专题06导数（解答题10种考法）专练（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_二轮复习资料_2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）_2、解答题

专题06 导数（解答题10种考法） 1．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 . (1)已知 ，求 最小值； (2)讨论函数 单调性. 【答案】(1)0 (2)答案见解析 【解析】（1）当 时， ， 所以 . 时， ， 时， ， 时， ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故 最小值为 . （2） ， 时，当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 当 时，当 或 时， 在 和 上单调递增； 当 时， 在 上为减函数. 当 时， 上， 在 上为增函数. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，当 或 时， 在 和 为增函数； 当 时， 在 上为减函数. 综上， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 时， 在 和 上单调递增，在 上为减函数； 时， 在 上为增函数； 时， 在 和 为增函数，在 上为减函数. 2．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）当 时， ， 所以 由于 ， ， 所以切线为 ，即 . （2）因为 ， 所以 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， . 所以，在区间 上， ；在区间 上， . 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 当 时，由 ，得 ， 所以，在区间 和 上， ；在区间 上， . 故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 当 时， ，故 的单调递增区间为 . 当 时，由 ，得 ， . 所以在区间 和 上， ；在区间 上， . 故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 综上所述：当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ； 当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ； 当 时， 的单调递增区间是 ； 当 时， 单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设函数 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 时函数 有三个互不相同的零点，求m的范围； (2)若函数 在 内没有极值点，求a的范围； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当 时， ， 因为 有三个互不相同的零点，所以 ， 即 有三个互不相同的实数根． 令 ，则 ． 令 ，令 ， 所以 在 和 均为减函数，在 为增函数， 即 的极小值为 ，极大值为 ， 故m的取值范围 ． （2）由题意可知， 在 上没有变号零点， 又因为 ，所以 ，解之得 ． 故a的范围为 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）设函数 ， . (1)求函数 的单调区间； (2)若函数 有两个零点 ， ，求满足条件的最小正整数 的值. 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【解析】（1） 的定义域是 ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 当 时， ， 所以 在区间 上 单调递减； 在区间 上 单调递增. （2） ， ， 依题意， ，所以 在区间 上 单调递减； 在区间 上， 单调递增. 所以 在 时取得极小值也即是最小值. 要使函数 有两个零点 ， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则首先要满足 ， 时， ，不符合. 时， ，不符合. 时， ， ，所以 ， 此时 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ，满足函数 有两个零点， 所以最小正整数 的值为 . 5．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值． (1)求 ； (2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横 坐标成等差数列？说明理由． 【答案】(1) (2)存在；理由见解析 【解析】（1）由题意可得 ， ． ①若 ， 在 上恒成立， 在 上单调递增， 即 无最小值； ②若 ，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 所以 在 处取得最小值 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 所以 在 处取得最小值 ， 又 与 有相同的最小值， 所以 ， ， 设 ， ，则 ， 令 ，则 ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 所以 在 处取得最小值 ，则当 时， 恒成立， 单调递增． 又 ，所以 ． （2）由（1）得 ， ， 且 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 所以 和 的图象在 上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1， 由函数的单调性及图象可得存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点， 当直线 与曲线 和 共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为 ，且 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， 因为 ， ， 所以 ， 由 图象可知 无解， 所以 ， ，所以 ， ， 则 ， ， 上述两式相减得 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 6．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数 ． (1)判断函数 的单调性； (2)设 ，证明：当 时，函数 有三个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）根据题意得， ， ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ，得 ； 令 ，得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）当 时， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，故 的最小值为 ， 又 ， ； ， ， 故 ． ， 设 ， ， 则 ， ， 则 ， 由 ，得 ． 