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考点 25 弧度制及任意角的三角函数
【命题解读】
了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、
余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号
【基础知识回顾】
1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所
形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终
边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝____，l是以角α作为
圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S ＝__lr__＝__|α|r2__．
扇形
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，
tanα＝．
(2)特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
α弧
_0_ __ __ __ __ _π_ __
度数
sinα _0_ __ __ __ _1_ _0_ _－1_
cosα _1_ __ __ __ _0_ _－1_ _0_
tanα _0_ __ _1_ __ _0_
（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起
点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正
切线．1、 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【答案】：C
【解析】：与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不
能混用，所以只有答案C正确．
2． 设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝∅
【答案】：B
⊆ ⊆
【解析】：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋
45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M N，故选B.
3． 若α是第四象限角，则π－α是第( )象限角．
⊆
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】：C
【解析】：∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角．
4． 若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
【答案】：B
【解析】：设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为、半径为1，∴＝α·12，∴α＝.
5、 关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
【答案】： BD
【解析】： 对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋＜＜(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确．
考向一 角的表示及象限角
例1（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
（2）若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】（1）B （2）C.
【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k
＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
（2） ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．故选C.
变式1、设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
【答案】：四
【解析】：由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】：(1) 设弧长为l，弓形面积为S
弓．
∵α＝60°＝，R＝10，∴ l＝π(cm)．
∴ S ＝S －S ＝×π×10－×102·sin60°＝50 cm2．
弓 扇
(2) ∵扇形周长△C＝2R＋l＝2R＋αR，∴ R＝，
∴ S ＝α·R2＝α＝·＝·≤，
扇
当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值．
变式1、扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
【解析】 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得解得或
∴α＝＝或6.
(2)∵2r＋l＝8，∴S ＝lr＝l·2r≤·2＝×2＝4，
扇
当且仅当 2r＝l，即 α＝＝2 时，扇形面积取得最大值，∴r＝2 cm，∴弦长 AB＝2×2sin1＝
4sin1(cm)．
变式2、 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解析】 (1)因为α＝100°＝100×＝，
所以S ＝lr＝αr2＝××4＝.
扇形
(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S ＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
扇形
当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝＝2
方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考向三 三角函数的定义及应用
例3、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)， 且sin α＝，求cos α，tan α的值．
【解析】：由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝．
∴sin α＝＝＝，因为m≠0
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±．
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cos α＝＝－， tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cos α＝＝－， tan α＝．
变式1、（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝____．
（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sinα·tanα＝_ _ _．
【答案】（1）－.（2）－
【解析】（1） ∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，∴cosα＝＝－，解得x＝或x＝－(舍去)，
∴P，∴sinα＝－，∴tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.
（2） 由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
当y＝时，sinα＝，tanα＝－，此时sinα·tanα＝－.
当y＝－时，sinα＝－，tanα＝，此时sinα·tanα＝－.
变式2、(1)函数y＝log (x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴
a
重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为( )
A. B．
C. D.
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.
【答案】（1）D （2）－
【解析】(1)因为函数y＝log (x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝
a
2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝或x＝－(舍)．所以
P，r＝，所以 sin α＝－.所以tan α＝＝，则＋＝－＋＝－.
方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P
到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，
与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．
考向四 三角函数值的符号及判定
例4、已知sinα＜0，tanα＞0．
(1) 求α角的集合；
(2) 求终边所在的象限；
(3) 试判断tansincos的符号．
【解析】：(1) 由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三
象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2) 由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋，得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，故终边在第二、四象限．
(3) 当在第二象限时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，
所以tansincos也取正号．因此，tansincos取正号．
变式1、(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】 D
【解析】 ∵－1≤cos x≤1，且sin(cos x)>0，∴00)，则下列各式的
值一定为负的是( )
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D.
【答案】CD
【解析】由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝ >0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，
sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选C、D.
方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一．表示区域角时
要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况．(2)准确掌握三角函数在各象限的符号．
1、在平面直角坐标系中，角 α 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上，角 α 的终边经过点 M，且
0<α<2π，则α＝( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】(1)因为角α的终边经过点M，且0<α<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos ＝cos＝
cos ，则α＝.故选D.
2、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A.－ B.－ C. D.
【答案】C
【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
3、（2014新课标I，文2）若 ，则
A. B． C． D．
【答案】A
【 解 析 】 由 知 ， 在 第 一 、 第 三 象 限 ， 即 （ ） ， ∴
，即 在第一、第二象限，故只有 ，故选A．
4、（2011全国课标理5文7）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线
上，则 =
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】在直线 取一点P（1，2），则 = ，则 = = ，
∴ = = ，故选B．
5、（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】 角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且， ， 解 得 ， ， ，
，故选 ．
6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
【答案】1∶2
【解析】设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
7、（2018浙江）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)若角 满足 ，求 的值．
【解析】(1)由角 的终边过点 得 ，
所以 ．
(2)由角 的终边过点 得 ，
由 得 ．
由 得 ，
所以 或 ．
