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重难点 03 函数的单调性（6 种考法）
【目录】
考法1：定义法判断或证明函数的单调性
考法2：根据函数的单调性求参数值
考法3：复合函数的单调性
考法4：根据函数的单调性解不等式
考法5：比较函数值的大小
考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性
二、命题规律与备考策略
一．函数的单调性
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应
用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能
用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x，x∈[a，b]且x≠x，那么
1 2 1 2
① ⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
1 2 1 ⇔ 2
（x
1
﹣x
2
）[f（x
1
）﹣f（x
2
）]＜0 f⇔（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
⇔
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，
课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调
性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答
题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题
在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单
调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
二、函数单调性判断
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司 1证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、
指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小
开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、
最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调
性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考
查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数
求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重
点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
三、复合函数的单调性
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
四．函数奇偶性
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
五、奇偶性与单调性的综合
【解题方法点拨】
学科网（北京）股份有限公司 2参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
三、题型方法
考法1：定义法判断或证明函数的单调性
一、单选题
1．（2023·北京顺义·统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，函数 的定义域为R，且满足 ，所以其为偶函数，
在 上单调递减，在 上单调递减，故A不符合题意；
对于B，设 ，函数 的定义域为R，
且满足 ，所以函数 为偶函数，
当 时， 为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，设 ，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，所以函数 为奇函数，
又函数 在 上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
2．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数 同时满足性质:① ;②当
学科网（北京）股份有限公司 3时, ,则函数 可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】① 说明 为偶函数，② ,说明函数
在 上单调递减,再逐项分析即可.
【详解】① 说明 为偶函数，② ,说明函数
在 上单调递减.
A不满足②，B不满足①，
C不满足②,因为 在 单调递减，在 单调递增.
对于D,满足①,当 ,单调递减,也满足②.
故选：D.
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数 ，对任意 ，
都有 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数单调性的定义以及分段函数的单调性进行求解.
【详解】因为对任意 ，都有 成立，
所以函数 在定义域内单调递增，
因为 ，所以 ，
解得 ，故A，C，D错误.
故选：B.
4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数 ， ，函数 满足：
学科网（北京）股份有限公司 4，若 ，则满足 的 的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用递推式判断 在 上的符号及单调性，并得到 ，
即可判断 的个数.
【详解】令 且均属于 ，则 ，
所以 ，故 ，
又 ，故 在 上恒成立，且 在 上单调递增，
所以，满足 仅有 ，即 仅有1个.
故选：A
二、多选题
5．（2023·山东·校联考二模）若定义在 上的函数 同时满足：① ；②对
， 成立；③对 ， ， ， 成立；
则称 为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A． ， 是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若 为“正方和谐函数”，则 在 上是增函数
D．若 为“正方和谐函数”，则对 ， 成立
【答案】ABD
【分析】条件③ ．即可判定A，由条件
①③可得 ， 即可求得 即可判断B，由条件③即可判断
C,由迭代递推法即可判断D.
【详解】对于A, 函数 ， ，显然满足条件①②．
对任意 ， 且 时， ．
函数 在区间 ， 上是否为“正方和谐函数”．故A正确.
对于B，若函数 为“正方和谐函数”，
则令 ， ，得 ，即 ，
又由对 ， ， ，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司 5对于C，设 ，则 ，所以
，即有 ，
函数 在区间 上不一定是单调递增，故C错误；
对于D，①当 时， 成立，
②当 时， ， ，
③当 时， ， ，则 ；
显然，当 时， 成立；
假设当 时，有 成立，其中 ，
那么当 时， ，
可知对于 ，总有 ，其中 ，
而对于任意 ，存在正整数 ，使得 ，此时
综上可知，满足条件的函数 对 时总有 成立.
