文档内容
第 01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概
念 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角
角度1:象限角 角度2:区域角 角度3角:终边相同的角
高频考点二：角度制与弧制度的相互转化
高频考点三：弧长公式与扇形面积公式
角度1：弧长的有关计算
角度2：与扇形面积有关的计算
角度3：题型归类练
角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用
高频考点四：任意角的三角函数
角度1：单位圆法与三角函数
角度2：终边上任意点法与三角函数
角度3：三角函数值符号的判定
高频考点五：三角函数线
高频考点六：解三角不等式
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角 相同的角可写成 ．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， ， 是以角 作为圆心
角时所对圆弧的长， 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算： ； ．
若一个角的弧度数为 ，角度数为 ，则 ， ．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设 是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点 ，那么
（1）点 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作 ；
（2）点 的横坐标叫角α的余弦函数，记作 ；
（3）点 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作 （ ）.它们都是以角为自变量，
以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设 是角 终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为 （ ）那么：
； ； （ ）
角不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角大小为 ，则 变形可得 ，此公式称为弧长
公式，其中 的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线： 余弦线： 正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用 进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，
不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 区间第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角 终边所在位置 角度制 弧度制
角 终边在 轴非负半轴
角 终边在 轴非正半轴
角 终边在 轴非负半轴
角 终边在 轴非正半轴
角 终边在 轴上
角 终边在 轴上
角 终边在坐标轴上
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）“角 是第一象限的角”是“角 是第一象限的角”的充
分不必要条件.( )
【答案】错误
【详解】
由 是第一象限角可举例 ，则 ，得角 是第二象限的角，
即由“角 是第一象限的角”推不到“角 是第一象限的角”，所以不是充分条件，所以错误.故答案为：
错误.
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度
数α是1或4.( )
【答案】正确
【详解】
设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长 ，
于是得 ，解得 或 ，
所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4.
故答案为：正确
3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知角 的终边经过点 ， ，且
，则 ( )
【答案】正确
【详解】
因为角 的终边经过点 ， ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：正确
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）角 终边经过点（-3,4），则 .( )
【答案】正确
【详解】
由角 终边经过点 ，可得 ，
而 .
故答案为：正确.5．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） ( )
【答案】错误
【详解】
，
故答案为：错误
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角
①象限角
角度1：确定已知角所在象限
例题1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）若 ，则 的终边在（ ）
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】B
【详解】
当k为奇数时，记 ，则 ，此时 为第三象限角；当k为偶数时，记
，则 ，此时 为第一象限角.
故选：B
例题2．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角 ，则 是第________象限的
角.
【答案】二##2
【详解】
，因此 与 终边相同，
而 是第二象限角．所以 是第二象限角．
故答案为：二．
角度1题型归类练
1．（2022·江西抚州·高一期中）若 ，则 是第（ ）象限角．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【详解】
， 终边落在第三象限， 为第三象限角.
故选：C.2．（2022·河南南阳·高一期中）“ 是第一象限角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
若 是第一象限角，则 ，无法得到 一定属于 ，充分性不成立，
若 ，则 一定是第一象限角，必要性成立，
所以“ 是第一象限角”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）下列四个角为第二象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
对于A选项， ，故 为第二象限角；
对于B选项， 是第二象限角；
对于C选项， 是第三象限角；
对于D选项， ，故 为第一象限角.
故选：AB.
角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围
例题1．（多选）（2021·全国·高一专题练习）有一个小于 的正角 ，这个角的6倍的终边与x轴的非
负半轴重合，则这个角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】
由题意， 且 ，则 ，又 ，
∴ 时， ； 时， ； 时， ； 时， ； 时， ；
故选：ACD
6．（多选）（2021·全国·高一专题练习）若 为第一象限角，则 的终边所在的象限可能是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】AC
【详解】
由题设， ， ，
∴ ，令 ，
∴ ，故 的终边所在的象限可能是第一、三象限.
