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第25讲 数形结合思想
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量
关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，
形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的
本质。
数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数
学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考
查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有
效提升思维品质和数学技能。
“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考
查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在
平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结
合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图
或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，
向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，
这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途
径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数
形分离万事休”。数形结合，数形转化常从一下几个方面：
（1）集合的运算及文氏图
（2）函数图象，导数的几何意义
（3）解析几何中方程的曲线
（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函
数线或数式的结构特征等；
取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等
等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图
形求解。
应用一：数学文化中的数形结合
一、单选题
1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图
象特征，如函数 的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】解：对于函数 ，则函数的定义域为 ，
又 在 和 上单调递增，
在 和 上单调递增，
所以 在 和 上单调递增，
又 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故符合题意的只有D.
故选：D
2．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时
难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数
（ 且 ）的大致图象如图，则函数 的大致图象是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得 ，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.
【详解】由题意，根据函数 的图象，可得 ，
根据指数函数 的图象与性质，
结合图象变换向下移动 个单位，可得函数 的图象只有选项C符合.
故选：C.
3．我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家
万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数
的图象的特征，如函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的值的情况，即可判断答案.
【详解】由题意知函数 的定义域为 ，
函数满足 ，函数 为奇函数，图象关于原点对称，当 时， ， ，则 ，图象在x轴上方，故A错误，
当 时， ，则 ，图象在x轴下方，故 错误,
结合函数的奇偶性可知，当 时， ；当 时， ，
符合题意的图象只有C中图象，
故选：C．
4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万
事休”．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．
【详解】∵ ， ，
，
则 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；对 故可排除选项C．
故选：A．
5．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完
全一样，只是大小不同.谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一
个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同
样操作，直到无限次.如图，进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如图，从正方形 内随机取一点，该
点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为9，分别求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【详解】解：设大正方形的边长为9，则每个小正方形的边长为1，
则大正方形的面积为 ，则每个小正方形的面积为1，则所有黑色正方形的面积之和为 ，
则该点取自阴影部分的概率为 .
故选：B.
二、解答题
6．设计一个印有“红十字”logo的正方形旗帜 （如图）.要求“红十字”logo居中，其突出边缘
之间留空宽度均为2cm，“红十字”logo的面积（阴影部分）为 . 的长度不小于 的长度.记
， .(1)试用 表示 ，并求出 的取值范围；
(2)当 为多少时，可使正方形 的面积最小？
参考结论：函数 在 上是减函数
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据面积列出等式进行求解即可；
（2）根据题意得到 面积表达式，结合（1）的结论和题中所给函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知： ，
因为 的长度不小于 的长度，
所以 ，
即 ；
（2）设正方形 的面积为 ，
所以 ，要想正方形 的面积最小，只需 最小，
，
因为函数 在 上是减函数，
所以函数 在 上是减函数，因此当 时， 有最小值，即 有最小值，因此正方形 的面积最小.
应用二：函数中的数形结合
一、单选题
1．下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念结合条件分析即得.
【详解】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；
选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.
故选：C.
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】利用排除法及奇函数的性质，结合基本不等式即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，排除A ；
当 时， ，排除D ；
当 时， ，所以 ，（当且仅当 时等号成立）
即 ，排除B；
所以C正确.
故选：C.
3．已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.
【详解】对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；对于 ，当 时， ，所以 ，且 时， ， ；当 时，
，所以 ，且 时， ， ，故选项 正确；
对于 ，当 时， ，则 ，所以 ，故选项 错误，
故选： .
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，
又因为 ，故函数 为奇函数，
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，排除ABC选项.
故选：D.
5．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 可排除C，D，当 时， 可排除A，即可得正确答案.
【详解】由 可排除C，D；
当 时， ，排除A.
故选：B.
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，排除A,B选项；易知当 时， 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
7．已知函数 ，则函数 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 可知 图像与 的图像关于 轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 图像与 的图像关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图像如图
.
从而可得 图像为D选项.
故选：D.
8．已知集合 ，集合 ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】存在点使一个 与两个 对应，A错误；当 时，没有与之对应的 ，B错误； 的范围超
出了集合 的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.
【详解】对选项A：存在点使一个 与两个 对应，不符合，排除；
对选项B：当 时，没有与之对应的 ，不符合，排除；
对选项C： 的范围超出了集合 的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D
9．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性定义推得 为奇函数，排除AB；再由 排除C，从而得解.【详解】因为 ， ，
所以 的定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数，则 的图像关于原点对称，排除AB；
又 ，排除C；
因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述 的性质，故D正确.
故选：D.
二、解答题
10．已知函数 （其中 ）．
(1)设关于 的函数 当 时，在如图所示的坐标系中画出函数 的图象，并
写出 的最小值（无需过程）；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)图象见解析，最小值为0；
(2)答案见解析【分析】（1）利用描点法即可得到函数 的图象，进而得到 的最小值；
（2）按k分类讨论，即可求得该一元二次不等式的解集.
