动物体
蒸汽机的发明、改良和广泛使用是第一次工业革命
开始的标志。早期的蒸汽机仅用于矿井抽水、提煤等。
随着技术的改进，蒸汽机被人们作为推进动力，由此研
制出蒸汽机船和蒸汽机车；同时，蒸汽机也被用作工厂
开动机器的动力。当时，大家用“干活多少”来比较这
些蒸汽机的“能力”。
讨论交流
第四章 机械能及其守恒定律
75
1. 在图4-1-2 所示的过程中，力对货物、握力器、汽车以及水桶的做功情况
是怎样的？
2. 你认为力对物体做功的必要因素是什么？
讨论交流
● 功的计算
▲ 图4-1-2
▲ 图4-1-3 如果力的方向与位移
的方向一致，功等于力的大小
与位移大小之积
图4-1-4 斜向
上拉行李箱
（a）货物在起重机的作用下升高了（b）握力器在压力下发生形变
（c）人未能推动汽车
（d）水桶沿水平方向匀速前进
如图4-1-3 所示，当力的方向与物体位移的方向一致
时，物体在力F 作用下发生的位移是x，力对物体所做的
功W 可用以下公式来计算
W = Fx
许多情况下，力的方向与物体位移的方向并不一致，
而是存在一定夹角。如图4-1-4所示，人斜向上拉行李
箱，而行李箱沿水平路面运动，这种情况下，对箱子的拉
力所做的功该怎样计算呢？
时，大小相同的力作用在物体上，物体移动的距离越远，
蒸汽机的“能力”越大；移动相同的距离，作用在物体上
的力越大，蒸汽机的“能力”越大。综合以上分析可见，
衡量蒸汽机“能力”大小的因素是：蒸汽机对物体施加力
的大小和物体在这个力的作用下移动距离的远近。
工业革命早期，当时的工程师们需要有一个比较蒸汽
机“能力”的标准。在实践之中，工程师们逐渐认同用机器
举起的物体的重量与高度的乘积来量度机器的输出。科学家
对一般意义上的机器进行了研究，并提出了功的概念。
在物理学中，人们这样规定：如果物体受到力的作
用，并在力的方向上发生了位移，我们就说力对物体做了
功（work）。
物理 必修 第二册
76
活动
1. 如图4-1-5所示，当恒力F的方向与物体位移x的
方向成某一夹角α时，如何计算力F对物体所做的功？
2. 如果通过力的分解来解决这个问题，你会将力
F分解到哪两个方向？说出你这样进行分解的理由。
3. 按照你认为可行的方式进行分解，在图4-1-5上作出力的分解示意图，并由
此推导出功的计算公式。
α
如图4-1-7所示，滑块在弹簧的作用下沿水平气垫导轨做往复运动。
1. 滑块受到几个力的作用？请判断各个力对滑块做功的正负。
讨论交流
● 功的正负
功是标量，没有方向，但有正负之分。由功的计算公
式可知，功随 a 的变化可能出现以下几种情况：
当0 ≤ a < 90°时，cosa > 0，W > 0，表示力对物体
做正功；当a = 90°时，cosa = 0，W = 0，表示力对物体
不做功；当90°< a ≤ 180°时，cosa < 0，W < 0，表示
力对物体做负功。
▲ 图4-1-5 力与位移存在夹角
的情况
▲ 图4-1-6 功对应着矩形的
“面积”
当力F的方向与物体位移x的方向成某一夹角a时，
可以把力F分解到平行于位移和垂直于位移这两个方向
上。跟位移方向平行（一致）的分力为F0 = Fcosa，该分
力所做的功F0x = Fxcosa（图4-1-6）；垂直于位移方向的
分力为Fsina，该分力没有对物体做功。因此，图4-1-5中
恒力F对物体所做的功W，实际上就等于沿物体位移方向
的分力所做的功。
与物体位移成一定夹角的力对物体做的功，等于力
的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘
积，即
W = Fxcosa
在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。
第四章 机械能及其守恒定律
77
2. 你认为功的正负有什么物理意义？
某个力对物体做负功，通常也说成“物体克服某个
力做功（取绝对值）”。比如，在图4-1-7 所示的过程中，
空气阻力对滑块做负功，可以说成“滑块克服空气阻力做
功”。再比如，滑块从平衡位置“0”（弹簧处于原长）运
动到最右端的过程中，弹簧的拉力对滑块做负功，可以
说成“滑块克服弹簧的拉力做功”。
▲ 图4-1-7 滑块沿水平方向做往复运动
甲、乙两人在小河的两岸同时用绳拉小船，使小船
在河的中间沿直线行驶，甲、乙的拉力分别为F1=100 N 和
F2=100
N，其方向如图4-1-8 所示。在小船行驶80 m 的
过程中，求：
（1）两个拉力F1 和F2 的合力以及该合力所做的功。
（2）两个拉力F1 和F2 分别做的功以及它们的代数和。
F1 和F2 的合力根据力的平行四边形定则可求，根据
功的计算公式即可求得合力所做的功以及两个拉力F1 和F2
做的功。
（1）作F1 和F2 的矢量合成图，如图4-1-9 所示，则合力
F =
= 200 N，方向沿河中心线方向；W 合= F • x =
200×80 J = 16000 J
（2）分别求F1 和F2 做的功：
W1 = F1 • x • cos60°= 100×80×0.5 J = 4000 J
W2 = F2 • x • cos30°=
J = 12000 J
W1 + W2 = 16000 J
分析
分析
问题
问题
解
例题示范
▲ 图4-1-9 F1和F2的合力
▲ 图4-1-8
F1
F2
F
F1=100 N
F2=100 N
60°
30°
◎ 合力的功
当物体同时受到几个
力的作用时，所有这些力对
物体所做的功的代数和等于
这些力的合力对此物体所做
的功。
物理 必修 第二册
78
（1）功是标量，没有方向，求几个力的总功，就等于这几个力所做的功
的代数和。
（2）W = F • x • cosa 只适用于F 是恒力的情况。若F 是变力，应把整个过程
分成若干小段，使每小段都是恒力或者可以认为是恒力，分别计算各小段力所
做的功，然后把它们加起来（求代数和）。
1. 如图4-1-10 所示，一个质量m = 60 kg 的滑雪运动
员从斜坡上高h = 10 m 的某一位置自由滑下。如果运动员
在下滑的过程中受到的阻力f = 50 N，斜坡的倾角q = 30°，
运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？
这几个力的合力所做的功是多少？这几个力所做的总功是
多少？取g = 10 m/s
2。
2. 如图4-1-11 所示，重为G 的物体静止在倾角为a
的粗糙斜面上，现使斜面及物体一起向右做匀速直线运动，
位移为x，求在这个过程中：
