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专题 06 平面向量
目录一览
2023真题展现
考向一 平面向量的坐标运算
考向二 平面向量的数量积运算
真题考查解读
近年真题对比
考向一 平面向量的数量积运算
考向二 平面向量的线性运算
考向三 平面向量的坐标运算
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 平面向量的坐标运算
→ → → → → →
1．（2023•新高考Ⅰ•第3题）已知向量 a=（1，1）， b=（1，﹣1）．若（ a+ b ）⊥（ a+ b ），则（
） λ μ
A． + ＝1 B． + ＝﹣1 C． ＝1 D． ＝﹣1
【答案】D
λ μ λ μ λμ λμ
→ →
解：∵ a=（1，1）， b=（1，﹣1），
→ → → →
∴ a+ b=（ +1，1﹣ ）， a+ b=（ +1，1﹣ ），
→λ → λ → λ→ μ μ μ
由（ a+ b ）⊥（ a+ b ），得（ +1）（ +1）+（1﹣ ）（1﹣ ）＝0，
整理得：λ2 +2＝0，μ即 ＝﹣1．λ μ λ μ
考向二 平面向量的数量积运算
λμ λμ
→ → → → → → → → →
2．（2023•新高考Ⅱ•第13题）已知向量
a
，
b
满足|a−b|=√3，|a+b|＝|2a−b|，则|b|＝ ．
【答案】√3
→ → → → → →
解：∵|a−b|=√3，|a+b|＝|2a−b|，
→ → → → → → → → → → → →
∴ a2+b2−2a⋅b=3 ， a2+b2+2a⋅b=4a2+b2−4a⋅b ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1→ → → →
∴ a2=2a⋅b ，∴ b2=3，
→
∴|b|=√3 ．
【命题意图】
考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算，会进行数量积的运算，会用数
量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断向量的垂直关系，会用坐标运算表示向量的平行关系．
【考查要点】
平面向量是高考必考内容．常考查平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂
直、向量模等．体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力．
【得分要点】
1．向量的数量积概念及运算：
→ → → → → → → →
（1）定义：如果两个非零向量
a
，
b
的夹角为 ，那么我们把|a||b|cos 叫做
a
与
b
的数量积，记做
a⋅b
．
→ → → → θ → → θ
即： a⋅b=|a||b|cos ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0 • a=0．
→ θ→ →
（2）投影：
b
在
a
上的投影是一个数量|b|cos ．
→ → θ → →
（3）坐标计算公式：若 a=（x
1
，y
1
）， b=（x
2
，y
2
），则 a⋅b=x
1
x
2
+y
1
y
2
．
2．平面向量数量积的性质：
→ → → → → →
设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则：
a b e b a b
→ → → → → θ
（1） a⋅e=e⋅a=|a|cos ．
→ → → → θ
（2）
a⊥b
a⋅b=0；（判定两向量垂直的充要条件）．
→ →⇔ → → → → → → → → → →
（3）当
a
，
b
方向相同时， a⋅b=|a||b|；当
a
，
b
方向相反时， a⋅b=−|a||b|；
→ → → → √→ →
特别地： a⋅a=|a|2或|a|=
a⋅a
（用于计算向量的模）．
→ →
a⋅b
（4）cos = （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）．
→ →
|a||b|
θ
→ → → →
（5）|a⋅b|≤|a||b|．
3．平面向量数量积的运算律
→ → → →
（1）交换律： a⋅b=b⋅a ；
→ → → → → →
（2）数乘向量的结合律：（ a ）• b= （ a⋅b ）=a •（ λb ）；
→ → →λ → → λ→
（3）分配律：（ ）• •（ ）．
a⋅b c≠a b⋅c
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2考向一 平面向量的数量积运算
3．（多选）（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P （cos ，sin ），P （cos ，﹣sin ），P （cos
1 2 3
（ + ），sin（ + ）），A（1，0），则（ ）
α α β β
α β α β
A．| |＝| | B．| |＝| |
C． • ＝ • D． • ＝ •
【解答】解：法一、∵P （cos ，sin ），P （cos ，﹣sin ），P （cos（ + ），sin（ + ）），A
1 2 3
（1，0），
