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专题六 《导数》讲义
6.2利用导数求函数的单调性
知识梳理 . 利用导数求函数的单调性
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
题型一 . 求函数的单调区间
1．函数f（x）＝（x﹣2）ex的单调递增区间为（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（1，2）
3
2．函数y＝x+ +2lnx的单调递减区间是（ ）
x
A．（﹣3，1） B．（0，1） C．（﹣1，3） D．（0，3）
3．确定函数f（x）＝cos2x+4cosx，x （0，2 ）的单调区间．
∈ π
题型二 . 讨论函数的单调性——大题第一问
考点 1 . 导后一次型
1．已知函数f（x）＝ex﹣kx．
（1）讨论函数y＝f（x）的单调区间；
2．已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）．
（2）求f（x）的单调区间；
考点 2 . 导后二次型
1．（2017·全国1）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；1
2．已知函数f(x)= x2+(2a−2)x−4alnx，讨论函数f（x）的单调性．
2
1
5．已知函数f(x)=lnx+ ax2+x，a R．
2
∈
（1）求函数f（x）的单调区间；
考点 3 . 导后求导型——二阶导数
lnx+1
1．已知函数f(x)= ，（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．
ex
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
题型三 . 已知单调性求参
1
1．若f（x）=− x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（
2
）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）
1
2．函数f（x）= x3﹣ax2﹣3a2x﹣4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（
3
）
A．a≥0 B．a≥1 C．a≤﹣3或a≥1 D．﹣3≤a≤11
3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b R）在区间[ ，2]上存在单调递增区间，则实数
2
∈
b的取值范围是（ ）
3 9
A．(−∞， ) B．(−∞， ) C．（﹣∞，3） D．(−∞，√2)
2 4
题型四 . 函数单调性的应用——比较大小
1．已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x）则（ ）
A． 1 − 3 − 2
g(log )＞g(2 2)＞g(2 3)
34
B． 1 − 2 − 3
g(log )＞g(2 3)＞g(2 2)
34
C． − 3 − 2 1
g(2 2)＞g(2 3)＞g(log )
34
D． − 2 − 3 1
g(2 3)＞g(2 2)＞g(log )
34
2．已知函数f（x）＝3x﹣1+3﹣x+1﹣2cos（x﹣1），则（ ）
1
A．f(log 9)＞f(log )＞f(0.5−0.5 )
2 32
1
B．f(0.5−0.5 )＞f(log 9)＞f(log )
2 32
1
C．f(0.5−0.5 )＞f(log )＞f(log 9)
32 2
1
D．f(log 9)＞f(0.5−0.5 )＞f(log )
2 32
2 ln(3e) ln5+1
3．已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
e 3 5
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
题型五 . 构造函数——利用函数单调性解不等式1．（2011·辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x R，f′（x）＞2，则
f（x）＞2x+4的解集为（ ） ∈
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
2．（2015·全国2）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x
＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立∈ 的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
3．设函数F（x） f(x)是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f'（x），满足
=
ex
f'（x）＜f（x）对于x R恒成立，则（ ）
A．f（2）＞e2f（0），∈f（2 017＞e2017f（0）
B．f（2）＞e2f（0），f（2 017）＜e2017f（0）
C．f（2）＜e2f（0），f（2 017）＞e2017f（0）
D．f（2）＜e2f（0），f（2 017）＜e2017f（0）
4．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在
R内恒成立的是（ ）
A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x