（1）重力对物体所做的功；
（2）弹力对物体所做的功；
（3）摩擦力对物体所做的功；
（4）合力对物体所做的功。
3. 如图4-1-12 所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F 的作
用下，向右移动相等的位移x，关于F 对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3 判断正
确的是（ ）
A．W1 > W2 > W3 B．W1 = W2 > W3 C．W1 = W2 = W3
D．W1 < W2 < W3
4．如图4-1-13 所示，一物块沿水平地面向左运动，水平恒力的大小为F，物块与地面
间的摩擦力大小为f，在物块向左运动位移大小为x 的过程中，水平恒力F 做的功为（ ）
A．Fx
B．-Fx
C．-fx
D．（F - f）x
自我评价
▲ 图4-1-11 斜面与物体一起向右做
匀速直线运动
▲ 图4-1-12
▲ 图4-1-13
▲ 图4-1-10 滑雪运动
拓展
拓展
甲
乙
丙
第四章 机械能及其守恒定律
79
5. 以一定的初速度竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力
大小恒为f，则从抛出至回到抛出点的过程中，重力和空气阻力分别对小球做了多少功？比
较“重力所做的功”与“空气阻力所做的功”，你有什么发现？
用图像法求变力所做的功
如果F-x 图像是一条曲线，如图4-1-14 所示，表示沿
位移方向的力的大小随位移不断变化。那么，这样的力所做
的功是多少呢？
对于这种情况，我们可以这样处理：在曲线下方作阶
梯形折线，则折线下方每个小矩形“面积”分别表示相应
恒力做的功。当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面
积越趋近于曲线与两坐标轴所围成的曲边梯形的“面积”。
可见，曲线与坐标轴所围成的曲边梯形的“面积”在数值
上等于变力所做的功。
发展空间
▲ 图4-1-14 F-x图像及力所做的功
x
F 1
F
O
x 0
F 2
功 率
2
大家都有这样的体会：快速爬楼会比慢步上
楼更容易使人气喘吁吁。这两种情况下，人克服重
力做相同的功，但快速爬楼（图4-2-1）所用时间
比慢步上楼要少，这说明在快速爬楼的过程中，人
体克服重力做功更快，对人体的心肺负担更重。那
么，用什么物理量来描述做功的快慢呢？
图4-2-1 上楼
● 功率的含义
不同的力做相同的功，所用时间不一定相同。用时少，
表示做功快；用时多，表示做功慢。在相同时间内，不同
课外阅览
物理 必修 第二册
80
的力做的功也不一定相同。做功多，表示做功快；做功少，
表示做功慢。
那么，不同的力在不同的时间内做不同的功，又该如
何比较它们做功的快慢呢？在物理学中，我们用功率P 来
表示做功快慢。力对物体所做的功W 与做功所用时间t 的
比叫作功率（power），即
在国际单位制中，功率的单位是瓦特（watt），简称
瓦，符号是W。1 s内完成1 J的功，功率就是1 W。
1 W = 1 J/s
瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（kW）作功率
的单位，1 kW = 1000 W。
功率有瞬时功率与平均功率的区别。一般来说，一段
时间内做功的快慢并不是保持不变的，这一段时间内做的
总功W 与这段时间t 的比，就是这段时间内的平均功率。
只有在所取的时间非常短的情况下，
才可以认为是该
时刻的瞬时功率。
● 额定功率
在初中物理中，我们学习过以白炽灯为代表的用电器
的额定功率，那是指在额定电压下工作时用电器消耗的电
功率（即在数值上等于每秒钟消耗的电能）。
内燃机等动力机械也有额定功率，这是各种机械可以
长时间正常工作允许输出的最大功率，实际输出功率往往
小于这个数值。例如，某汽车内燃机的额定功率是100 kW，
但在平直公路上行驶时发动机的实际输出功率只有 25 kW
左右；而在越过障碍时，司机通过增大供油量可以使实际
输出的功率大于额定功率（图4-2-2），不过这对发动机有
损害，只能工作很短时间，而且要尽量避免。实际运行的
功率可以小于或等于额定功率，而不允许长时间超过额定
功率。
电动机既是用电器，也是动力机械。它作为用电器工
作时，要消耗电功率，这称为输入功率；而它作为动力机
▲ 图4-2-2 爬坡的汽车
必修第一册·第一章第3
节“平均速度”和“瞬时速度”。
第四章 机械能及其守恒定律
81
● 输出功率、作用力和速度之间的关系
汽车上坡时，司机常常会将汽车挡位换成低速挡并加
大油门，这是为什么呢？
当作用力的方向与物体位移的方向相同时，力对物体
所做的功W = Fx。将此式代入
中，结合
，可得
到功率P 与力 F、物体运动速度 的关系式
P = F
在上式中，当物体做变速运动时，若 为某一时刻的瞬时
速度，则 P 表示该时刻的瞬时功率；若F 为恒力， 为某
段时间内的平均速度，则 P 表示该段时间内的平均功率。
械带动其他机械工作时，要输出功率。显然，输出功率一
定小于输入功率。电动机的工作情况比较复杂，除了输入
电压对它的工作有非常大的影响以外，负载（即它带动的
其他机械）的情况对它的输入功率及输出功率也有很大的
影响。我们今后所说的电动机的额定功率是指它作为动力
机械的输出功率。
如图4-2-3 所示，是常见的一些交通工具中的动力机
械以及人、牲畜的输出功率。
▲ 图4-2-3
（a）人长时间做功，功率约为70 W
（d）客车发动机的额定功率约为100 kW
（b）马长时间做功，功率约为450 W
（e）小轿车发动机的额定功率约为120 kW
（c）电瓶车的额定功率约为450 W
（f）动车机车的额定功率约为5000 kW
若力F 的方向与速度的
方向夹角为a，则功率、力
和速度的关系式为
P = F cosa
物理 必修 第二册
82
实际上，飞机、动车、汽车、轮船等交通工具的最大
行驶速度受到自身发动机额定功率 P 和运动中自身受到的
阻力 f 两个因素的共同制约。其中，阻力既有摩擦阻力，
也包括空气阻力，而且空气阻力会随着运动速度的增大而
增大。因此，要提高各种交通工具的最大行驶速度，就要
考虑减小运动阻力和提高发动机的额定功率。
有关资料证实：高铁行
驶的速度超过270 km/h时，牵
引力所做的功90%以上用于克
服空气阻力做功；速度超过
300 km/h时，则95%以上的牵
引力所做的功用于克服空气阻
力做功，因此，在实际运行中
要考虑选择合理的速度。