故选：AC
角度2题型归类练
1．（2021·全国·高一专题练习）若 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第一、四象限角
C．第二象限角 D．第二、四象限角
【答案】D
【详解】
由题意知， ， ，
则 ，所以 ， ．
当k为偶数时， 为第四象限角；当k为奇数时， 为第二象限角．
所以 是第二或第四象限角.
故选：D.
2．（2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】
由题知， ， ，
则 ，在第二象限，
故选：B
3．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）若 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
C． 是第二象限角 D． 是第三或第四象限角
【答案】AB【详解】
解：因为 与 关于x轴对称，而 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第一象限角，
故A选项正确；
因为 是第二象限角，所以 ， ，所以 ， ，故 是第
一或第三象限角，故B选项正确；
因为 是第二象限角，所以 是第一象限角，故 C选项错误；
因为 是第二象限角，所以 ， ，所以 ， ，所以
的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．
故选：AB.
角度3：确定 倍角所在象限
例题1．（2022·广东广州·高一期末）已知 是锐角，那么 是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【详解】
因为 是锐角,所以 ,所以 ,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括 ，故错误.
故选：C
2．（2021·上海·高一课时练习）角 的终边在第二象限，则角 的终边在_________．
【答案】第三、四象限或y轴非正半轴
【详解】
解： 是第二象限角， ， ．
， ．
的终边的位置是第三或第四象限， 的非正半轴．
故答案为：第三、第四象限或 轴的非正半轴
角度3题型归类练
1．（2021·上海·高一课时练习）若 是第三象限角，则 是第_________象限角．
【答案】二
【详解】
因为 是第三象限角，所以 的终边在第三象限，
又 的终边与 的终边关于 轴对称，
所以 的终边在第二象限，所以 是第二象限角，
故答案为：二.2．（2018·广西·高一阶段练习）已知 终边在第四象限，则 终边所在的象限为_______________．
【答案】第三象限或第四象限或 轴负半轴
由于 是第四象限角,故 ,故 ,即 终边在” 第三象限或第四象限或 轴
负半轴”.
角度4：确定 分角所在象限
例题1．（2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若角 是第一象限角，则 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】C
【详解】
因为 是第三象限角，所以 ，
所以 ，
当 为偶数时， 是第一象限角，
当 为奇数时， 是第三象限角.
故选：C．
例题2．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么 可能是下
列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【详解】
是第三象限的角，则 ， ，
所以 ， ；
当 ， ，在第一象限；
当 ， ，在第三象限；
当 ， ，在第四象限；所以 可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
角度4题型归类练
1．（2022·河南新乡·高一期末）“ 是第四象限角”是“ 是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
当 是第四象限角时， ，则 ，即 是第二或第四
象限角.当 为第二象限角，但 不是第四象限角，故“ 是第四象限角”是“ 是第二或第四
象限角”的充分不必要条件．
故选：A
2．（多选）（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知角 是第一象限角，则角 可能在以下哪个象限
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【详解】
解：因为角 是第一象限角，所以 ， ，所以 ， ， 当 ，
时， ， ， 位于第一象限，当 ， 时， ，
， 位于第二象限，当 ， 时， ， ， 位于第三象限，综
上可得 位于第一、二、三象限；
故选：ABC
3．（2022·上海师大附中高一期末）设 是第三象限的角，则 的终边在第______象限.
【答案】二或四
【详解】
因为 是第三象限角，所以 ， ，所以 ， ，
当 为偶数时， 为第二象限角，
当 为奇数时， 为第四象限角.
故答案为：二或四.
②区域角
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角
的集合是________．
【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
【详解】
观察图形可知，终边落在边界上的角分别是 ,
所以角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
例题2．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.
【答案】
【详解】
因为终边落在y轴上的角为 ，
终边落在虚线上的角为 ；
，
即终边在虚线上的角为 ， ，
所以终边落在阴影部分的角为 ，故答案为：
题型归类练
1．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角 的
集合是__________．
【答案】
【详解】
由题图，终边 对应角为 且 ，终边 对应角为 且 ，
所以阴影部分角 的集合是 .
