文档内容
考点 12 复数（6 种题型 5 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考1，第2题 复数的运算 复数的加法运算
2022新高考2，第2题 复数的运算 复数的乘法运算
2021新高考1，第2题 复数的运算 复数的乘法运算
2021全国甲，理3文3 复数的运算 复数的乘除运算
2021全国乙理，第1题 复数的运算 复数加，减运算
2021全国乙文，第2题 复数的运算 复数的乘法运算
2020新高考2，第2题 复数的运算 复数的乘法运算
2020新高考1，第2题 复数的运算 复数的除法运算
二、命题规律与备考策略
本章是高考的热点，一般出现在选择题前两题中，比较简单，分值为 5分。高考命题主要集中于：
（1）复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；（2）复数的几何意义及复数的模的最值问题；
（3）复数的四则运算，常考察乘、除运算；（4）虚数单位i的性质。
备考时要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力。
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
一．复数的代数表示法及其几何意义（共1小题）
1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．复数的运算（共6小题）
2．（2023•甲卷）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a R，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C∈．1 D．2
3．（2023•新高考Ⅰ）已知z＝ ，则z﹣ ＝（ ）
A．﹣i B．i C．0 D．1
4．（2023•甲卷） ＝（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i
5．（2023•乙卷）设z＝ ，则 ＝（ ）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
6．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝ ．
7．（2023•天津）已知i是虚数单位，化简 的结果为 ．
三．共轭复数（共3小题）
8．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1， ），则z的共轭复数 ＝（ ）
A．1+ i B．1﹣ i C．﹣1+ i D．﹣1﹣ i
9．（2023•全国）已知（2+i） ＝5+5i，则|z|＝（ ）
A． B． C．5 D．5
10．（2023•上海）已知z ，z C且z ＝i （i为虚数单位），满足|z ﹣1|＝1，则|z ﹣z |的取值范围为
1 2 1 1 1 2
∈
．
四．复数的模（共1小题）
11．（2023•乙卷）|2+i2+2i3|＝（ ）
A．1 B．2 C． D．5
四、考点清单
1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c 且 b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(5)复数的模
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作 | z |或 | a ＋ b i |，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d ) i ；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d ) i ；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc ) i ；
1 2
④除法：＝＝＝ ＋ i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z ，z ，z∈C，有z ＋z ＝z ＋ z ，(z ＋z)＋z ＝z ＋ ( z ＋
1 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 2
z)．
3
<常用结论>
1．三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z ，z∈C，z＋z＝
1 2
0，就不能推出z＝z＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
1 2
2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
五、题型方法
一．虚数单位i、复数（共5小题）
1．（2023•阿拉善盟一模）已知复数z满足（z﹣2）i＝1+i，那么复数z的虚部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
2．（2023•芦溪县校级一模）设复数 ＝a+bi（a，b R）则a+b＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1∈ D．﹣2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33．（2023•琼山区校级一模）设a，b为实数，若复数 ，则（ ）
A． B．a＝3，b＝1 C． D．a＝1，b＝3
4．（2023•绵阳模拟）复数z＝2﹣i（i是虚数单位）的虚部为（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．2
5．（2023•南关区校级模拟）已知a，b R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝∈ 3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
二．复数的代数表示法及其几何意义（共15小题）
6．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量 的复数在复
平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023•秀英区校级三模）复数z＝ 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2023•广西模拟）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2023•天津模拟）已知复数z＝ （i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第
象限．
10．（2023•河南模拟）已知a为实数，若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2023•江苏模拟）若复数z满足（1﹣i）z＝i，则在复平面内z表示的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2023•河南模拟）若复数z满足|z+1|＝|z﹣i|，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．x＝1 B．y＝1 C．x+y＝0 D．x﹣y＝0
13．（2023•渭南二模）棣莫弗公式（cos +isin ）n＝cosn +isinn （i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗
θ θ θ θ
（1667﹣1754）发现的．若复数z满足 ，复数z对应的点在复平面内
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2023•江西模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 z＝
