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专题 06 导数与函数的极值、最值
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题型01 函数的单调性（含参）..................................................................................................................................1
题型02 求函数的极值（点）......................................................................................................................................2
题型03 极值（点）中的参数问题..............................................................................................................................4
题型04 求函数的最值..................................................................................................................................................6
题型05 最值中的参数问题..........................................................................................................................................7
题型06 恒成立和有解问题..........................................................................................................................................8
题型 01 函数的单调性（含参）
【解题规律·提分快招】
1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零
时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单
调区间．
2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对 定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关
系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划
分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数 在 上是增函数，则实数 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知0为函数 的极小值点，则a的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 ，下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 时， 有两个零点
C． 一定存在零点
D．若存在 ，有 ，则
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）若函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 有最大值 B． 有最小值
C． 为增函数 D． ，在 上，恒有
三、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）若函数 的减区间为 ，则 的值为 .
7．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数 ，若存在 ，使得
，则实数 的取值范围是 .
8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数 有两个零点，求 的取值范
围 .
题型 02 求函数的极值（点）
【解题规律·提分快招】
1、函数的极小值如果对 附近的所有点都有 ，而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则称
是函数的一个极小值，记作 ．
2、函数的极大值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，而且在点 附近的左侧
，右侧 ，则称 是函数的一个极大值，记作 ．
3、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
4、求 极值的步骤
①先确定函数 的定义域；
②求导数 ；
③求方程 的解；
④检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么
函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数 在
这个根处取得极小值．
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点．另
外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为
可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·全国·课后作业）函数 的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（24-25高三上·全国·课后作业）函数 ，则（ ）
A． 的极小值点为 B． 的极大值点为0
C． 的极小值点为0 D． 的极大值点为
3．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）函数 的极大值点是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数 ，则（ ）
A． 有极大值，无极小值 B． 无极大值，有极小值
C． 既有极大值，也有极小值 D． 既无极大值，也无极小值5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间为 B． 的极小值点为1
C． 的极大值为 D． 的最小值为
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数 在其定义域内的极小值点为（ ）.
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数 ， ，则函数 的极大
值之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．对任意 ，不等式 恒成立
B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 的极大值为1
D．当函数 取得极小值时，自变量
9．（24-25高三上·江西·期中）关于函数 ，则下列命题正确的有（ ）
A． 是偶函数 B． 的值域是
C． 在 上单调递增 D． 都是 的极值点
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 有两个极值点 B． 有两个零点
C．若 ，则 D．若方程 有两个根，则
题型 03 极值（点）中的参数问题
【解题规律·提分快招】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）当 时，函数 取得极大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知 是函数 的极小值点，那么实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数 有两个极值点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知 ，若函数 在 上有且只有两个极
值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高三上·青海·期中）已知函数 的极小值点为1，极小值为 .则
（ ）
A．
B．
C． 有3个零点
D．直线 与 的图像仅有1个公共点
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数 使得 恰有两个极值点
B．若 恰有三个极值点，则
C．对任意的 且 ，总存在实数 使得D．存在实数 ，使得 的图象没有对称轴
7．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）已知 有两个不同的极值点 ，且 ，
则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． 为函数 的极大值点 D．
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上无极值，则 ．
9．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数 的两个极值点为 、 ，且
，则实数 的最小值是 .
10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点 ，且 ，则
的取值范围是
题型 04 求函数的最值
【解题规律·提分快招】
求函数 在闭区间 上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ， 与
的各极值进行比较得到函数的最值．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）若 为 上的减函数，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数 的最小值为 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．13．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知 ，对任意的 ，当 时，恒有 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚
度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 有两个极值点
C． 的最大值为 D． 在 上有且仅有一个零点
6．（2024·福建宁德·二模）已知函数 ，则下面说法正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 的最大值为
C． 是 的对称轴 D． 是 的对称中心
三、填空题
7．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数 ，则函数 的最小值为 ；若过
原点可向曲线 作两条切线，则a的取值范围是 .（注：当 时，
）
8．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）设 、 、 是一个三角形的三个内角，则当 取得最
大值时， .
题型 05 最值中的参数问题
【解题规律·提分快招】
1、若所给的闭区间 含参数，则需对函数 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而
得到函数 的最值．
2、已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
【典例训练】一、单选题
1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 ，当 时，函数取得最大值 ，则
（ ）
A． B． 或
C． D．
2．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数 ，若对 ， ，则实数m的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．若 在 上有解，则
当实数 取最小值时， 的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数 的最大值为1，则（ ）
A．
B．当 时，
C．
D．当 时，
7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数 ，则（ ）
A．函数 一定有两个极值点 B．当 时，
C．当 时， 的极小值为0 D． 在区间 上的值域为
三、填空题8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的最小值是4，则 .