一汽车的额定功率是120 kW，从车站开出后加速行驶，在水平路面上行
驶途中受到的阻力可视为保持不变，大小为1600 N，求该汽车在水平路面上行驶
的最大速度。
根据功率、力和速度三者之间的关系，结合牛顿运动定律分析可知，在
输出功率保持额定功率的条件下，在水平路面上匀速行驶时，汽车的速度最大。
设汽车的功率为P，行驶时受到的阻力为f，根据关系式P = F 可知，汽车的
牵引力
。根据牛顿第二定律可知，汽车的加速度为
汽车启动时，通过加大油门可以使功率P逐渐增大，但功率的增大不能超出
额定功率过多。当汽车保持额定功率行驶时，加速度a将随着速度的增大而减小
（此时速度仍然在增大）；当速度增至
时，加速度将减至零；此后，汽
车的速度将不再增大。所以
可见，汽车在平直公路上做匀速运动时，它的动力全部用于克服阻力做功。
若该车的质量m = 1400 kg，从静止开始以a = 1 m/s
2的加速度做匀加速启
动，这个过程能维持多长时间？
分析
分析
问题
问题
拓展
拓展
解
例题示范
你能解释汽车上坡时，司机为什么常会用“换挡”的办法来减小速度吗？
小轿车行驶时受到的阻力要比一般的大卡车小得多，但为什么有的小轿车的
发动机的功率反而比大卡车大呢？
讨论交流
第四章 机械能及其守恒定律
83
如图4-2-4所示，做一次“引体向上”，使你的整个身体
升高约一个手臂的高度，估测这个过程中你克服重力所做的功
及其平均功率。
活动 | 估测“引体向上”的平均功率
▲ 图4-2-4 引体向上
自我评价
1. 在同样的路面上，汽车空载时的最大行驶速度为什么比满载时的最大行驶速度大
一些？
2. 质量为2 kg 的小球从高空下落，5s 落地。则该小球下落1 s 末时的重力做功的功率
是多少？下落前3 s 内重力做功的功率又是多少？（忽略空气阻力，g = 10 m/s
2）
3. 一台电动机以大小为1.2×10
4N 的向上的力，在15 s 内将一部电梯匀速升高了9 m，
该电动机的功率是多少？（g = 10 m/s
2）
4. 汽车以108 km/h 的速率在水平路面上匀速行驶。如果该汽车受到的阻力为800 N，
那么该汽车发动机的输出功率是多少？
人体的功率
如果把人体视为动力机械，那么它也和内燃机一样有各项指标，如平均功率、瞬时功率、
额定功率等。在图4-2-3（a）中，我们知道了人长时间做功的功率；在前面的“活动：估测‘引
体向上’的平均功率”中，我们对人体功率有了进一步认识。
然而，人类总在不断挑战自身肌体的极限，你知道人体最大的输出功率是多少吗？专业
运动员和普通人的差距是多大？请进行测算，并查询互联网进行了解。
发展空间
物理在线
根据关系式P = F 和牛顿第二定律F - f = ma 可得匀加速运动的最大速度为
，
所以匀加速运动的时间为
1
40
=
= a
t
s
40
=
s。
物理 必修 第二册
84
● 动能 动能定理
▲ 图4-3-1 子弹击穿苹果
▲ 图4-3-2 海啸掀翻汽车、摧毁房屋
▲ 图4-3-3 风推动叶片转动
动能 动能定理
3
我们在初中物理课程中学过，功和能是两个联系密切
的物理量，一个物体能够对其他物体做功，我们就说这个
物体具有能量（energy）。如高速运动的子弹能击穿苹果（图
4-3-1），海啸（高速运动的海水）能掀翻汽车、摧毁房屋
（图4-3-2），风（高速运动的空气）能推动叶片转动（图
4-3-3），这些都说明运动的物体可以做功，具有能量。物
体由于运动而具有的能量叫作动能（kinetic energy）。
我们已经知道，物体的质量越大，速度越大，它的动
能就越大，那么物体的动能与其质量和速度的大小有怎样
的定量关系呢? 我们可以通过牛顿运动定律和运动学的知
识来研究这个问题。
理论探究
如图4-3-4所示，在光滑的水平面上，一个质量为m的物体在恒定拉力F的作
用下发生一段位移x，速度由
1增大到
2。在此过程中，物体运动的速度
1、
2跟
拉力F、位移 x 之间有什么关系呢？
第四章 机械能及其守恒定律
85
动能定理W = DEk 中的W 应理解为W 总，这里的“总”字是指：
①如果这个过程中有多个力对物体做功，指的是这些力所做的功的总和；
▲ 图4-3-4 做功与动能的变化
根据牛顿第二定律
F = ma
由匀变速直线运动公式
-
= 2ax，有
a
x
2
=
由此可得
a
ma
Fx
2
=
⋅
由于
W = Fx
于是有
还可以从理论上证明，物体在变力作用下做曲线运动
时，上面的关系式仍然成立。分析上述的等式，可以发现：
①等式左边的W是这段过程中外力对物体所做的功；
②等式右边是两项之差，这两项都只与物体的质量以
及这段过程始、末状态的速度有关，即只与物体的运动状
态有关，它表征物体的一种能量。物理学中把
叫作
物体的动能，用Ek表示，即
物体的动能等于物体的质量与速度大小的二次方乘
积的一半。动能是标量，在国际单位制中，它的单位是焦
耳，这是因为
1 kg·m
2/s
2=1N·m =1 J
有了动能的表达式后，外力对物体做功与物体动能变
化的关系可以写为
W = Ek2 - Ek1
式中W表示外力对物体所做的功，E k2和E k1分别表示
物体的末动能和初动能，即
，
。该
式称为动能定理，也可写成
W = DEk
讨论交流
物理 必修 第二册
86
②一个过程中如果做功的力是变力，应把整个过程分成若干小段，使得每一
小段的力可以认为是恒力，分别求出这些小段中力所做的功，再求它们的总和。
请与同学交流你对W 总的理解。
滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运
动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮
丽风光。如图4-3-5所示，人坐在滑沙板上
从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑，设下
滑时受到的恒定阻力是重力的0.3倍，沙坡
长度L为100 m，斜面倾角θ为30°，重力加
速度g取10 m/s
2，求人滑到斜面底端时的速
度大小。
研究对象是人和滑沙板，它们的质量m未知。在应用动能定理求解时，对
人和滑沙板做功的力只有重力和摩擦阻力，它们与质量m都有确定的数值关系，
而动能中同样涉及质量m，两边可以消去，因此可以求出人和滑沙板滑到斜面底
端时的速度大小。
人和滑沙板受到重力、支持力和阻力的作用，重力做功为mgLsina，支持力
不做功，阻力做功为-0.3 mgL，初动能为Ek1 = 0。应用动能定理
