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第五章 万有引力与宇宙航行
第 01 练 万有引力定律及应用 宇宙航行
知识目标 知识点
目标一 开普勒行星运动定律的理解和应用
目标二 万有引力的计算和应用
目标三 天体质量和密度的计算
目标四 宇宙中双星模型和多星模型
1． (2022·云南省·历年真题)以下说法中正确的是( )
A. 哥白尼通过观察行星的运动，提出了日心说，认为行星以椭圆轨道绕太阳运行
B. 开普勒通过对行星运动规律的研究，总结出了万有引力定律
C. 卡文迪许利用扭秤装置测出了万有引力常量的数值
Mm
D. 万有引力定律公式F=G 表明当r等于零时，万有引力为无穷大
r2
【答案】C
【知识点】引力常量及其测定、物理科学史
【解析】
根据物理学史和常识解答，记住著名物理学家的主要贡献即可，且当物体间距离等于零时，万有引
力不能直接用其定义式来算，从而即可求解．
A、哥白尼通过观察行星的运动，提出了日心说，但没有认为行星以椭圆轨道绕太阳运行，认为行
星以椭圆轨道绕太阳运行的是开普勒，故A错误；
B、开普勒通过对行星运动规律的研究，总结出了行星运动的规律，并不是万有引力定律，故 B错
误；
C、卡文迪许利用扭秤装置测出了万有引力常量的数值，故C正确；
D、万有引力定律公式表明当r等于零时，物体不能看成质点，万有引力定律不成立，所以不能得
出万有引力为无穷大的结论，故D错误；
故选：C。
2．(2021·北京市·历年真题)2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上
第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，
近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”( )
A. 在近火点的加速度比远火点的小B. 在近火点的运行速度比远火点的小
C. 在近火点的机械能比远火点的小
D. 在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
【知识点】开普勒第一定律和第二定律、卫星的运行规律
【解析】解：A、设火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，到火星中心的距离为r，根据牛顿
第二定律得：
Mm GM
G =ma，得a= ，所以“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，故A错误；
r2 r2
B、根据开普勒第二定律知“天问一号”在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；
C、“天问一号”在火星停泊轨道运行时，只有万有引力做功，其机械能守恒，故C错误；
D、“天问一号”在近火点时其所需向心力大于万有引力，在此处减速使所需要的向心力减小，而
火星对它的万有引力不变，当万有引力大于向心力，则“天问一号”做近心运动，当万有引力恰好
等于绕火星做圆周运动所需向心力时，就实现了绕火星做圆周运动，故D正确。
故选D。
3．(2022·全国·其他类型)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地
球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A. 2∶1 B. 4∶1 C. 8∶1 D. 16∶1
【答案】C
【知识点】开普勒第三定律
【解析】
根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：r ：r =4：1
P Q
r3
根据开普勒第三定律有： =k
T2
r3 r3
得： P = Q
T2 T2
P Q
可得周期之比为： T ：T =8：1
P Q
故C正确，ABD错误。
故选：C。
1 1
4．(2022·全国·其他类型)火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ，则同一物体在火
10 2
星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【知识点】万有引力公式的基本计算、万有引力定律的内容、推导及适用范围
【解析】根据万有引力表达式结合题中数据即可求出同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值。
Mm
万有引力表达式为F=G
，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为
r2
F M r2
火引= 火 ❑ 地=0.4，故B正确，ACD错误。
F M r2
地引 地 火
故选B。
5．(2022·广东省·历年真题)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地
球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的
公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大
