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专题06 导数（解答题10种考法）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 含参单调性的分类讨论
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在 上的最小值 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
则 ．
当 时， 在 上恒成立，
故此时 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由 ，得 ,由 ，得 ，
故此时 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，所以 ；
当 时，
(i)若 ，即 时， 在 上单调递增，
此时， ；
(ii)若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时， ；
(iii)若 ，即 时， 在 上单调递减，
此时， ．
综上所述， ．
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由已知 ，则 ，
当 时， ， ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，即
（2）由（1）知， ，
①当 时， ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
②当 时，由 ，得 ，
（ⅰ）当 时， ，
当 时， ， 在 ， 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
（ⅱ）当 时， ， ， 在 单调递增；
（ⅲ）当 时， ，
当 时， ， 在 ， 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 在 单调递减；
综上可得：①当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
②当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减；
③当 时， 在 单调递增；
④当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数 其中 ．
(1)若 ，求函数 的单调区间和极值;
(2)当 时，讨论函数 的单调区间．
【答案】(1) 的单调减区间为 ， 单调增区间为 ；极小值
（2）答案见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 ．
则 ，
令 ，可得 ，
当 变化时， 和 的变化情况如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调递减 单调递减 单调递增
故函数 的单调减区间为 ; 单调增区间为 ．
当 时，函数 有极小值 .
（2）因为 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ，
求导可得
令 ，可得 ，
当 时， ，
因为 (当且仅当 时， )
所以函数 在 单调递增．
当 时， ，
当 变化时， 和 的变化情况如下：
单调递增 单调递减 单调递增
故函数 的单调减区间为 单调增区间为
当 时， ，
当 变化时， 和 的变化情况如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调递增 单调递减 单调递增
故函数 的单调减区间为 单调增区间为 ，
综上，当 时，函数 在 单调递增；当 时，函数 的单调减区间为 单调增区
间为 ；当 时，函数 的单调减区间为 单调增区间为 ，
3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，讨论 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当 时： ，令 解得 ，
又因为当 ， ，此时函数 单调递减；
当 ， ，此时函数 单调递增.
所以 的最小值为 .
（2） ，
当 时，由 ，得 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若 ，则 ，故 在 上单调递增；
②若 ，则 .故当 时， 或 ；
当 时， .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
③若 ，则 .故当 时， 或 ；
当 时， .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
考法二 讨论零点个数
【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 为实数，函数
(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)当 时，试判断函数 的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)有且仅有一个极小值点
(2)零点个数为2，理由见解析
【解析】（1）当a=0时， ，故 ，
令 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与 在区间 上的情况如下：
0 +
极小值
所以 在区间 上单调递减，在区间 单调递增，
所以函数 有且仅有一个极小值点 ．
（2）函数 的零点个数为2，理由如下：
（1）当 时， ．
由于 ，
所以 ，
故函数 在区间 上单调递减，
，
所以函数 在区间 上有且仅有一个零点；
（2）当 时， ，
故 ，
令 ，得 ，
，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此恒有 ，所以函数 在区间 上单调递增；
又 ，
所以函数 在区间 上有且仅有一个零点．
综上，函数 的零点个数为2．
【变式】
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数 ， ，其中
，曲线 在 处的切线方程为
(1)若 的图象恒在 图象的上方，求 的取值范围；
(2)讨论关于 的方程 根的个数．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析
【解析】（1） ，则 ，
则 ,又因为 ，解得 ， ，
所以 ；
由题意得， 对一切 恒成立，
分离参数 得， 对一切 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
所以函数 过点 ，且在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ；当 时， ．
又易知 与 同号，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 ，
故 的取值范围为 ；
（2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程 ，
令 ，由（1）知，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又当 时， ；当 时， ，
所以 的大致图象如图.观察图象可知：
当 时，方程 根的个数为 ；
当 时， 根的个数为 ；
当 时， 根的个数为 ．
2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1个零点．
当a＞1时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x∈，使得g(x)＝0．
0 0
在(0，x)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
0 0
所以f(x)的最小值是f(x)，其中x 满足f′(x)＝0，即1＋ln x＋2ax－3a ＝0．
0 0 0 0 0
所以f(x)＝xln x－ax＋1＋a(x－1)2＝x(3a－1－2ax)－ax＋1＋a(x－1)2＝(1－x)(a＋ax＋1)，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因为x∈，所以f(x)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2个零点．
0 0
综上所述，当a＝1时，f(x)有1个零点；当a＞1时，f(x)有2个零点
考法三 已知零点个数求参数
【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恰有2个不同的极值点，求 的取值范围；
(3)若 恰有2个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为 ，无增区间.