WG + Wf = Ek2 - Ek1
0
2
1
3.0
sin
−
−
mgL
mgL
θ
代入数值后，得
= 20 m/s
请试用牛顿第二定律和匀变速直线运动公式进行解答，和上述解法进行比
较，看一看哪种解法更合理、更简便。
如图4-3-6所示，C919客机（COMAC C919）是我国首款按照最新国际适
航标准研制的干线民用飞机。某型号的C919客机最大起飞质量为7.25×10
4kg，起
飞时先从静止开始滑行，当滑行1200 m时，达
到起飞速度288 km/h。在此过程中如果飞机受
到的阻力是飞机重量的0.02倍。求此过程中飞
机发动机的牵引力所做的功W。（g =10 m/s
2）
本题已知飞机滑行过程的初、末速
分析
分析
分析
分析
问题1
问题1
问题2
问题2
解
例题示范
拓展
拓展
▲ 图4-3-5 滑沙运动
▲ 图4-3-6 C919客机
第四章 机械能及其守恒定律
87
解
通过理论推导得出的结论，还要经过实验
的证明和实践的检验。下面是两种实验验证动
能定理的方案。
方案1 借用“探究a 与F、m 之间的关系”
的实验装置进行实验，如图4-3-7 所示。把滑
轮下挂的砝码及砝码盘所受的总重力视为对小车的拉力，
测量拉力F 与小车质量m，通过分析纸带上的点迹，计
算小车在打下各计数点时的瞬时速度，进而计算出小车
在各计数点间运动的过程中拉力F 对它做的功W 以及该
过程中增加的动能，如果二者在误差允许的范围内相等，
则验证了在这个过程中外力对小车做的功等于它的动能
的增量。
如果在小车经过的路径上的某两个位置固定两个光
电门，在小车上固定一个挡光片，就可以测量出小车通过
这两个光电门时的瞬时速度，再量出这两个光电门间的距
离，不用打点计时器和纸带，同样可以验证动能定理。
度，可以知道它在滑行过程中增加的动能，因此应用动能定理求出合力所做的
功，进而求出飞机发动机牵引力所做的功。
飞机的初动能Ek1= 0，末动能
，阻力做功为Wf = - fx = -0.02 mgl，
应用动能定理，有
W + Wf = Ek2 - Ek1
02
.0
mgl
W
+
代入数值后，得
W ≈ 2.50×10
8J
本题牵引力是恒力还是变力？如果是变力，理论上可以用牛顿运动定律与
运动学知识求解，但目前我们的数学知识不够，而且比较烦琐。动能定理不涉及
物体运动过程中的加速度和时间问题，因此用它解决问题就比较方便。
拓展
拓展
▲ 图4-3-7 验证动能定理的实验装置
飞机滑行时除了受地面
阻力外，还受到空气阻力，
空气阻力随速度的增加而增
加。本题中的“阻力”是变
化的阻力在这段位移中的平
均值。
● 动能定理的实验证明
物理 必修 第二册
88
方案2 使用数据实时采集系统进行验证。在小车上
固定一个无线力传感器以及位移传感器的发射器，在它的
对面固定位移传感器的接收器，并连接到计算机上。位移
传感器可以连续测量多组小车位置的数据，并由计算机计
算出小车经过各点时的瞬时速度的值。力传感器则可以测
量各时刻小车受到的拉力，数据实时采集系统把它们都采
集后传给计算机，输入相应的公式即可计算得出各段时间
内拉力所做的功W以及相应时间段的始末速度，从而验证
这个过程中动能定理是否成立。
如图4-3-8 所示是上述方案1 中验证动能定理的实验得到的一条纸带，起
始点O 至各计数点A、B、C、D、E、F、G 的距离依次为15.50cm、21.60cm、
28.61cm、36.70cm、45.75cm、55.75cm、66.77cm，相邻计数点间的时间间隔为0.1 s，
小车所受拉力F 为0.2 N，小车的质量m 为200g。在从O 到F 的运动过程中，拉
力F 所做的功与小车动能增加量各是多少？可以说这个过程的数据与动能定理相
符吗？
拉力F所做的功等于力F与O、F间位移的乘积。由于O为起点，初速度为
零，经过F点时的动能即为这个过程中动能的增量，而它等于质量m与经过F点时
的速度
F的二次方的乘积的一半， 即
。
拉力F所做的功W = F • OF= 0.2×0.5575J = 0.1115J
小车动能的增量
二者相比较，在误差允许的范围内相等，因此可以说这个实验的结果与动能
定理是相符的。
实验所得的结果，拉力所做的功W稍大于小车增加的动能DEk，这是合理
的。因为在运动过程中，除了拉力做功以外，还存在着阻力（包括摩擦阻力以及
空气阻力等）做负功，我们只计算了拉力做的功，而忽略了阻力做的功，因此造
成了这种误差。
分析
分析
问题
问题
拓展
拓展
解
例题示范
▲ 图4-3-8 实验打出的纸带
第四章 机械能及其守恒定律
89
自我评价
1. 1970 年4 月24 日，我国第一颗人造卫星——“东
方红1 号”发射成功，如图4-3-9 所示。这颗卫星的质量为
173 kg，设卫星以第一宇宙速度7.9 km/s 进入太空，则它进
入太空时的动能是多少？
2. 一颗质量为0.01 kg 的子弹以600 m/s 的速度垂直射
穿一块厚度为1 cm 的固定木板，已知子弹穿过木板后的速
度为400 m/s，求木板对子弹的阻力所做的功。
3. 2012 年11 月，歼-15 舰载机在“辽宁号”航母上首降成功，某歼-15 舰载机质量
为2.5×10
4 kg，着舰速度为40 m/s，飞机着舰后所受空气和甲板平均阻力为2×10
4 N，航
空母舰静止在水中不动。求：
（1）飞机着舰后，如果仅受空气和甲板阻力作用，航母甲板至少多长才能保证飞机不
滑到海里？
（2）为了让飞机在航母的跑道上停下来，甲板上设置了
阻拦索让飞机减速；同时考虑到飞机尾钩挂索失败需要复飞
的情况，飞机着舰时不关闭发动机。如图4-3-10 所示为飞机
尾钩钩住阻拦索后某时刻的情景，此时发动机的推力大小恒
为2×10
5 N，空气和甲板阻力保持不变，飞机滑行100 m 停下，
则阻拦索对飞机做的功是多少？
4. 汽车具有良好的制动性能，在紧急情况下，可以化险为夷。在一次汽车制动性能的
测试中，司机踩下刹车踏板，使汽车在阻力作用下逐渐停止运动。如图4-3-11 所示，记录
的是汽车以不同速率行驶时，制动后所通过的距离。请根据图中的数据，分析以下问题：
（1）为什么汽车的速率越大，制
动的距离也越大？
（2）汽车上有2 名乘客，再做同
样的测试，制动距离会变化吗？试
分析原因。
（3）如果汽车（没有乘客）在以
60 km/h 的速率开始制动，那么制动
的距离是多少？说明你分析的依据和
过程。
▲ 图4-3-9 东方红1号
▲ 图4-3-10
▲ 图4-3-11
20km/h
30km/h
40km/h
60km/h
4m
9m
16m
?