因此，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 由于 ，故 ，又 ， 由零点存在定理，存在 ，使得 ， 所以 有两个零点 和 ，即方程 有两个根 和 ． 的图象如下， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，因为 ， 故方程 有一个根 ； 当 时，其中 ， 因为 ， 故由 图角可知， 有两个不同的根 ， ，且 ． 综上，当 时，函数 有三个零点． 7．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数 ， ． (1)讨论 的单调性； (2)当 时，证明：函数 有两个不同的零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）由 ，得 ． 当 时， ，函数 单调递增． 当 时， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减． 综上，当 时，函数 在区间 上单调递增； 当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． （2）证明：由 得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时， ， 因为 ，所以 ，下面证明 在区间 上与 上分别存在一个零点， 因为 ， 所以在区间 上存在唯一零点 ，且 ． 因为 ， 当 时， ， 所以 ， 所以 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在区间 上存在唯一零点 ，且 ， 所以当 时，函数 有两个不同的零点． 8．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数 ，其中常数 ， 是自然对数的底数． (1)若 ，求 的最小值； (2)若函数 恰有一个零点，求a的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当 时， ，则 ， ， 记 ，则 ， ①当 时， ， ，可得 ，可知函数 在区间 上单调递减； ②当 时， ， ，可知函数 单调递增，又由 ，可知当 时， ； 当 时， ，可知函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 由①②知函数 的减区间为 ，增区间为 ，故有 ； （2）因为函数 恰有一个零点， 且 ，0是函数 的一个零点，又 ， 不妨设 ，函数定义域为 ，则 ， 当 时， ，又 ， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 恒成立， 则函数 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增， 又 ， 当 时，可得 ，且 时， ， 则存在 ，使得 ，此时在 上，有 ， 在 上， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数， 故当 时， ，而 时， ， 故 在 上存在一个零点， 则此时函数 至少存在两个零点，又因为0是函数 的唯一零点，故不符合题意； 当 时，可得 ，又 ， 所以在区间 上存在一点 ，使得 ， 故当在 上，有 ，在 上，有 ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数， 故当 时， ，而当 时， ， 故此时函数 在 上至少存在一个零点， 又因为0是函数 的唯一零点，故不符合题意； 当 时，即 时，由（1）知，当 时，函数 取得最小值， 最小值 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，因为 ，符合题意. 综上，满足条件的 值为 . 9．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数 ． (1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值； (2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ; (2) . 【解析】（1）设直线 与函数 的图象相切于点 ， 因为 , 所以 ，由②③可得 ④，易知 . 由①得 ，代入④可得 ， 即 ，即 ，解得 . 故 . （2）令 ，可得 ， 由题意可得 只有一个根. 易知 不是方程 的根，所以 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由 ，可得 . 设 ，则 与 的图象只有一个交点. ， 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增. 设 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增. 所以 . 所以 . 又 ， 时， ， 时， ， 画出函数 的图象如图所示： 由图可知，若 与 的图象只有一个交点， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 . 所以实数 的取值范围是 . 10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数 ， . (1)若函数 在 处的切线的斜率为 ，求实数a的值（e是自然对数的底数）； (2)若函数 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 即 ，令 ，则 ， 又因为 在 上单调递增，且 ，所以 ， 所以 ，即 . （2）因为函数 有且仅有两个零点， 所以 有且仅有两个大于0的实数根， 又 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， 由 得 ，由 得 ，由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ， ，所以 ，则 ， 即 ，令 ，则 ， 由 得 ，由 得 ，由 得 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 当 无限趋近于0且为正数时， 无限趋向于负无穷大， 当 无限趋向于正无穷大时， 无限趋向于0， 所以 ，所以 ，故实数a的取值范围为 . 11．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数 ， ． (1)若函数 在 处的切线的斜率为 ，求实数a的值（e是自然对数的底数）； (2)若函数 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) ． 