(2)
(3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）解：若 ，则 ，可得 ，
设 ，则 ，
当 时， 递增；当 时， 递减，
所以 ，即 ，所以 在 递减，
即 的单调减区间为 ，无增区间.
（2）解：由函数 ，可得 ，
由题意可得 有两个不等的正根，
设 ，
若 ，则 在 递增，不符合题意；
若 ，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
可得 ，
因为 有两个不等的正根，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）解：由 ，可得 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 时， 时， ，
因为 恰有2个不同的零点，所以 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)设函数 ，若函数 在 上有三个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)最小值为 ，最大值为 .
(2)
【解析】（1）解：由函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 ，函数取得极大值 ；当 ，函数取得极小值 ，
又由 ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：由函数 和 ，可得 ，
因为函数 在 上有三个零点，即 有三个实数根，
等价于 与 的图象有三个不同的交点，
又由 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数取得极小值 ；当 ，函数取得极小值 ，
又由当 时， ，当 时， ，
要使得 与 的图象有三个不同的交点，可得 ，
即实数 的取值范围是 .
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数 ， 其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【解析】（1）解：由题意得函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
（2）方程 有三个根，即 有三个根，
有三个根，显然 不是方程的根，
则 有三个根，即 与函数 的图象有三个交点，
，令 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，由 ，可得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值为 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
如图所示：
要使 与函数 的图象有三个交点，
只需 ， 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法四 恒成立与能成立问题
【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， 恒成立，
大致图象如下图所示，
则当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递减，无极值点；
当 时， 与 有两个不同交点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 有两个变号零点， 有两个极值点；
当 时， 与 有且仅有一个交点，
此时 有且仅有一个变号零点， 有且仅有一个极值点；
综上所述：当 时， 无极值点；当 时， 有两个极值点；当 时， 有且
仅有一个极值点.
（2）由题意知：当 时， 恒成立；
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即 ， ，
又 恒成立， ，即实数 的取值范围为 .
【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析
【解析】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1） ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，所以 时 ， 单调递增，
时 ， 单调递减，
综上所述，当 时， 单调递减；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递
减.
（2）若对任意 恒成立，可得 ，
即 对任意 恒成立，
令 ， ，
，令 ， ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
所以 ，
可得 .
2．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设 ，
.
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 有 恒成立，求 的取值范围
.
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1） 的定义域为 ，因为 ，
∴ ，
∴ 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
∴ ， ；
（2）由题： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时： ，
1°
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
当 时：∵ ，
2°
∴ 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
当 时：
3°
①若 即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
②若 即 ， ，
则 在 单调递增；
③若 即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
（3）欲使 恒成立，只需 ，
根据(2)的结论，
，当 时：
1°
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减，
∴令 ，得 ，此时， ；
当 时：①若 即 ，
2°
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
②若 即 ，
时， ， 单调递增；
③若 即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
不论上述哪种情况，均有 时 ，因此，不可能有 恒成立，舍去
.
综上： 的取值范围为 .
