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考点 25 弧度制及任意角的三角函数
【命题解读】
了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、
余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号
【基础知识回顾】
1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所
形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终
边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝____，l是以角α作为
圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S ＝__lr__＝__|α|r2__．
扇形
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，
tanα＝．
(2)特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
α弧
_0_ __ __ __ __ _π_ __
度数
sinα _0_ __ __ __ _1_ _0_ _－1_
cosα _1_ __ __ __ _0_ _－1_ _0_
tanα _0_ __ _1_ __ _0_
（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起
点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正
切线．1、 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
2． 设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝∅
3． 若α是第四象限角，则π－α是第( )象限角．
⊆ ⊆
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4． 若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
5、 关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
考向一 角的表示及象限角
例1（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
（2）若角α是第二象限角，则是( )A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
变式1、设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
变式2、若α是第三象限角，给出下列式子：
① sinα＋cosα＜0；② tanα－sinα＜0；
③ tanαsinα＜0；④ sin(cos α)＜0．
其中成立的是________．(填序号)
方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号．利用终边相同的角的集合可以
求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋
值来求得所需的角．三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查运算求解
能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 扇形的有关运算
例2、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
(1) 若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式1、扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
变式2、 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考向三 三角函数的定义及应用
例3、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)， 且sin α＝，求cos α，tan α的值．
变式1、（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝____．
（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sinα·tanα＝_ _ _．
变式2、(1)函数y＝log (x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴
a
重合，终边过点P，则sin α＋cos α的值为( )
A. B．
C. D.
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________.
方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P
到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一
点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，
与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．
考向四 三角函数值的符号及判定
例4、已知sinα＜0，tanα＞0．
(1) 求α角的集合；
(2) 求终边所在的象限；
(3) 试判断tansincos的符号．
变式1、(2020·江西九江一模)若sin x<0，且sin(cos x)>0，则角x是( )A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
变式2、(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的
值一定为负的是( )
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α
C．sin αcos α D.
方法总结：(1)区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一．表示区域角时
要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况．(2)准确掌握三角函数在各象限的符号．
1、在平面直角坐标系中，角 α 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上，角 α 的终边经过点 M，且
0<α<2π，则α＝( )
A. B. C. D.
2、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A.－ B.－ C. D.
3、（2014新课标I，文2）若 ，则
A. B． C． D．
4、（2011全国课标理5文7）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线
上，则 =
（A） (B) (C) (D)
5、（2018•新课标Ⅰ，文11）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则
A． B． C． D．1
6、若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
7、（2018浙江）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ．
(1)求 的值；(2)若角 满足 ，求 的值．