【解析】（1）因为 ，定义域为 ，故 ， 则 ，即 ， 即 ， 令 ，则 ， 又因为 在 上单调递增，且当 时， ， 所以 ，即 ， ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为函数 有且仅有两个零点， 所以 有且仅有两个大于1的实数根， 又 ，则 ， 即 ， 令 ，则 ， 由 ，得 ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减且 ， 在 上单调递增且 时 ， 又 ， ，则 ，则 ， 即得 ， 所以 ，即 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，且无限趋近于0， 所以 ，故实数a的取值范围为 ． 12．（2023·四川·校联考一模）已知函数 . (1)求 的单调区间； (2)令 （a为常数），若 有两个零点 ，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 (2) 【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ， ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . （2）由题意可知： ，其定义域为 ， 则 有两个零点 ，即 有两解，即 有两解， 令 ，则 . 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 可知 ， 又因为 ，且当 趋近于 ， 趋近于0， 要使得 有两解，只需 ，所以 ， 故实数a的取值范围为 . 13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知 . (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)当 时，证明：函数 有且仅有一个零点. 【答案】(1)函数的单调递增区间为 , ，单调递减区间为 , (2)证明见解析 【解析】（1）当 时， ， ， 由 得 或 ，解得 或 由 得 或 ，解得 或 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故函数 的单调递增区间为 , ，单调递减区间为 , . （2）当 时， ，定义域为 ， ， 设 ， ，所以 在区间 上是增函数， ， 存在唯一 ，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ， 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 当 时， 取极大值为 ， 设 ， ， 所以 在区间 上是减函数. 在 内无零点， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 内有且只有一个零点， 综上所述， 有且只有一个零点. 14．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时，证明：函数 在 上有两个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1） 的定义域为 ， 令 ，得 或 ， 当 时， 在 上恒成立， 单调递增， 当 时，在 上， 单调递增， 在 上， 单调递减， 在 上， 单调递增， 当 时，在 上， 单调递增， 在 上， 单调递减，在 上， 单调递增， 综上所述， 当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. （2） ， 当 时， ， 则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ， 所以在 上 单调递减，在 上 单调递增， 所以 ， 又 时， ， ， 所以存在 ，使得 ，即 所以在 上 ， 单调递减，在 上 单调递增， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，取等号， 因为 ，所以 ， 由 ， ， 所以在 上存在 的两个零点，得证. 15．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． (1)求 的值； (2)设函数 ，求 的单调区间； (3)求 的极值点个数． 【答案】(1) 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)答案见解析 (3)3个 【解析】（1）因为 ，所以 ， 因为 在 处的切线方程为 ， 所以 ， ， 则 ，解得 ， 所以 . （2）由（1）得 ， 则 ， 令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ， 易知 恒成立， 所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ； 所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， 即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 . （3）由（1）得 ， ， 由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增， 当 时， ， ，即 所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ， 此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上有一个极小值点； 当 时， 在 上单调递减， 则 ，故 ， 所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ， 此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减； 所以 在 上有一个极大值点； 当 时， 在 上单调递增， 则 ，故 ， 所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ， 此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增； 所以 在 上有一个极小值点； 当 时， ， 所以 ，则 单调递增， 所以 在 上无极值点； 综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点. 16．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， . (1)求函数 的极值； (2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）. ①若 恒成立，求实数 的取值范围； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围. 【答案】(1)极大值为 ，无极小值 (2)选①， ；选②， 的取值范围为 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，解得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， 单调递减； 所以 ，无极小值. （2）若选①：由 恒成立，即 恒成立， 整理得： ，即 ， 设函数 ，则上式为 ， 因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ， 即 ， 令 ， ，则 ， 当 时， ； 当 时， ； 所以 在 处取得极大值， 的最大值为 ，故 ，即 . 