文档内容
考点 15 对数函数
【命题解读】
1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；
2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题
【基础知识回顾】
1、对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)的图象与性质
a
底数 a >1 0< a <1
图
象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性 图象过定点(1，0)，即恒有log 1＝0
a
质 当x>1时，恒有y>0； 当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和00，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
a
y ＝ x 对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应 的 底
数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、函数f(x)＝log (－x2＋2)的值域为( )
2A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0，2]
得所求函数值域为.故选B.
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log x的图象为( )
a
【答案】 C．[来源:学。科。网]
【解析： y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，
则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；
对数函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
a
3、不等式log x＋3)log e＝a，
\f(1,2 2 2
所以c＞a.
因为b＝ln 2＝＜1＜log e＝a，
2
所以a＞b.
所以c＞a＞b.
（3）由题意得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
变式2、（1）已知 是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
a 20.2 blog 0.2 clog 0.3
（2）（2020·浙江衢州·期中）已知 ， 2 ， 0.2 ，则（ ）
abc acb bca cab
A． B． C． D．
【答案】（1） C （2）C
【解析】（1）∵ 是偶函数，
∴
∴
∴
∴ ，函数为增函数，
∵ ，∴
故选：C
（2）：a 20.2 20 1 blog 0.2log 10
， 2 2 ，
clog 0.3log 0.21 log 0.3log 10
0.2 0.2 ，且 0.2 0.2 ，
a1 b0 0c1 bca
所以 ， ， ，故 .
故选：C
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和
值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时
须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向二 对数函数的图像及其应用
例1、（1）已知函数y＝log (x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是
a
（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1；
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1．
（2）当0＜x≤时，4x＜log x，则a的取值范围是（ ）
a
A. B. C. D. ．
（3）若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【答案】（1） C （2）B （3）1＜a≤2．
【解析】（1） 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0＜a＜1．又当x＝0时，y＞0，即log c＞
a
0，所以0＜c＜1．
（2） 由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜log x，
a
即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝log x图象的下方．又当x＝时，4＝2，
a
即函数y＝4x的图象过点．把点代入函数y＝log x，得a＝．若函数y＝4x的图象在函数y＝log x图象的下方，
a a
则需＜a＜1(如图所示)．
当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是．
（3）．由题意f(x)的图象如下图，则∴1＜a≤2．变式1、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
【答案】A
【解析】令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，
且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.
由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．
变式2、关于函数 下列描述正确的有
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 的图象关于直线 对称
C．若 ，但 ，则
D．函数 有且仅有两个零点
【答案】 ．
【解析】函数 的图象如下图所示：由图可得：
函数 在区间 上单调递增， 正确；
函数 的图象关于直线 对称， 正确；
若 ，但 ，则 ， 错误；
函数 有且仅有两个零点， 正确．
故选： ．
变式3、（2020·浙江月考）已知函数y=sinax+b(a>0)的图像如图所示，则函数y=loga(x+b)的图像可能是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
y sinaxb(a 0) a b y log (xb)
根据函数 的图象求出 、 的范围，从而得到函数 a 的单调性及图象
特征，从而得出结论．
详解：
2 2
0b1,2 3 a1
由函数y sinaxb(a 0)的图象可得 a ， 3 ，
y log (xb) (1b,0)
故函数 a 是定义域内的减函数，且过定点 .
结合所给的图像可知只有C选项符合题意.
故选：C.
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、关于函数f (x)＝ln ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)为奇函数
C．f (x)在定义域上是增函数
D．对任意x，x∈(－1,1)，都有f (x)＋f (x)＝f
1 2 1 2
【答案】 BD
【解析】 函数f (x)＝ln ＝ln，
其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，
∴定义域为{x|－1＜x＜1}．∴A不对．
由f (－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f (x)，是奇函数，∴B对．
函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，
∴f (x)在定义域内是减函数，C不对．
f (x)＋f (x)＝ln ＋ln
1 2
＝ln＝f .∴D对．
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数
h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
【答案】 BC【解析】 函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
∴f (x)＝log x，h(x)＝log (1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
2 2
∴A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log 1＝0，故C正确．
2
变式2、已知函数f(x)＝3－2log x，g(x)＝log x．
2 2
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)h(x)＝(4－2log x)·log x＝－2(log x－1)2＋2，
2 2 2
因为x∈[1,4]，所以log x∈[0,2]，
2
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得
(3－4log x)(3－log x)>k·log x，
2 2 2
令t＝log x，因为x∈[1,4]，所以t＝log x∈[0,2]，
2 2
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k< 恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3，
综上，k∈(－∞，－3)．
变式3、已知函数f(x)＝log (ax2＋2x＋3)．
4
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解析】 (1)因为f(1)＝1，所以log(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，
4
这时f(x)＝log(－x2＋2x＋3)．
4
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
又y＝logx在(0，＋∞)上单调递增，
4
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性
质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问
题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、(2018全国卷Ⅲ)设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，由 得 ，
所以 ，所以 ，得 ．
又 ， ，所以 ，所以 ．故选B．
2、(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为 ，则其关于直线 的对称点的坐标为 ，由
对称性知点 在函数 的图象上，所以 ，故选B．
3、（2017新课标Ⅰ）已知函数 ，则
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于点 对称
【答案】C
【解析】由 ， 知， 在 上单调递增，在 上单调递减，排除A、
B；又 ，所以 的图象关于 对称，C正确．
4、（2017新课标Ⅱ）函数 的单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 或 ，设 ，则 ， 关于 单调递减，
， 关于 单调递增，由对数函数的性质，可知 单调递增，所以根据同增异减，可知
单调递增区间为 ．选D．
5、（2020全国Ⅱ理9）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确．故选D
6、(2018全国卷Ⅰ)已知函数 ，若 ，则 =________．
【答案】
【解析】由 得， ，所以 ，即 ．
7、(2018全国卷Ⅲ)已知函数 ， ，则 ___．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以
．
8、已知函数f(x)＝log (x＋1)－log (1－x)，a>0且a≠1．
a a
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义．则解得－11时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1，解得00的x的解集是{x|0