9．（24-25高三上·吉林·期末）函数 是定义域上的增函数，则实数 的取值范
围为 .
10．（24-25高三上·山东·阶段练习）设函数 ， ．若函数
有两个零点 ， ，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
题型 06 恒成立和有解问题
【解题规律·提分快招】
1、若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
2、若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ．
不等式 在区间D上恒成立 ．
3、若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有解问题
有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
4、若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解
不等式 在区间D上有解5、对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
6、对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
7、若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
8、若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
9、对于任意的 ， 使得 ；
10、对于任意的 ， 使得 ；
11、若存在 ，总存在 ，使得
12、若存在 ，总存在 ，使得 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数 ，若存在 ，使 有解，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数 ， ，若 ，使
得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为
（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 满足 ， （ 为
的导函数），若存在唯一的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式 对x∈(0,+∞)恒成立，则实数 的取值
不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数 ．若 有两个极值点 ，且
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知函数 ，若存在 ，使
得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
(1 )
A． B． ,1 C．(0,1) D．
2
9．（24-25高三上·四川成都·期中）函数 ，不等式 对 恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式 解集中有且仅含有两个整数，
则实数a的取值范围是 ．
11．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
.
12．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 最
大值为
13．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数 ，若存在 ，
使得 ，则实数 的取值范围是 .
一、单选题1．（23-24高三下·河南商丘·期末）已知函数 在x=1处取得极小值1，则 在区间
上的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024·四川眉山·一模）若函数 在 时取得极小值，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知某圆锥的外接球的表面积为 ，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三下·天津滨海新·阶段练习）已知 ，
，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若 是函数 的极值点， 在区间
上单调递增，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数 ，若 有两个零点，则a的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数 ， ，则（ ）
A．函数 ， 的图象关于直线 对称
B． ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则
10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数 ，有如下3个结论：
①当 时， 在区间 上单调递减；
②当 时， 有两个极值点；
③当 时， 有最大值.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数 ，若 在区间 上
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（23-24高三下·陕西安康·期末）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值但没有最大值
B．对于任意的 ，恒有
C． 仅有一个零点
D． 有两个极值点
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．点 是 图象的对称中心
B． 是 的极小值点C．当 时，
D．当 时，
14．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若函数 ，则（ ）
A．函数 在区间 上单调递增 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的极大值为 D．函数 有且仅有两个零点
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上单调递增
C． 在 内共有3个极值点
D．设 ，则 在 上共有12个零点
16．（24-25高三上·河南·期中）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 为奇函数
C． 是 的极小值点
D． 在 上有极值
17．（23-24高三下·广东茂名·期末）已知函数 ，其中实数 ， ，且 ，
则（ ）
A．当 时， 没有极值点
B．当 有且仅有3个零点时，
C．当 时， 为奇函数
D．当 时，过点 作曲线 的切线有且只有1条
三、填空题18．（24-25高三上·河北承德·开学考试）写出函数 的一个极值点 .
19．（23-24高三上·河北·期末）已知函数 的最小值为0，则 .
20．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，若 恒成立，求a的取
值范围 .
21．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知函数 ，若 恒成立，则
.
22．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 在区间 上恰有两个极大值点和一个
极小值点，则正实数 的取值范围是 ．
23．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数 在 处取到极大值，则
实数 的取值范围是 .
24．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数 的图象在区间 上单调递增，则实数
的最小值为 ．
25．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知函数 既有极小值又有极大值，则实数a的取
值范围是 .
26．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数 ，其中 .若对任
意的正实数 ，不等式 恒成立，则 的最小值为 .
27．（23-24高三下·四川遂宁·阶段练习）已知 是函数 的极大值点，则 的
取值范围是 .
28．（2024高三上·江苏·专题练习）设函数 ，其中 ，若存在唯一负整数 ，使得
，则实数 的取值范围是
29．（23-24高三下·甘肃临夏·期末）函数 存在唯一的极值点，则实数t的最大值为
．
30．（23-24高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数 的最小值为1，则 的取值范围
为 .
31．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 ，不等式
对任意的 恒成立，则 的最大值为 .
32．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数 在区间 上有极大值点，则的取值范围是 ．