故当 时， 恒成立. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若选择②：由关于 的方程 有两个实根， 得 有两个实根， 整理得 ， 即 ， 设函数 ，则上式为 ， 因为 恒成立，所以 单调递增， 所以 ，即 ， 令 ， ， 则 ， 当 时， ； 当 时， ； 所以 在 处取得极大值， 的最大值为 ，又因为 所以要想 有两个根，只需要 ， 即 ，所以 的取值范围为 . 17．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ． f x (1)讨论 的单调性； 3 (2)证明：当 时， f x2lna ． 2 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为 ，定义域为R，所以 ， a0 aex 0 当 时，由于 ，则 ，故 恒成立， f x R 所以 在 上单调递减； a0 fxaex10 当 时，令 ，解得 ， f x ,lna xlna 当 时， ，则 在 上单调递减； f�( x) >0 lna, 当 时， ，则 在 上单调递增； a0 f x R 综上：当 时， 在 上单调递减； a0 f x ,lna f x lna, 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. （2）方法一： f x  f lnaa  elna a  lna1a2lna 由（1）得， min ， 3 要证 ，即证1a2lna2lna ，即证 恒成立， 2 1 令gaa2 lnaa0，则 ， 2 令 ga0 ，则 ；令 ga0 ，则 ；  2   , 所以ga在 上单调递减，在 2 上单调递增，   所以 ，则ga0恒成立， 3 f(x)2lna 所以当 时， 恒成立，证毕. 2 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法二： hxexx1 令 ，则 ， yex R 由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增， h0e010 又 ， hx0 hx0 所以当 时， ；当 时， ； ,0 0, 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ex x1 故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立， 因为 ， 当且仅当 ，即xlna时，等号成立， 3 1 f(x)2lna a2 lna0 所以要证 ，即证 ，即证 ， 2 2 1 1 2a21 令gaa2 lnaa0，则ga2a  ， 2 a a 2 2 令 ga0 ，则0a ；令 ga0 ，则a ； 2 2  2  2  0,   , 所以ga在 2 上单调递减，在 2 上单调递增，     2  2  2 1 2 ga g    ln ln 2 0 所以 min  2   2  2 2 ，则ga0恒成立，     3 f(x)2lna 所以当 时， 恒成立，证毕. a0 2 18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 ． (1)当 时，求 的最大值； (2)若 存在极大值点，且极大值不大于 ，求a的取值范围． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)最大值为 (2) 【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， ， 当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递增；在 上单调递减， 故 的最大值为 ． （2） ， ， ①当 时， ， 当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递增；在 上单调递减， 所以 的极大值为 ，符合题意． ②当 时 ， 当 时， ；当 时， ，∴ 在 上单调递增， 此时， 无极值点． ③当 时，令 ， 解得 ，且 ， 当 时， ；当 时， ，当 时， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的极大值 ， 令 ，则 ，设 ， 则 ，所以 在 上单调递增， 由题意知 ，即 ， 所以 ，即 ，故 ④当 时， ， 解得 或 ，且满足 ， 当 时， ；当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的极大值为 ，符合题意． 综上 ． 19．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数 ． (1)当 时，求函数 在 上的最大值． (2)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ， ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）∵当 时， ， ∴ ． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时； ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增． ∵ ， ，∴ ， ∴函数 在 上的最大值为 ． （2）要证 ，只需证 ． ∵ ， ， ∴由①－②得 ， 整理得 ． 只需证 ， 即证 ，即证 ． 不妨设 ，令 ，则只需证 ，即证 ． 设 ，则只需证当 时， 即可． ∵ ，令 ，则 ， ∴ 在 上单调递减，当 时， ， ∴ 在 上单调递增，当 时， ， ∴原不等式得证． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023·福建龙岩·统考二模）已知函数 ， ． (1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线； (2)若 ，且 ，证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）由已知有 ， , 曲线 在点 处的切线方程为： , 即： ，将 代入即有： , 由 得 令 得： ，此时 , 可得：曲线 在点 处的切线方程为： ，将 代入化简， 可得： 故曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线． （2）∵ ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，令 ，得： ， ∴ ， 为方程 的两根， ∴ 即： ， ∴ ∴ ， ∴ ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， ∴ 在 单调递减 ∴ 即 21．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数 ， . (1)求实数 的值； (2)证明： 时， . 