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专题06 导数（解答题10种考法）考法一 含参单调性的分类讨论
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在 上的最小值 ．【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数 其中 ．
(1)若 ，求函数 的单调区间和极值;
(2)当 时，讨论函数 的单调区间．3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，讨论 的单调性.
考法二 讨论零点个数
【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 为实数，函数
(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)当 时，试判断函数 的零点个数，并说明理由．【变式】
1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数 ， ，其中
，曲线 在 处的切线方程为
(1)若 的图象恒在 图象的上方，求 的取值范围；
(2)讨论关于 的方程 根的个数．
2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．考法三 已知零点个数求参数
【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恰有2个不同的极值点，求 的取值范围；
(3)若 恰有2个不同的零点，求 的取值范围.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)设函数 ，若函数 在 上有三个零点，求 的取值范围.2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数 ， 其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．考法四 恒成立与能成立问题
【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设 ，
.
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 有 恒成立，求 的取值范围
.3．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
考法五 不等式的证明
【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求 的极值；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 ，求证：当 时， ．
考法六 三角函数型
【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．【变式】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 ，求 在 的零点个数．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数 ， 的导函数为 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记函数 的极大值和极小值分别为 ， ，求证： ．考法七 切线问题
【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处
的切线也是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【变式】
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求证：存在 ，使得直线 与函数 的图像相切．2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线与曲线 相交于不同的两点 ， ，曲线
在A，B点处的切线交于点 ，求 的值；
(2)当曲线 在 处的切线与曲线 相切时，若 ，
恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，函数 .
(1)若 是增函数，求 的取值范围；
(2)证明：当 ，且 时，存在三条直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切
线.考法八 极值点偏移
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【变式】
1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中 为自然对数的
底数.
2．（2023·安徽合肥 ）已知函数 有两个极值点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；考法九 交点或零点之间的关系
【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
【变式】
1．（2023·新疆·统考三模）已知函数 ， ．(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不相等的实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ．
2．（2023·河南·校联考二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有两个不同的实数根 ，证明： .
考法十 根据极值（点）求参数
【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数 ， 是 的导
函数.
(1)若 ，求证：当 时， 恒成立；
(2)若 存在极小值，求 的取值范围.【变式】
1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)证明： 恰有一个零点；
(2)设函数 .若 至少存在两个极值点，求实数 的取值范
围.
.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