α α β β α β α β
∴ ＝（cos ，sin ）， ＝（cos ，﹣sin ），
α α β β
＝（cos（ + ），sin（ + ））， ＝（1，0），
α β α β
， ，
则 ， ，则| |＝| |，故A正
确；
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
| |≠| |，故B错误；
＝1×cos（ + ）+0×sin（ + ）＝cos（ + ），
α β α β α β
＝cos cos ﹣sin sin ＝cos（ + ），
α β α β α β
∴ • ＝ • ，故C正确；
＝1×cos +0×sin ＝cos ，
α α α
＝cos cos（ + ）﹣sin sin（ + ）＝cos[ +（ + ）]＝cos（ +2 ），
β α β β α β β α β α β
∴ • ≠ • ，故D错误．
故选：AC．
法二、如图建立平面直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3A（1，0），作出单位圆O，并作出角 ， ，﹣ ，
使角 的始边与OA重合，终边交圆O于点P ，角 的始边为OP ，终边交圆O于P ，
α β 1 β 1 3
角﹣
α
的始边为OA，交圆O于P
2
，
β
于是 βP
1
（cos ，sin ），P
3
（cos（ + ），sin（ + ）），P
2
（cos ，﹣sin ），
由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．
α α α β α β β β
故选：AC．
4．（2021•新高考Ⅱ）已知向量 + + ＝ ，| |＝1，| |＝| |＝2，则 • + • + • ＝ ．
【解答】解：方法1：由 + + ＝ 得 + ＝﹣ 或 + ＝﹣ 或 + ＝﹣ ，
∴（ + ）2＝（﹣ ）2或（ + ）2＝（﹣ ）2或（ + ）2＝（﹣ ）2，
又∵| |＝1，| |＝| |＝2，∴5+2 • ＝4，5+2 ＝4，8+2 ＝1，
∴ • ＝ ， • ＝ ， • ＝ ，∴ • + • + • ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
方法2： • + • + • ＝ ＝ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
考向二 平面向量的线性运算
5．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ）
A．3 ﹣2 B．﹣2 +3 C．3 +2 D．2 +3
【解答】解：如图，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4＝ ，
∴ ，即 ．
故选：B．
考向三 平面向量的坐标运算
6．（2022•新高考Ⅱ）已知向量 ＝（3，4）， ＝（1，0）， ＝ +t ，若＜ ， ＞＝＜ ， ＞，则t
＝（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【解答】解：∵向量 ＝（3，4）， ＝（1，0）， ＝ +t ，
∴ ＝（3+t，4），
∵＜ ， ＞＝＜ ， ＞，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
解得实数t＝5．
故选：C．
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性
运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，
分值为5分。
高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、
直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。
一．向量的概念与向量的模（共5小题）
1．（2023•谷城县校级模拟）已知平面上直线的方向向量 ＝（﹣ ， ），点O（0，0）和A（1，﹣2）
在l上的射影分别是O′和A′，则 ＝ ，其中 ＝（ ）
λ λ
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【解答】解：∵O（0，0）和A（1，﹣2）
∴ ＝（1，﹣2）
则 在l上的投影 有：| |＝| |＝2
又由 与 的方向相反，| |＝1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5故由 ＝ 得 ＝﹣2
故选：D．
λ λ
2．（2023•鼓楼区校级模拟）已知 ， ，则 ＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：由题意，可得 ，
即 ＝（ ）2＝ ﹣2 + ，
又 ， ＝1，
代入可得4＝1﹣2 +4，解得 ＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝4，
故选：B．
3．（多选）（2023•抚松县校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．设 是非零向量，且 ，则