【答案】(1) (2)证明见解析 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 ，则 ， 则 ， 令 ，其中 ，则 ， 由 可得 ，由 可得 ， 所以，函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 . 故 有最小值 ，故 . （2）由（1）可知， ， 当 时，要证 ，即证 ，即证 ， 令 ，则上式等价于 ， 构造函数 则 故当 时， 为增函数； 当 时， 为减函数； 由 得， 故 ， 故 . 当 时， ， 故 又 是 的增区间，而 故 故 即 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，即 在 上， 为减函数，故 即 ， 故原命题得证. 22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 有两个零点 . (1)证明： ； (2)求证：① ；② . 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【解析】（1）由 ，当 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ， 所以 ， 当 时 ， ，所以 ， 若 ，即 时，则 时 ，此时 在 上不存在零点， 要使 有两个零点，故 . （2）①要证 ，不妨设 ，则证 ， 因为 在 上单调递增，即证 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 单调递增，所以 ，即 ，得证； ②引理1：当 时 ： 证明：当 时 ，得证. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】利用引理1： ，所以 ①， 引理2： ： 证明：令 ， 则 ，当 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 利用引理2，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ②， 由①，②知： . 23．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 ，满足 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 【解析】（1）因为 ， 所以 ， 因为 的各项均为正，所以 ，故 ，即 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 是以2为公比的等比数列， 因为 ，又公比为2， 所以 ，所以 . （2） ，证明如下： 令 ，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递减， 所以 ，则 ，即 ， 设 ，所以 ， 所以 ， 记 ，则 ， 所以 ， 即 ，则 ，所以 ，所以 . 24．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ，且 ， ． (1)讨论 的单调性； (2)若 ，函数 有三个零点 ， ， ，且 ，试比较 与2的大 小，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) ，理由见解析 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由 ，得 ，又 ，所以 ， 则 ，所以 ， ． 当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ； 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ； 所以 在 与 上单调递减，在 上单调递增． （2） ，理由如下： 因为 ， 由 ，得 ，解得 或 ． 因为 ，所以 ， ， 是 的正根，则 ， 又 ，所以 ， ， 两式相减得 ． 令 ， ，则 ，得 ，则 ． 令 ，则 ， 所以 ， ，可得 ， ． 设 ，则 ， 再设 ，则 ， 所以 在 上为增函数，则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，则 在 上为增函数， 从而 ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ． 25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 （ ）有两个零点. (1)求实数 的取值范围； (2)设函数 的两个零点分别为 ， ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）当 时， 恒成立，所以 在 上没有零点. 所以若 ，则 . 设 （ ），则 . 当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增. 所以， 时， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 . 设 ，则 在 上单调递减， 在 上单调递增. 当 时， ， 所以 最多有一个零点，即 最多有一个零点，不满足题意； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 因为 ，所以 ， ， 所以 . 又 ， ， 根据函数 的单调性以及零点存在定理可知， ，有 ； ，有 . 且当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立. 所以， 有两个零点，即 存在两个零点. 综上， . （2）由（1）知 ， ，且 ， 得 ，即 . 设 ， 得 ，即 ，则 . 设 ，则 ， 设 ， . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，有 ，所以 在 上单调递减； 当 时，有 ，所以 在 上单调递增. 所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 ， 所以 ，即 在 上恒成立， 所以函数 在 上单调递增. 又 ，所以 时，有 ， 即 ， 即 ，即 ， 即 . 26．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)证明：当 时， 【答案】(1)当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)证明见解析 【解析】（1）函数 的定义域为 ，因为 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 当 时，由 得 ，由 得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）①因为 ，不等式 等价于 ， 令 ，则 ，由 ，得 ， 所以不等式 （ ）等价于： ，即： （ ）， 由（1）得：函数 在 上单调递增， 所以 ，即： ． ②因为 ，不等式 等价于 ， 令 ，则 ，所以 ， 所以函数 在 上为减函数，所以 ，即 ． 由①②得： 时， . 27．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证: (其中 是自然对数的底数). 