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专题 06 万有引力及航天
考点内容 要求 课程标准要求
行星的运动 a 1.通过史实，了解万有引力定律的发现过
太阳与行星间的引力 a 程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定
万有引力定律 c 律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知
万有引力理论的成就 c 世界的作用。
宇宙航行 c 2.会计算人造地球卫星的环绕速度。
经典力学的局限性 a 3.知道第二宇宙速度和第三字宙速度。
开普勒第一定律：轨道定律
开普勒
行星运
开普勒第二定律：面积定律
动规律
a3
开普勒第三定律：周期定律 =k
T2
内容：
Mm
万 公式： F=G
r2
有
万 引 适用条件
力
有
定 万有引力与重力的关系
引
律
力
万有引力定律的应用：测量天体质量、密度
及
航
卫星轨道圆心与地心重合
天
卫
第一宇宙速度:7.9km/s
星
人
发
造 第二宇宙速度:11.2km/s
射
地
球 第二宇宙速度:16.7km/s
卫
星 √GM √GM √4π2r3
及 v= ,ω= ,T=
运行 r r2 GM
宇
规律 GM
宙 a= ,GM=gR2
航
r2
行
近地卫星：卫星的运行轨道半径等于地球半径
特殊
卫星
同步卫星：六个一定一、开普勒三定律
1. 开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳
处在椭圆的一个焦点上．
2. 开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过相等的面积．
3. 开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转
a3
=k
T2
周期的二次方的比值都相等，即 ,k是一个与行星无关的常量，其值与中心天体的质量有关，不同
的中心天体k值不同．但该定律只能用于绕同一中心天体运动的星体．
技巧点拨：
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运转,也适用于卫星绕地球的运转
a3
=k
T2
②中学阶段一般把行星的运动看成匀速圆周运动,太阳处在圆心,开普勒第三定律 中的a可看
成行星的轨道半径R．
②由开普勒第二定律可得v·Δt·r＝v·Δt·r，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳
1 1 2 2
的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
二、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
M和m的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
Mm
F=G
r2 G=6.67×10-11 N⋅m2/kg2
2.公式: ，式中 称为引力常量,由英国物理学家卡文迪
许测定．
3.适用条件及说明
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．(3)两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
4.万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力
mg,二是提供物体随地球自转的向心力F ,
向
Mm
G =mg+mω2R
R2
①在赤道上: .
Mm
G =mg
R2
②在两极上: .
Mm
G =mg+mω2r
R2
③一般位置: .
式中r为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球
Mm
G =mg
R2
自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 .
5. 星球上空的重力加速度g′
Mm GM
G =mg' g' =
(R+h) 2 (R+h) 2
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′， ，得 .
g' R2
=
g (R+h) 2
所以 式中g为地球表面附近重力加速度.
，
三、万有引力定律的应用
F =F
1.基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 引 向得：
Mm v2 4π2
G =m =mω2r=m r=ma
r2 r T2
2.应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
四、卫星发射及宇宙航行
1.卫星轨道：卫星运动的轨道平面一定通过地心，
一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
2.三种宇宙速度
①第一宇宙速度:7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度.②第二宇宙速度（脱离速度）:11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
③第三宇宙速度（逃逸速度）:16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
技巧点拨：宇宙速度与运动轨迹的关系
①v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
发
②7.9 km/s<v <11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
发
③11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动．
发
④v ≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
发
3.近地卫星
轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9
km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
4.地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地
√gR2T2
h= 3 −R=3.56×107m
4π2
球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度 ，
运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线
速度，角速度和周期运行着.
5.卫星的超重和失重
“超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体超
重相同.
“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），此时，
在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用.
一、一幅图二、天体质量及密度的计算
1.天体表面处理方法
Mm gR2
G =mg M=
R2 G
①天体质量，由 ，得天体质量 .
4 3g
V= πR3 ρ=
3 4πGR
②天体密度，由天体质量及球体体积公式 ，得天体密度
2.利用环绕天体处理方法
Mm 4π2 4π2r3
G =m r M=
r2 T2 GT2
①天体质量，由 ，得天体质量 .
4 3πr3
V= πR3 ρ=
3 GT2R3
②天体密度，由天体质量及球体体积公式 ，得天体密度
3π
ρ=
GT2
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度 ，故只要
测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
三、应用万有引力定律分析天体的运动
F =F
1.基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 引 向得：Mm v2 4π2
G =m =mω2r=m r=ma
r2 r T2
2．基本公式：
Mm v2 √ GM
G =m ⇒v=
r2 r r
①线速度：
G Mm =mω2r⇒ω= √ GM
r2 r3
②角速度：
Mm 4π2 √ r3
G =m r⇒T=2π
r2 T2 GM
③周期：
Mm GM
G =ma⇒a=
r2 r2
④向心加速度：
结论：飞得越高，飞得越慢（r越大，v、ω、a越小，T越大）．
技巧点拨：公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r
＝R＋h.．
四、第一宇宙速度推导
Mm v2 √GM √6.67×10-11 ×5.98×1024
G =m ⇒v= = ≈7.9km/s
1.方法一：由
r2 r r 6.4×106
，
v2
mg=m ⇒v=√gR= √9.8×6.4×106 ≈7.9km/s
r
2.方法二：由 .
技巧点拨：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行
周期最短，T ＝2π＝5 078 s≈85 min.
min
五、卫星变轨
1.变轨操作：1→2→3
①在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天
飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道
2
②在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力
做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于 90°，航天
飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天
飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹
角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
③在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将
沿着3轨道运行，完成变轨操作
2.各点参数关系
v >v >v >v
①线速度大小： 2Q 1 3 2P
v >v >v >v
②角速度关系： 2Q 1Q 3P 2P
a =a >v =v
③向心加速度关系： 2Q 1 3 2P
T <T <T
④周期关系： 1 2 3
E <E <E
⑤能量关系： 1 2 3
六、双星问题
1．模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．
2．特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
m m m m
G 1 2 =m ω2r ,G 1 2 =m ω2r
L2 1 1 1 L2 2 2 2
.
T =T ,ω =ω
②两颗星的周期及角速度都相同，即 1 2 1 2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：
r +r =L
1 2 .