除了教科书中提供的方案外，验证动能定理的方案还有哪些？请自选器材，设计实验，
验证动能定理。
发展空间
实验室
物理 必修 第二册
90
▲ 图4-4-1 珠穆朗玛峰的雪崩灾难
▲ 图4-4-2 举高的物体具有
重力势能
势 能
4
珠穆朗玛峰是世界最高峰，被称为“世界屋脊”。
山峰顶部终年被冰雪覆盖，地形陡峭险峻，是世界登山
运动爱好者瞩目和向往的地方。然而雪崩暴发时，积雪
将以排山倒海之势，摧毁沿途的一切，如图4-4-1所示。
h
mg
这是因为位于高处的积雪蕴含着巨大的能量，当它顺
着山体滑落时，这种能量就会释放出来。在物理学中，物
体由于位于高处而具有的能量叫作重力势能（gravitational
potential energy）。
在初中我们学过，重力势能的大小跟物体的质量和所
处的高度有关。物体的质量越大、高度越高，物体的重力
势能就越大（图4-4-2）。那么，物体的重力势能跟物体的
质量和高度到底是怎样的定量关系呢？我们仍从功能关系
出发进行讨论。
第四章 机械能及其守恒定律
91
● 重力做功的特点
物体沿上述三条路径从A 移到B，重力对物体所做的功
W重力A → B = mg • Dh= mgh1 - mgh2
由此可以得出结论：重力对物体所做的功与物体的运
观察思考
如图4-4-3所示，设想你要从天桥桥面到地
面，可以有不同的选择：或是沿楼梯走下来，
或是乘坐自动扶梯，或是坐垂直电梯下到地面
再走一段平路。请问，沿这三种不同的路径下
桥，重力所做的功相等吗?重力做功与物体运动
的路径有关吗？
▲ 图4-4-3 沿不同的路径下天桥
如图4-4-4 所示，设质量为m 的物体，从高度为h1 的位置A 沿三种不同的
路径运动到高度为h2 的位置B。
路径1 ：沿竖直方向到与B 高度相同的C 点，再沿水平方向移到B ；
路径2 ：沿倾斜的直线运动到B ；
路径3 ：沿图中曲线运动到B。
请分别计算这三种情况下重力对物体所做的功。
（提示：对于路径3 中的曲线，我们可以将其分割成一个个小段进行分析，
而每一小段曲线都可以近似看作一段倾斜的直线。）
通过比较，你能得出什么结论？
活动
▲ 图4-4-4 研究重力做功是否与路径有关
物理 必修 第二册
92
● 重力势能
我们继续分析上面的式子：等式右边的两项分别是
物体所受的重力mg与它所处的位置高度h的乘积，它正是
由物体的位置决定的一种能量，称为重力势能，常用Ep表
示，即Ep1 = mgh1，Ep2 = mgh2。重力势能是标量，在国际
单位制中的单位是焦耳，简称焦，符号为J。
1 kg • m • s
-2 • m = 1 N • m = 1 J
要注意的是，h1与h2都是相对于h = 0的平面而言的，
在这个平面处，物体的重力势能等于零，称为零势能面。
零势能面原则上是可以任意选取的，因此一个物体的势能
的数值是相对的（相对于零势能面）。
可以发现，重力所做的功等于物体重力势能的减少
量，WG=Ep1-Ep2。重力势能的变化量DEp与零势能面的选
取无关。
当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能
减少，也就是W G＞0，E p1＞E p2，重力势能减少的数量等
于重力所做的功；当物体由低处运动到高处时，重力做负
功，重力势能增加，也就是WG＜0，Ep1＜Ep2，重力势能增
加的数量等于物体克服重力所做的功。
动路径无关，仅由物体的质量和初、末两个位置的高度差
决定。
如图4-4-5 所示，花盆位于图中的B 点，它的质
量为200 g，重力加速度g 取10 m/s
2。
（1）图中花盆相对于A、C、D 各点的重力势能各
是多少？
（2）将花盆（重心位置）从B 位置移动到C 位置或
A 位置，花盆所受的重力做多少功？
花盆相对于A 点的重力势能，就是以A 点处为重
力势能的零点，花盆位于A 点的下方，其高度值取负值。
若以C 或D 点为势能零点，则B 点相对于它们的高度
分析
分析
问题
问题
例题示范
▲ 图4-4-5 花盆的重力势能
是相对的
h2=50 cm
h3=30 cm
h1=20 cm
A
B
C
D
第四章 机械能及其守恒定律
93
● 弹性势能
如图4-4-6所示，射箭比赛中，运动
员的手一松开，拉满弦的弯弓在往回收缩
时就把箭射出去。可见，发生弹性形变的
物体在恢复原状的过程中能够做功，说明
它具有能量。在物理学中，把物体由于发
生弹性形变而具有的能量叫作弹性势能
（elastic potential energy）。
▲ 图4-4-6 弯弓搭箭
解
值取正值。
花盆从B 移动到C 点处或A 点处重力所做的功，等于该过程中重力势能的
减少量，而重力势能的减少量与势能零点的选取无关，因此我们可以取B 点的
重力势能为势能零点，从而计算会简单些。
（1）相对于A 点的重力势能为Ep1 = mghB 对A = 0.2×10×（-0.2）J= -0.4J
相对于C 点的重力势能为Ep2 = mghB 对C = 0.2×10×0.5J = 1.0J
相对于D 点的重力势能为Ep3 = mghB 对D = 0.2×10×0.8J = 1.6J
（2）选取B 点为势能零点，则从B 移动到C 点处重力势能的减少量
EpB - EpC = 0 - mg • hC 对B = 0-0.2×10×（-0.5）J = 1.0J
从B 移动到A 点处重力势能的减少量
EpB - EpA = 0 - mg • hA 对B = 0 - 0.2×10× 0.2J = -0.4J
即从B 移动到C 点处重力做功1.0 J，从B 移动到A 点处重力做功-0.4 J。
（1）物理量的变化量，又称为“增量”，指的是末态减去初态，例如动
能的变化量，常写作DEk = Ek2 - Ek1。同样，重力势能的变化量是DEp = Ep2 - Ep1。
重力做功与重力势能变化的关系是：重力所做的功等于重力势能的减少，即
W 重力= Ep1 - Ep2 =-（Ep2 - Ep1）=-DEp。
（2）物体在某一过程中重力势能的变化量是比
物体在某一位置时的重力势能更有意义的物理量，
因为它与重力做功直接联系着。在求某个过程中重
力势能的变化时，由于重力势能的变化量与选择的势能零点无关，因此可以根
据实际情况，以计算上最简单为原则选定合适的位置作为零势能点。
拓展
拓展
重力做的功等于重力势
能的减少量，这与有没有其他
外力对物体做功无关。
物理 必修 第二册
94
● 势能是系统所共有的
重力是由于地球的吸引而产生的，它是地球与物体
组成的系统的内力。研究重力做功，本应既考虑重力对物
体所做的功，也考虑它的反作用力，即对地球的引力所做
的功，但由于地球与地面上的物体相比较，质量可以看作
无穷大，地球的位移完全可以忽略，因此不必考虑物体吸
引地球的力对地球运动的影响，只需考虑重力对物体的影
响，这就是我们常常说“物体的重力势能”的原因。但这
只是一种通俗的说法，实际上，重力势能是地球和受重力
作用的物体组成的系统所共有的，不是地球上的物体单独
具有的。这一点从重力势能的表达式Ep = mgh可以看得很
一个物体的形变量越大，弹性势能越大。重力势能和
弹性势能是势能的两种不同类型。
观察思考
如图4-4-7所示是物体具有或利用弹性势能的情形。你还能再列举出物体具有
弹性势能的一些例子吗？你认为弹性势能的大小与什么因素有关？
▲ 图4-4-7
（a） 蹦床
（b） 撑竿跳