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）函数 定义域为 ， ， 当 时 恒成立，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时令 ，解得 或 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时 恒成立，所以 在 上单调递增； 当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增， 令 ，解得 ，则 在 上单调递减； 当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增， 令 ，解得 ，则 在 上单调递减； 综上可得，当 时 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时 在 上单调递增； 当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； （2）因为 ， 由题意 ， 是方程 的两个根， ①， ②， ①②两式相加，得 ③， ①②两式相减，得 ④， 联立③④，得 ， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ， ， ， ， 因为 ，所以 ，则 ， 若 ，则一定有 ， 只需证明当 时，不等式 成立即可，即不等式 成立， 设函数 ， ， 在 上单调递增，故 时， ， 即证得当 时， ，即证得 ， ，即证得 ，则 ． 28．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 有三个零点. (1)求 的取值范围； (2)设函数 的三个零点由小到大依次是 .证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为 定义域为 ，又 ， （ⅰ）当 单调递减； （ⅱ）当 ，记 ，则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ；当 ， 所以 在 单调递增，在 上单调递减， ， 又 ，所以 ， ①当 ，则 单调递减，至多一个零点，与题设矛盾； ②当 ，由（ⅱ）知， 有两个零点， 记 两零点为 ，且 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 因为 ，令 ，则 ， 所以 ， 所以 ，且 趋近0， 趋近于正无穷大， 趋近正无穷大， 趋近负无穷大， 所以函数 有三零点， 综上所述， ； （2） 等价于 ，即 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 由（1）可得 ，则 ， 所以 ，所以 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 满足 ， ， 要证 ，等价于证 ， 易知 ，令 ，则 ， 令 得 ，令 得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 下面证明 ，由 ，即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 令 ， ， 令 ，则 ，所以 ， 所以 ，则 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以原命题得证. 29．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数 . (1)求不等式 的解集； (2)若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由 ，得 . 所以 ，所以 . 因为 ，所以 .又因为 ， 所以可设 ， ，则 . 当 时， ，可得函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 故不等式 的解集为 . （2） 等价于 ， 令 ，其中 ，则 ，显然 .所以 . 令 ，则 ， 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. 所以 的极小值为 . 因为方程 有两个不相等的实数根 ， ， 所以关于t的方程 有两个不相等的实数根 ， ，且 ， . 要证 ，即证 ， 即证 ，只需证 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ， 整理可得 . 不妨设 ，则只需证 ， 即证 . 令 ， ， ，则只需证 即可. 因为 ，所以 在 上单调递增. 所以 . 故 . 30．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知函数 . (1)求函数 的单调区间和极值； (2)若 ，求证: ； (3)已知点 ，是否存在过点P的两条直线与曲线 ， 相切？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)当 时，函数 在 上单调递增，无极值； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，函数 取极小值 ，无极大值. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明过程见详解 (3)存在， 【解析】（1）因为函数 ， 则 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值； 当 时，令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递增， 若 时， ，所以函数 在 上单调递减，当 时，函数 取极小值 ，无极大值， 综上：当 时，函数 在 上单调递增，无极值； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，函数 取极小值 ，无极大值. （2）由题意可得 ； 当 时， ，函数 在 上单调递增，所以函数 最多一个零点,与题意矛盾； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 ，不妨设 ， 则有 ，两式相减得 ， 两式相加得 ， 欲证 ，即证 ， 即证 ，也即证 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即证 ，令 ， ， 则 ，所以函数 在 上单调递增， 因为 ，所以 ， 所以得证，即 . （3）存在，理由如下： 设切点为 ，因为 ，所以切线的斜率为 ， 则切线方程为 ，因为切线过点 ， 所以 ，即 ， 若过点 可以作两条直线与曲线 ， 相切， 则上述关于 的方程至少有两个不同的解，显然 不是该方程的解， 所以关于 的方程 在 上至少有两个不同的解， 令 ， 则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 所以 ，则当 时， ，函数 在 上单调递减；在 上单调递 增， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，则 函数 的大致图象如下图所示： 结合图象可知：当 时， 关于 的方程 在 上有两个不同的解， 此时过点 可以作两条直线与曲线 ， 相切， 所以实数 的取值范围为 . 31．