故D正确，
故选：ABD
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数 的定义域D关于原点对称，
且 ，当 时， ；且对任意 且
，都有 ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 是周期函数 D． 在 上单调递减
【答案】ACD
【分析】对于A，令 ，根据 证明 即可判断；
对于B，根据 ，结合 即可求得 ，即可判断；
对于C，先求出 ，再根据 求出 ，即可判断；对
学科网（北京）股份有限公司 6于D，令 ，先判断 的符号，再根据 比较
即可判断.
【详解】对于A，令 ，
则 ，
所以函数 是奇函数，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，故B错误；
对于C，由 ，
得 ，
则 ，
则 ，即 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，故C正确；
对于D，令 ，则 ，
则 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 7所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性及单调性，C选项的关键在
于根据 判断 与 的关系，D选项的关键在于令
，判断出 的符号.
三、填空题
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，
，则 ________.
【答案】4
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可.
【详解】由 ，即 ，
即 ，
令 ，则 ，
即 ，即 .
由 ，得 ，
设函数 ，显然该函数增函数，
又 ，
所以函数 在 上有唯一的零点，
因此 ，即 ，
所以 .
故答案为：4.
8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
若对定义域内两任意的 （ ），都有 成立，则a的取值范围是
________．
【答案】
【分析】变形给定的不等式，构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，再利用导数求
解作答.
【详解】函数 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司 8因为对 ，都有 成
立，
设 ，则 ，于是 ，都有
成立，
因此函数 在 上单调递增，求导得 ，
则有 成立，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，必有 ，函数 的图象过点 ，对称轴 ，从而
，解得 ，
而当 时， ，当且仅当 时取等号，符合题意，
所以a的取值范围是 .
故答案为：
9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数 的定义域为 ，且对任意
，都有 ．若当 时， ，且 ，则
不等式 的解集为__________．
【答案】
【分析】由题知函数 在 上单调递减，在 上单调递减，且 ，
， ， ，再根据对数函数单调性将 转化为
解 即可得答案.
【详解】解：设 ，且 ，则
因为，当 时， ，所以 ，
因为对任意 ，都有 ．
所以， ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 9所以，函数 在 上单调递减，
因为 是定义域为 的奇函数，
所以，函数 在 上单调递减，
因为不等式 等价于不等式 ，即 ，
因为对任意 ，都有 ， ，
所以，当 时，得 ；当 时，得
所以 ，
所以， ， ， ， ，
所以，当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ，
所以， 的解集为 ，
所以，不等式 的解集为
故答案为：
四、解答题
10．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)已知 在区间 上存在唯一的极小值点．
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）记 在区间 上的极小值为 ，讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii） 在区间 上单调递减．
【分析】（1）当 时，求出 、 的值，利用导数的几何意义可求得所求切线
的方程；
学科网（北京）股份有限公司 10（2）（i）分 、 、 三种情况讨论，利用导数分析函数 在 上的定义，
结合极小值点的定义可求得实数 的取值范围；
（ii）由（i）以及极小值的定义可得出 ．令函数
， ，则 ，利用导数分析函数 在 上的单调
性，再结合函数单调性的定义可证得 在区间 上单调递减．
【详解】（1）解：若 ，则 ， ，
所以， ， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）解：（i） ，令 ，
①若 ，则 ，在区间 上单调递减， 不存在极值点；
②若 ，则当 时， ，从而 ．
因为正切函数 在 上单调递增，且该函数在 上的值域为 ，
则 ，使得 ，即 ．
当 时， ，即函数 在 上单调递减.
当 时， ，从而 ；
当 时， ，从而 ．
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上不存在极小值点．
③若 ，则当 时， ，从而 ．
因为正切函数 在 上单调递增，且该函数在 上的值域为 ，
所以， ，使得 ，即 ．
当 时， ，所以，函数 在 上单调递增.
