文档内容
专题六 《导数》讲义
6.4导数与函数的零点
知识梳理 . 函数的零点
1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图
象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.
①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用
零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解
法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题
设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通
常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合
题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
题型一 . 讨论零点个数
1 4
1．函数f（x）= x3+2x2+3x+ 的零点个数为 ．
3 3
1
2．设函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（ ）
3
1
A．在区间（ ，1），（1，e）内均有零点
e
1
B．在区间（ ，1），（1，e）内均无零点
e
1
C．在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
e
1
D．在区间（ ，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点
e
1
3．已知定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时f（x）= x2﹣xlnx，则关于x的方程f
2
（x）＝a满足（ ）
A．对任意a R，恰有一解
∈B．对任意a R，恰有两个不同解
C．存在a R∈，有三个不同解
D．存在a∈R，无解
∈
题型二 . 已知零点求参
考点 1 . 参变分离
1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
6 6 6
A．（﹣2e3，0） B．（− ，0） C．（− ，2e3） D．（0， ）
e e e
3
2．已知函数f(x)= +4lnx−x−a在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值
x
范围是（ ）
A．（0，2） B．[2，4ln3﹣2）
1
C．(2，4ln2− ) D．[2，+∞）
2
考点 2 . 转化成两个函数的交点问题
1
3．已知函数f（x）= ax2+cosx﹣1（a R），若函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围
2
∈
为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
4．已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，
f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在∈区间（0，1）内有两个零点，则a的取值
范围是（ ）
A．（e2﹣3，e2+1） B．（e2﹣3，+∞）
C．（﹣∞，2e2+2） D．（2e2﹣6，2e2+2）
考点 3 . 讨论参数——单调性 + 极值、最值
5．若函数f（x）＝ex（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．（0， ） B．（ ，+∞） C．（0， ） D．（ ，+∞）
2 2 4 4
6．已知函数f（x）＝2e2x﹣2ax+a﹣2e﹣1，其中a R，e为自然对数的底数．若函数f（x）
∈在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（2，2e﹣1） B．（2，2e2）
C．（2e2﹣2e﹣1，2e2） D．（2e﹣1，2e2﹣2e﹣1）
7．（2020·全国1）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
题型三 . 隐零点问题——设而不求，虚设零点
1．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞0．则a的取
0 0
值范围是 ．
2
2．若函数f（x）＝x2+ −alnx（a＞0）有唯一零点x ，且m＜x ＜n（m，n为相邻整数），
0 0
x
则m+n的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
1
3．已知函数f（x）＝lnx+ （a R且a≠0）．
ax
∈
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x ，x ，且x ＜x ，求证：
1 2 1 2
x +x ＞1．
1 2课后作业 . 零点
1．已知函数f（x）＝（x2+a）ex有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个数为（ ）
A．0． B．1 C．2 D．不确定
x3
2．若函数f（x）= −x2﹣3x﹣m在区间[﹣2，6]有三个不同的零点，则实数m的取值范
3
围是（ ）
2 5 5 2
A．（﹣9，18） B．[− ， ） C．（﹣9， ） D．[− ，18）
3 3 3 3
3．设函数f（x）＝（x﹣1）ex，若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有两个整数解，则
实数a的取值范围是（ ）
e2
A．（﹣1，e2] B．(1， ]
2
e2+1 e2+1 2e3+1
C．(1， ] D．( ， ]
2 2 3
4．函数 f（x）＝aex+2x 在 R 上有两个零点 x ，x ，且 x 2，则实数 a 的最小值为
1 2 2≥
x
1
（ ）
ln2 2
A．− B．﹣ln2 C．− D．ln2
2 e
5．已知函数f（x）＝ex﹣ax2．
1
（1）若a= ，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
2
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a的值．6．（2019·全国1）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
π
（1）f′（x）在区间（﹣1， ）存在唯一极大值点；
2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