故答案为：
2．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．
【答案】【详解】
终边在直线OM上的角的集合为：
．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为 ，
所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为 ．
故答案为：
3．（2020·全国·高一课时练习）如下图，终边落在 位置时的角的集合是__________；终边落在 位置，
且在 内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．
【答案】
【详解】
由题意以 为终边的一个角是 ，因此以 为终边的角的集合是 ；
以 为终边的角的集合是 ，在已知范围内的有 两个角，集合表示为
；
∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为 ．
故答案为： ； ； ．
4．（2019·江苏·海安市南莫中学高一期中）如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用
弧度表示）．【答案】
【详解】
如图，阴影部分表示的角 位于一、三象限，
在第一象限， ；在第三象限， ，
∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）：
或 ， ．
故答案为 ．
③终边相同的角
例题1．（2022·北京师大附中高一期中）将 轴正半轴绕原点逆时针旋转 ，得到角 ，则下列与 终
边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得： ，
当 时， ，B正确，其他选项经过验证均不正确.
故选：B
例题2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）在 范围内，与 终边相同的角是
______．
【答案】
【详解】
与 终边相同的角的集合为 ，
当 时， ，所以在 范围内，
与 终边相同的角是 .故答案为：
题型归类练
1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）下列与角 的终边一定相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对于选项C：与角 的终边相同的角为 ，C满足.
对于选项B ：当 时， 成立；
当 时， 不成立.
对于选项D： 不成立.
故选: C
2．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）与1920°终边相同的角中，最小的正角是________
【答案】120°
【详解】
,
所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°.
故答案为：120°.
高频考点二：角度制与弧制度的相互转化
例题1．（2022·河南南阳·高一期中）把 化成角度制是（ ）
A．36° B．30° C．24° D．12°
【答案】A
【详解】
由角度制与弧度制的互化知， ，
所以 ，
故选：A
例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，
则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为 ．
故选：B.
题型归类练
1．（2022·安徽·砀山中学高一期中）将210°化成弧度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
故选：D.
2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.
【答案】
【详解】
根据题意，分针转过的弧度为 .
故答案为： .
3．（2022·湖南·高一课时练习）将下表中的角度和弧度互化：
角
0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
度
弧
度
【详解】， 故：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0
高频考点三：弧长公式与扇形面积公式
角度1：弧长的有关计算
例题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知 弧度的圆心角所对的弦长为 ，那么这个圆心
角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
弧度的圆心角所对的弦长为 ， 半径 ， 所求弧长为 .
故选：C.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮
顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为
10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？
【答案】小轮转动的角是 ， 弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为 cm
【详解】
由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，
所以小轮转动了 周，即 ， ，
所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为 r/min，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为
，
因为小轮的半径为10cm，
所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长
cm
角度1题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为 ，半径为10，则扇形的弧
长为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【详解】
解：因为扇形的圆心角为 ，半径为10，
所以由弧长公式得：扇形的弧长为
故选：D
2．（2022·北京·汇文中学高一期中）一圆锥的侧面展开图为一圆心角为 的扇形，该圆锥母线长为6，则
圆锥的底面半径为________．
【答案】2
【详解】
因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为 ，
所以有 ，
故答案为： .
角度2：与扇形面积有关的计算
例题1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知扇形OAB的圆心角为8 ，其周长是10 cm，则
该扇形的面积是___ ．
【答案】
【详解】
设扇形的半径为R，弧长是 ，则其扇形周长是 ，所以 ，故该扇形的面
积是 ．
故答案为：
例题2．（2022·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧 和其所对弦 围成的图形，若弧田的
弧 长为 ，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】
【详解】
解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，
设 ，
因为弧田的弧 长为 ，弧所在的圆的半径为4，
所以 ，
所以阴影部分的面积为
所以弧田的面积是 .
