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第25讲 数形结合思想
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量
关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，
形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的
本质。
数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数
学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考
查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有
效提升思维品质和数学技能。
“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考
查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在
平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结
合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图
或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，
向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，
这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途
径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数
形分离万事休”。数形结合，数形转化常从一下几个方面：
（1）集合的运算及文氏图
（2）函数图象，导数的几何意义
（3）解析几何中方程的曲线
（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函
数线或数式的结构特征等；
取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等
等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图
形求解。
应用一：数学文化中的数形结合
一、单选题
1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图
象特征，如函数 的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．2．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时
难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数
（ 且 ）的大致图象如图，则函数 的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．3．我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家
万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数
的图象的特征，如函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完
全一样，只是大小不同.谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一
个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同
样操作，直到无限次.如图，进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如图，从正方形 内随机取一点，该
点取自阴影部分的概率为（ ）A． B． C． D．
二、解答题
6．设计一个印有“红十字”logo的正方形旗帜 （如图）.要求“红十字”logo居中，其突出边缘
之间留空宽度均为2cm，“红十字”logo的面积（阴影部分）为 . 的长度不小于 的长度.记
， .
(1)试用 表示 ，并求出 的取值范围；(2)当 为多少时，可使正方形 的面积最小？
参考结论：函数 在 上是减函数
应用二：函数中的数形结合
一、单选题
1．下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
A． B． C． D．4．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，
又因为 ，故函数 为奇函数，
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，排除ABC选项.
故选：D.5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．7．已知函数 ，则函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．8．已知集合 ，集合 ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
9．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．.
二、解答题
10．已知函数 （其中 ）．
(1)设关于 的函数 当 时，在如图所示的坐标系中画出函数 的图象，并
写出 的最小值（无需过程）；
(2)求不等式 的解集．应用三：数形结合在三角函数中的应用
一、单选题
1．下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法及奇函数的性质，结合基本不等式即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，排除A ；
当 时， ，排除D ；
当 时， ，所以 ，（当且仅当 时等号成立）
即 ，排除B；
所以C正确.
故选：C.
3．已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
A． B． C． D．4．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
5．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．7．已知函数 ，则函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合 ，集合 ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是
（ ）A． B．
C． D．
9．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．二、解答题
10．已知函数 （其中 ）．
(1)设关于 的函数 当 时，在如图所示的坐标系中画出函数 的图象，并
写出 的最小值（无需过程）；
(2)求不等式 的解集．应用四：数形结合在圆锥曲线中的应用
一、单选题
1．如图，在圆柱 中， 为底面直径， 是 的中点， 是母线 的中点， 是上底面上的动点，
若 ， ，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2．中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪
称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图 是拱骨， 是相等的步，
相邻的拱步之比分别为 ，若 是公差为 的等差数列，且直线的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．如图所示，在棱长为 的正方体 中，则下列命题中正确的是（ ）
A．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到直线 的距离之比为2，则动点
的轨迹是圆B．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到面 的距离之比为2，则动点
的轨迹是椭圆
C．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到直线 的距离相等，则动点 的轨
迹是抛物线
D．若点 是线段 的中点， 分别是直线 上的动点，则 的最小值是
三、填空题
4．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面
相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦
点）.如图，圆锥的锥角为 ，斜截面与圆锥轴所成角为 ，则椭圆的离心率为__________.5．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光
线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经
反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分 和一个“双孔”的
椭圆 构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆 为 的焦点， 为下顶点， 也为
的焦点，若由 发出一条光线经过点 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点 反射后平行于 轴射出，
由 发出的另一条光线经由椭圆 上的点 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点 反射后平行于 轴
射出，若两条平行光线间隔 ，则 __________.四、解答题
6．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 中底面长轴 ，
短轴长 ， 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， ，P为 的中点，MN
为过点 的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证： 平面PMN
(2)求三棱锥 的体积的最大值.7．如图，椭圆 的焦点分别为 为椭圆 上一点， 的面
积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上方， 在下方，且均
不与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 面积的最大值.
8．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为菱形， ，点D为 的中点，
的外接圆为圆M．(1)求圆M的方程；
(2)求直线 被圆M所截得的弦长．