（2+ai）i（其中a R）为“等部复数”，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 ∈ B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）15．（2023•武进区校级二模）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表
示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到
原点的距离．下列说法正确的是（ ）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数为9+i
C．若点Z的坐标为（﹣1，1），则 对应的点在第三象限
D．若复数z满足 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为
π
16．（2023•鼓楼区校级模拟）已知复数z＝1+2i，若in⋅z（n N*）在复平面内对应的点位于第四象限，写
出一个满足条件的n＝ ． ∈
17．（2023•益阳模拟）在复平面内，复数z＝i（a+i）对应的点在直线x+y＝0上，则实数a＝ ．
18．（2023•黄州区校级二模）已知复数z满足|z|＝1，则|z+3﹣4i|（i为虚数单位）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
19．（2023•宝鸡三模）设i是虚数单位，复数 为复数z的共轭复数，若满足 ，则复数z在复
平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20．（2023•株洲一模）已知 i为虚数单位，若复数 z满足 z•i＝2+3i，则在复平面内 z对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三．纯虚数（共9小题）
21．（2023•重庆模拟）若复数 （i为虚数单位，a，b R且b≠0）为纯虚数，则 ＝（ ）
∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5A． B． C． D．
22．（2023•重庆模拟）设复数z＝ （a R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 ∈ C．1 D．2
23．（2023•陕西模拟）复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a R）为纯虚数，则a的取值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．﹣1∈ D．1
24．（2023•桃城区校级模拟）已知复数（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m R）是纯虚数，则m＝
． ∈
25．（2023•天津模拟）若复数 为纯虚数，则|2+ai|＝ ．
26．（2023•红山区模拟）已知纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i为虚数单位，则实数m的值为（
）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
27．（2023•威海一模）若 是纯虚数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9
28．（2023•毕节市模拟）已知复数z＝a2+a+（a+1）i为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1
29．（2023•和平区校级二模）i是虚数单位，若复数 为纯虚数，则b＝ ．
四．复数的运算（共16小题）
30．（2023•宜章县二模）已知复数z是一元二次方程x2﹣2x+2＝0的一个根，则|z|的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
31．（2023•鄠邑区模拟） 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
32．（2023•茂南区校级三模）复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023•深圳一模）已知i为虚数单位，（1+i）z＝2，则z＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 634．（2023•福田区校级模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2，则z＝（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
35．（2023•开封三模）已知z（2+i）＝1，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023•贵阳模拟）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，2），则zi＝（ ）
A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．1+2i
37．（2023•沈阳三模）在复平面内，复数z ，z 对应的点分别是（2，﹣1），（1，﹣3），则 的虚部
1 2
是（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
38．（2023•海阳市校级模拟）若复数z满足（1+z）（1﹣i）＝2，则复数z的虚部为（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
39．（2023•全国三模）已知i3＝a﹣bi（a，b R），则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 ∈ C．1 D．2
40．（2023•海淀区校级模拟）已知复数 ＝2+i，x，y R，则x+y＝（ ）
A．2 B．3 C．4 ∈ D．5
41．（2023•红桥区一模）已知（a﹣i）2＝2i，其中i是虚数单位，那么实数a＝ ．
42．（2023•镇安县校级模拟）已知i为虚数单位，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
43．（2023•皇姑区校级模拟） ＝（ ）
A． B． C． D．
44．（2023•宝鸡二模）设z ，z 为复数，则下列说法正确的为（ ）
1 2
A．若 ，则z ＝z ＝0
1 2
B．若|z |＝|z |，则z ，z 互为共轭复数
1 2 1 2
C．若a R，i为虚数单位，则（a+1）•i为纯虚数
∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7D．若z ≠0，则| |＝
2
（多选）45．（2023•沙坪坝区校级模拟）定义复数的大小关系：已知复数 z ＝a +b i，z ＝a +b i，a ，
1 1 1 2 2 2 1
a ，b ，b R．若a ＞a 或（a ＝a 且b ＞b ），称z ＞z ；若a ＝a 且b ＝b ，称z ＝z ．其余情形均
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∈
为z ＜z ．复数u，v，w分别满足：u2+u+1＝0， ，|w+1|＝1，则（ ）
1 2
A．u＜v＜w B．u＝v＝w C．v＞u＝w D．w＜u＜v
五．共轭复数（共8小题）
46．（2023•连云港模拟）复数 的共轭复数是（ ）
A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i
47．（2023•锦江区校级模拟）已知复数z＝ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
48．（2023•周至县三模）复数z满足（2+i）z＝5+5i，则 ＝（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