（c） 弹簧拉力器
重力是如何产生的？若地球消失，物体的重力势能还存在吗？
弹力是如何产生的？单独一个物体能发生弹性形变而具有弹性势能吗？
讨论交流
在物理学中，我们还会
遇到分子势能、电势能等概
念，但只有重力势能和弹性
势能属于机械能的范畴。
第四章 机械能及其守恒定律
95
自我评价
1. 关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）
A. 放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
B. 重力势能的变化量与参考平面的选取无关
C. 重力势能减小时，重力对物体做正功
D. 物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
2. 如图4-4-8 所示，一轻弹簧左端固定，右端连接一物体，物体放在光滑的水平面上。
现对物体施加一作用力F，使物体处于静止状态。然后撤去F，物体将向右运动。则物体从
静止开始向右运动一直到速度再次为零的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧的弹性势能逐渐减少
B. 弹簧的弹性势能逐渐增加
C. 弹簧的弹性势能先减少后增加
D. 弹簧的弹性势能先增加后减少
3. 如图4-4-9 所示，利用现代科技可以实现磁悬浮。若磁悬浮列车的质量为20 t，因磁
场间的相互作用，列车浮起的高度为10 mm，则列车浮起过程中克服重力所做的功是多少？
重力势能增加了多少？
4. 如图4-4-10 所示，假设某跳高运动员质量为60 kg、身高为1.8 m，在某次背越式
跳高中跳过2.1 m 高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为60 cm。取
g = 10 m/s
2，试估算：
（1）上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？
（2）下降阶段重力做了多少功？
▲ 图4-4-9 磁悬浮列车
▲ 图4-4-10 背越式跳高
▲ 图4-4-8
清楚：m是物体的质量，g是重力加速度，它是由于地球
的吸引而产生的，h则是物体相对于地球表面上某一平面
（零势能面）的高度。如果没有地球，就没有g，也谈不
上h了。
与重力势能一样，弹性势能也是弹力装置与受弹力作
用的物体组成的系统所共有的。
物理 必修 第二册
96
发展空间
● 动能和势能的相互转化
机械能守恒定律
5
我们在初中已经知道，动能和势能（包括重力势能和
弹性势能）统称为机械能（mechanical energy）。动能和势
能是可以相互转化的，如果只有它们相互转化，尽管各自
的大小会变化，但机械能的总和不变，即机械能守恒。
那么，在什么条件下才只有动能和势能的相互转化
呢？或者说，在什么条件下机械能守恒？
动能和势能的相互转化是日常生活中常见的现象。
重力势能可以与动能相互转化。如图4-5-1所示的是
小朋友们正在荡秋千的情景：下降过程中重力做正功，
他们的重力势能减少，而他们的速度逐渐变大，动能增加
估算建造明长城人工墙体所消耗的能量
长城是世界上最伟大的军事防御工程，也是古代中国建筑工程的奇迹。从战国时期
到明朝，长城的修建历时2000余年。历经战争、自然灾害等因素的摧残，长城大部分已经
被破坏，现存的长城遗迹主要为明朝所建的明长城。2009年结束的明长城资源调查工作所
获数据显示，河北、北京、天津境内现存明长城广泛分布于三省（直辖市）境内的66个县
（市、区）。其中构成明长城主干的墙体主线东起秦皇岛市山海关区，西行穿越38个县
（市、区）到达晋、冀交界的太行山东麓。明长城总长度为8851.8 km，其中人工墙体为
6259.6 km，天然段2232.5 km，壕堑359.7 km。
若把长城的城墙、烽火台、城台等看成是等高的，取长城的平均高度为7.8 m，平均宽度
为6.5 m。制造长城的材料有青砖、石块、土坯等，我们可以把长城看成是密度为2500 kg/m
3
的巨大石块。你能根据以上数据估算建造明长城人工墙体所消耗的能量吗？
假设共有1000名劳动者参与修建工作，每名劳动者每天消耗150 kcal（1J＝0.24 cal）的
能量来建造明长城，且每个劳动者每年工作360天，则大约需要多少年才能把明长城建好？
走向社会
第四章 机械能及其守恒定律
97
▲ 图4-5-1 小朋友们在荡秋千
▲ 图4-5-2 运动员奋力击球
▲ 图4-5-3 勇敢者挑战蹦极运动
从上述实例我们看到，动能和势能之间的转化是通过
重力或弹力做功来实现的。重力或弹力做正功的过程就是
势能减少的过程，但减少的势能是否一定转化为动能呢？
这是我们要讨论研究的问题。
1. 动能和势能之间的转化与力做的功之间有什么关系？
2. 生活中还有哪些动能和势能相互转化的现象？请举例说明。
了，这时重力势能转化成动能。当他们上升时，一个逆向
的能量转化过程就开始了：重力做负功，他们的重力势能
增加，动能减少，这时动能转化成重力势能。
弹性势能可以与动能相互转化。如图4-5-2所示的是
运动员在比赛中奋力回球的瞬间：网球触拍减速时，克服
网线弹力做功，网线的弹性势能增大，网球的动能减少，
这时动能转化为弹性势能。当网球反弹加速时，网线弹力
对网球做正功，网线的弹性势能减少，网球的动能增大，
这时弹性势能转化为动能。
如图4-5-3所示的是一位勇敢者正在挑战蹦极运动。
他的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之间也会发生相
互转化。
● 机械能守恒定律
功与能量的转化密切相关，我们从力做功的角度分析
能量转化过程中的定量关系。
讨论交流
物理 必修 第二册
98
● 关于机械能转化与守恒的实验观察
让我们观察几个关于机械能转化与守恒的实验，并思
考相关的问题。
只有弹力做功的过程与此类似，系统的动能与弹性势
能之间相互转化而总机械能守恒。
在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能会发生
相互转化，但总机械能保持不变，这就是机械能守恒定律
（law of conservation of mechanical energy）。它是普遍的
能量守恒定律在力学范围内的一种特殊情况，系统机械能
的减少或增加，并不意味着能量的消失或创生。从更普遍
的范围考察发现，能量既不能创生，也不能消失，只能从
一种形式转化为另一种形式，或从一个物体转移到另一个
物体，在这些过程中能量的总量保持不变。
理论探究
我们学习过重力做功与重力势能变化的关系，也学过合力做功与物体动能
变化的关系，这两个关系用公式表示分别是:
W重力 = -DEp = Ep1 - Ep2
①
W合力 = DEk = Ek2 - Ek1
②
如果只有重力对物体做功，根据①式，其重力势能减少，减少量等于重力
所做的功；而这个重力所做的功，就是合力对物体所做的功，根据②式，这个
功的数值就等于物体增加的动能，即
-DEp = DEk
③
将③式改写成Ep1- Ep2 = Ek2 - Ek1，并移项整理，得
Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2
④
③式表明，系统势能的减少等于动能的增加；