3．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，当 时， ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时，由 ，得 或 ，
当 即 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 时， ， 在 上单调递减，
或 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 时， ， 在 上单调递减；
或 时， ， 在 上单调递增．
综上可得， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）由题可得 ，所以 ，
由（1）得当 时， 在 上单调递增，则 时 ，不满足题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 ，即 时 在 上单调递减， 时， ，满足题意，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 时， 恒成立，则 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
综上得实数 的取值范围为 ．
考法五 不等式的证明
【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求 的极值；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)证明见解析
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值 ，
所以 的极大值为 ，无极小值；
（2）设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
又 ， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ．
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以当 时， 在 处取得极小值，即为最小值，
故 ，
设 ，因为 ，
由二次函数的性质得函数 在 上单调递减，
故 ，
所以当 时， ，即 ．
【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）由 ，得 ，
设 ，
当 时， ，
所以当 时， ，不符合题意．
当 时， ，
设 ，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 ，
当 ，即 时，
因为 ，
所以当 时， ，即 ，
此时 单调递增，所以 ，不符合题意．
当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ．
（3）由（2）可得当 时， ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
即 ，
所以 ．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 ，求证：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知： 的定义域为 ， ；
①当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增；在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上
单调递减.
（2）要证 ，只需证 ，
又 ， ，则只需证 ；
①当 时， ， ， 恒成立；
②当 时， ， ， ，
则只需证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，
， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ；
综上所述：当 时， 恒成立，即 .
考法六 三角函数型
【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 ，求 在 的零点个数．
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为 .
(2)答案见解析
【解析】（1）解：由函数 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，即 ，可得 ，
解得 ；
令 ，即 ，可得 ，
解得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）解：由（1）知 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 时， ， 单调递增；
当 时，即 时， ， 单调递减；
当 时，即 时， ， 单调递增；
当 时，即 时， ， 单调递减；
且 ，
则函数 的图象，如图所示，
又由 的零点，即方程 的解，
即函数 与 的图象交点的个数，
结合图象，可得：
当 或 时， 与 的图象没有交点，即函数 没有零点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 或 时， 与 的图象一个交点，即函数 有一个零点；
当 或 时， 与 的图象有两个交点，即函数 有两个零点；
当 时， 与 的图象有三个交点，即函数 有三个零点；
当 时， 与 的图象有四个交点，即函数 有四个零点.
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数 ， 的导函数为 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记函数 的极大值和极小值分别为 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意， ，根据题意知， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
则 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ， ， ，故 ， ，
当 时， ， ，即 在 上单调递增，
当 时， ， ，即 在 上单调递减，
故 ，则 ，
故实数 的取值范围为 ．
（2）令 ，则 ，设 ， 分别为函数 在 上的极大值点与极小值点，
所以 ， ，则 ，且 ．
所以 ，由 ，得 ，其中 ， ，
故
．
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，故 ．
考法七 切线问题
【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处
的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【解析】（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处
的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理
得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
【变式】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求证：存在 ，使得直线 与函数 的图像相切．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1） 的定义域是 ， ，
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 ，则 ， 显然成立，
解得： ， ，
当 时， ；当 时， ，
的增区间是 和 ，减区间是 ．
（2） ，则 ，设切点坐标为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由直线 与函数 的图象相切，则 ，解得： ．
显然直线 过原点，则 ，所以 ．
整理得 ，即： ，得： ．
设 ， ．
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
又 ， ．所以存在 ，使得 ．
存在 ，使得直线 与函数 的图像相切．
2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线与曲线 相交于不同的两点 ， ，曲线
在A，B点处的切线交于点 ，求 的值；
(2)当曲线 在 处的切线与曲线 相切时，若 ，
恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ．
由已知得 ， ，不妨设 ，
又曲线 在点A处的切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在点B处的切线方程为 ，
两式相减得 ，
将 ， ，
代入得 ，
化简得 ，
显然 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）当直线 与曲线 相切时，设切点为 ，
则切线方程为 ，将点 代入，解得 ，此时 ， ，
根据题意得， ， ，
即 恒成立．
令 ，则， ，令 ，则 ，
易知 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ．
若 ，则 ，即 在 上单调递增，
则 ，所以 在 上恒成立，符合题意；
若 ，则 ．
又 ，
所以存在 ，使得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减，即 ，
所以此时存在 ，使得 ，不符合题意．
综上可得，a的取值范围为 ．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，函数 .
