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阶段性检测 4.1（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两
倍”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ， ，则 外接圆的半径为
（ ）.
A． B． C． D．3
4．已知函数 在区间 上的大致图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，若已知 ，那么 的值为
（ ）
A．322 B．295 C．293 D．2706．已知长方体 ，其中 ， ， 为底面 上的动点， 于
且 ，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的奇函数 满足： 的图象是连续不断的且 为偶函数.若
有 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．复数 的虚部为
C．若 ， 互为共轭复数，则 D．若复数 为纯虚数，则
10．已知实数 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）A．异面直线AE与BC所成的角为 B．
C．平面 平面CDE D．直线AE与平面BDE所成的角为
12．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数 的图像在点 处的切线的斜率为 ．
14．已知平面向量 不共线，若 ，则当 的夹角为 时， 的值是
.
15．已知 的定义域为 ,且 是奇函数,当 时, ,.函数
,则方程 的所有的根之和为 .
16．已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，点 到直线 的距
离为 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求角A；(2)若 的面积为1，求 的最小值.
18．已知数列 的各项均为正数，其前n项和记为 ，且 其中λ为常
数．
(1)若数列 为等差数列，求 ；
(2)若 ，求数列 的前20项和．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形， 平面 ，
．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．20．某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其
中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，
每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两
场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成 则第5场比赛定胜负．已
知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 ，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，高
二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
21．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．22．已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 ， 恒成立，求a的取值范围.
