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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝
x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x轴上，余
弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角
α的正弦线，余弦线和正切线．微思考
1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α
的三角函数？
提示 设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．( × )
(3)若sin α＝sin ，则α＝.( × )
(4)－300°角与60°角的终边相同．( √ )
题组二 教材改编
2．终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)
答案 {α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
3．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
答案
4．若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则sin α
－cos α＋tan α＝________.
答案
题组三 易错自纠
5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 AC
解析 因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
12．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号．
解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；当a<0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0.
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
13．(多选)角α的终边在第一象限，则＋＋的值为( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
答案 AD
解析 ∵角α的终边在第一象限，
∴角的终边在第一象限或第三象限．
∴当角的终边在第一象限时，
＋＋＝1＋1＋1＝3，
当角的终边在第三象限时，
＋＋＝－1－1＋1＝－1.
14.(2018·北京)在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如
图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αsin α，不
满足；
在 上，tan α>sin α，不满足；
在 上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；
在 上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足．
故选C.15．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos
α·sin β＝________.
答案 ±
解析 由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角
α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝
－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，
所以cos α·sin β＝±.
16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，
现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解 因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
