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专题六 《导数》讲义
6.1导数的几何意义——切线
知识梳理 . 导数的几何意义
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率
0
lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0 0 0
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜
0 0 0 0
率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对
x u x
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型一 . 在某点的切线
1．函数f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的图象在x＝1处的切线方程是 ．
2．直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为 ．1
3．已知曲线y = ，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ）
ex+1
A．x+4y﹣2＝0 B．x﹣4y+2＝0 C．4x+2y﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣1＝0
题型二 . 过某点的切线
1．已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．
2．已知直线y＝x+1与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，
它们的倾斜角互补，则a的值为（ ）
27 27
A． B．﹣2 C．2 D．−
8 8
题型三 . 已知切线求参数的取值范围
1
1．函数f（x）＝ax2− x3（x＞0）的图象存在与直线x﹣y+2＝0平行的切线，则实数
3
a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
1 1
3．已知函数y= x2的图象在点(x ， x2 )处的切线为直线l，若直线l与函数y＝lnx，x
2 0 2 0
∈
（0，1）的图象相切，则x 必满足条件（ ）
0
A．0＜x ＜1 B．1＜x C． D． 2
0 0 ＜√2 √2＜x ＜√3 √3＜x ＜
0 0
题型四 . 距离最值问题
1．若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为 ．
1
2．（2012·全国）设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（
2
）
A．1﹣ln2 B．√2(1−ln2) C．1+ln2 D．√2(1+ln2)
题型五 . 公切线问题
1 2e
1．设函数f(x)=p(x− )−2lnx，g(x)= ．若直线l与函数f（x），g（x）的
x x
图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
2．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝
．
3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点
处的切线相同，则b的最大值为（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
e2 2e2 3e2 e2
课后作业 . 切线
1．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
π π π
A．0 B． C． D．
2 3 4
2．已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l ，l ，且l ⊥l ，则
1 2 1 2
t＝（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
3．已知函数f（x）＝2lnx+x2+ax，若曲线y＝f（x）存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则
实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞）
4．若函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围
是（ ）1 1
A．（0，1） B．(0， ) C．（1，+∞） D．( ，+∞)
2e 2e