故答案为：
例题3．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆 （半
径为20cm）中作出两个扇形 和 ，用扇环形 （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环
形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，当 时，扇形的现状较为美观，则此时扇形
的半径为__________cm
【答案】
【详解】
设 ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为 ，
，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
故答案为： .
角度2题型归类练
1．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开扇形的圆心角大小为 ，则
这个圆锥的底面半径为______.
【答案】2【详解】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
由题意，有 ①，
由于侧面展开扇形的圆心角大小为 ，
所以 ，即 ②，
由①②得 ， ，
即圆锥的底面半径为2，
故答案为：2.
2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则扇形的面积为
___________.
【答案】
【详解】
依题意，扇形的半径 ，
所以扇形的面积 ，
故答案为： .
3．（2022·上海·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧
田面积所用的经验公式为：弧田面积= （弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中
“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 ，弦长等于9米的弧田.
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方
米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ( )；(2)少 ．
试题解析：(1) 扇形半径 ，
扇形面积等于
弧田面积= （m2）
（2）圆心到弦的距离等于 ，所以矢长为 .按照上述弧田面积经验公式计算得
（弦´矢+矢2）= .
平方米
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.
角度3：扇形中的最值问题
例题1．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角
为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【详解】
设扇形半径为 ,易得 ,则由已知该扇形弧长为 .
记扇形面积为 ,则 ,
当且仅当 ，即 时取到最大值，此时记扇形的圆心角为 ，则
故选：D
例题2．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）如果一个扇形的周长为 ，那么当它的半径和
圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？
【答案】当扇形的半径为 ，圆心角为 时，扇形的面积最大
【详解】
解：设该扇形的半径为 ，圆心角为 ，弧长为 ，面积为 ，
则 ，所以 ，其中 ，
所以， ，所以当 时， 最大，最大值为 ，
此时 .
例题3．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长 及面积 ;
(2)求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径 .
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， .
(1)
由题知扇形的半径 ，扇形的周长为30，
∴ ，
∴ ， ， .
(2)
设扇形的圆心角 ，弧长 ，半径为 ，则 ，
∴ ，
∴
当且仅当 ，即 取等号，
所以该扇形面积 的最大值为 ，此时扇形的半径为 .
角度3题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇
形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知 ， ，线段BA，CD与 ，
的长度之和为30，圆心角为 弧度.
(1)求 关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
【答案】(1) ；
(2) ， .
(1)
解：根据题意，可算得 ， ．
因为 ，所以 ，
所以， .
(2)
解：根据题意，可知
，
当 时， .
综上所述，当 时铭牌的面积最大，且最大面积为 .
2．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为 ，周长为C，面积为S，所在圆的半径为
r．
(1)若 ， cm，求扇形的弧长；
(2)若 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【答案】(1) cm；
(2)S的最大值是 ，此时扇形的半径是4 cm，圆心角为2．
【解析】
(1)
＝ ，
扇形的弧长 cm；
(2)
设扇形的弧长为l，半径为r，
则 ，∴ ，则 ，
当 时， ， cm， ，
∴S的最大值是 ，此时扇形的半径是4 cm，圆心角 ．
3．（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是 ，半径为 ，弧长为 .
(1)若 ， ，求扇形的弧长 ；
(2)若扇形 的周长为 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面
积的最大值.
【答案】(1) ；
(2)当 时，扇形面积最大值 .
(1)
， 扇形的弧长 ；
(2)
扇形 的周长 ， ，
扇形 面积 ，
则当 ， ，
即当 时，扇形面积最大值 .
角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用
例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏
歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作
是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为 ，扇面所在大圆的半径为 ，
所在小圆的半径为 ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）
A． B． C． D．以上都不对【答案】B
【详解】
由题意得，
大扇形的面积为 ，
小扇形的面积为 ，
所以扇面的面积为 .
