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专题06 导数（解答题10种考法）
1．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)已知 ，求 最小值；
(2)讨论函数 单调性.
2．（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设函数
(1)若 时函数 有三个互不相同的零点，求m的范围；
(2)若函数 在 内没有极值点，求a的范围；
4．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）设函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ， ，求满足条件的最小正整数 的值.5．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求 ；
(2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
6．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)设 ，证明：当 时，函数 有三个零点．7．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有两个不同的零点．
8．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数 ，其中常数 ，
是自然对数的底数．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若函数 恰有一个零点，求a的值．9．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 的图象与直线 相切，求实数 的值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若函数 在 处的切线的斜率为 ，求实数a的值（e是自然对数的底数）；
(2)若函数 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.11．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 处的切线的斜率为 ，求实数a的值（e是自然对数的底数）；
(2)若函数 有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
12．（2023·四川·校联考一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)令 （a为常数），若 有两个零点 ，求实数a的取值范围.13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有一个零点.
14．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 在 上有两个零点．15．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
16．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.17．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 存在极大值点，且极大值不大于 ，求a的取值范围．19．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的最大值．
(2)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ， ，证明： ．
20．（2023·福建龙岩·统考二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．21．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求实数 的值；
(2)证明： 时， .
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 有两个零点 .
(1)证明： ；
(2)求证：① ；② .23．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 ，满足
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
24．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ，且 ，
．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，函数 有三个零点 ， ， ，且 ，试比较 与2的大
小，并说明理由．25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 （ ）有两个零点.
(1)求实数 的取值范围；
(2)设函数 的两个零点分别为 ， ，证明： .
26．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时，27．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证: (其中 是自然对数的底数).
28．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 有三个零点.
(1)求 的取值范围；
(2)设函数 的三个零点由小到大依次是 .证明： .29．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： .
30．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若 ，求证: ；
(3)已知点 ，是否存在过点P的两条直线与曲线 ， 相切？若存在，求出m
的取值范围；若不存在，请说明理由.31．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)若 ，求证： ；
(2)若函数 与函数 存在两条公切线，求 的取值范围.
32．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)已知 且 ，求证： .33．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)求证： .
34．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数 ， .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
(3)对于任意正整数 ，是否存在整数 ，使得不等式 成立？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由.35．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 有两个不同的零点，求a的取值范围；
(2)若函数 有两个不同的极值点 ，证明： .
36．（2023·广东广州·统考三模）已知函数 ，记 的导函数为 ．
(1)当 时，讨论 的极值点的个数；
(2)若 有三个零点 ， ， ，且 ，证明： ．37．（2023·广东汕头·统考三模）设 ， ，
(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： ， ， 成等比数列.
38．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；(2)若 （e是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．
39．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数 为其极小值
点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
40．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