C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小
【答案】D
【知识点】卫星运行规律及应用
【解析】
根据行星的周期大小关系得出半径的大小关系，结合万有引力提供向心力的公式得出加速度、角速
度和线速度的大小关系。
C、根据万有引力提供向心力得：
GMm 4π2r √4π2r3
=m ，因此T=
r2 T2 GM
因为火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，即火星
的公转周期大于地球的公转周期，由此可知火星公转的半径大于地球的公转半径，故C错误；
ABD、根据万有引力提供向心力得：
GMm
=m
v2
=ma=mω2r可知：v=
√GM
；a=
GM
；ω=
√GM
，根据上述的半径关系可知，
r2 r r r2 r3
火星公转的线速度、角速度和加速度都比地球的小，故D正确，AB错误；
故选D
6．(2022·黑龙江省齐齐哈尔市·月考试卷)据中国气象局表示，针对我国出现的持续性雾霾天气，
“风云三号”卫星能及时监测雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况。已知“风云三号”在距地球
表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为
G。求：
(1)地球的质量;
(2)“风云三号”卫星在轨道上的运行周期T。
【答案】
Mm
解：(1)在地球表面有：mg=G
R2gR2
所以地球的质量为：M=
G
Mm 4π2 (R+h)
(2)对h高空的卫星有：G =m
(R+h) 2 T2
gR2 2π(R+h)√(R+h)
把M= 带入解得：T=
G R g
gR2
答：(1)地球的质量为 ；
G
2π(R+h)√(R+h)
(2)“风云三号”卫星在轨进上的运行周期T为 ．
R g
【知识点】万有引力公式的基本计算、卫星的运行规律
【解析】(1)设有一质量为m的物体在地球表面绕地球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力即可
求解地球质量．
Mm 4π2 (R+h)
(2)对h高空的卫星，根据万有引力提供向心力G =m ，把地球质量M数据带
(R+h) 2 T2
入，可解的卫星的周期．
本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，注意只能计算出中心天体的质量，难度不大，属
于基础题．
1． (2021·全国·单元测试)下列说法正确的是( )
a3
A. 对于行星绕太阳运动，开普勒第三定律公式 =k中的k值由太阳质量决定，与行星质量无关
T2
B. 地球对月球的引力大于月球对地球的引力
C. 牛顿发现了万有引力定律并测出了万有引力常量G的值
D. 第一宇宙速度是人造卫星的最大发射速度，同时也是最小环绕速度
【答案】A
【知识点】第一宇宙速度、开普勒第三定律、引力常量及其测定、万有引力定律的内容、推导及适
用范围
【解析】a3
A.对于行星绕太阳运动，开普勒第三定律公式 =k中的k值由太阳质量决定，与行星质量无关，
T2
故 A正确；
B.地球对月球的引力与月球对地球的引力是作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故B错误；
C.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测出了引力常量，故C错误；
Mm v2 √GM
D.由G =m 可知，人造卫星在圆轨道上运行时，运行速度为v= ，所以轨道半径越小，
r2 r r
速度越大，由于第一宇宙速度对应的轨道半径为近地轨道半径，半径最小，故第一宇宙速度是卫星
在圆轨道上运行的最大速度，也是人造卫星的最小发射速度，故D错误。
故选A。
2．(2022·全国·其他类型)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地
球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为 ( )
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
【答案】C
【知识点】开普勒第三定律
【解析】
设地球半径为R，根据题意，地球卫星的轨道半径分别为16R和4R，根据开普勒第三定律
R 3 R 3
P = Q
T 2 T 2
P Q
可知，卫星的半径三次方与周期的二次方成正比，所以P、Q两卫星的周期之比为8：1，选项C正
确，ABD错误。
故选C。
3．(2021·安徽省·历年真题)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施
三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约
为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，
则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m
【答案】C
【知识点】不考虑自转时星球表面重力加速度、开普勒第三定律、卫星的运行规律
【解析】
根据开普勒第三定律可知，做匀速圆周运动的卫星的轨道半径与“天问一号”轨道半长轴相等时，