B．若z ，z 为复数，则|z •z |＝|z |•|z |
1 2 1 2 1 2
C．设 是非零向量，若 ，则
D．设z ，z 为复数，若|z +z |＝|z ﹣z |，则z z ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：对选项A： 是非零向量，且 ，则 或 ，错误；
对选项B：设z ＝a+bi，z ＝c+di，a，b，c，d R， ，
1 2
∈
，正确；
对选项C： ，则 ，整理得到 ，正确；
对选项D：取z ＝1，z ＝i，满足|z +z |＝|z ﹣z |，z z ＝i，错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：BC．
4．（2023•简阳市校级模拟）已知点M在直线BC上，点A在直线BC外，若 ，且
， ，则 的最小值为 ．
【解答】解：根据题意，当AM⊥BC时， 最小，
由 ，
∴ ，
∴ ，即AB⊥AC，
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6∴当AM⊥BC时，由面积法得 ， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
5．（2023•兴庆区校级一模）等腰直角△ABC的斜边AB的端点分别在x，y的正半轴上移动（C点不与原
点O重合），AB＝2，若点D为AB中点，则 的取值范围是 ．
【解答】解：如图，设∠OAB＝ ， ，则A（2cos ，0），B（0.2sin ），线段AB的中
点D（cos ，sin ），
θ θ θ
θ θ
∴∠OAC＝ ，AC＝ ，则有C（2cos ﹣ cos（ ）， sin（ ）），
θ
又 ＝（﹣2cos（ ）， sin（ ）﹣2sin ），
θ
∴| ﹣2 |＝ ＝
＝ ，由 得0＜sin2 ≤1，
故答案为：0≤| | ． θ
二．向量相等与共线（共5小题）
6．（2023•泸县校级模拟）设平面向量 ＝（1，2）， ＝（﹣2，y），若 ∥ ，则|2 ﹣ |等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣2×2﹣y＝0，解得y＝﹣4．
∴ ＝2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）＝（4，8），
∴|2 ﹣ |＝ ＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7故选：D．
7．（2023•临汾模拟）已知 为不共线的非零向量， ， ， ，则（
）
A．A，B，C三点共线 B．A，B、D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【解答】解：∵ ， ，
∴不存在 ，使 ＝ ，
故A，B，C三点不共线，
λ λ
故选项A错误；
∵ ＝ + ＝ +5 ，
∴ ＝ ，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵ ， ，
∴不存在 ，使 ＝ ，
故B，C，D三点不共线，
λ λ
故选项C错误；
∵ ＝ + ＝﹣ +13 ， ，
∴不存在 ，使 ＝ ，
故A，D，C三点不共线，
λ λ
故选项D错误；
故选：B．
8．（2023•雁塔区校级模拟）若平行四边形ABCD满足 ， ，则该四边形一定
是 ．
【解答】解： ＝
四边形ABCD为平行四边形，
⇒ ⇒
⊥ ，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
⇒
故答案为：菱形．
9．（2023•重庆模拟）已知向量 与 为一组基底，若 与 平行，则实数m＝ ．
【解答】解：∵ 与 平行，∴设 ＝k( )，
由∵向量 与 为一组基底，∴ ,解得：m＝2．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8故m的值为：2．
10．（2023•青羊区校级模拟）若 ， 是两个不共线的向量，已知 ＝2 +k ， ＝ +3 ，
＝2 ﹣ ，若A，B，D三点共线，则k＝ ．
【解答】解： ＝（2 ﹣ ）﹣（ +3 ）＝ ﹣4
因为A，B，D三点共线，
所以 ＝ ，已知 ＝2 +k ，
＝ ﹣4 ， ﹣4 ＝2 +k ，
所以k＝﹣8，
λ λ
故答案为：﹣8．
三．向量数乘和线性运算（共4小题）
11．（2023•兴庆区校级四模）已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且 ＝ ， ＝ ，
则 ＝（ ）
A． + B． + C． + D． +
【解答】解：∵ ， ，
， ．
∴ ，
解得 ．
故选：C．
12．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若 ＝ + ，则
+ ＝（ ）
λ μ
λ μ
A．2 B． C． D．
【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则 ＝（1， ）， ＝（﹣ ，1）， ＝（1，1）．
∵ ＝ + ，
资料收集整理λ【淘宝μ店铺：向阳百分百】 9∴ ，解得 ．
∴ + ＝ ．
故选：D．
λ μ
13．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最
