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专题 06 平面解析几何（解答题）
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
2023年全国Ⅰ卷
考点1：弦长、周长问题
2022年北京卷
2022年浙江卷
考点2：斜率问题
2024年北京卷
2022年全国II卷
2024年全国Ⅰ卷
2023年全国甲卷（理）
考点3：面积及面积比问题 2023年天津卷 从近三年的高考卷的考查情况来
2022年全国I卷
看，本节是高考的热点．直线与圆
2022年天津卷
2024年全国Ⅱ卷 锥曲线综合问题是高考的热点，涉
及直线与圆锥曲线关系中的求弦
考点4：定直线问题
2023年全国Ⅱ卷
2022年全国甲卷（理） 长、面积及弦中点、定点、定值、
参数取值范围和最值等问题，多属
考点5：向量问题
2024年天津卷
于解答中的综合问题．近两年难度
2024年上海卷
上有上升的趋势，但更趋于灵活．
考点6：共线与平行问题 2023年北京卷
考点7：设点设线问题 2024年全国甲卷（理）
考点8：定点定值问题
2023年全国乙卷（理）
2022年全国乙卷（理）考点1：弦长、周长问题
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距
离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，
N，当 时，求k的值．
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，
且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
考点2：斜率问题
4．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
5．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方
程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
M在 上；② ；③ ．
①注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
考点3：面积及面积比问题6．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线 与抛物线 交于 两
点，且 ．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
8．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已
知 ．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
9．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．10．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为
B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
11．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
考点4：定直线问题
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率
为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直
线 与 交于点P．证明:点 在定直线上.13．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
考点5：向量问题
14．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶
点为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
15．（2024年上海夏季高考数学真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点
的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．考点6：共线与平行问题
16．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
考点7：设点设线问题
17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点
在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
考点8：定点定值问题
18．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆 的离心率是 ，点
在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．19．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