当 时， ，从而 ；
学科网（北京）股份有限公司 11当 时， ，从而 ．
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增．
此时， 为 在区间 上的唯一的极小值点．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
（ii）由（ⅰ）知 ， 在 上的唯一的极小值点 满足 且 ．
由此， ．
令函数 ， ，则 ，
且 ．
所以， 在区间 上单调递减．
下面证明函数 在区间 上单调递减．
对于任意的 ，设当 和 时， 在 上的极小值点分别为 、 ，
则 、 ，且 ， ．
由 及函数 在 上单调递增，有 ．
又由 在区间 上单调递减，有 ．
综上，对于任意的 ，均有 ，即 在区间 上单调递减．
【点睛】方法点睛：函数单调性的判断方法：
（1）利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上
的单调性；
（2）性质法：
①增函数 增函数 增函数，减函数 减函数 减函数，增函数 减函数 增函数，减函数
增函数 减函数；
②函数 与函数 的单调性相反；
③ 时，函数 与 的单调性相反（ ）；
时，函数 与 的单调性相同（ ）.
学科网（北京）股份有限公司 12（3）复合函数法：同增异减法.即函数 的单调性，由内层函数 和外层
函数 同时决定，若内层函数和外层函数单调性相同，则函数 单调递
增；若内层函数和外层函数单调性相反，则函数 单调递减.
（4）导数法： 在区间 上恒成立，则函数 在区间 上单调递增；
在区间 上恒成立，则函数 在区间 上单调递减.
（5）定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.
考法2：根据函数的单调性求参数值
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题 在 上为
增函数，命题 在 单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出命题 中 的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.
【详解】若 在 为增函数，
则 ，解得 ；
在 为减函数，则 ，即
或 ，
因为“ ”能推出“ 或 ”，反之不成立，
所以命题q是命题p的必要不充分条件，
故选：B．
2．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数 的定义域为 ，存在常数 ，使得对
任意 ，都有 ，当 时， ．若 在区间 上单调
递减，则t的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 13A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为存在常数 ，使得对任意 ，都有 ，
所以函数的周期为 ，
当 时，函数 在 单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递减，
因为 在区间 上单调递减，
所以有 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.
3．（2023·河南洛阳·校联考三模）若对任意的 ， ，且 ，
，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得出 ，再将 整理为 ，构造函数
，其中 ，当 时， ，即在 ， 单
调递减，求出 ，分析得出 减区间，即可得出m的取值范围．
【详解】由题可知， ，
因为 ，且 ，
所以 ，两边同时除以 得，
，即 ，
设函数 ，其中 ，
学科网（北京）股份有限公司 14因为当 时， ，
所以 在 单调递减，
因为 ，
令 ， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，
故选：D．
4．（2023·天津河东·统考二模）已知奇函数 在 上是增函数，若 ，
， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即 .
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数
函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利
用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 的导函数 满足
对 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意及选项构造函数 ，然后求导判断出函数 的单调性，
再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论．
学科网（北京）股份有限公司 15【详解】由题意设 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ．
故选B．
【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，
解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然
后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．
6．（2023·天津河西·统考二模）函数 在 的图像大致为
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】设 ，则 ，所以 是奇函
数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又 排除选项D；
，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选
择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
7．（2023·陕西汉中·统考二模）已知函数 的定域为 ，图象恒过点 ，对任意
，当 时，都有 ，则不等式 的
学科网（北京）股份有限公司 16解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，设 ，得到 ，令 ，
然后将不等式 ，转化为 ，利用 的单调
性求解.
【详解】因为 ，不妨设 ，
则 ，
令 ，在R上递增，
又 ，
所以不等式 ，
即为 ，
即 ，
所以 ，
则 ，
解得 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是由 ，构造函数 ，利用其
单调性得解.
8．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）设函数
，则使得 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本道题目结合奇函数的判定条件和单调函数满足的条件，建立不等式，即可得出
答案．
【详解】 ,所以 为奇函数,
学科网（北京）股份有限公司 17,所以 单调递增
,转化成
得到 ,解得x满足 ，故选B．
【点睛】本道题目考查了奇函数判定条件和单调函数的性质，注意判断 与0
的关系．
二、多选题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的定义域为
B． 在 上的值域为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 ，则 在定义域上单调递增
【答案】AC
【分析】求得 的定义域判断选项A；求得 在 上的值域判断选项B；求得a
的取值范围判断选项C；求得 时 的单调性判断选项D.