④式则表明，系统不同时刻的动能与势能之和，即
总机械能保持不变。这说明，在只有重力做功的过
程中，系统的机械能守恒。
由于我们没有学习弹性
势能的表达式，因此这里不作
理论推导。
第四章 机械能及其守恒定律
99
观察思考
1. 将小钢球用长约1.5 m的细线悬挂在黑板前方，如图4-5-4所示。将小球
拉至细线与竖直方向约成30°角的A位置，并在黑板上画一条与A位置等高的水
平线。在A位置由静止释放小球，让它在竖直平面内摆动。观察发现，小球可
以摆到跟释放点A等高的B位置。用一根笔芯抵在悬挂点正下方的某点P处，挡
住细线，再进行观察，发现小球能摆到与A点近似等高的B'处。
根据观察到的实验现象思考：
（1）在这个过程中，小球受到哪几个力的作用？它们中哪些力做功？哪些
力不做功？
（2）小球在摆动过程中总能回到原来的高度，好像“记得”自己原来的高
度，从能量的角度看，这个现象说明了什么？
2. 如图4-5-5所示为伽利略斜面实验装置，小钢
球在左侧倾斜轨道某一位置由静止释放后，会沿着
轨道来回运动。请注意观察：小钢球能否回到原来
释放点的高度？分析其中的原因。
▲ 图4-5-4 摆球在做往复运动
▲ 图4-5-5 钢球沿轨道往复运动
小球在摆动过程中，如
果细线的伸长不能忽略，它
对小球的拉力还不做功吗？
在摆球实验中，由于细线是不可伸长的，因此细线对
小球的拉力与小球的运动方向垂直，拉力不做功。忽略空
气阻力的影响，只有重力对小球做功，机械能守恒，因此
小球能回到原来的高度。但仔细观察，会发现小球回来的
高度与原来的高度总差上一点，这又是为什么？
在如图4-5-4 所示的实验中，将小钢球换成乒乓球，
会产生怎样的现象？先动手做一做，再将观察到的现象与
小钢球的摆动现象作比较，想一想其中的原因。
比较上述三个实验现象，我们不难发现，“只有重力
做功”是系统机械能守恒的必要条件。当摩擦力或空气阻
物理 必修 第二册
100
力做功不能忽略时，重力势能就不能全部转化成动能，或
者动能就不能全部转化成重力势能。
如图4-5-6 所示，滑块在弹簧的作用下沿水平气垫
导轨做往复运动。仔细观察滑块的运动过程，思考以下
问题：
（1）滑块受到几个力的作用？各个力做功的情况是怎
样的？
（2）有哪些形式的能量参与转化？如何转化？转化过
程中，弹簧和滑块组成的系统机械能守恒吗？
如图4-5-7 所示，弹簧下端悬挂的钩码在竖直方向
上做往复运动。你认为运动过程中，弹簧与钩码组成的
系统的机械能守恒吗？为什么？
▲ 图4-5-6 滑块沿水平方向做往复运动
▲ 图4-5-7 重物挂在弹簧下
沿竖直方向做往复运动
● 机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律是力学中的一条重要规律，利用这一
规律，可以方便地解决生活和生产中的许多问题。
如图4-5-8 所示是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的
轨道有一个小坡度，电车进站时要上坡，出站时要下坡。如果坡高2 m，电车到
a 点时速度是25.2 km/h，此后便切断电动机的电源，不考虑电车所受的摩擦力。
（1）电车能否冲上站台bc ？
（2）如果能冲上，它到达b 点时的速度是多大？（g 取10 m/s
2）
电车进站和出站的过程中，已经切断电源，即不再受到发动机的动力，据
题意也不考虑所受的摩擦阻力，则这个过程中只有重力做功，满足机械能守恒的
条件，可以应用机械能守恒定律解决问题。
（1）取a 点所在的水平面为重力势能的参考平面，电车在a 点的机械能为
E =
=
Ek
分析
分析
问题
问题
解
例题示范
b
a
h
c
▲ 图4-5-8 电车进站
第四章 机械能及其守恒定律
101
拓展
拓展
式中
1 = 25.2 km/h = 7m/s
根据机械能守恒定律，这些动能全部转化为势能，有
mgh
因为h' > h，所以，电车能够冲上站台。
（2）设电车到达b 点时的速度为
2，据机械能守恒定律，可列出
所以
电车到达b 点时的速度是3 m/s。
（1）从能量转化的角度分析解决这类问题的优点是不需要考虑变化过程
中的细节，从而使问题的解决变得简单。
（2）如果不选取a 点所在的水平面为重力势能的参考平面，可否利用机械
能守恒定律解答本题？请试一试。
自我评价
1. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B. 做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒
C. 外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D. 系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
2. “神舟”载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱（与地球组成的系统）
的机械能是守恒的（ ）
A. 飞船升空的阶段
B. 飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C. 返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D. 降落伞张开后，返回舱下降的阶段
3. 从高楼的窗户随意向外丢东西是很危险的。若某人从十楼的窗户以8 m/s 的速度向外抛
出一只苹果，你能估算出苹果落地时的动能吗（空气阻力不计）？你认为还需要知道哪些物理
量？你估计这些物理量应该是多大？苹果落地时的动能与苹果抛出时的初速度方向有关吗？
4. 以20 m/s 的速度将一物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，g 取10 m/s
2，求：
（1）物体上升的最大高度；
（2）以水平地面为零势能面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置距离地面多高？
物理 必修 第二册
102
发展空间
5. 质量为30 kg 的小孩荡秋千，运动过程中偏离竖直方向的最大角度为60°，则每根秋
千绳承受的最大拉力为多少？（不计空气阻力）
粗测圆珠笔中弹簧的弹性势能
有一种能伸缩的圆珠笔，其内装有一根小弹簧，尾
部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。使笔的尾部
朝下，如图4-5-9所示，将笔向下按压，使小帽缩进。然
后放手，可见笔将向上弹起至一定的高度。请你用这样
的实验，粗测压笔尾部的小帽时其内部弹簧弹性势能的
增加量。
▲ 图4-5-9 尾部装有弹簧的圆珠笔
机械能守恒定律是力学中的一条重要规律。我们可以
通过实验来研究物体自由下落过程中动能与势能的变化，
从而验证机械能守恒定律。
1. 实验目的
验证只有重力做功时，系统的机械能守恒。
2. 实验装置
如图4-6-1所示。
3. 实验原理
在重物自由下落的过程中，如果它受到的空气阻力
和纸带受到的摩擦力可以忽略不计，则机械能守恒，即
实验室
实验：验证机械能守恒定律
6
第四章 机械能及其守恒定律
103
▲ 图4-6-1 验证机械能守恒定
律的装置
▲ 图4-6-2 在纸带
上选取若干个点
