文档内容
考点 11 平面向量及其应用（20 种题型 6 个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考1，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算
2022新高考2，第4题 数量积的综合应用 由夹角相等求参数值
2021新高考1，第10题 数量积的定义及夹角与模问题 利用坐标运算求解向量的模，数
量积
2021新高考2，第15题 数量积的综合应用 平面向量的数量积
2021全国乙理，第14题 数量积的定义及夹角与模问题 由向量垂直求参数
2020新高考2，第3题 平面向量的概念及线性运算 向量的线性运算
2020新高考1，第7题 数量积的综合应用 求数量积的取值范围
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性
运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，
分值为5分。
高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、
直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。
三、2023 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•甲卷）已知向量 ＝（3，1）， ＝（2，2），则cos〈 + ， ﹣ 〉＝（ ）
1A． B． C． D．
2．（2023•甲卷）向量| |＝| |＝1，| |＝ ，且 + ＝ ，则cos〈 ﹣ ， ﹣ 〉＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 • ＝（ ）
A． B．3 C．2 D．5
4．（2023•新高考Ⅰ）已知向量 ＝（1，1）， ＝（1，﹣1）．若（ + ）⊥（ + ），则（ ）
λ μ
A． + ＝1 B． + ＝﹣1 C． ＝1 D． ＝﹣1
二．填空λ 题μ （共1小题） λ μ λμ λμ
5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足| ﹣ |＝ ，| + |＝|2 ﹣ |，则| |＝ ．
四、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运
定义 法则(或几何意义) 运算律
算
交换律：a＋b＝ b ＋
a；
加法 求两个向量和的运算
结合律：(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
学科网（北京）股份有限公司 2|λ a|＝ | λ | | a |，当λ>0
时，λa与a的方向相
λ(μ a)＝ ( λμ ) a ；
求实数λ与向量a的 同；
数乘 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ _a；
积的运算 当λ<0时，λa与 a的
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b ＝ λ a ．
4．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数
1 2
λ，λ，使a＝λe ＋ λe．
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，
1 2 1 2 1 2 1 2
λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝．
1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，a∥b⇔xy － xy ＝ 0．
1 1 2 2 1 2 2 1
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则 | a||b |
定义
· cos _θ 叫做a与b的数量积，记作a·b
| a | cos _θ 叫做向量a在b方向上的投影，
投影
| b | cos _θ 叫做向量b在a方向上的投影
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上
几何意义
的投影 |b | cos _θ 的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
学科网（北京）股份有限公司 3(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝ a·c ＋ b·c .
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充
a·b ＝ 0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
要条件
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为
三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、
正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，
即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP＝(OA＋OB)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC
的重心，则有如下结论：
①GA＋GB＋GC＝0；
②AG＝(AB＋AC)；
③GD＝(GB＋GC)，GD＝(AB＋AC)．
学科网（北京）股份有限公司 4(5)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e，e，有a＝λe＋λe＝μe＋μe，则可以得到
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ，y 有可能等于0，应表示
1 1 2 2 2 2
为xy－xy＝0.
1 2 2 1
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x，y)，B(x，y)，则P点坐标为.
1 1 2 2
(2)已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心G的坐标为.
1 1 2 2 3 3
6 ． 两个向量 a ， b 的夹角为锐角 ⇔ a·b ＞ 0 且 a ， b 不共线；
两个 向量 a ， b 的夹角为钝角 ⇔ a · b ＜ 0 且 a ， b 不共线．
7 ． 平面向量数量积运算的常用公式
(1)( a ＋ b )·( a － b ) ＝ a 2 － b 2 .
(2)( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 a · b ＋ b 2 .
(3)( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 a · b ＋ b 2 .