【详解】选项A：由 得 ，则 的定义域为 .判断正确；
选项B： ，
由 ，可得 ，则 ，
当 时， ，则 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 ；
当 时， ， ，
即 在 上的值域为 .
学科网（北京）股份有限公司 18综上，当 时， 在 上的值域为 ；
当 时， 在 上的值域为 ；
当 时， 在 上的值域为 .判断错误；
选项C： ，
若 在 上单调递减，则 ，解之得 .判断正确；
选项D： ，
则 时， 在 和 上单调递增.判断错误.
故选：AC
三、填空题
10．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数 满足
，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】构造函数 ，利用单调性可得 ，再利用均值不等式即可求
解.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 是正实数，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
11．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）函数f（x），g（x）的定义域都是D，
直线x=x （x ∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等
0 0
于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a>0，
c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+ ）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在
区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.
学科网（北京）股份有限公司 19【答案】（ ， ）．
【详解】分析：根据平行曲线的定义，求出 表达式；通过分离参数，分析出
在（2,3）上的单调性，即可求出 的取值范围．
详解：因为 与 是在（0，+ ）上的平行曲线，且|AB|≠0，所以可将 的图像
上下平移得到 的图像．
因为 ，设 ，因为 ，代入可得
所以
令 ，分离参数 ，得 ．令
因为 在（2,3）上存在唯一零点，即 与 在（2,3）有且仅有一个交点．
因为在 时，
所以 在 上单调递增．
若满足即 与 在（2,3）有且仅有一个交点
所以 ，代入
即 的取值范围为
点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用
函数的单调性求其值域等知识点，综合性强，属于难题．
四、解答题
12．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数
.
(1)若 且函数 在 上是单调递增函数，求 的取值范围；
(2)设 的导函数为 ，若 满足 ，证明：
学科网（北京）股份有限公司 20.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得 在 上恒成立，令 ，求导，
分 、 讨论 在 上恒成立即可；
(2)由 可得 ，由（1）知
，即有 ，①，令 ，求导得
当 时， ，即有 ，于是得以 ，代入①式
中化简即可得证.
【详解】（1）解：当 时， ， ，
因为 在 上是单调递增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，
令 ， ，
所以 在 上递增，
即 ，
所以 在 上恒成立，符合题意；
当 时， ， ，且 在 为单调递增函数，
所以存在唯一 使得 ，
所以当 时， ， 在 递减，
即 ， ，不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司 21综上所述 ；
（2）证明： ，
当 时，由（1）可知 是增函数，所以 ，
设 ，
，
移项得 ，
由（1）知 ，即 ，
所以 ，
即 ，①
设 ， ，
所以当 时， ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
代入①式中得到 ，
即 ，
所以 ，命题得证.
【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数求参数的范围及证明不等式成立问题:
对于函数在所给区间上单增(减)，等价于其导数在所给区间上恒为正(负)；
对于恒成立问题，常采用方法有二：
一是求导，利用导数求出函数的最值，转化为最值与参数之间的关系；
二是分离参数，再利用导数求函数的最值，转化为参数与函数的最值之间的关系.
13．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司 22(1)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 ， ，且 ，求证： .
参考数据： ， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求 的导数，对a分类讨论，根据函数的单调性求a的取值范围.
（2）由 ， 是方程的两个根，令 ，将 和 分别用t表示，构造函数
，对函数求导求最值证明不等式.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，由题意， .
当 时， ，函数 在 上单调递增，不合题意；
当 时，由 得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上
单调递减.
又函数 在区间 上单调递减，所以， ，即 .
因此，实数 的取值范围是 .
（2）由题意 ，
于是 ，令 ，则由 可得， .
于是 ，即 .从而 .
另一方面，对 两端分别取自然对数，则有 ，
于是，即证 ，即 ，其中 .
