3.万有引力理论的成就（举一反三讲义）（原卷版）_2026高考物理_222026版物理《高考一轮复习举一反三》全国版_2026《高中物理•举一反三系列》必修二(RJ)_第七章万有引力与宇宙航行

第 3 节 万有引力定律的成就 目录 【学习目标】...............................................................................................................................................................1 【思维导图】...............................................................................................................................................................1 【知识梳理】...............................................................................................................................................................2 知识点1：计算天体的质量................................................................................................................................2 知识点2：计算天体的密度................................................................................................................................3 知识点3：天体环绕问题....................................................................................................................................4 知识点4：万有引力与重力的关 系.....................................................................................................................6 【方法技巧】...............................................................................................................................................................8 方法技巧 “g”的桥梁作用...................................................................................................................................8 方法技巧 解决天体问题的思路.........................................................................................................................8 【巩固训练】...............................................................................................................................................................8 【学习目标】 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 2.了解“称量”地球质量，计算天体质量的基本思路。 3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。 重点： 1.掌握计算天体质量和密度的方法； 2.能计算卫星绕中心天体做圆周运动的物理量； 难点： 1.掌握计算天体质量和密度的方法； 2.掌握地球表面万有引力与重力的关系，并能解决实际问题； 【思维导图】【知识梳理】 知识点 1：计算天体的质量 1．重力加速度法测天体质量 不考虑天体的自转，在天体表面，物体所受重力近似等于天体对物体的万有引力，即𝑚𝑔= （其中𝑚为物体质量，𝑔为天体表面重力加速度，𝐺为引力常量，𝑀为天体质量，𝑅为天体自身半径），中 心天体的质量𝑀= 。 2．天体环绕法测天体质量 质量为𝑚的行星（或卫星）围绕质量为𝑀的中心天体做匀速圆周运动，已知环绕轨道半径为𝑟，环绕周期为 𝑇，万有引力提供行星（或卫星）所需的向心力，即𝐺 𝑀𝑚 = ，可得𝑀= 𝑟2 注意“R”、“r”的区别 上述两种方法中，“R”是中心天体的半径、“r”是环绕行星（或卫星）的轨道半径，只有中心天体 表面的环绕卫星时，r=R。 【典例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球 表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（ ） gR gr2 4π2r3 4π2r A． B． C． D． G G GT2 GT2【变式1】据《甘石星经》记载，我国古代天文学家石申，早在2000多年前就对木星的运行进行了精确观 测和记录。若已知木星公转轨道半径r，周期T，木星星体半径R，木星表面重力加速度g，万有引力常 量G。则太阳质量（ ） gR2 gr2 A．M  B．M  G G 4p2r3 4p2R3 C．M  D．M  GT2 GT2 【变式2】一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在 地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（ ） Gt2 2hR2 hR2 2Gt2 A．M  B．M  C．M  D．M  2hR2 Gt2 2Gt2 hR2 【变式3】行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图甲所示的模型，R为该行星除 发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观 测，发现发光带中的物质绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的倒数之间关系如图乙所示，已知 图线斜率为k，则该行星的质量为（ ） G k kR A． B． C． D．