(1)若 是增函数，求 的取值范围；
(2)证明：当 ，且 时，存在三条直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切
线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1） 的定义域为
令 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，故 的取值范围是 .
（2）设曲线 的切点为 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，得 ，
必有 ，
记函数 ，由题 ，
故当 时， .
记 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 ，且 时， ，
当 时， ，故存在 ，使得 ，
当 ，或 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
由 ，得 ，代入 并整理得：
同理 ，
记 ，由（1）知 为增函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
又 ，当 时， ，
有三个零点，
存在三条直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
考法八 极值点偏移
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【解析】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为 ，则
令 ,得
当 单调递减
当 单调递增 ，
若 ,则 ,即
所以 的取值范围为
[方法二]：同构处理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得：
令 ，则 即
令 ，则
故 在区间 上是增函数
故 ，即
所以 的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证 ,即证
因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时，
设 ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 只有1个解
又因为 有两个零点 ，故
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两边取对数得： ，即
又因为 ，故 ，即
下证
因为
不妨设 ，则只需证
构造 ，则
故 在 上单调递减
故 ，即 得证
【变式】
1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中 为自然对数的
底数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：由 ，得 .
令 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 .
所以，函数 在 上单增，故 .
①当 时，则 ，所以 在 上单增， ，
此时 对 恒成立，符合题意；
②当 时， ， ，
故存在 使得 ，
当 时， ，则 单调递减，此时 ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围 .
（2）证明：由（1）中结论，取 ，有 ，即 .
不妨设 ， ，则 ，整理得 .
于是 ，
即 .
2．（2023·安徽合肥 ）已知函数 有两个极值点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明见解析
【解析】（1）由于 ，则 .
设 ，则 ，令 ，解得 .
所以当 时， ；当 时， ，所以
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，没有极值点.
②当 时， ， ，
此时， 有两个零点 、 ，不妨设 ，则 ,
所以函数 有2个极值点时， 的范围时 .
（2）由（1）知， 、 为 的两个实数根，不妨设 ，则 ，
在 上单调递减.
下面先证 ，只需证 .
由于 ，所以 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ， ，
所以 .
由于函数 在 上单调递减，所以 .
要证 ，只需证 ，即证 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设函数 ,则 .
设 ，则 ,
所以 在 上单调递增， ，即 .
所以 在 上单调递增， .
故当 时， ,则 ,
所以 ,即
3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 是方程 的两不等实根， ，
即 是方程 的两不等实根，
令 ，则 ，即 是方程 的两不等实根.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以0 ，即0 .
令 ，要证 ，只需证 ，
解法1（对称化构造）：令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增， ，
所以h ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 .
解法2（对数均值不等式）：先证 ，令 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，所以 .
因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，所以 .
考法九 交点或零点之间的关系
【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得： ，显然 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最大值 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最小值 ，不合题意；
综上所述： ， 在 处取到最大值 .
因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 在 处取到最大值 ；
由题意可得： ，解得 .
（2）由（1）可得： 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值
，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
在 上单调递增，在 上单调递减，在 处取到最大值 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
若直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，则 ，
此时直线 与曲线 、 均有两个交点，
构建 ，
构建 ，且 ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】构建 ，则 ，
因为 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得：当 时， ，则 ，
所以 ；
当 时， ，且 在 上单调递增，
则 ，可得 ，
所以 ；
当 时， ，且 在 上单调递减，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述：当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
结合题意可得：直线 与曲线 的两个交点横坐标为 ， 与 的两个交点横坐标
为 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得
所以 ；
当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述： ，即 .