设 ， .则 ，
学科网（北京）股份有限公司 23设 ， .
则 在 上恒成立，
于是， 在 上单调递增，从而 .
所以， ，即函数 在 上单调递增，于是 .
因此， ，即原不等式成立.
【点睛】令 ，结合方程组 ，可得 ， .
分析要证 ，两边取对数，只要证 ，从而构造出函数
， .
考法3：复合函数的单调性
一、单选题
1．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数 ，若
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函
数为偶函数且在 单调递增，进而 关于直线 对称，且在 单调递增，
结合条件可得 ，解不等式即得.
【详解】因为 的定义域为R，又
，故函数 为偶函数，
又 时， ， 单调递增，故由复合函数单调性可得函数 在
单调递增，函数 在定义域上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 24所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增．
所以 ，
两边平方，化简得 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数的单
调性及对称性化简不等式进而即得.
2．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得
，则称 为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数
， ， 在 上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 ，则 ， .然后证明
在 上恒成立.令 ，根据复合函数的单调性可知 在 上
单调递减，即可得出 .令 ，根据导函数可得 在 上单调递减，
即可推得 .
【详解】由已知可得， ，则 ，
且 ，所以 .
又 ， .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以， ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司 25所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递减.
又 ， ，
所以 .
综上可得， .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明 在 上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而
根据函数的单调性得出大小关系.
3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）函数 的定义域为 ，若满足：(1)
在 内是单调函数；(2)存在 ，使得 在 上的值域为 ，那么就
称函数 为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为 ，等价转化为
有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.
【详解】因为函数 是“梦想函数”，
所以 在 上的值域为 ，且函数是单调递增的.
学科网（北京）股份有限公司 26所以 ，即
∴ 有2个不等的正实数根，令
即 有两个不等正根，
∴ 且两根之积等于 ，
解得 .
故选：A.
【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化
将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.
二、多选题
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，则（ ）
A． B． 的一个周期为3
C． 在 上单调递增 D．
【答案】ABD
【分析】给x赋值可求得 的值可判断A项，运用函数周期性定义可判断B项，求得当
时， 的解析式进而判断其单调性可判断C项，运用周期性求值即可判断D项.
【详解】对于A项，因为当 时， ，
所以 ，
又因为 ，
所以令 ，则 ，
所以 ，故A项正确；
对于B项，根据 得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 27所以 ，所以该函数的一个周期为3，故B项正
确；
对于C项，因为 ，
所以 ，
当 时，则 ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以 ， ，
又因为 在 上单调递减，
所以由单调性性质可得 在 上单调递减，故C项错误；
对于D项，由A项知， ， ，
因为 ，
所以令 得 ，解得： ，
由B项可得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以结合周期性可得 ，故D项正确．
故选：ABD.
考法4：根据函数的单调性解不等式
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则关于
的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 28【答案】D
【分析】设 ， ，则 ，由奇偶函数的定义得出 在
上是奇函数，由 得出 在 上是增函数，再将 转化为
，由 为增函数，定义域为 ，列出不等式，求解即可．
【详解】设 ， ，则 ，
因为
所以 在 上是奇函数，
因为 ，
所以 在 上是增函数，
因为 ，
所以 ，即 ，
由 在 上是增函数得， ，
解得 ，
故选：D．
2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在
上的奇函数，且 ， 在 单调递减，则（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合 ，
逐项判断即可.
【详解】因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，且两函数在
上单调递减，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以B正确，C,D错误；
学科网（北京）股份有限公司 29若 ，则 ，A错误.
故选：B.
3．（2023·新疆·统考二模）设 是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间 上单
调递减，且满足 ， ，则不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得 ，则函数 关
于直线 对称，据此可得 在 上递增，且 ， ，则进而
分析 可得答案．
【详解】根据题意， 为周期为2的偶函数，
则 且 ，
则有 ，
则函数 关于直线 对称，
又由 在区间 上单调递减，且 ， ，
因为周期为2得 ， ，
又 关于直线 对称，则 ，
则 在 上递增，且 ， ，
则 ，即不等式组的解集为 .