二者的周期相等；则根据万有引力提供向心力求出匀速圆周运动卫星的轨道半径，即可得到“天问
一号”的长轴，再根据几何关系求解“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离。
根据题意可知火星的半径为R=3.4×106m，轨道与火星表面的最近距离约为h=2.8×105m，设火
星的质量为M，“天问一号”所在椭圆轨道的半长轴为r。r3
设想在火星上方有一颗卫星做半径为r的匀速圆周运动，根据开普勒第三定律 =k，可知该卫星
T2
的周期T=1.8×105s，
GMm 4π2
对该卫星，根据万有引力提供向心力可得： =mr ，
r2 T2
GMm
在火星表面，根据万有引力和重力的关系可得：
=mg，
R2
联立解得：r≈3.26×107m，
设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离为H，根据几何关系可得：h+2R+H=2r，
解得：H≈6×107m，故C正确，ABD错误。
4．(2021·江西省九江市·期末考试)2020年11月24日，中国用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号
探测器，并于12月17日凌晨，返回器携带月球样品着陆地球。降落月球之前，嫦娥五号探测器在
近月点“刹车”，从椭圆环月轨道变为圆形环月轨道，如图所示。嫦娥五号
A. 在A点时的机械能比在B点时的机械能大
B. 在圆轨道运动的周期大于其在椭圆轨道运动的周期
C. 在A点时的加速度比其在B点时的加速度大
D. 在A点时的速率比其在B点时的速率小
【答案】C
【知识点】万有引力公式的基本计算、开普勒行星运动定律、卫星的运行规律、万有引力定律的内
容、推导及适用范围、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】
A.探测器从椭圆环月轨道变为圆形环月轨道，必须减速，所以在A点时的机械能比在B点时的机械
能小，故A错误；
a3
B.圆轨道的半径小于椭圆轨道的半长轴，根据 =k知，探测器在圆轨道上运动的周期小于在椭圆
T2
轨道上运动的周期，故B错误；
C.探测器在圆轨道A点所受的万有引力大于椭圆环月轨道上B点所受的万有引力，根据牛顿第二定
律知，在A点时的加速度比其在B点时的加速度，故C正确；
√GM
D.根据v= 可知：探测器在圆轨道运行通过A点时的速度比椭圆环月轨道通过B点时的速度大，
r
故D错误。故选C。
5．(2022·湖北省·模拟题)2021年10月我国发射的神舟十三号飞船实现了和空间站径向对接的新突
破，如图甲所示。假定对接前飞船在椭圆轨道Ⅰ上，如图乙所示，Ⅱ为空间站圆轨道，轨道半径为
kR(R为地球半径)，A为两轨道交点，B为飞船轨道近地点。地球表面重力加速度为g，下列说法
中正确的是
A. 空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度大于g
B. 飞船和空间站在A处所受的万有引力相同
C. 飞船在A处的机械能大于B处的机械能
√gR
D. 飞船在B处的速度v >
B k
【答案】D
【知识点】万有引力公式的基本计算、卫星的运行规律
【解析】解：A、神舟十三号和空间站绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定
GMm GM
律可知： =ma，得a= ，可知空间站在圆轨道Ⅱ上的向心加速度小于g，故A错误；
r2 r2
GMm
B、根据 可知不知飞船和空间站的质量关系，故无法比较飞船和空间站在A处所受的万有引
r2
力是否相同，故B错误；
C、飞船由A处运动到B处过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，飞船在A处的机械能等于B处
的机械能，故C错误；
D、根据
GMm
=
mv2
，可得：v=
√GM
，在地球表面：
GMm
=mg，联立可得：v=
√gR2
，在
r2 r r R2 r
√gR2 √gR
圆轨道Ⅱ上：v= = ，B处轨道半径小于圆轨道Ⅱ半径，所以飞船在B处的速度
r k
√gR
v > ，故D正确。
B k
故选：D。
6．(2022·湖南省·模拟题)嫦娥五号探月器成功登陆月球并取回月壤，成为中国的骄做。登月取壤过
程可简化：着陆器与上升器组合体随返回器和轨道器组合体绕月球做半径为3R的圆轨道运行；当
它们运动到轨道的A点时，着陆器与上升器组合体被弹离，返回器和轨道器组合体速度变大沿大椭圆轨道运行；着陆器与上升器组合体速度变小沿小椭圆轨道运行半个周期登上月球表面的B点，在
月球表面工作一段时间后，上开器经快速启动从B点沿原小椭圆轨道运行半个周期回到分离点A与
返回器和轨道器组合体实现对接，如图所示。已知月球半径为R、月球表面的重力加速度为g 。
月
(1)求返回器与轨道器、着陆器与上升器的组合体一起在圆轨道上绕月球运行的周期T；
(2)若返回器和轨道器组合体运行的大椭圆轨道的长轴为8R，为保证上升器能顺利返回A点实现对
接，求上升器在月球表面停留的时间t。
【答案】
解：
(1)对组合体
Mm 4π2
G 0 =m ⋅3R
(3R) 2 0 T2
在月球表面
Mm
G =mg
R2 月
解得
√3R
T=6π
g
月
(2)设着陆器与上升器在小椭圆轨道运行的周期是T ，返回器与轨道器在大椭圆轨道运行的周期是