49．（2023•阿勒泰地区三模）已知 a，b R，i 是虚数单位，若 a+2i 与 1+bi 互为共轭复数，则 b＝
（ ） ∈
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
50．（2023•广州一模）若复数z＝3﹣4i，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
51．（2023•福建模拟）已知z是方程x2﹣2x+2＝0的一个根，则| |＝（ ）
A．1 B． C． D．2
52．（2023•陕西三模）已知复数z满足 ，z在复平面内对应的点在第二象限，则z＝
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣2+i
53．（2023•江西模拟）已知i为虚部单位，复数 为纯虚数，则 的虚部为（ ）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
六．复数的模（共7小题）
54．（2023•南江县校级模拟）已知复数z＝（1+i）（1﹣2i），则|z|＝（ ）
A． B．2 C． D．10
55．（2023•邢台一模）已知复数z＝1﹣i，则|z2+z|＝（ ）
A． B． C． D．
56．（2023•驻马店三模）已知复数z满足 ，则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
57．（2023•湖南三模）若z＝ +4﹣2i，则|z|＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
58．（2023•东莞市校级三模）已知复数1+i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q R）的一个根，则|p+qi|＝
（ ） ∈
A．4 B． C．8 D．
59．（2023•宁波一模）若 （a R，i为虚数单位），则|a﹣i|＝（ ）
A． B． ∈ C． D．
（多选）60．（2023•思明区校级四模）已知复数z 对应的向量为 ，复数z 对应的向量为 ，下列
1 2
说法中正确的是（ ）
A．若|z +z |＝|z ﹣z |，则
1 2 1 2
B．若 ，则|z |＝|z |
1 2
C．若z 与z 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z z ＝|z z |
1 2 1 2 1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9D．若|z |＝|z |，则
1 2
六、易错分析
易错点1：纯虚数的条件不明晰
a
1、若复数 是纯虚数,则实数
（ ）
A.1 B. 1 C. 0 D. 1
易错点2：对复数的虚部理解错误
2、复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）
1
5
A. B. C. D.
易错点3：乱用判别式
x2 (m2i)x(1mi)0 m
3、已知关于x的一元二次方程 有实数根,求 的取值范围.
易错点4：忽略虚数不能比较大小
4、给出下列命题：① ；② ；③ ,其中正确命题的个数为 . A.0
B.1 C.2 D. 3
易错点5：利用 解题,忽略前提条件： 为实数
5、已知x为实数,y为纯虚数,且 ,求 的值.
A.1 B. 1 C. 0 D. 1
八.刷综合
一、单选题
1．（2021·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知复数 满足 ，且有 ，求 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10A． B． C． D．都不对
2．（2022·上海奉贤·统考一模）复数 的模为1，其中 为虚数单位，
，则这样的 一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
3．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）若集合
， ，则
中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考三模）已知 ，且 为虚数单位，则 的最大值
是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2020·上海闵行·统考二模）关于x的实系数方程 和 有四个不同的根，若
这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
7．（2023·湖北·校联考模拟预测）设 是实系数一元二次方程 的两个根，若 是虚数，
是实数，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·福建莆田·统考模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次
方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程 中的 用 来替换，得到方程 ；
第二步，利用公式 将 因式分解；
第三步，求得 ， 的一组值，得到方程 的三个根： ， ， （其中
， 为虚数单位）；
第四步，写出方程 的根： ， ， .
某同学利用上述方法解方程 时，得到 的一个值： ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
三、双空题
9．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）任何一个复数 （其中a、 ，i为虚数单位）都可以表
示成： 的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若
， 时，则 ；对于 ， ．
四、填空题
10．（2022·福建·校联考模拟预测）对任意三个模长小于1的复数 ， ， ，均有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12恒成立，则实数 的最小可能值是 ．
11．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若 为虚数单位，复数 满足 ，
则 的最大值为 .
12．（2021·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数 为偶函数， 为奇
函数，其中 、 为常数，则
13．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若复数 ，且 ，则
.
五、解答题
14．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在高等数学中，我们将 在 处可以用一
个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中 表示 的n次导
数），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.
(1)分别求 ， ， 在 处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明： .（其中 为虚数单位）；
(3)若 ， 恒成立，求a的范围.（参考数据 ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1315．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）设复平面上点 对应的复数
（ 为虚数单位）满足 ，点 的轨迹方程为曲线 . 双曲线 : 与
曲线 有共同焦点，倾斜角为 的直线 与双曲线 的两条渐近线的交点是 、 ， ， 为坐
标原点.
（1）求点 的轨迹方程 ；
（2）求直线 的方程；
（3）设 PQR三个顶点在曲线 上，求证：当 是 PQR重心时， PQR的面积是定值.
△ △ △
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14