故选：D．
二、多选题
4．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为R，且
对任意 ，都有 ，且当 时， 恒成立，则（ ）
A．函数 是R上的减函数 B．函数 是奇函数
C．若 ，则 的解集为 D．函数 ( )+ 为偶函数
【答案】ABC
学科网（北京）股份有限公司 30【分析】利用单调性定义结合 可判断A；
利用特殊值求出 ，从而证明 可判断B，根据条件求出
，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设 ，且 ， ，则 ，
而
，
又当 时， 恒成立，即 ， ，
函数 是R上的减函数，A正确；
由 ，
令 可得 ，解得 ，
令 可得 ，即 ，而 ，
，而函数 的定义域为R，
故函数 是奇函数，B正确；
令 可得 ，解得 ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
由 ，可得 ，
因为函数 是R上的减函数，所以 ，C正确；
令 ，易知定义域为R，
因为 ，显然 不恒成立，所以
不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
5．（2023·山东聊城·统考一模）已知奇函数 的定义域为 ， ，对于任意的正
数 ，都有 ，且 时，都有 ，则（ ）
A．
B．函数 在 内单调递增
C．对于任意 都有
D．不等式 的解集为
学科网（北京）股份有限公司 31【答案】ACD
【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断
B选项，结合单调性解不等式判断D选项.
【详解】已知 ,令 可得 ,
令 可得 ,得 , ,A选项正确;
奇函数 的定义域为 , ，所以 ,又知 ,
所以函数 在 内不是单调递增,B选项错误;
对于任意的正数 ，都有 ，
对于任意 都有 , , ,
又因为函数 为奇函数，可得 ,C选项正确;
对于任意的正数 ，都有 ，
,又因为 ,所以 ,
所以 ,
又因为 所以 ,所以 ,
所以函数 在 内是单调递增, 又因为函数 为奇函数，所以函数 在
内是单调递增,
不等式 , ,
已知 ,
令, 因为 可得 ，
函数 在 内是单调递增, 所以 ,
已知 ,令, 因为 ,
可得 ，同理 ，
学科网（北京）股份有限公司 32,
又因为函数 为奇函数， , ,
又因为函数 在 内是单调递增, 所以
不等式 的解集为 , D选项正确；
故选:ACD.
三、填空题
6．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知 是定义在R上的偶函数，当 时，
，则不等式 的解集是________．
【答案】
【分析】利用导数判断当 时， 的单调性，结合偶函数解不等式.
【详解】当 时， ， ，
则 在 上单调递增，
因为 是定义在R上的偶函数，则 在 上单调递减，
若 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
7．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域 为
， 在 上单调递减，且对任意的 ，都有
，若对任意的 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是______．
【答案】 或
【分析】利用特殊值法求 ， ，利用奇偶函数概念研究 的奇偶性，再
利用单调性化简不等式，参变分离、构造新函数法，再利用导数的性质进行求解即可.
【详解】令 ，有 ，得 ，
令 ，得 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 33令 ， ，有 ，得 ，
又函数 的定义域 为 关于原点对称，所以 是偶函数，
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增.
不等式 可化为 ，
则有 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，
因为 ，故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】关键点点睛：先判断出函数的奇偶性，进而判断函数的单调性，通过构造新函数
利用导数的性质进行求解是解题的关键.
考法5：比较函数值的大小
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，
， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求得函数 为偶函数，再利用导数求得函数 在 上单调递
增，结合偶函数和单调性分析判断.
【详解】因为 ，可得函数 为偶函数，
当 时，则 ，可得 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司 34所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又因为 ，且 ，
所以 ，即 .
故选：D.
2．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 可得到 ，利用作差法得到
， ，构造
， 分别求出 在 上的单调性，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
令 ， ，
则 ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ；
又 ，
令 ，
则 ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
综上， .
故选：A.