故选：B
6．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形面积为 ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最
小值？
【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．
【详解】
解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，扇形的周长为 ，则 ．
由题意，得 ，则 ，故 ．
利用函数单调性的定义，可得当 时，函数 是减函数；
当 时，函数 是增函数．
所以当 时， 取得最小值20，此时 ， ，
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．
【点睛】
要求周长的最小值，可考虑将周长写成某个变量的函数式，利用函数的单调性求最值.
函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
角度4题型归类练
1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知扇形所在圆的半径为2，圆心角的弧度数是2，则该
扇形的弧长为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】
因为扇形所在圆的半径 ，圆心角的弧度数 2，
所以该扇形的弧长 .
故选：B2．（2022·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的半径为___________；面积
为___________.
【答案】 4 ##
【详解】
由题设，该扇形的半径 ，面积为 .
故答案为：4，
3．（2022·江苏省木渎高级中学高一期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作
画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为
____rad，此时扇面面积为____cm2．
【答案】 704
【详解】
解：如图，设 ， ，
由题意可得： ，
解得： ， .
所以， ．
故答案为： ．高频考点四：任意角的三角函数
角度1：单位圆法与三角函数
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设 ，角 的终边与圆 的交点为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
画图，角 的终边与圆 的交点为 ，
设 ，则 ， ，代入得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵在单位圆中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D例题2．（2022·北京师大附中高三期中）已知正角 的终边经过点 ，则角 的值可以是
_______（写出一个就可以）．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
因为 ，所以 ，
所以角 的值可以是 .
故答案为： （答案不唯一）
角度1题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点 为圆 与 轴正半轴的交点，将点 沿圆周逆时针旋转至点 ，
当转过的弧长为 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设旋转角为 ，则 ，得 ，从而可得 .
故选：B.
2．（2022·四川凉山·高一期末）已知角 的顶点在原点，始边与 轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，
半径为 的圆相交于点则 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得：角 的终边与单位圆的交点为 ，
所以 ， ，所以 ，
故选：B.
角度2：终边上任意点法与三角函数
例题1．（2022·北京师大附中高一期中）若角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】
由题设， .
故选：D
例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）已知角 的终边过点 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意知： .
故选：C.
角度2题型归类练
1．（2022·山东山东·高一期中）已知点 是角 终边上一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为点 是角 终边上一点，所以 .
故选：A.
2．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角 的终边上有一点 ，则
的值是（ ）A． B． C． 或 D．不确定
【答案】B
【详解】
角 的终边上点 ，则 ，
于是得 ，
所以 .
故选：B
3．（2022·河南焦作·高一期中）若角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由三角函数的定义可得 ，
解得 ，因此 ．
故选：D.
4．（2022·四川自贡·高一期末）角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意 到原点的距离为 ，
所以 ．
故选：B．
角度3：三角函数值符号的判定
例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因 ，则 是第二象限象限角，
所以 .
故选：B
例题2．（2022·北京房山·高一期中）若 且 ，则角 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】
，则角 在第三，四象限， ，则角 在第二，四象限，
所以满足 且 ，角 在第四象限.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则下列结论一定正确是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 ，则 为第二、四象限的角.
当 为第二象限的角时， ， ，则A不正确.
当 为第四象限的角时， ， , 则C不正确.
当 为第二、四象限的角时，所以 ，所以B正确.
取 时，满足 ，此时 ，所以D不正确.
故选：B
角度3题型归类练
1．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）如果角 是第三象限角，则点 位于第
_______象限
【答案】四
【详解】
因为角 是第三象限角，
所以 ，
所以点 位于第四象限，
故答案为：四
2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）角 的终边经过点 ，则角 是第
_____象限角．
【答案】四【详解】
因为 是第二象限角，所以 ，
所以点 在第四象限，
所以 是第四象限角，
故答案为：四
3．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象
限角．
【答案】第三象限角
【详解】
试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，
则α是第三象限角．
考点：三角函数值的象限符号.