无法求解 k G G 知识点 2：计算天体的密度 若中心天体半径为R，则天体的体积V= (1) 重力加速度法：天体质量 𝑀= ，则天体密度𝜌= 𝑀 = 𝑉 (2)天体环绕法：天体质量 𝑀= ，则天体密度𝜌= 𝑀 = ，当卫星环绕天体表 𝑉 面运动时，𝑟=𝑅 ，此时𝜌= 【典例2】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的 平均密度为（ ）3p(1+k)3 3p p(1+k) 3p A． B． C． D． (1+k)3 GT2k3 GT2 3GT2k GT2 【变式1】我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假 设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67´10-11N×m2/kg2．以周期T稳定自转的星体的 密度最小值约为（ ） A．5´109 kg/m3 B．5´1012kg/m3 C．5´1015kg/m3 D．5´1018kg/m3 1 【变式2】卫星在不同轨道上绕地球做匀速圆周运动，卫星速率平方的倒数 与轨道到地面的高度h的关 v2 系图像如图所示，已知图线的纵截距为b，斜率为k，引力常量为G，则地球的密度可表示为（ ） 3b3 3k2 3Gk2 3k3 A． B． C． D． 4pGk4 4pGb3 4pb3 4pGb2 【变式3】2024年1月18日，由大连理工大学研制的“大连1号—连理卫星”从天舟六号货运飞船成功释放 入轨，并成功回传高清图像。若“连理卫星”的轨道可视为圆周，已知引力常量和“连理卫星”距地面的高度 ，再结合下列信息能计算出地球平均密度的是（ ） A．地球对“连理卫星”的万有引力和地球半径 B．“连理卫星”绕地球运动的周期和线速度 C．“连理卫星”绕地球运动的周期和角速度 D．地球两极处的重力加速度和地球自转周期 知识点 3：天体环绕问题 1.环绕天体的运行参量 行星（或卫星）绕中心天体的运动可看作为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。𝐺 𝑀𝑚 = 𝑚𝑎 ，𝑎 = ；轨道半径越大，向心加速度越 ； 𝑛 𝑛 𝑟2 𝐺 𝑀𝑚 = 𝑚𝑣2 ，𝑣 = ，轨道半径越大，环绕速度越 ； 𝑟2 𝑟 𝐺 𝑀𝑚 = 𝑚𝜔2𝑟 ，𝜔 = ，轨道半径越大，环绕角速度越 ； 𝑟2 𝐺 𝑀𝑚 = 𝑚4𝜋2 𝑟 ，𝑇 = ，轨道半径越大，环绕周期越 ； 𝑟2 𝑇2 2.忽略自转，中心天体表面物体的重力近似等于物体所受的万有引力 𝐺 𝑀𝑚 = 𝑚𝑔 ， (该公式通常被称为黄金代换式) ，𝑣 = ，𝜔 𝑅2 = ，𝑇 = ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯 一的，与卫星的质量无关； ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、a 越小，T越大，即越远越慢． n 【典例3】两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，轨道半径之比为1:2，则（ ） A．它们的线速度大小之比为2:1 B．它们的运行周期之比为1:2 C．它们的向心加速度大小之比为1:4 D．它们所受向心力大小之比为2:1 【变式1】由于人造地球卫星在运行中受到大气阻力的影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期 的变化情况分别是（ ） A．线速度变大，周期变小 B．线速度不变，周期变大 C．线速度变小，周期变小 D．线速度变小，周期变大 【变式2】2025年4月25日1时17分，在执行任务的神舟十九号航天员乘组打开“家门”，欢迎神舟二十 号航天员乘组入驻中国空间站。神舟二十号航天员乘组入驻后，空间站仍在原来的轨道（视为近地圆轨道 ）上运行，则（ ） A．空间站的运行周期变长 B．空间站的速度大小不变 C．新入驻空间站的航天员所受合外力为零 D．新入驻空间站的航天员所受合外力比静止在地面上时小【变式3】中国北斗导航卫星系统已经开启了全球服务。其中某颗卫星在距离地面高度为h的圆轨道上运 行。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星的运行周期为（ ） 2πh h 2πh+R h A．T  B．T  R g R g h+R 2πh+R h+R C．T 2π D．T  g R g 知识点 4：万有引力与重力的关系 1.重力是万有引力的一个分力 如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向 地心O，由万有引力公式得F= 。 除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F 提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴，为物 1 体随地球自转做圆周运动的向心力F ；另一个分力F 是重力，产生使物体压地面的效果，就是物体的重 n 2 力mg。 2.重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 Mm (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝F ＋ ，即G ＝mRω2＋mg，所以mg＝ n R2 。 (2)球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝ 。 Mm (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg G ，重力的方向偏离地心。 R2 3．重力、重力加速度与高度的关系 (1)由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近，地球表面的重 Mm 力约等于地球的万有引力，即 ＝G ，所以地球表面的重力加速度g＝ 。 R2(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝ ，所以h高度的重力加速度g＝ 。 【典例4】由于地球有自转，所以在地球表面不同的纬度上重力加速度数值一般不同，纬度越高则重力加 速度越大。假设地球可视为质量均匀分布的规则球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 、在赤 0 道的大小为g，地球自转周期为T，则地球半径可表示为（ ） 4p2 (g -g)T2 A． B． 0 (g -g)T2 4p2 0 g T2 (g +g)T2 C． 0 D． 0 4p2 4p2 【变式1】若地球是质量均匀分布的球体，测得两极附近的重力加速度为g ，赤道附近的重力加速度为g 1 2 。在赤道地面上，一个质量为m的物体随地球自转。则物体（ ） A．受到的万有引力大小等于mg 2 B．对地面的压力大小等于mg 1 C．受到的向心力大小等于mg 1 D．受到的合力大小等于mg -mg 1 2 【变式2】假设未来通过某种技术，在不改变地球半径的情况下，将地球的质量缓慢增大为原来的2倍， 且地球仍可视为均匀球体。若忽略地球自转的影响，同一宇航员在地球表面的重力（ ） 1 1 A．减小为原来的 B．减小为原来的 2 4 C．增大为原来的2倍 D．增大为原来的4倍 【变式3】假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有 所差别。已知地球表面的重力加速度在赤道的大小为g，在两极的大小为kg。