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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝
x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x轴上，余
弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角
α的正弦线，余弦线和正切线．微思考
1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α
的三角函数？
提示 设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．( × )
(3)若sin α＝sin ，则α＝.( × )
(4)－300°角与60°角的终边相同．( √ )
题组二 教材改编
2．终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)
答案 {α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
答案
4．若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则sin α
－cos α＋tan α＝________.
答案
题组三 易错自纠
5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 AC
解析 因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，
则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.
故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC.
6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一
点，且sin θ＝－，则y＝________.答案 －3
解析 因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.
题型一 角及其表示
1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度
制不能混用，所以只有答案C正确．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当
k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围
一样，故选C.
3．设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝
·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的
终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
题型二 弧度制及其应用
例1 一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积．
解 由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S ＝α·R2＝··102＝(cm2)．
扇形
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝×10＝(cm)，
S ＝S －S
弓形 扇形 三角形
＝－·R2·sin
＝－·102·
＝(cm2)．
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这
个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10)．
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练1 (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：
“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长
为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为(
)
A．120 B．240
C．360 D．480答案 A
解析 ∵圆的直径为16步，
∴圆的半径为8步，
又∵弧长为30步，
∴扇形面积S＝·8·30＝120(平方步)．
(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的
弧长与圆周长之比为________．
答案
解析 设圆的半径为r，则扇形的半径为，
记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的，
可得＝，解得α＝.
所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
题型三 三角函数的概念
例2 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A．－ B．± C．－ D．±
答案 C
解析 设O为坐标原点，
由OP2＝＋y2＝1，
得y2＝，y＝±.
方法一 当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时，sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
所以sin α·tan α＝－.
方法二 由三角函数定义知，cos α＝－，sin α＝y，
所以sin αtan α＝sin α＝＝＝＝－.
(2)若α为第二象限角，则cos 2α，cos ，中，其值必为正的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 A
解析 由题意知，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在
第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正可负也可为零．因为kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，所以的终边在第一或第三象限，所以cos 可正可负．故选A.
(3)已知角 α 的终边上一点 P(－，m)(m≠0)，且 sin α＝，则 cos α＝________，tan α＝
________.
答案 － 或－
解析 设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±，当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan
α＝.
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已
知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象
限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练2 (1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于( )
A．－ B. C. D.
答案 D
解析 因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝－＋＝.故
选D.
(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m＝.
(3)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角．课时精练
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①中－是第三象限角，从而①错．
②中＝π＋，则是第三象限角，从而②正确．
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象
限．故选B.
3．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由图知，
角α的取值集合为∪
＝∪＝.
4．(2021·杭州第二中学模拟)若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
答案 B解析 设扇形的圆心角为α，
∵扇形的面积为、半径为1，
∴＝α·12，∴α＝.
5．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有( )
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
答案 ABC
解析 设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1.
6．(多选)关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
答案 BD
解析 对于A，时钟经过两个小时转过的角度是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第二象限，
∴2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故正确．
7．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________.
答案 －
解析 依题意，得cos α＝＝x<0，
由此解得x＝－.
8．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以圆心角
的弧度数是＝.9．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为
________．
答案
解析 因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α
终边相同的最小正角为.
10．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
③若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
④若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的序号是________．
答案 ②
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；②正确；由于sin ＝
sin ，但与的终边不相同，故③错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是
第三象限角，故④错．综上可知，只有②正确．
11．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
12．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号．
解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；当a<0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0.
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
13．(多选)角α的终边在第一象限，则＋＋的值为( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
答案 AD
解析 ∵角α的终边在第一象限，
∴角的终边在第一象限或第三象限．
∴当角的终边在第一象限时，
＋＋＝1＋1＋1＝3，
当角的终边在第三象限时，
＋＋＝－1－1＋1＝－1.
14.(2018·北京)在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如
图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α<cos α<sin α，则P所在
的圆弧是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在 上，tan α>sin α，不
满足；
在 上，tan α>sin α，不满足；
在 上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；
在 上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足．
故选C.15．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos
α·sin β＝________.
答案 ±
解析 由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角
α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝
－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，
所以cos α·sin β＝±.
16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，
现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