【变式】
1．（2023·新疆·统考三模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
【答案】(1)答案见解析
(2) ；证明见解析
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
综上当 时， 在区间 上单调递增，当 时， 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
（2）方程 ，即 ，等价于 ，
令 ，其中 ，则 ，显然 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，且由 时 可得在区间 上 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
因为方程 有两个实根 ，
所以关于 的方程 有两个实根 ， ，且 ， ，所以 ，
要证 ，即证 ，即证 ，只需证 ，
因为 ，所以 ，整理可得 ，
不妨设 ，则只需证 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
令 ， ，其中 ，
因为 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，故 ．
2．（2023·河南·校联考二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有两个不同的实数根 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域是 ，
.
当 时， 对任意 恒成立，
所以函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增.
综上可得， 时，函数 在 上单调递增；
时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）方程 即 ，得 ，
不妨设 ，则 ， ，得 ，
所以 .
所以要证 ，即证 ，即证 ，
即 .
设 ，因为 ，所以 ，
即证 （ ）.
设 ，则当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
即 ，即 .
考法十 根据极值（点）求参数
【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数 ， 是 的导
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数.
(1)若 ，求证：当 时， 恒成立；
(2)若 存在极小值，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）∵ 的定义域为 ， ，
∴ ， .
令 ，则 .
令 ，则 .
由 ，得 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， ，
即当 时， ，∴ 在 上单调递增.
∵ ，∴ ，∴当 时， 恒成立.
（2）由（1）知， .
设 ，则 .
①当 时， 恒成立，∴ 在 上单调递增.
∵ ，∴当 时， ，从而 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，从而 .
又∵ ，∴ ，都有 ，
所以 在 上单调递增，此时 无极值；
②当 时，由 ，得 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 取得最小值，且最小值为 .
令 ， ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
∵ ，∴当 时， ，
即当 时， （当且仅当 时等号成立）.
（i）当 时， ，且当 时，都有 ，
∴ ，且当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 处取得极小值，符合题意.
（ii）当 时， ，且 .
∵ ，∴ ，∴ 的图象大致如图（1）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图（1）
由函数的单调性及零点存在定理，
得在 内存在唯一的实数 ，使得 ，
∴当 时， ，从而 ；
当 时， ，从而 ；
当 时， ，从而 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 处取得极小值，符合题意.
（iii）当 时， ，且 .
∵ ，由（1）知， ，
∴ 的图象大致如图（2）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图（2）
由函数的单调性及零点存在定理，得在 内存在唯一的实数 ，使 ，
∴当 时， ，从而 ；
当 时， ，从而 ；
当 时， ，从而 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 处取得极小值，符合题意.
综上，当 存在极小值时， 的取值范围为 .
【变式】
1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)证明： 恰有一个零点；
(2)设函数 .若 至少存在两个极值点，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：令 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增.
又 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
即 在区间 内恰有一个零点，
故函数 恰有一个零点.
（2）由题意知 ，
所以 .
因为函数 至少存在两个极值点，
所以方程 至少有两个不等实根.
令 ，则 .
令 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递减.
又 ，所以当 时， ，即 0，此时 单调递增；
当 时， ，即 ，此时 单调递减，
且当 时， ；当 时， ；当 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要使 在区间 内至少有两个不等实根，
则函数 的图象与直线 在区间 上至少有两个交点.
作出函数 的图象，如图所示，
则 ，解得 .
此时， 在区间 和区间 内各有一个零点，分别设为 ，
则当 或 时， ；当 时， ，
故 为 的极小值点， 为 的极大值点，符合题意.故实数 的取值范围是 .
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）由题得 ，其中 ，
令 ， ，其中对称轴为 ， ．
①若 ，则 ，
此时 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 在 上有两个根 ， ，且 ，
所以当 时， ，则 ， 单调递增；
当 , 时， ，则 ， 单调递减；
当 , 时， ，则 ， 单调递增，
③当 时，当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
④当 时， ，
此时 在 上有两个根 ， ，
所以当 时， ，则 ， 单调递减；
当 , 时， ，则 ， 单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 ， 上
单调递增．
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）由（1）知，当 时， 有两个极值点 ， ，且 ， ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
令 ， ，
则 ，故 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