系统机械能的总量保持不变。以重物下
落过程中的某一点A为参考，设重物的
质量为m，利用纸带可以测出重物对应
于A点的速度
A，再测出重物由A点下落
Dh后经过B点的速度
B。在误差允许范围
内，若等式
成立，
则机械能守恒定律得到验证。
4. 实验操作
按图4-6-1所示的装置装配好实验器
材。先接通电源，后释放纸带，让重物
自由下落。打点计时器在纸带上打下一
在完成验证机械能守恒定律的实验后，请思考以下问题并与同学讨论：
（1）重物下落时，除了重力外还会受到哪些力？怎样减少这些力对实验的影响？
（2）实验时，是否必须测量重物的质量？为什么？
（3）重物下落过程中各点的瞬时速度应该如何计算？
讨论交流
系列点，在点迹清晰的纸带上，沿着物体下落的方向，依
次取若干个连续的点，并标记为 0、 1、 2、 3⋯⋯（图
4-6-2）选定两个计数点，测出它们之间的距离和重物在
各点的速度。设计实验数据表格，并将测量和计算的数据
记录在表格中，验证这一过程中机械能是否守恒。
5. 实验分析
经过分析可以知道：
重物下落时，除了受到重力以外，还受到空气阻力，
同时纸带受到摩擦阻力。因此可以选密度大、体积小的物
体来减小阻力的影响。
由于我们要验证的是动能的增加量与重力势能的减少量
相等，其表达式为
，表达式两边都含
物理 必修 第二册
104
自我评价
1. 一个人站在阳台上，以相同的速率分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出和水平
抛出，不计空气阻力，则三个球落地时的速率（ ）
A. 上抛球最大
B. 下抛球最大
C. 平抛球最大
D. 三个球一样大
2. 在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列说法正确的是（ ）
A. 必须要用天平称出重锤的质量
B. 实验时，当松开纸带让重锤下落的同时，立即接通电源
C. 开始时用手提着纸带比用夹子夹着纸带效果更好
D. 实验结果应该是动能的增加量略小于重力势能的减小量
3. 如图4-6-3 所示是用落体法验证机械能守恒定律的实验
装置示意图。现有的器材为：带铁夹的铁架台、电火花打点计
时器、纸带、带铁夹的重物、天平。回答下列问题：
（1）为完成此实验，除了以上的器材，还需要的器材有下
面的哪些？
A. 毫米刻度尺
B. 秒表
C. 0 ～12 V 的交流电源
D. 0 ～12 V 的直流电源
（2）在实验中打点计时器所接交流电频率为50 Hz，当地重力加速度g = 9.8 m/s
2，实验
选用的重物质量m = 1 kg，纸带上打点计时器打下的连续计数点A、B、C 到打下第一点O
的距离如图4-6-4 所示。则从打下O 点至B 点的过程中，重物重力势能的减少量DEp 及动能
的增加量DEk 各是多少？（计算结果均保留3 位有效数字）
（3）通过计算发现， DEk 与DEp 相比较，哪一个较大？为什么？
▲ 图4-6-3
▲ 图4-6-4
cm
有物体的质量，所以只需要验证表达式
h
g
A
B
∆
=
−
2
2
2
1
2
1
即可。
而我们通常利用“中间时刻的瞬时速度等于这段时间
的平均速度”的方式计算瞬时速度，在本实验中这个方式
可靠吗？请想想其中的原因。
第四章 机械能及其守恒定律
105
反思 • 小结 • 交流
发展空间
用数字化仪器验证机械能守恒
实验装置如图4-6-5所示。由于摆线的拉力始终与小球运动
的方向垂直，不做功，因此在忽略空气阻力的条件下，实验中
只有重力对摆球做功。
实验中，每次将球从同一位置由静止释放，将数字化仪器
装置中的光电门先后放在A、B、C、D各点，测出摆球经过各点
时的遮光时间，利用摆球的直径大小，就可以计算出摆球经过
A、B、C、D各点时的速度。再用刻度尺分别测出A、B、C各点
相对D点的高度。
运用所得数据，可以验证摆球的机械能是否守恒。
A B
C
D
ٵ⩡䬔
▲ 图4-6-5
实验室
学后反思
1．相对于初中物理，高中阶段对“功”的概念有了哪些更深入的理解？
2．如何理论推导动能定理？
3．实验探究合力的功与动能关系的基本方法是什么？还可以有哪些简易的方法？
4．说说运用动能定理与牛顿运动定律解决问题各自的优点和不足。
5．重力做功的特点是什么？重力做功与重力势能变化的关系是什么？
6．摩擦阻力、空气阻力做功有什么特点？
7．机械能守恒的条件是什么？
自主小结
1．准确表述功、功率、动能、势能、机械能等概念。
2．理解动能定理，明确运用动能定理解决问题的基本思路。
3．理解机械能守恒定律，明确运用机械能守恒定律解决问题的基本思路。
相互交流
1．从“功”的概念的起源谈谈物理学与技术之间的关系。
2．通过本章学习，说说从“能量”角度思考运动问题通常用到哪些思维方法。
物理 必修 第二册
106
本章复习题
1．篮球运动员的定点跳投动作可分解如下：静
止在地面上的运动员先屈腿下蹲，然后突然
蹬地，重心上升双脚离开地面，离地后重心
继续上升，到达最高点后投出篮球。已知某
运动员的质量为m，双脚离开地面时的速度
为，从下蹲到最高点的过程中重心上升的高
度为h，下列说法正确的是（ ）
A．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的
功为mgh
B．从下蹲到离开地面，地面对运动员做的功
为零
C．从下蹲到离开地面，运动员的机械能增加
了mgh＋m 2
D．从下蹲到最高点，运动员先超重后失重
2．作为高一学生的你参加引体向上体能测试，在
20 s 内完成10 次标准动作，每次引体向上的
高度约为50 cm，则此过程中你克服重力做功
的平均功率最接近于（ ）
A．0
B．150 W
C．300 W
D．450 W
3．某同学身高1.80 m，在运动会上他参加跳高
比赛，起跳后身体横着越过了1.80 m高的横
杆。据此可估算出他起跳时竖直向上的速度
大约为（ ）
A．2 m/s
B．4 m/s
C．6 m/s
D．8 m/s
4．“蹦极”是一种很有挑战性的运动。如图所示，
某人身系弹性绳从高空P处自由下落，做蹦
极运动，图中a是弹性绳原长的位置，c是人
所到达的最低点，b是人悬空静止时的平衡位
置，不计空气阻力，则人到达
点时动能最大，人到达
点时弹
性绳的弹性势能最大。
5．物理量有状态量和过程量之分，状态量仅由
状态来决定，跟如何到达该状态的过程无
关，而过程量则由物体经历的过程来决定。
功是状态量还是过程量？能量是状态量还是
过程量？
6．如图所示，张明同学在做值日擦桌面时，不
慎将桌面上的橡皮扫出桌面，已知橡皮落地
时的速度方向与竖直方向的夹角为θ。若不计
空气阻力，取地面处为重力势能参考平面，
橡皮被扫出桌面时的动能与它的重力势能之
比等于多少？
7．质量为m的汽车在一山坡上行驶，下坡时若关
掉油门，则汽车的速度保持不变。如以恒定
的功率P下坡，求汽车速度由
0增至3
0的时
间。（设两种情况下阻力相同）
8．如图所示，光滑半球的半径为R，球心为O，
固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨
道AB，高度为
。轨道底端水平并与半球顶
端相切。半径可不计、质量为m的小球由A点
静止滑下，最后从B点离开，首次落在水平面
上的C点。重力加速度为g，求：（1）OC之
间的距离；（2）小球运动到C点的速率。
▲ 第8题图
▲ 第4题图
▲ 第6题图