早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”
是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24届国际数学家大会的会徽．如图，大
正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，E为BF的中
点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝ ．
设∠BAE＝ ，则sin ＝ ，cos ＝ ．
θ θ θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10∴x ＝ cos ＝ ，y ＝ sin ＝ ．
E E
设 ＝m +nθ ， θ
则（ ， ）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝ ，n＝ ．
∴ ＝ + ，
另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．
通过三角形相似及其已知可得：AM＝ AB，AN＝ AD．
即可得出结论．
故选：A．
14．（2023•涟源市模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD
（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 （m，n为实数），则m+n的取值
范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A．（1，2] B．[5，6] C．[2，5] D．[3，5]
【解答】解：如图所示，
①设点O为正六边形的中心，则 ．
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，
则 ，
∵ 与 共线，∴存在实数t，使得 ．
∴ ＝ + ＝ ＝ ，
此时m+n＝1+t+1﹣t＝2，取得最小值．
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与 Q的交点P时．
⊙
＝ ＝ ，
此时m+n＝ ＝5取得最大值．
因此m+n的取值范围是[2，5]．
故选：C．
四．平面向量数量积的含义与物理意义（共3小题）
15．（2023•淮北二模）已知向量 ， 满足 • ＝10，且 ＝（﹣3，4），则 在 上的投影向量为
（ ）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）
【解答】解：因为 • ＝10，且 ＝（﹣3，4），
所以 在 上的投影向量| |cos＜ ， ＞ ＝（ • ） ＝10× ＝（﹣ ， ）．
故选：C．
16．（2023•河南模拟）已知向量 ＝（2，2 ），若（ +3 ）⊥ ，则 在 上的投影是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上的投影是 ．
故选：D．
17．（2023•普陀区校级三模）若 ＝（1，2）， ＝（3，﹣4），则 在 方向上的投影为 ．
【解答】解：设 的夹角为
∵ θ
∴ ，| |＝5， ＝﹣5
∴cos ＝ ＝﹣
故投影θ为| |cos ＝﹣1
故答案为：﹣1
θ
五．平面向量数量积的性质及其运算（共10小题）
18．（2023•泰和县校级一模）已知向量 ， 满足 ， ， ，那么 与 的夹角
为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：根据题意，设 与 的夹角为 ，
又由 ，则（ +2 ）2＝ 2+4θ 2+4 • ＝8+8cos ＝12，
θ
变形可得cos ＝ ，
又由0°≤ ≤180°，则 ＝60°，
θ
故选：B．
θ θ
19．（2023•浙江模拟）已知△ABC是边长为1的正三角形， ＝2 ， + ＝2 ，则 ＝（
）
A． B． C． D．1
【解答】解：由 + ＝2 ，可知E为BC中点，
所以AE⊥BC，AE＝ ，如图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13因为 ＝2 ，
所以 ＝ + ，
所以 ＝ •（ ）＝ ＝ ．
故选：A．
20．（2023•泉州模拟）已知平面向量 ， ，且 ，则 ＝
（ ）
A．1 B．14 C． D．
【解答】解：因为 ， ， ，
所以10﹣2 +4＝10，
，
所以 ．
故选：B．
21．（2023•大理州模拟）若平面向量 与 的夹角为60°， ， ，则 等于（
）
A． B． C．4 D．12
【解答】解：因为平面向量 与 的夹角为60°， ， ，
所以| |＝2， ，
所以 ．
故选：B．
22．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有 ，则tanC的最大值是（
）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14又 ， ，
∴ ，
∴ ，即a2+2b2＝3c2，
∴由余弦定理得 ，当且仅当
即 时等号成立，