五、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•叶城县校级模拟）已知 ， ，若 与 模相等，则 ＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023•广西模拟）已知 和 是两个正交单位向量， 且 ，则k＝（
）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
二．向量相等与共线（共2小题）
3．（2023•南通模拟）若向量 满足 ，则向量 一定满足的关系为（ ）
A．
B．存在实数 ，使得
λ
学科网（北京）股份有限公司 5C．存在实数m，n，使得
D．
4．（2023•湖北模拟）已知向量 ，则“ 与 共线”是“存在唯一实数 使得 ”的（ ）
λ
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三．平面向量的线性运算（共1小题）
5．（2023•济南三模）在△ABC中，若 ，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
四．向量的加法（共1小题）
6．（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
五．向量的减法（共1小题）
7．（2023•防城港模拟）在△ABC中，D为BC的中点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
六．向量的三角形法则（共2小题）
8．（2023•普宁市校级二模）设 是单位向量， ＝3 ， ＝﹣3 ，| |＝3，则四边形ABCD（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
9．（2023•西宁模拟）在△ABC中，D是AB边上的中点，则 ＝（ ）
A．2 + B． ﹣2 C．2 ﹣ D． +2
七．向量加减混合运算（共1小题）
10．（2023•雁塔区校级模拟）已知 ＝（1， ）， ＝（2，0），则| ﹣3 |＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 6A．2 B．2 C．24 D．28
八．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
11．（2023•安徽模拟）△ABC中，| |＝2| |，则sinA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023•张家口一模）已知向量 ， ， 都是单位向量，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．
13．（2023•市中区校级一模）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
的最小值为 ．
九．向量数乘和线性运算（共2小题）
14．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最
早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”
是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第 24届国际数学家大会的会徽．如图，大
正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，E为BF的中
点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 715．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若 ＝ + ，则
λ μ
+ ＝（ ）
λ μ
A．2 B． C． D．
一十．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
16．（2023•天门模拟）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
17．（2023•淮北二模）已知向量 ， 满足 • ＝10，且 ＝（﹣3，4），则 在 上的投影向量为
（ ）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣ ， ） D．（ ，﹣ ）
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）
18 ． （ 2023• 射 洪 市 校 级 模 拟 ） 已 知 平 面 向 量 ， ， 的 夹 角 为 60° ，
，则实数t（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．±1
19 ． （ 2023• 鼓 楼 区 校 级 模 拟 ） 在 边 长 为 2 的 菱 形 ABCD 中 ，
，则 的最小值为（ ）
A．﹣2 B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 820．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量 满足 ，则
的取值范围是 ．
一十二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）
21．（2023•广州三模）已知向量 ， ，且 ，则 ＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．（2023•丹东模拟）已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5
一十三．向量的投影（共2小题）
23．（2023•翠屏区校级模拟）已知向量 ，若 ，则 在 方向上的投
影为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
24．（2023•宜宾模拟）已知点M是圆C：（x﹣4）2+y2＝4上的一个动点，点N是直线y＝x上除原点O外
的任意一点，则向量 在向量 上的投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
一十四．投影向量（共2小题）
25．（2023•东莞市校级三模）已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投
影向量为（ ）
A．（6，﹣3） B． C． D．
26．（2023•开福区校级二模）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则向量 在 方向上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 9一十五．平面向量的基本定理（共3小题）
27．（2023•斗门区校级三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于点O， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
28．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形ABCD中， ．若 ，则m
﹣n＝（ ）
A． B． C． D．
29．（2023•镇江三模）在△ABC 中， ＝3 ，点 E 是 CD 的中点．若存在实数 ， 使得
λ μ
，则 + ＝ （请用数字作答）．
λ μ
一十六．平面向量的坐标运算（共2小题）
30．（2023•浙江二模）若 ， ，则 ＝（ ）
A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
31．（2023•兴庆区校级二模）已知向量 ， ， ，若 ，则
m+n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
一十七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
32．（2023•河南三模）已知向量 ，若 ，则实数 x＝
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
33．（2023•武侯区校级模拟）已知向量 ， ，且 ．则sin 的值为
α
（ ）
A． B．0 C．±1 D．不存在
一十八．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）
学科网（北京）股份有限公司 1034．（2023•北京模拟）若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
35．（2023•郴州模拟）已知向量 满足 ，则向量 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023•渝中区校级模拟）已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角
大小为 ．
一十九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题）
37．（2023•西宁二模）若向量 ， ，且 ，则 ＝（ ）
A． B．4 C． D．
38．（2023•江西模拟）已知向量 ， ， ，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
二十．平面向量的综合题（共2小题）
39．（2023•龙华区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AB的中点， ＝2 ， ＝ ，EF与AD交
于点M，则 ＝（ ）
A． + B． +
C． + D． +
学科网（北京）股份有限公司 1140．（2023•金山区二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且 ，若
，则 的最小值为 ．
六、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量 的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确
定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则 且 存在且唯一；(4) λa＋
1
μb＝λa＋μb,则λ＝λ,μ＝μ.其中真命题的个数为
1 2 2 1 2 1 2
A.1 B. 2 C.3 D.4
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量 两两夹角相等,则 的模为 .
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝________.