3．（2023·海南海口·校联考一模）设 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 35A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三个式子的结构，构造函数 ，求导判断单调性，进而比较 ，
， 的大小，即可得 ， ， 的大小关系.
【详解】令 ，则 ，
， ，
由 可得 且 ，
由 可得 ；所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
4．（2023·河南新乡·统考三模）已知 ， ， ，则下列关系正确的为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ， ， ，利用导数研究函
数，结合函数的单调性等性质即可得答案.
【详解】令 ， ， ，
，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
即 （当 时，等号成立），
所以 ，即 .
，故 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 36因为 ， ，所以 ，则 ，即 ；
， 令 ，则 ，故 在定义域 上
单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递增，
则 ，即 ， .
综上， ，即 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小，通常根据题目特征及导数运算公式结构特征，构
造出需要的函数，然后对所构造的函数进行讨论，利用函数的单调性等性质得出结论．
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ， ， ，考虑构造函数 ，
利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较 的大小.
【详解】因为 ， ， ，
故设 ，
则 ，
求导得， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 37故选：B.
【点睛】关键点点睛，本题解决的关键在于关键被比较的数的结构特征，构造函数，
研究函数的性质，结合函数性质比较函数值的大小.
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知 ，若正数 满足 ，则下列不
等式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】根据 的正负可得 的单调性，根据各选项中的不等式可确定 的取值
范围，结合 单调性可确定各选项正误.
【分析】 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
对于A，若 ，由 ， 可得： ，
若 ， ，则 ， ， ，
即A可能成立，A正确；
对于B，若 ，由 ， 可得： ，
若 ， ，则 ， ，
， ，即B可能成立，B正确；
对于C，若 ，则 ，又 在 上单调递增，
，即C可能成立，C正确；
对于D，若 ，则 ，又 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司 38，即D不可能成立，D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数单调性中的应用，解题关键是能够根据各
选项中的不等关系确定自变量所处的范围，从而结合单调性确定函数值可能的大小关系.
7．（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在 上单调递增.
因为 ,所以 ，即 ， ，
所以 ．故A正确；
令 ，则 ，故B错误；
令 ，则
由函数单调性的性质知， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，于是有 ，
故C正确；
令 ，则 ，
所以因为 ，故D错误．
故选：AC.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 仅有一个极值点
【答案】BD
学科网（北京）股份有限公司 39【分析】根据题意将函数解析式化简，然后利用函数的单调性，对称性和极值点的相关知
识逐项进行判断即可求解.
【详解】因为 的定义域为 ，所以
.
对于选项A： ，即
，故A错误；
对于选项B：由A知 ，所以 的图象关于直线 对称，（结论：若
，则 的图象关于直线 对称）故B正确；
对于选项C： ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于选项D：因为 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增，所以
在 上单调递减，所以 仅有一个极值点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）定义在 上的偶函数 满足
，且在 上是减函数，若 ､ 是钝角三角形的两个锐角，对
（1） ， 为奇数；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） .则以上结论中正确的有
______________.(填入所有正确结论的序号).
【答案】（1）（4）（5）
【解析】令 ，结合偶函数得到 ，根据题意推出函数的周期为 ，
可得（1）正确；根据函数在 上是减函数，结合周期性可得 在 上是增
学科网（北京）股份有限公司 40函数，利用 ､ 是钝角三角形的两个锐角，结合正弦函数、余弦函数的单调性可得
， ，再利用函数 的单调性可得（4）（5）正确，当
时，可得（2）（3）不正确.
【详解】∵ ，令 ，得 ，又 是偶函数，
则 ，∴ ，
且 ，可得函数 是周期为2的函数.故 ，
为奇数.故（1）正确；
∵ ､ 是钝角三角形的两个锐角，
∴ ，可得 ，
∵ 在区间 上是增函数， ，
∴ ，即钝角三角形的两个锐角 ､ 满足 ，
由 在区间 上是减函数得 ，
∵函数 是周期为2的函数且 在 上是减函数，∴ 在 上也是
减函数，又函数 是定义在 上的偶函数，可得 在 上是增函数.