在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值 ，此时 ，
∴ ，即tanC的最大值是 ．
故选：D．
23．（2023•怀化二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝
1．若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：由于AB⊥BC，AD⊥CD，
如图，以D为坐标原点，以DA，DC为x，y轴建立直角坐标系，
连接AC，由于AB＝AD＝1，则△ADC≌△ABC，
而∠BAD＝120°，故∠CAD＝∠CAB＝60°，则∠BAx＝60°，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15则 ，
设 ，则 ， ，
故 ，
当 时， 有最小值 ，
故选：A．
24．（2023•青山湖区校级三模）在△ABC 中， ，则
＝（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【解答】解：如图所示，
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ．
故选：C．
25．（2023•重庆模拟）已知向量 的夹角为60°， ，若对任意的x 、x （m，+∞），
1 2
∈
且x ＜x ， ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．[e3，+∞） B．[e，+∞） C． D．
【解答】解：已知向量 的夹角为60°， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16则 ，
所以 ，
所以对任意的x 、x （m，+∞），且x ＜x ， ，则x 1nx ﹣x 1nx ＜2x ﹣2x ，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
∈
所以 ，即 ，设 ，即f（x）在（m，+∞）
上单调递减，
又x （0，+∞）时， ，解得x＝e3，
所以 ∈x （0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x （0，e3）上单调递增；
x （e3 ∈ ，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x （ ∈e3，+∞）上单调递减，
所
∈
以m≥e3．
∈
故选：A．
26．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当∠C取最大值时，
cosC＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以AG⊥BG，
又 ， ，
则 ，
所以 ，即abcosC＝bccosA+accosB+c2，
由 ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17所以a2+b2＝5c2，
所以 ，当且仅当a＝b时等号成立，
又y＝cosx在（0， ）上单调递减，C （0， ），
π ∈ π
所以当∠C取最大值时，cosC＝ ．
故选：A．
27．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，
且PC＝2，若 ＝ + ，则给出下面四个结论：
① + 的最小值为﹣ ；
λ μ
② + 的最大值为 ；
③λ μ 的最小值为﹣6；
④ 的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，
以C为坐标原点，分别以CA、CB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（3，0），B（0，4），设P（2cos ，2sin ），
， ， θ ，θ
由 ＝ + ，得（2cos ，2sin ）＝（3 +4 ），即 ， ，
θ θ λ μ
∴ + ＝ ＝ ，tan ，
λ μ
∴ + 的最小值为﹣ ，最大值为 ，故①②错误；
λ μ ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18∴ ＝4cos2 ﹣6cos +4sin2 ﹣8sin ＝4﹣（8sin +6cos ）＝4﹣10sin（ + ），tan ＝ ．
∴ 的最小值θ 为﹣6，θ 大值为θ 14，故θ ③正确，④θ错误．θ θ Φ Φ
∴正确结论的个数是1，
故选：A．
六．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共6小题）
28．（2023•泸县校级模拟）已知非零向量 、 满足向量 + 与向量 ﹣ 的夹角为 ，那么下列结论中
一定成立的是（ ）
A． ＝ B．| |＝| | C． ⊥ D． ∥
【解答】解：由题意可得 （ ）⊥（ ），∴（ ）•（ ）＝ ﹣ ＝0，
∴| |＝| |，
故选：B．
29．（2023•皇姑区校级模拟）已知向量 ＝（﹣1，1）， ＝（2，x），若 ∥ ，则| ﹣ |＝（ ）
A． B．3 C． D．2
【解答】解：∵ ∥ ，
∴﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣2，