1
T 。
2
对着陆器与上升器有
T2 T2
= 1
(3R) 3 (2R) 3
解得
2√6
T = T
1 9
对返回器与轨道器有
T2 T2
= 2
(3R) 3 (4R) 3
解得8√3
T = T
2 9
上升器逗留的时间t应满足
t=nT -T (其中n=1、2、3、…)
2 1
解得
8√3 2√6 √ R
t= nT- T=4π(4n-√2) (其中n=1、2、3、…)
9 9 g
月
【知识点】卫星运行规律及应用、开普勒第三定律
【解析】(1)登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月
球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解．
(2)运用开普勒第三定律，计算登月器在椭圆轨道上绕月球运行的周期T 和返回舱在椭圆轨道上绕
1
月球运行的周期T ，从而解得停留时间。
2
该题考查了万有引力定律及圆周运动相关公式的直接应用．当n=1时，可知登月器可以在月球上停
留的最短时间．
1． (2022·湖北省武汉市·历年真题)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二
号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成
功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，10月16日6时56分，
载人飞船与中国空间站组合体完成自主快速交会对接。空间站组合体在离地400km左右的椭圆轨
道上运行，如图所示，不计一切阻力，以下说法正确的是( )
A. 空间站组合体运动到远地点时的速度最大
B. 空间站组合体运动到近地点时的加速度最小
C. 空间站组合体的椭圆轨道半长轴小于地球同步通讯卫星的轨道半径
D. 空间站组合体沿椭圆轨道由近地点向远地点运动的过程中，机械能不守恒
【答案】C【知识点】开普勒第一定律和第二定律、卫星的运行规律、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】
A.根据开普勒定律第二定律可以判定运动到远地点和近地点时在相同的时间Δt内扫过的面积相等，
在近地点空间站距离地球最近，此时的速度最大，而在远地点空间站距离地球最远，所以此时的速
度最小，故A错误；
GMm F
B.根据万有引力定律F= ，在近地点r最小，F最大，由牛顿第二定律F=ma得：a= ，可
r2 m
知近地点空间站组合体加速度最大，故B错误；
C.根据人造卫星的知识，地球同步卫星的高度约为地球半径的6倍，远大于400km，故C正确；
D.因为不计一切阻力，则只有万有引力做功，机械能守恒，故D错误。
故选C．
2．(2022·山东省济南市·期末考试)假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地
球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地
球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同
步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站
共接收到信号的次数为( )
A. 4次 B. 6次 C. 7次 D. 8次
【答案】C
【知识点】开普勒第三定律、卫星或天体中的相遇问题、卫星的运行规律
【解析】
R3 T2
据开普勒第三定律
1= 1
，
R3 T2
2 2
R =4200km+6400km=10600km，R =36000km+6400km=42400km，
1 2
T 1
可知 1= ，又已知地球同步卫星的运行周期T =24h，
T 8 2
2 ❑
24
因而载人宇宙飞船的运行周期T = h=3h，
1 8
2π
由匀速圆周运动的角速度ω= ，
T
2π 2π 2π π
所以宇宙飞船的角速度为ω = = rad/h，同步卫星的角速度为ω = = rad/h，
1 T 3 2 T 12
1 2
因为宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，
当两者的连线是一条直线且位于地球异侧时，相距最远，此时追击距离为π即一个半圆，
π 12
h= h
追击时间为 2π π 7 ，
( - )
3 122π 24
h= h
此后，追击距离变为2π即一个圆周，同理，追击时间为 2π π 7 ，
( - )
3 12
12
24h- h
7
在第一次二者相距最近开始，二者相距最近的次数为n= =6.5次≈6次，
24
h
7
则从二者相距最远开始，在一昼夜的时间内，二者相距最近的次数为(6+1)次=7次，
即接收站共接收到信号的次数为7次，故C正确，ABD错误。
3．(2022·江苏省徐州市·月考试卷) 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船采用自主快速交会对接
方式，首次径向靠近空间站，如图所示.两者对接后所绕轨道视为圆轨道，绕行角速度为ω，距地高
度为kR，R为地球半径，万有引力常量为G。下列说法中正确的是( )
A. 神舟十三号在低轨只需沿径向加速可以直接与高轨的天宫空间站实现对接