6、在 中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足 ,则 等于 （
）
A． B. C. D.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
① 若a∥b,b∥c,则a∥c；
② 若A,B,C,D是同一平面内的四点且AB=DC，则ABCD为平行四边形 ；
③ 若 ,则 ；
学科网（北京）股份有限公司 12④ ； 其中正确的命题有______个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
a b a b
A、 =（0，0）， =（1，-2） B、 =（-1，2）， =（5，7）
a b a b
C、 =（3，5）， =（6，10） D、 =（2，-3）， =（4，-6）
七、刷基础
一．选择题（共11小题）
1．（2023•郑州模拟）若 ， 均为单位向量，且 ，则k的值可能是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
2．（2023•厦门模拟）平面上的三个力 ， ， 作用于同一点，且处于平衡状态．已知 ＝（1，
1 2 3 1
0），| |＝2，〈 ， 〉＝120°，则| |＝（ ）
2 1 2 3
A． B．1 C． D．2
3．（2023•南平模拟）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足 + ＝2 ，则| |＝（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023•云南模拟）若向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C．（33，44） D．
5．（2023•梅河口市校级模拟）设非零向量 满足 ，则 在 上的投影
向量为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 13A． B． C． D．
6．（2023•三模拟）已知 ， 为单位向量，若| ﹣2 |＝ ，则 •（ ﹣2 ）＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
7．（2023•长沙县校级三模）已知向量 ＝（2，1）， ＝（﹣1，3），则向量 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•西安二模）已知向量 ， ，且 ，则sin cos ＝（ ）
α α
A．3 B．﹣3 C． D．
9．（2023•河南模拟）已知向量 ， ，若 ，则 ＝（ ）
A． B．5 C． D．10
10．（2023•凯里市校级二模）若向量 ， ， ，且 ，则
m＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
11．（2023•龙华区校级模拟）若平面向量 与 满足 ＝﹣1，且| |＝2，| |＝1，则向量 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）12．（2023•金安区校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．已知复数z的共轭复数为 ，则z+ 一定是实数
B．若 为向量，则
C．若z ，z 为复数，则|z z |＝|z |•|z |
1 2 1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 14D．若 为向量，且 ，则
（多选）13．（2023•泉州模拟）圆O为锐角△ABC的外接圆，AC＝2AB＝2，则 的值可能为（
）
A． B． C． D．
（多选）14．（2023•射洪市校级模拟）如图，点 C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有（
）
A． B． C． D．
三．填空题（共13小题）
15．（2023•阆中市校级二模）已知 为单位向量，且满足 ，则 ＝
．
16．（2023•武功县校级模拟）已知菱形EFGH中， ，则 ＝ ．
17．（2023•河南模拟）已知 不共线，向量 ， ，且 ，则k＝
．
18．（2023•船营区校级模拟）已知向量 ，向量 在 方向上的投影向量坐标
为 ．
19．（2023•张掖四模）已知向量 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投
影为 ．
20．（2023•虹口区校级模拟）将向量 绕坐标原点O顺时针旋转30°得到 ，则
＝ ．
21．（2023•香坊区校级三模）已知向量 ， ，若 在 方向上的投影向量为 ，则x
的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 1522．（2023•洛阳模拟）已知向量 ＝（x，1）， ＝（﹣3，2），若2 ＝（1，4），则 ＝
．
23．（2023•梅河口市校级一模）已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹
角为 ．
24．（2023•河南模拟）已知向量 ＝（2，﹣3）， ＝（﹣1，2）， ＝（4，3），若（ ）⊥ ，则|
λ
﹣ |＝ ．
λ
25．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量 ， ，若 ，则m＝ ．
26．（2023•市中区校级模拟）已知向量 ， ， 与 共线，则 ＝
．
27．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知 ，若 与 平行，则实数k＝
．
八.刷真题
一．选择题（共8小题）
1．（2022•全国）已知向量 ＝（x+2，1+x）， ＝（x﹣2，1﹣x）．若 ∥ ，则（ ）
A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝3
2．（2023•北京）已知向量 ， 满足 + ＝（2，3）， ﹣ ＝（﹣2，1），则| |2﹣| |2＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．（2022•乙卷）已知向量 ＝（2，1）， ＝（﹣2，4），则| ﹣ |＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023•全国）设向量 ， ，若 ，则x＝（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
5．（2022•乙卷）已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝ ，| ﹣2 |＝3，则 • ＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 16A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（2022•新高考Ⅱ）已知向量 ＝（3，4）， ＝（1，0）， ＝ +t ，若＜ ， ＞＝＜ ， ＞，则t
＝（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
7．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ）
A．3 ﹣2 B．﹣2 +3 C．3 +2 D．2 +3
8．（2022•北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，
则 • 的取值范围是（ ）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
二．填空题（共8小题）
9．（2023•上海）已知向量 ＝（﹣2，3）， ＝（1，2），则 • ＝ ．
10．（2022•甲卷）已知向量 ＝（m，3）， ＝（1，m+1）．若 ⊥ ，则m＝ ．
11．（2023•天津）在△ABC中，∠A＝60°，| |＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设 ＝ ，
＝ ，则 可用 ， 表示为 ；若 ＝ ，则 • 的最大值为
．
12．（2022•上海）若平面向量| |＝| |＝| |＝ ，且满足 • ＝0， • ＝2， • ＝1，则 ＝
λ λ
．
13．（2022•甲卷）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且| |＝1，| |＝3，则（2 + ）• ＝ ．
14．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则 •
的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司 1715．（2022•天津）在△ABC中， ＝ ， ＝ ，D是AC中点， ＝2 ，试用 ， 表示 为
，若 ⊥ ，则∠ACB的最大值为 ．
16．（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形A A …A 的边A A 上，则 2+ 2+…+ 2的取
1 2 8 1 2
值范围是 ．
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