∵钝角三角形的两个锐角 ､ 满足 ， ，
且， ，
∴ ， .故（4）（5）正确；
当 时， ， ， ，
，故（2）（3）不正确.
故答案为：（1）（4）（5）
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知 ， ， ，则 的大
小关系是___________.
【答案】
学科网（北京）股份有限公司 41【分析】构造函数 ，利用函数的单调性比较出 与 的大小，再用作差比较出
与 的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设 ，则其导数 .
令 ，
故在区间 上， 恒成立，则有 ，即 恒成立
在 上恒成立， 函数 在 上单调递减，
则有 ，即
又 ，而 ，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
四、解答题
11．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知曲线 .从点
向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 .
（1）求切点 坐标和切点 的坐标；
（2）已知 在 上是递减的，求证： .
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）当 时，联立曲线和直线的方程组，解之即得点 坐标；设直线
，联立 ，由 得 ，即得解；
（2）由题得 ， 在 上恒成立，再证明
学科网（北京）股份有限公司 42成立，原题即得证.
【详解】解：（1）当 时，曲线 ，直线 ，
联立解得 .
设直线 ，联立 ，
得 ，
则由 ，即 ，得 （负值舍去）
所以可得 ， ，所以 .
（2）因为 ，
因为 在 上递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立.
又 .
所以 成立，
所以 .，所以原题得证.
考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性
一、单选题
1．（2022·天津·统考高考真题）函数 的图像为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 43A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合
排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；
又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 44C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数，由 时的单调性排除两个选项，当 时，利用导数探讨
函数的单调性、极值判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时， ，因为函数 在 上递增，函数 在
上递减，
因此函数 在 上递增，BD错误；
当 时， ，求导得： 在 上递增，
， ，而 ，即有
，
则存在 ，使得 ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.
故选：A
3．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由 的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为 定义域为 ， ，
所以 为奇函数，且 为 上的增函数.
当 时， ，所以 ，
即“ ”是“ ”的充分条件，
当 时， ，由 的单调性知，
，即 ，
学科网（北京）股份有限公司 45所以“ ”是“ ”成立的必要条件.
综上，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 ，则函数
的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积.
【详解】已知函数 ，定义域为 ，
又 .
因此函数 的图象关于点 成中心对称，
又 ，且点 与点 也关于点 成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数 在区间 上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是 .
故选：A.
5．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知三个互异的正数 ， ， 满足 ，
，则关于 ， ， 下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把 变形为 ，构造函数，求导，得 ，
或 ， ，然后构造 ，利用函数单调性比较即可.
【详解】因为 ，所以 ，设 ，
则 ，令 得 ，令 得 ，
所以函数 在 递减，函数 在 递增，所以
，
学科网（北京）股份有限公司 46（1）当 ， 时， ，
设 ，易知 在 上单调递减，
且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）当 ， 时， ，设 ，
易知 在 上单调递减，且 ，
所以 ，以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以所以 ；
综上可得： 成立.
故选：D
二、多选题
6．（2023·浙江·校联考二模）已知函数 ，则
（ ）
A．f（x）是单调递增函数 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可判断函数为单调函数，且为增函数可判断A的正误；由 的解
析式求得 的解析式，再求的 的解析式，化简即可判断B的正误；将特
殊值 代入即可排除C；由 求得 ，在求得最值，可判断
，即可得到结果.
【详解】函数 为连续函数，且当 是斜率为正，当 时斜
学科网（北京）股份有限公司 47率为正，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
所以 ，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
7．（2023·全国·模拟预测）已知关于x的方程 有解，则实数a的
取值范围为___________.
【答案】
【分析】由已知转化为 ，根据 的奇偶性、单调性可
得 ，构造函数 ，利用导数判断 的单调性可得答案.
【详解】方程 可化为 ，
设 ， ，易知 为奇函数，
所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
整理得 ，设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 48当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，又当 时， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司 49