B. 地球表面重力加速度为ω2 (k+1) 3R
C. 对接后的组合体的运行速度应大于7.9 km/s
4ω2 (k+1) 3
D. 地球的密度为ρ=
3πG
【答案】B
【知识点】万有引力公式的基本计算、天体质量和密度的计算、卫星的运行规律
【解析】
解决天体(卫星)运动问题的基本思路：(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，F =mg，
引
整理得GM=gR2；(2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即
F =F ，根据相应的向心力表达式进行分析。
引 向
A、神舟十三号在低轨需沿径向和切向加速才可以与高轨的天宫空间站实现对接，故A错误；
C、7.9km/s是贴近地面的卫星做匀速圆周运动的线速度；对卫星，由万有引力提供向心力有：
GMm v2 √GM
=m ，解得：v= ，对接后的组合体的轨道半径大于地球的半径，所以运行速度应小
r2 r r
于7.9km/s，故C错误；
GMm
D、由万有引力提供向心力有： =mrω2 ，其中r=(k+1)R，解得地球的质量为：
r2
(k+1) 3R3ω2
M= ，
G4 M 3ω2 (k+1) 3
地球的体积为：V = ，则地球的密度为：ρ= ，联立解得：ρ= ，故D错误；
3 V 4Gπ
GMm
B、根据万有引力和重力的关系可得：
=mg，结合D中解得地球的质量，联立解得地球表面
R2
重力加速度为g=ω2 (k+1) 3R，故B正确。
4．(2022·安徽省·模拟题)宇宙中某一小行星绕恒星做圆周运动，恒星又在不断地向四周辐射能量，
因而质量缓慢减小。已知恒星初期的质量为M ，行星的轨道半径为r 、运行速率为v ，恒星质量
1 1 1
演变为M 时行星的轨道半径为r 、运行速率为v 。下列判断正确的是( )
2 2 2
A. r >r B. r v ，故CD错
1 2
r
误。
故选：B。
5．(2022·福建省·单元测试)中国赴南极考察船“雪龙号”，从上海港口出发，一路向南，经赤道到
达南极．某同学设想，在考察船“雪龙号”上做一些简单的实验，来测算地球的平均密度：当“雪
龙号”停泊在赤道时，用弹簧测力计测量一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数F ，当“雪龙
1
号”到达南极后，仍用弹簧测力计测量同一个钩码的重力，记下弹簧测力计的读数F .设地球自转
2
的周期为T，万有引力常量为G，圆周率为π已知，不考虑地球两极与赤道半径差异．试求：
(1)地球的平均密度；(2)若人造卫星绕地球做圆周运动的最大速度为v ，则地球的半径多大．
m
【答案】
解：(1)设地球半径为R、质量为M、体积为V、平均密度为ρ.
4π2 GMm
钩码在赤道地区 F -F =m R， 钩码在南极地区有 F =F = 0 ，
万 1 0 T2 万 2 R2
4
又因为M=ρV =ρ πR3 ，
3
3πF
解得ρ= 2
；
GT2 (F -F )
2 1
Mm v 2
(2)当卫星贴近地表运行时线速度最大，则由万有引力提供向心力G =m m ，
R2 R
v T √F -F
解得R= m 2 1．
2π F
2
【知识点】万有引力公式的基本计算、天体质量和密度的计算、卫星的运行规律、向心力的计算、
考虑自转时星球表面重力加速度
【解析】解决该题关键要知道重力和万有引力的区别，一般情况下我们可以近似认为物体的重力大
小等于万有引力的大小。
(1)在赤道上万有引力完全等于向心力，在赤道上，万有引力等于重力和地球自转所需的向心力之
和，结合密度公式求解；
(2)绕地卫星轨道半径越小，线速度越大，故可知卫星贴近地表时线速度最大，根据万有引力提供
向心力求解。
6．(2020·全国·单元测试)如图所示，在距一质量为m 、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量
0
R
为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F ，当从大球体中挖去一半径为 的小球体后(空腔
1 2
的表面与大球体表面相切)，剩下部分对质点的万有引力为F ，求F :F 。
2 1 2
【答案】
Mm 1 Mm
解：质点与大球球心相距2R，其万有引力为F ，则有：F =G = G
1 1 (2R) 2 4 R2
4
大球质量为：M=ρ× πR
❑
3，
34 R
挖去的小球质量为：M'=ρ× π( ) 3 ，
3 2
1 4 M
即M'= ρ× πR3=
8 3 8
3
小球球心与质点间相距 R，小球与质点间的万有引力为：
2
M'm 1 Mm
F '=G = G
1
(
3
R) 2
18 R2 则剩余部分对质点m的万有引力为：
2
1 Mm 1 Mm 7 Mm F 9
F =F -F '= G - G = G 故有： 1= ．
2 1 1 4 R2 18 R2 36 R2 F 7
2
F 9
答：
1=
．
F 7
2
【知识点】万有引力公式的基本计算
1
【解析】根据万有引力定律求出M对m的万有引力，当从M中挖去一半径为r= R的球体时，剩
2
下部分对m的万有引力等于原来的万有引力减去被挖去的球体对m的万有引力。
本题主要考查了万有引力定律得直接应用，注意球体对质点的距离为球心到质点的距离。