【详解】（1）k＝1时， 的图象如图所示：
当x＝－1时，函数 取得最小值0．
（2）因为 ，故 ，即 ．
①当k＞2时，可得 ；
②当k＝2时，可得x＝0；
③当k＜2时，可得 ．
综上所述：当k＜2时，不等式的解集为 ；
当k＝2时，不等式的解集为 ；
当k＞2时，不等式的解集为 ．
应用三：数形结合在三角函数中的应用
一、单选题
1．下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念结合条件分析即得.
【详解】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；
选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.
故选：C.
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法及奇函数的性质，结合基本不等式即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，排除A ；
当 时， ，排除D ；
当 时， ，所以 ，（当且仅当 时等号成立）即 ，排除B；
所以C正确.
故选：C.
3．已知函数 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分类讨论思想，根据函数值的符号，及变化，分别对四个选项判断即可求解.
【详解】对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，所以 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ，所以 ，且 时， ， ；当 时，
，所以 ，且 时， ， ，故选项 正确；
对于 ，当 时， ，则 ，所以 ，故选项 错误，
故选： .
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，
又因为 ，故函数 为奇函数，
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，排除ABC选项.
故选：D.
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 可排除C，D，当 时， 可排除A，即可得正确答案.【详解】由 可排除C，D；
当 时， ，排除A.
故选：B.
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，排除A,B选项；
易知当 时， 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
7．已知函数 ，则函数 的图像是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】由 可知 图像与 的图像关于 轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 图像与 的图像关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图像如图
.
从而可得 图像为D选项.
故选：D.
8．已知集合 ，集合 ，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】存在点使一个 与两个 对应，A错误；当 时，没有与之对应的 ，B错误； 的范围超出了集合 的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.
【详解】对选项A：存在点使一个 与两个 对应，不符合，排除；
对选项B：当 时，没有与之对应的 ，不符合，排除；
对选项C： 的范围超出了集合 的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D
9．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性定义推得 为奇函数，排除AB；再由 排除C，从而得解.
【详解】因为 ， ，
所以 的定义域关于原点对称，
又 ，
所以 为奇函数，则 的图像关于原点对称，排除AB；
又 ，排除C；因为排除了选项ABC，而选项D的图像满足上述 的性质，故D正确.
故选：D.
二、解答题
10．已知函数 （其中 ）．
(1)设关于 的函数 当 时，在如图所示的坐标系中画出函数 的图象，并
写出 的最小值（无需过程）；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)图象见解析，最小值为0；
(2)答案见解析
【分析】（1）利用描点法即可得到函数 的图象，进而得到 的最小值；
（2）按k分类讨论，即可求得该一元二次不等式的解集.
【详解】（1）k＝1时， 的图象如图所示：当x＝－1时，函数 取得最小值0．
（2）因为 ，故 ，即 ．
①当k＞2时，可得 ；
②当k＝2时，可得x＝0；
③当k＜2时，可得 ．
综上所述：当k＜2时，不等式的解集为 ；
当k＝2时，不等式的解集为 ；
当k＞2时，不等式的解集为 ．
应用四：数形结合在圆锥曲线中的应用
一、单选题
1．如图，在圆柱 中， 为底面直径， 是 的中点， 是母线 的中点， 是上底面上的动点，
若 ， ，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 ，由圆柱的结构特征和线面垂直的判定可知 平面 ，则 点轨迹是平面
与上底面的交线 ，结合勾股定理可求得 长，即为所求轨迹长度.
【详解】连接 ，作 ，交 于点 ，是 的中点， ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，
设平面 与上底面交于 ， ， 点 的轨迹为 ；
， ， 是母线 中点，
，
，
.
故选：C.
2．中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪
称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图 是拱骨， 是相等的步，
相邻的拱步之比分别为 ，若 是公差为 的等差数列，且直线
的斜率为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题中关系建立等式求解即可.
【详解】由题可知 因为
所以 ，
又 是公差为 的等差数列，所以 ，
所以，
故选:B
二、多选题
3．如图所示，在棱长为 的正方体 中，则下列命题中正确的是（ ）
A．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到直线 的距离之比为2，则动点
的轨迹是圆B．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到面 的距离之比为2，则动点
的轨迹是椭圆
C．若点 在侧面 所在的平面上运动，它到直线 的距离与到直线 的距离相等，则动点 的轨
迹是抛物线
D．若点 是线段 的中点， 分别是直线 上的动点，则 的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于选项A，建立如图所示的直角坐标系，由题得 ，代入坐标化简即得解；对于选项
B，代入坐标化简 即得解；对于选项C，代入坐标化简 即得解；对于选项D，对任意的
点 ，固定点 时，当 时， 最小，即 最小，把平面 翻起来，使之
和平面 在同一个平面，当 时， 最小，即得解.