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 ， ， . (1)若 ，求证： ； (2)若函数 与函数 存在两条公切线，求 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）当 时， ， 构建 ， ，则 ， 构建 ， 因为 ，所以 在 上单调递增，且 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 则当 时， 取得最小值，可得 所以当 时， . （2）设函数 与函数 的公切线分别相切于点 和点 因为 ， ， 所以 的方程可表示为 或 ， 整理得 或 ， 则有 ①， ② 由①可得 ，代入②可得： , 即 ， 构建 ， ，则 , 构建 ，则 ， 且 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ； 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，则 ，可得 ； 当 时， 在 上单调递增， ， 可得当 时， ，当 时， ； 综上所述：当 时， ，当 时， . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即当 时， ，即 ，所以 在 单调递增； 当 时， ，即 ，所以 在 单调递减； 所以 ，且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ， 由上可知，要使函数 与函数 存在两条公切线，只需直线 与函数 图象有两个交点， 由图可知a的取值范围为 . 32．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 . (1)若 ，求实数 的值； (2)已知 且 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由 ，得 . 令 ，则 . 注意到 ，所以 是函数 的极小值点，则 ， 所以 ，得 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，满足条件，故 . （2）由（1）可得， . 令 ，则 ， 所以 ，即 . 令 ，则 ，且 不恒为零， 所以函数 在 上单调递增， 故 ，则 ， 所以 ， 令 分别取 ，累加得： . 即证. 33．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 . (1)求 的极值； (2)求证： . 【答案】(1) 的极大值为 ，没有极小值 (2)证明见解析 【解析】（1）因为函数 ，所以 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 设 ， ， 所以 在 上单调递增. 又 ，所以当 时， ；当 时， . 又因为 对 恒成立， 所以当 时， ；当 时， . 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 故 ， 没有极小值. （2）由（1）可知 ， 所以 当且仅当 ，取“＝”. 由（1）得 ， 累加得 ； 由②得 ， 累加得 . 综上所述， . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】34．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数 ， . (1)若 存在极值，求 的取值范围； (2)若 ，求 的值； (3)对于任意正整数 ，是否存在整数 ，使得不等式 成立？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)3 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ， 当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增，无极值； 当 时，令 得 ， 时， ， 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 此时 有极小值为 ，无极大值. 综上所述，若 存在极值，则 的取值范围是 . （2） ， 由（1）可知，当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增， 与 恒成立矛盾； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由（1）可知， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，则需 ， 若 ，则 ，符合题意； 若 ，则 ，不合题意舍去； 若 ，则 ，不合题意舍去. 综上所述， . （3）由（2）可知当 时 ，即 ， 所以 恒成立，当且仅当 时取等号， 所以 ， ， 一方面， ， 即 ， 另一方面， ， 从而当 时， ， 因为 为正整数，且对于任意正整数 ， 恒成立， 故 的最小值为3. 35．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数 . (1)若 有两个不同的零点，求a的取值范围； (2)若函数 有两个不同的极值点 ，证明： . 【答案】(1) 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)见解析 【解析】（1） 的定义域为 ，且 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，不可能有两个零点，舍去. 当 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 有两个不同的零点，则 ，解得 ， 当 时， ， ，所以 在 上存在唯一的一个零点； 当 时，取正整数 ，则 ， ， 而 ， 当 时，令 ， 令 ， ，所以 在 上单调递增， ，所以 ， 所以 在 上单调递增， ，故 又 ，所以 ，于是 ，要使 ， 只需 ，即 ， 这样，当 时，只需取正整数 ，则 ，又 ， 所以 在 上存在唯一的一个零点； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上， . （2） （ ），则 . 因为 有两个不同的极值点 ， （ ），则 ， ， 要证 ，只要证 ， 因为 ，所以只要证 ， 又∵ ， ，作差得 ，所以 ， 所以原不等式等价于要证明 ，即 . 令 ， ，则以上不等式等价于要证 ， . 令 ， ，则 ， ， 所以 在 上单调递增， ，即 ， ， 所以 . 36．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ，记 的导函数为 ． (1)当 时，讨论 的极值点的个数； (2)若 有三个零点 ， ， ，且 ，证明： ． 【答案】(1)当 时，函数 的极值点的个数为 ； (2)证明见解析. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）函数 的定义域为 ， 导函数 ， 即 ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 所以 为函数 的极大值点，函数 没有极小值点； 所以函数 只有一个极值点； （2）因为 ， 由（1）可得当 时，函数 有且只有一个零点，不满足要求， 当 时， ， 令 ，可得 ， 当 时， ， 所以 ，故 ， 函数 在 上单调递增，且 ， 函数 在 上只有一个零点，不满足要求， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，方程 有两个不相等的实数解， 设其解为 ，不妨设 ， 则 ， 所以 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 因为函数 在 上单调递减， ， ， 所以 ， ， 又当 时， ，当 时， 由 ， ， 所以函数在 ， 上各存在在一个零点， 所以 ， 又若 为 的零点，则 ， 则 ， 所以 为函数 的一个零点， 所以若 为 的零点，则 必为函数 的一个零点， 所以 ， 要证明 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】只需证明 ， 只需证明 ， 又 ，故 ， 所以只需证明 只需证明 ， 设 ， 则 ， 函数 在 上单调递减， 所以当 时， ， 所以当 时， ，即 ， 又 ，所以 ， 所以 . 37．（2023·广东汕头·统考三模）设 ， ， (1)证明： ； (2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ， ，求证： ， ， 成等比数列. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为 ， ，所以 等价于 ， 即 ， 令 ，则只需证 ， 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 故 ，即 成立， 所以 成立，即 得证； （2）记 ，则 ， 当 时， ；当 时， ． 故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 ； 记 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 . 所以函数 与函数 有相同的最大值，画出 与 的图象如下图： 可知， 且 ，又当 时， ，故 ， 当 时，直线 与两条曲线 和 各有两个不同的交点， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ， 而直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ， 构造 ，当 时， ；当 时， ， 当 时，1-x<0， ， ， ， 故 在 内单调递减，又 ， ， 结合零点存在性定理可知： 在 内存在唯一零点， 故曲线 和 在 有唯一一个公共点， 由图可得：若直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点 ， ， ， 其中 ，即 ，即 ， ， ， ， 由 ，又 ， 结合 在 内单调递增，故 ， 由 ，又 ， ， 结合 在 内单调递减，故 ， 故 ，故 ， ， 成等比数列. 38．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的极值； (2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ． 【答案】(1)答案见解析； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明见解析. 【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ， 若 ，则 ，无极值； 若 ，由 ，可得 ， 若 ，当 时， ，则 单调递减，当 时， ，则 单调递增， 此时，函数 有唯一极小值 ，无极大值； 若 ，当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减， 此时，函数 有唯一极大值 ，无极小值； 所以当 时，函数 无极值； 当 时，函数 有极小值 ，无极大值； 当 时，函数 有极大值 ，无极小值； （2）证明：由 ，两边取对数可得 ，即 ， 当 时， ， ， 由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 而 ， 时， 恒成立， 因此，当 时，存在 且 ，满足 ， 若 ，则 成立； 若 ，则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记 ， ， 则 ， 即有函数 在 上单调递增，所以 ，即 ， 于是 ，而 ， ， ， 函数 在 上单调递增，因此 ，即 . 39．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数 为其极小值 点． (1)求实数 的值； (2)若存在 ，使得 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1） 的定义域为 ， ，依题意得 ，得 ， 此时 ， 当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递减， 当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递增， 故 在 处取得极小值，符合题意. 综上所述： . （2）由（1）知， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨设 ， 当 时，不等式 显然成立； 当 ， 时，不等式 显然成立； 当 ， 时，由（1）知 在 内单调递减，因为存在 ，使得 ，所 以 ， 要证 ，只要证 ， 因为 ，所以 ，又 在 内单调递减， 所以只要证 ，又 ，所以只要证 ， 设 ， 则 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ， 在 上为减函数，所以 ， 即 ， 所以 在 上为减函数， 所以 ，即 . 综上所述： . 40．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求实数 的取值范围； (2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，所以 成立，等价于 成立. 令 ，则 ， 令 ，则 ，所以 在 内单调递减， 又因为 ，所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递 减， 所以 在 处取极大值也是最大值. 因此 ，即实数 的取值范围为 . （2） 有2个不同的零点等价于 有2个不同的实数根. 令 ，则 ，当 时，解得 . 所以当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 在 处取极大值为 . 又因为 ，当 时， ，当 时， . 且 时， . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，且 . 因为 是方程 的2个不同实数根，即 . 将两式相除得 ， 令 ，则 ， ，变形得 ， . 又因为 ， ，因此要证 ，只需证 . 因为 ，所以只需证 ，即证 . 因为 ，即证 . 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， ， 即当 时， 成立，命题得证. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】