∴ ＝（2，﹣2），又∵ ＝（﹣1，1），
∴ ﹣ ＝（﹣3，3），
∴| ﹣ |＝ ＝3 ．
故选：A．
30．（2023•固镇县三模）已知单位向量 ， 满足 ，则 ＝（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：∵ 都是单位向量， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
故选：C．
31．（2023•天津模拟）已知 ， 为非零向量，则“ • ＞0”是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角” “ ”，反之不成立，可能
同向共线．
⇒
因此“ ”是“向量 与 夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：B．
32．（2023•潮州模拟）已知单位向量 ， 满足| + |＝| ﹣2 |，则 与 的夹角为 ．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，且 ，
∴ ．
33．（2023•青秀区校级模拟）已知向量 ， 的夹角为60°，且| |＝1，|2 + |＝2 ，则| |＝ ．
【解答】解：向量 ， 的夹角为60°，且| |＝1，
∵|2 + |＝ ＝ ＝ ＝2 ，
求得| |＝2，
故答案为：2．
七．向量的投影（共1小题）
34．（2023•宜春一模）非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，则 在 上的
投影为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【解答】解：因为 ，所以 •（ ﹣ ）＝ • ﹣ • ＝0，
所以 • ＝ • ，
又因为 与 的夹角为 ， ，
所以 在 上的投影为| |cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝| |cos ＝2× ＝1．
故选：C．
八．投影向量（共4小题）
35．（2023•湖南模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20A．1 B．﹣1 C． D．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：C．
36．（2023•惠州模拟）已知向量| |＝2， 在 方向上的投影向量为﹣2 ，则 ＝（ ）
A．4 B．8 C．﹣8 D．﹣4
【解答】解：因为 在 方向上的投影向量为﹣2 ，
所以 ＝﹣2 ，即（ +2）• ＝ ，
因为| |＝2，所以 ，
所以 ＝0，即 ，
所以 ，
故选：C．
37．（2023•延边州二模）已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A．（1，0） B．
C． D．
【解答】解：向量 ，设 ，
cos ＝ ＝ ＝ ，
θ
在 上的投影向量为 ＝ ＝（ ）．
故选：D．
38．（2023•石家庄二模）已知非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，∴ ，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21所以 在 方向上的投影向量为 ．
故选：B．
九．平面向量的基本定理（共2小题）
39．（2023•淄博一模）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2， ，过点O作OD垂直AB于点D，则
（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：△ABO中，OA＝1，OB＝2， ，过点O作OD垂直AB于点D，如图所示：
设 ＝ +（1﹣ ） ，其中 R，
则 • λ ＝[ +（λ1﹣ ） ]•（λ∈ ﹣ ）
λ λ
＝ • ﹣ +（1﹣ ） ﹣（1﹣ ） •
＝﹣ ﹣ +4（1﹣ ）+（1﹣ ）
λ λ λ λ
＝﹣7 +5＝0，
λ λ λ λ
λ
解得 ＝ ，所以 ＝ + ．
故选：A．
λ
40．（2023•西固区校级一模）如图所示，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD＝3DC，若
，则 ＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：在△ABC中，有 ，
又BD＝3DC，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22故在△ABD中， ＝ ＝ + ＝ ，
又 ，则 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ，
故选：B．
λ μ
一十．平面向量的坐标运算（共4小题）
41．（2023•陕西模拟）已知向量 ＝（﹣3，2）， ＝（4，﹣2 ），若（ +3 ）∥（ ﹣ ），则实数
的值为（ ）
λ λ
A． B． C． D．
【解答】解：因为向量 ＝（﹣3，2）， ＝（4，﹣2 ），
所以 +3 ＝（9，2﹣6 ）， ﹣ ＝（﹣7，2+2 ），λ