【详解】对于选项A，建立如图所示的直角坐标系，则 设 因为 平面
, 所以 ,所以点 到直线 的距离就是 ,同理点 到直线 的距离就是 .所以
,所以 ，所以 ，它表示圆，所以该
选项正确；
对于选项B，过点 作 ,垂足为 ,因为平面 平面 ，则点 到平面 的距离就是 .所以 ,因为 ，所以 ，所以动
点 的轨迹是双曲线，所以该选项错误；
对于选项C，点 到直线 的距离就是 .所以 ，所以
，所以动点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
对于选项D，对任意的点 ，固定点 时，过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，当
时， 最小，此时 平面 , 所以 , 由于
. 所以 ，所以 . 如下图，把平面
翻起来，使之和平面 在同一个平面，当 时， 最小，此时
.故该选项正确.
故选：ACD三、填空题
4．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面
相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦
点）.如图，圆锥的锥角为 ，斜截面与圆锥轴所成角为 ，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】设两个球的半径分别为 ，已知圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 ，利用已知
条件和几何关确定 的关系，结合椭圆的性质，即可得出椭圆离心率．
【详解】如图，上面球心为 ，下面的球心为 ，设两个球的半径分别为 和 ，
由于圆锥的锥角为 ，则球心距离 ，
截面分别与球 ，球 相切于点 ， ， 是截面椭圆的焦点），
如图，圆锥面与其内切球 、 分别相切与 ， ，
连接 ， ，则 ， ，连接 ， ， 交 于点 ，截面与圆锥的母线交
．
由于圆锥的锥角为 ，所以圆锥母线与轴的夹角为 ，斜截面与圆锥轴所成角为
，则 ， ，
所以 ，
则椭圆的长轴长 ，焦距 ，
又 ， ， ，
， ，
则 ，所以 ，
所以 ，
则椭圆的离心率 ．
故答案为： ．
5．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光
线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经
反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分 和一个“双孔”的
椭圆 构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆 为 的焦点， 为下顶点， 也为
的焦点，若由 发出一条光线经过点 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点 反射后平行于 轴射出，
由 发出的另一条光线经由椭圆 上的点 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点 反射后平行于 轴
射出，若两条平行光线间隔 ，则 __________.【答案】
【分析】首先联立直线 与抛物线方程求得 点坐标,进而求得 点坐标，然后再联立直线 与椭圆方
程求得 点坐标，可得向量 的坐标，最后求得 .
【详解】由题意得：
可得抛物线方程 ，直线 : ,
联立 ，可得 ；
因为两条平行光线间隔 ，所以 ，即 .
直线 ： ，联立椭圆方程 ，得 ，解得 或
（舍），所以 ；
则 ，所以
.
故答案为： .四、解答题
6．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱 中底面长轴 ，
短轴长 ， 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点， ，P为 的中点，MN
为过点 的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证： 平面PMN
(2)求三棱锥 的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由解析法，建立平面直角坐标系 如图所示， ，转为求 的
最大值，
其中 为弦长公式结合韦达定理求得， 为 到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即
可.
【详解】（1）由长轴 ，短轴长 得焦半径得 ，∴
分别OB、 的中点，
在柱体中，纵切面 为矩形，连接 ，则 ，又 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵P为 的中点， ，∴ ，
∵ 平面PMN， 平面PMN，∴ 平面PMN；
（2） ，
建立平面直角坐标系 如图所示，则底面椭圆为 ， ，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为 ， ，联立椭圆方程可得
，
则 ，∴
.
又点 到直线MN的距离 .
∴ .∴ .
设 ，对 ，由 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，此时 .
故三棱锥 的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，
从而表示出面积，作进一步讨论.
7．如图，椭圆 的焦点分别为 为椭圆 上一点， 的面
积最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)若 分别为椭圆 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线 交椭圆 于 （ 在上方， 在下方，且均
不与 点重合）两点，直线 的斜率分别为 ，且 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到关于 的方程，即可得到结果；
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由 列出方
程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1） ， ， ，故椭圆的方程为 ；
（2）依题意设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，消元得： ，
， ，
由 得： ，两边同除 ， ，
即 ；将 代入上式得：
整理得： 所以 或 （舍），当 时等号成立，满足条件，所以 面积的最大值为 .
8．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为菱形， ，点D为 的中点，
的外接圆为圆M．
(1)求圆M的方程；
(2)求直线 被圆M所截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得 为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M的方程；
（2）根据相应点的坐标，得到直线CD的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长.
【详解】（1）（1）因为 ， ，所以 为正三角形，
由 ，得 ，
所以 外接圆圆心为 ，又半径 ，
所以圆M的方程为（2）由题意得 ， ，
直线CD的斜率 ，
直线CD方程为 即 ，
M到CD的距离为 ，
所以CD被圆M截得的弦长为 .