高频考点五：三角函数线
例题1．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
先证明：当0＜x＜ 时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以 ＜ ＜ ，即
所以
又由函数 在 上单调递增，所以又由函数 在 上单调递减，则
所以
所以 ，即
故选：C．
题型归类练
1．（2022·北京市第十九中学高一期中）如图，在平面直角坐标系中， ､ ､ ､ 分别是单位圆上
的四段弧，点 在其中一段上，角 以 为始边， 为终边.若 ，则 所在的圆弧是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由下图可得：有向线段 为余弦线，有向线段 为正弦线，有向线段 为正切线.A选项：当点 在 上时， ，
，故A选项错误；
B选项：当点 在 上时， ， ，
，故B选项错误；
C选项：当点 在 上时， ， ，
，故C选项正确；
D选项：点 在 上， ，故D选项错误.
故选：C.
2．（2022·北京房山·高一期中）如图，已知点 是单位圆与 轴的交点，角 的终边与单位圆的交点为 ，
轴于 ，过点 作单位圆的切线交角 的终边于 ，则角 的正弦线、余弦线、正切线分别是
（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】D
【详解】由题图， ， ， ，而 ，
所以角 的正弦线、余弦线、正切线分别是 ， ， .
故选：D
3．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知角 ，则 的大小关系为__________．
【答案】 ##
【详解】
如下图示，在单位圆中 ， 轴， 轴，且 ，
所以 ， ， ，
△ 的面积 ，
扇形 的面积 ，
△ 的面积 ，
由图知： ，故 .
故答案为：
高频考点六：解三角不等式
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的取值范围是
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】画出单位圆以及 ， ， ，
∵ ，且 ，
从图中可知 的取值范围是
故选：D.
例题2．（2022·江西省临川第二中学高一阶段练习）求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【详解】
（1）∵ ，∴ ，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得
.①
（2）∵ ∴ ，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可
得 .
②
题型归类练
1．（2022·北京·北师大二附中高一期中）使 成立的 的一个变化区间是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
如图所示当 和 时， ，
故使 成立的 的一个变化区间是 .
故选A
2．（2022·山东·广饶一中高一阶段练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________.
【答案】
【详解】
要使原函数有意义，必须有 即 ，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为 ,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）在 内，使 成立的 的取值范围是____
【答案】
【详解】
根据三角函数线，角度终边落在直线 右下方时，满足 ，又当 在 时， 成立的 的取值范围是 ，
如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足 ，
又当 在 时， 成立的 的取值范围是
综上所述，所求范围为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高一课时练习）利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图像解下列各题.（1）求满足不等式 的x的集合；
（2）求函数 的定义域.
【答案】（1） ；（2）
【详解】
(1)由 得
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在 范围内余弦线为 的角
度有： ，
所以满足条件的角x的范围是：
(2) 函数 的定义域满足 ，即
在直角坐标系单位圆中，把角x顶点为原点，其始边在x轴的正半轴上；在 范围内正弦线为 的角
度有： ，
所以满足条件的角x的范围是：第四部分：高考真题感悟
1．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
2．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位： ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，
则这个圆锥的底面半径（单位： ）是_______．
【答案】
【详解】
设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故答案为：
3．（2021·湖南·高考真题）已知 ，且 为第四象限角，则 ____________
【答案】
【详解】
，且 为第四象限角，
，
.故答案为：
4．（2021·北京·高考真题）若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个取值
为___．
【答案】 （满足 即可）
【详解】
与 关于 轴对称，
即 关于 轴对称，
，
则 ，
当 时，可取 的一个值为 .
故答案为： （满足 即可）.
第五部分：第 01 讲任意角和弧度制及三角函数的概
念 （精练）
一、单选题
1．（2022·云南丽江·高一期末）丽江市第二中学体育馆旁有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的
风景.有一天因停电导致钟表慢5分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为分针转一周为60分钟，对应的弧度为 ，将分针拨快是顺时针旋转，因此钟表拨快5分钟，则分针
所转过的弧度数为 .