因为（ +3 ）∥（ ﹣λ ）， λ
所以9（2+2 ）﹣（﹣7）（2﹣6 ）＝0，
λ λ
解得 ＝ ．
故选：C．
λ
42．（2023•兴庆区校级二模）已知向量 ， ， ，若 ，则
m+n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解： ， ， ， ，
则（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即 ，解得m＝2，n＝5，
故m+n＝7．
故选：C．
43．（2023•山东模拟）已知向量 ， ，若非零向量 与 ， 的夹角均相等，则 的
坐标为 （ 1 ， 1 ）（答案不唯一，可以去直线 y ＝ x 上除原点外的任意点） （写出一个符合要求的答
案即可）．
【解答】解：设 ＝（x，y）， 与 ， 的夹角分别为 ， ，则cos ＝cos ，
α β α β
∴ ，可得 ，
整理得x＝y，不妨取x＝y＝1，则 ．
故答案为：（1，1）（答案不唯一，可以去直线y＝x上除原点外的任意点）．
44．（2023•北海模拟）已知向量 ＝（2，﹣2）， ＝（﹣1，0），则 • ＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23【解答】解：向量 ＝（2，﹣2）， ＝（﹣1，0），
则 ．
故答案为：﹣2．
一十一．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
45．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量 ＝（2，3）， ＝（﹣1，2），若m +n 与 ﹣2 共线，则 等于
（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：∵m +n ＝（2m﹣n，3m+2n）， ﹣2 ＝（4，﹣1），m +n 与 ﹣2 共线，
∴（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，∴﹣14m＝7n，则 ＝﹣ ，
故选：A．
46．（2023•叙州区校级模拟）已知向量 ， ，若 与 平行，则实数
的值为（ ）
λ
A． B． C．6 D．﹣6
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
又 与 平行，
所以5（4﹣ ）＝﹣5（2+2 ），解得 ＝﹣6．
故选：D．
λ λ λ
47．（2023•龙口市模拟）已知向量 ＝（m2，﹣9）， ＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“ ∥ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵ ＝（m2，﹣9）， ＝（1，﹣1）， ∥ ，
∴﹣m2＝﹣9，解得m＝3，或m＝﹣3，
∴“m＝﹣3”是“ ∥ ”的充分比必要条件，
故选：A．
48．（2023•广州一模）已知向量 与 共线，则 ＝ ．
【解答】解：∵ ＝（1，2）， ＝（3，x），∴ ＝（4，2+x），
∵ 与 共线，
∴2+x＝8，∴x＝6，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24∴ ＝（3，6），∴ ﹣ ＝（﹣2，﹣4），
则 ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
一十二．数量积表示两个向量的夹角（共7小题）
49．（2023•新疆模拟）已知向量 ， 为单位向量，| + |＝| ﹣ |（ ≠0），则 与 的夹角为
（ ）
λ λ λ
A． B． C． D．
【解答】解：由| + |＝| ﹣ |（ ≠0），
λ λ λ
得 +2 ＝ ，
又向量 ， 为单位向量，
所以 ，所以 ，
所以 与 的夹角为 ，
故选：C．
50．（2023•2月份模拟）平面向量 与 相互垂直，已知 ＝（6，﹣8）， ，且 与向量（1，0）
的夹角是钝角，则 ＝（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
【解答】解：平面向量 与 相互垂直， ＝（6，﹣8）， ，且 与向量（1，0）的夹角是钝角，
设 ＝（x，y），则 ，
解得 或 ，
设 ＝（1，0），当 ＝（4，3）时，此时cos＜ ＞＝ ＝ ＞0，
∵向量夹角范围为[0， ]，∴此时夹角为锐角，舍去，
π
当 ＝（﹣4，﹣3）时，此时cos＜ ＞＝ ＝﹣ ＜0，
∴此时夹角为钝角．
故选：D．
51．（2023•雁塔区校级三模）已知空间向量 + + ＝ ，| |＝2，| |＝3，| |＝4，则cos＜ ， ＞＝（
）
A． B． C．﹣ D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25【解答】解：空间向量 + + ＝ ，| |＝2，| |＝3，| |＝4，
如图，设 ＝ ， ， ，
则△ABC中，| |＝2，| |＝3，| |＝4，
∴cos＜ ， ＞＝﹣cos∠ABC＝﹣ ＝﹣ ＝ ．
故选：D．
52．（2023•锦江区校级模拟）已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝2，且 与 的夹角为 ，则向量 ﹣ 与
