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第 25 讲 弧度制及任意角的三角函数
1. 角的概念的推广
(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所
形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终
边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．
(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2. 弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝____，l是以角α作为
圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝____rad；1 rad＝____度．
④弧长公式：__l＝|α|r__．
扇形面积公式：S ＝__lr__＝__|α|r2__．
扇形
3. 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，
tanα＝．
(2)特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°
α弧
_0_ __ __ __ __ _π_ __
度数
sinα _0_ __ __ __ _1_ _0_ _－1_
cosα _1_ __ __ __ _0_ _－1_ _0_
tanα _0_ __ _1_ __ _0_
1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角( )
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】 B
【解析】 ＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，
故π＋α是第二象限角．
2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点 P（，－），则角θ可以为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因为角θ的终边经过点P（，－），所以θ是第四象限角，且cos θ＝，sin θ＝－，则θ＝.
3、（多选）下列结论中，正确的是( )
A. －是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C. 若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
【答案】 BC
【解析】 对于A，－与的终边相同，为第二象限角，故A错误；对于B，设扇形的半径为r，则r＝π，所
以r＝3，则扇形的面积为×3×π＝，故B正确；对于C，角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数的定
义，得cos α＝－，故C正确； 对于D，因为0<α<，所以0<2α<π，故D错误．故选BC.
4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，
终边过点(－2，y)，且tan (π－α)＝2，则sin α＝ ．
【答案】
【解析】 因为角α终边过点(－2，y)，所以tan α＝－.又tan (π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以y＝4，所
以sin α＝＝.
考向一 角的表示及象限角
例1、 (1) 终边在直线y＝x上的角的集合为 ；
【答案】
【解析】 因为在(0，2π)内，终边在直线y＝x 上的角是，，与，终边相同的角分别为2kπ＋，2kπ＋＝(2k
＋1)π＋，k∈Z，所以终边在直线y＝x上的角的集合为.
(2) 若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角的终边相同的角的个数为 ；
【答案】 3
【解析】 因为θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以＝＋(k∈Z).依题意有0≤＋<2π，k∈Z，所以－≤k<，所以k＝0，1，
2，即在[0，2π）内，终边与角的终边相同的角为，，，共3个．
(3) 已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角 α 用集合可表示为
．
【答案】
【解析】 因为在[0，2π]内，终边落在阴影部分角的集合为，所以所求角的集合为{α|2kπ＋<α<2kπ＋，
k∈Z}．
变式、（1）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
（2）若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】（1）B （2）C.
【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k
＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
（2） ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．故选C.
方法总结：1. 象限角的两种判断方法：
(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2) 转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的
角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2. 由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域．
考向二 扇形的有关运算
例2、 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】 (1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S ，由题意知l＝ cm，
弓形
所以S ＝××2－×22×sin ＝cm2.
弓形
变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形
OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC
的面积为S ，扇形OAB的面积为S ，当S 与S 的比值为时，扇面的形状较为美观，
1 2 1 2
则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A. B.
C.3－ D.－2
【答案】 B
【解析】 设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r，依题意，有＝，即＝，所以＝＝＝，从而得
1＝.
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
【答案】 2 2
【解析】 设扇形的圆心角为α，半径为r.
则由题意得
解得
所以弧长l＝αr＝2，
所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；
(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.
【解析】 (1) 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝5.
在Rt△ACO中，sin ∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝，所以α＝2∠AOC＝.
(2) 由(1)及题意，得l＝，
S ＝lr＝××10＝.
扇形
因为S ＝×10×10×sin ＝25，
△AOB
所以S ＝S －S ＝－25＝50（－）
弓形 扇形 △AOB
方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考向三 三角函数的定义及应用
例3、已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)， 且sin α＝，求cos α，tan α的值．
【解析】：由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝．
∴sin α＝＝＝，因为m≠0
∴r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±．
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cos α＝＝－， tan α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cos α＝＝－， tan α＝．
变式1、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最
小正角为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】角α的终边上一点M的坐标为，即M，故点M在第四象限，且tan α＝＝－1，则角α的最小正角
为，故选D
变式2、已知角α的终边过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m＝ ．
【答案】
【解析】 由题意，得P(－8m，－3).由 cos α＝－，得＝－，解得m＝（m＝－不合题意，舍去）.
方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P
到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一
点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，
与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．
1、（2022·湖北·模拟预测）若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵角 的终边经过点 ，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：D．2、（2022·山东日照·一模）已知角 的终边经过点 ，则角 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 角 的终边经过点 ，
是第四象限角，且 ， ，
则 ．
故选：D
3、（2022·重庆市育才中学模拟预测）若点 在角 的终边上，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选D．
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角 的始边与 轴非负半轴重合，终边上一点 ，若
，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】：因为角 的终边上一点 ，
所以 ，
又 ，
所以 为第四象限角，所以 ，
又因 ，
所以 .
故选：C.
5、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角 满足 ， ，则 在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 ， 是第二或第四象限角；
当 是第二象限角时， ， ，满足 ；
当 是第四象限角时， ， ，则 ，不合题意；
综上所述： 是第二象限角.
故选：B.
6、（2022·重庆市育才中学模拟预测）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医
学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆
弧分别是 的外接圆和以 为直径的圆的一部分，若 ， ，则该月牙形的面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解析由已知可得 ， 的外接圆半径为 1.由题意，内侧圆弧为 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为 ，则弓形 的面积为 ，外侧的
圆弧以 为直径，所以半圆 的面积为 ，则月牙形的面积为 .
故选：A．
7、（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．
莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得
到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是______．
【答案】
【解析】由条件可知，弧长 ，等边三角形的边长 ，则以点A、
B、C为圆心，圆弧 所对的扇形面积为 ，中间等边 的面积所以莱洛三角形的面积是 .
故答案为：