则地球表面上北纬37°处的 重力加速度大小为（ ） A． 1＋k2 g B． g 16＋9k2 2 5 3＋k2 1＋3k2 C． g D． g 2 2【方法技巧】 方法技巧 1 “g”的桥梁作用 在地球上运用的运动学规律和动力学规律在其他星球上仍适用。若已知某星球表面物体的平抛运动、自由 落体运动的规律可求得星球表面的重力加速度g，在星球忽略自传的前提下，由万有引力提供重力求得该 星球的质量、半径等信息。 方法技巧 2 解决天体问题的思路 ①建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 ②应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 ③利用𝐺𝑀=𝑔𝑅2——“𝑔𝑅2”代换“𝐺𝑀”，简化及求解。 【巩固训练】 1．北京时间2023年7月27日4时02分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，采取一箭 三星方式，成功将遥感三十六号卫星发射升空。假设某颗质量为m的人造地球卫星绕地球沿圆轨道运行， 其轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则地球的质量为（ ） 4p2r 4p2r3 4pr3 4p2r3 A． B． C． D． GT2 GT GT2 GT2 2.“火卫一”围绕火星做匀速圆周运动，运动的周期为7.66小时，轨道距离火星表面的高度与火星半径之比 为1.766，引力常量G6.67´10-11N·m2/kg2，则火星的平均密度约为（ ） A．4´103kg/m3 B．2´105kg/m3 C．2´107kg/m3 D．4´109kg/m3 3.已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体， 忽略地球自转的影响，则地球质量等于（ ） gR2 gR G G A． B． C． D． G G gR2 gR 4.某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发 现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（ ） GM GM 5GM GM A． B． C． D． 6R3 12R3 6R3 R35.地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r ，周期为T ，月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 1 1 2 周期为T ，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。下列说法正确的是（ ） 2 gr2 A．地球的质量可表示为 1 G 4p2r3 B．地球的半径可表示为 2 gT2 2 r3T2 C．太阳与地球的质量之比为 2 1 r3T2 1 2 r3T2 D．太阳与地球的质量之比为 1 2 r3T2 2 1 6.北斗卫星导航系统是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，其中一颗静止轨道卫星的运行轨道 如图中圆形虚线所示，其对地张角为2q。已知地球半径为R、自转周期为T、表面重力加速度为g，万有 引力常量为G。则地球的平均密度为（ ） 3g 3π 3π 3π A． B． C． D． πGR GT2 GT2sin3q GT2tan3q 7.2025年5月29 日，天问二号探测器成功发射，将对小行星2016HO3开展探测并采样返回。小行星可视 为质量分布均匀的球体，半径约为50m，密度约为地球的一半。已知地球半径为6400km，地球表面的重 力加速度为9.8m/s2。假设探测器仅在小行星万有引力作用下，贴近小行星表面做匀速圆周运动，探测器 的环绕速度最接近（ ） A．4.4´10-3m/s B．4.4´10-2m/s C．4.4´10-1m/s D．4.4m /s8.如图所示，由于地球自转和离心运动，地球并不是一个绝对的球形（图中虚线为圆形），而是赤道部分 凸起、两极凹下的椭球形（图中实线为椭圆），A点为地表上地理纬度为q的一点，在A点有一静止放在 水平地面上物体m，设地球对物体的万有引力仍然可看作是质量全部集中于地心O处的质点对物体的引力 ，地球质量为M ，地球自转周期为T，地心O到A点距离为R，水平虚线为椭圆上过A的切线，则关于 水平地面对该物体的支持力的说法中正确的是（ ） A．支持力沿OA方向向上 B．物体m由所受的万有引力和支持力的合力提供向心力 Mm C．支持力大小等于G R2 Mm æ2πö 2 D．支持力大小等于G -mç ÷ Rcosq R2 è T ø 9.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。已知月球半径为R，地心与月球中心之间 的距离为r，月球绕地球做圆周运动的公转周期为T ，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为 1 T ，引力常量为G，由以上条件可知（ ） 2 4p2r3 4p2r3 A．月球质量为 B．地球质量为 GT2 GT2 1 2 3p 3p C．月球的密度为 D．地球的密度为 GT2 GT2 2 1 10.如图，中国空间站和地球同步卫星在各自轨道上运行，均可看成匀速圆周运动。设空间站及同步卫星运 行的速度和周期分别为v 、v 和T 、T 。则（ ） 站 星 站 星A．v =v B．v >v C．T =T D．T >T 站 星 站 星 站 星 站 星 11.中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星 ，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为T 2.15ms。假 设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为6.67´10-11N×m2/kg2。已知在宇宙中某星体自转速度过快的 时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ） A．3´1010kg/m3 B．3´1013kg/m3 C．3´1016kg/m3 D．3´1019kg/m3 12.2025年5月，我国发射的“天问二号”将探测小行星。若它绕某小行星做“近地”匀速圆周运动的周期为T ，该小行星的平均密度为r，引力常量为G，则r×T2可表示为（） 3pG 3p 3p A． B．3pG C． D． 2 2G G 13.中国科学家提出一项通过太空望远镜开展的巡天计划，寻找距离地球30多光年外的宜居类地行星。假 设某颗星球具有和地球一样的自转特征，如图所示，该星球绕AB轴自转，半径为R，A、B所在的位置为 南、北两极，C、D所在的位置为赤道平面内，OM 连线与赤道平面的夹角为60°。经测定，A位置的重力 3 加速度为g，D位置的重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ） 4g A．该星球的自转角速度大小为 R R B．该星球的自转周期为2p 3g g C．该星球M 位置的自转向心加速度大小为 8 3 D．该星球D位置的自转向心加速度大小为 g 4