的夹角为 ．
【解答】解：向量 ， 满足| |＝1，| |＝2，且 与 的夹角为 ，
∴cos＜（ ）， ＞＝
＝
＝
＝
＝﹣ ．
∴向量 ﹣ 与 的夹角为150°．
故答案为：150°．
53．（2023•沈阳三模）已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是
．
【解答】解： ， ， 与 的夹角是锐角，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26则 • ＞0且 、 不同向，即 ，解得x＞﹣8且x≠2，
故实数x的取值范围是（﹣8，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣8，2）∪（2，+∞）．
54．（2023•周口模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角为150°，则 与 的夹
角为 ．
【解答】解：∵ ， ， ， 的夹角为150°，
∴ ＝ ＝1，
＝ ＝ ，
∴cos＜ ， ＞＝ ，则 与 的夹角为60°．
故答案为：60°．
55．（2023•铜川二模）如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使 ，BN与
CM交于点P，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．6
【解答】解：由题意， ＝ ＝
＝ + ＝
根据平面向量基本定理，可得 ，∴
∴ ＝6
故选：D．
一十三．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2756．（2023•广州二模）已知两个非零向量 ， 满足 ， ，则 ＝（
）
A． B． C． D．
【解答】解：设 为 ，
， θ
则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得cos ＝ ．
故选：D．
θ
57．（2023•南江县校级模拟）已知向量 ，若 ，则k＝
．
【解答】解：由题意可得 ，
因为 ，
则 ，解得k＝9．
故答案为：9．
58．（2023•闵行区校级三模）已知向量 ，若 ，则实数x＝ ．
【解答】解： ， ，
则﹣2x+3＝0，解得x＝ ．
故答案为： ．
59．（2023•平定县校级模拟）已知向量 ， ， ，且 ，则
实数m＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．任意实数
【解答】解：∵向量 ， ， ，且 ，
∴（ ﹣2 ）• ＝（3，0）•（m，2）＝3m+0＝0，
则实数m＝0，
故选：B．
60．（2023•南昌县校级二模）已知向量 ＝（2，1）， ＝（1，0）， ＝（1，2），若 ⊥（ +m ），
则m＝ ．
【解答】解：∵ ＝（2，1）， ＝（1，0），
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28∴ ，
∵ ⊥（ +m ）， ＝（1，2），
∴1×（2+m）+2＝0，解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，
即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP＝(OA＋OB)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC
的重心，则有如下结论：
①GA＋GB＋GC＝0；
②AG＝(AB＋AC)；
③GD＝(GB＋GC)，GD＝(AB＋AC)．
(5)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e，e，有a＝λe＋λe＝μe＋μe，则可以得到
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ，y 有可能等于0，应表示
1 1 2 2 2 2
为xy－xy＝0.
1 2 2 1
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29(1)已知P为线段AB的中点，若A(x，y)，B(x，y)，则P点坐标为.
1 1 2 2
(2)已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
6 ． 两个向量 a ， b 的夹角为锐角 ⇔ a·b ＞ 0 且 a ， b 不共线；
两个 向量 a ， b 的夹角为钝角 ⇔ a · b ＜ 0 且 a ， b 不共线．
7 ． 平面向量数量积运算的常用公式
(1)( a ＋ b )·( a － b ) ＝ a 2 － b 2 .
(2)( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 a · b ＋ b 2 .
(3)( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a · b ＋ b 2 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30
