专题06导数与函数的零点问题（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）287235765

第一篇 热点、难点突破篇 专题06 导数与函数的零点问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论： ①若 ， 恰 有2个零点； ②存在负数 ，使得 恰有1个零点； ③存在负数 ，使得 恰有3个零点； ④存在正数 ，使得 恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数 .证明： （1） 存在唯一的极值点； （2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数 （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . (注： 是自然对数的底数) 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层 次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明 不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调 性有机结合，设计综合题. 2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值 范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等 （二）本专题考向展示考点突破 典例分析 考向一 函数零点个数的判断与证明 【核心知识】 解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【典例分析】 典例1.（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则方程 的解的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 典例2. （2022·吉林长春·模拟预测）已知函数 ， ． (1)求函数 的值域； (2)讨论函数 的零点个数． 典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2个零点． 【规律方法】1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数 的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数. 2.常用方法： （1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与 x轴交点 的个数问题． （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值 以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与 函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 考向二 根据函数零点的情况求参数取值范围 【核心知识】 利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点 个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 【典例分析】 典例4. （2022·青海玉树·高二期末（理））已知 ． (1)若 ，求 的单调区间与极值； (2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围． 参考数据： 典例5.（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数 ， ． (1)若 ，求 的极值； (2)若 在区间 内有零点，求实数a的取值范围． 典例6. （2022·辽宁·高三期中）已知函数 ．(1)讨论 的单调性； (2)当a＝1时，若函数 有两个零点，求实数t的取值范围． 【总结提升】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利 用数形结合的方法求解 考向三 与零点相关的不等式恒成立或证明问题 【核心知识】 a f x a f x a f x 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( max即可)或 恒成立（ a f x y  f x y  gx f x 0 min即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 min 或 f x 0 max 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. f(x) g(x) y  f(x) y  g(x) 2.含参数的不等式 恒成立的处理方法：① 的图象永远落在 图象的上方；②构 F(x) f(x)g(x) F(x) 0 a h(x) 造函数法，一般构造 ， min ；③参变分离法，将不等式等价变形为 ，或 ah(x) h(x) ，进而转化为求函数 的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： m f x m f x xD （1） ， min； m f x m f x xD （2） ， max； m f x m f x xD （3） ， max； m f x m f x xD （4） ， min.【典例分析】 典例7. （2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数 ，若方程 有3 个不同的实根 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 典例8.【多选题】（2022·山东·青岛二中高三期中）已知函数 若函数 有四个 不同的零点： ，且 ,则以下结论正确的是（ ） A． B． C． D． 典例9.（贵州省六盘水市2021-2022学年高二下期末）已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)若 有两个不相同的零点 ，证明 . 典例10. （辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知函数 ， ． (1)求函数 的单调区间； (2)设 是 的两个零点，证明： ． 典例11.（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知 ， . (1)求 的单调区间； (2)当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ， （ ），证明： 且. 典例12. （2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）已知函数 . (1)若函数 有两个不同的零点， 求实数 的取值范围； (2)若方程 有两个不等实根 ， ， 且 ，求 的取值范围 【规律方法】 1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最 值问题，转化中注意等价转化. 2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成 立，不失为一种好的方法.