故选：B．2．（2022·上海市奉贤中学高一阶段练习）“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【详解】
第二象限上的角 满足 ，当 时，这个角不是钝角，故不满足充分性，钝角
满足 ，这个角必在第二象限，满足必要性，故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”
的必要非充分条件.
故选：B.
3．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知角 的终边经过点P（－ ， ），则角 可以为（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】C
【详解】
由题意可知，点P在第二象限，且 ，∴
当 时． ．
故选：C．
4．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）如果角 的终边过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题可得 ，
因为
所以 .
故选：D
5．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知点 在第四象限，则角 是
（ ）A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【详解】
在第四象限， ， 位于第三象限.
故选：C.
6．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B．
C． D． 是第三或第四象限角
【答案】C
【详解】
∵ 是第二象限角，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是第一象限或第三象限角，故A错误；
由 是第一象限或第三象限角， 或 ，故B错误；
∵ 是第二象限角，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是第三象限，第四象限角或终边在 轴非正半轴， ，故C正确，D错误.
故选：C．
7．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知扇形的周长为7，面积为3，则该扇形的圆心角的弧度数为（
）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【详解】
设扇形的半径为 ，弧长为 ，由题意得 ，解得 或 ，
故扇形的圆心角的弧度数 或 ．故选：B.
8．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】
设扇形的弧长为 ，半径为 ，
所以扇形的面积为 ，所以 ，
又扇形的周长为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：D.
二、填空题
9．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）已知角α为钝角，若4α角的终边与α角的终边重合，则
角α=___________．
【答案】120°
若4α角的终边与α角的终边重合，则4α=k·360°+α．因为角α为钝角，所以k=1．解得α=120°，故答案为
120°．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知一个扇形的周长为 ，则当该扇形的半径 __________ 时，
面积最大.
【答案】2
【详解】
设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，
扇形的面积为 ，
所以当 时，面积最大为 .
故答案为2
11．（2022·上海市进才中学高一期中）点 是角 终边上一点，那么 ______.
【答案】 ##
【详解】
因为点 是角 终边上一点，
所以 ，
故答案为：12．（2022·上海市松江二中高一阶段练习）已知 在第三、第四象限内， 那么 的取值范
围是______．
【答案】
【详解】
∵角 在第三、四象限内，∴ ，可得 ，
①当 时，即 时，原不等式可化为 ，
解之得 ；②当 时，即 时，原不等式可化为 ，
此不等式组的解集为空集，综上可得 ，可
得 的取值范围是 ，故答案为 .
三、解答题
13．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为
．
(1)已知扇形的周长为 ，面积是 ，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为 ，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1) (2) 取得最大值25，此时
(1)由题意得 ，解得 (舍去)， ．
所以扇形圆心角 ．
(2)由已知得， ．
所以 ，
所以当 时， 取得最大值25，
,解得 .
当扇形的圆心角 为 多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
14．（2022·江西萍乡·高一期中）已知第一象限角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，终边经
过点 ，且 ．
(1)求 及 的值；(2)求 的值．
【答案】(1) ， (2)
(1)依题意
整理得 ，解得 或
因为 为第一象限角，则 ，
故
.
（2）由（1）知 ，则 ，
则
15．（2022·湖南·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【解析】
(1)解： 的终边与单位圆交于点 ，与过 且平行于 轴的直线交于点 ，过 作 轴，交 轴
于 ，如下图：
则 是正弦线， 是余弦线， 是正切线．
(2)解： 的终边与单位圆交于点 ， 的终边的反向延长线与过 且平行于 轴的直线交于点 ，
过 作 轴，交 轴于 ，如下图：则 是正弦线， 是余弦线， 是正切线．
(3) 的终边与单位圆交于点 ， 的终边与过 且平行于 轴的直线交于点 ，
过 作 轴，交 轴于 ，如下图：
则 是正弦线， 是余弦线， 是正切线．
(4) 的终边与单位圆交于点 ，与过 且平行于 轴的直线交于点 ，
过 作 轴，交 轴于 ，如下图：则 是正弦线， 是余弦线， 是正切线．
