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第四章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
核心素养立意下的命题导向
1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值
问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|
β＝α＋2kπ，k∈Z}．
4．弧度制
定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝ | α | r 2
5.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
定义 叫做α的正弦，记 叫做α的余弦，记作 叫做α的正切，记
作sin α cos α 作tan α
Ⅰ ＋ ＋ ＋
各象限 Ⅱ ＋ － －
符号 Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三
角
函
数有向线段MP 为正 有向线段OM 为余 有向线段AT 为正
线
弦线 弦线 切线
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(多选·任意角的三角函数)下列说法中正确的是( )
A．－75°是第四象限角
B．475°是第二象限角
C．若sin α>0，则α是第一、二象限的角
D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－
解析：选AB A选项，－90°<－75°<0°，所以终边落在第四象限，A正确．
B选项，475°＝115°＋360°，所以终边落在第二象限，B正确．
C选项，若sin α>0，则角α的终边落在第一、二象限及y轴正半轴上，所以C错误．
D选项，cos α＝，所以D错误．故选A、B.
2．(象限角)已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．
答案：一
3．(弧长公式)已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
答案：
4．(三角函数的定义)已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝________.
答案：
二、易错点练清
1．(易忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半
径为( )
A. B.
C. D．
答案：B
2．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m,6m)(m≠0)，则sin α＝________.
解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|.
当m>0时，sin α＝＝；
当m<0时，sin α＝＝－.
答案：或－
3．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值
范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α＞0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2＜a≤3.
答案：(－2,3]考点一 象限角及终边相同的角的表示
[典例] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( )
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
(2)与－2 020°终边相同的最小正角是________．
[解析] (1)∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．
(2)因为－2 020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°与－2 020°终边相同，又终边相同的两个角
相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有140°与－2 020°终边相同，故与－2 020°终边相
同的最小正角是140°.
[答案] (1)D (2)140°
[方法技巧]
1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的
角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论
确定kα或的终边所在位置．
[针对训练]
1．设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B 由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝
·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.故选B.
2．已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在( )
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，k∈Z，
∴∈，k∈Z，
∴角在第一或第三象限．∵＝－sin ，∴sin<0，
∴角在第三象限．故选C.
3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．
解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，
在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；
在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－π，－π.
故满足条件的角α构成的集合为.
答案：
考点二 弧度制及其应用
[典例] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[解] (1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S ，由题意知l＝ cm，
弓形
所以S ＝××2－×22×sin＝cm2.
弓形
[方法技巧]
应用弧度制解决问题的策略
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[针对训练]
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
解析：选C 设扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于( )
A.π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
解析：选B 设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.
考点三 任意角的三角函数的定义及应用
考法(一) 三角函数的定义
[例1] (1)函数y＝log (x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin
a
α＋cos α的值为( )
A. B.
C. D.
(2)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳
天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知
识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.已知天顶距θ＝
1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为( )
(参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4)
A．2° B．3°
C．11° D．22.8°
[解析] (1)因为函数y＝log (x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝
a
4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.
(2)由题意，可得晷影长l＝htan θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l＝0.14.
所以h＝＝＝8，
当晷影长度l≈0.42，则tan θ＝＝＝0.0524，
所以θ＝3°.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
三角函数定义应用策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义
求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，
然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两
个量列方程求参数值．
(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某
特定点的坐标．
考法(二) 三角函数值符号的判断
[例2] (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
[解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由<0可
知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(2)∵1弧度约等于57°，
∴<2<π，在第二象限，∴sin 2>0，
∵3弧度大于，小于π在第二象限，
∴cos 3<0，
又∵4弧度大于π小于，在第三象限，
∴tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
[答案] (1)C (2)A
[方法技巧]
1．三角函数值符号及角的位置判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的
可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
2．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
[针对训练]
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第
二象限．故选B.
2．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
解析：设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝＝，
所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝.
答案：－ －或
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它
们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.(1)求sin α的值；
(2)求α＋β.
解：(1)因为点P为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为，将y＝代入x2＋y2＝1，
因为α是锐角，x>0，所以x＝，P.
由三角函数的定义可得：sin α＝.
(2)由sin α＝，α是锐角，可得cos α＝，
因为锐角β的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，将y＝代入x2＋y2＝1，
因为β是锐角，x>0，可得x＝，Q，
所以sin β＝，cos β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝0.
因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
创新考查方式——领悟高考新动向
1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由
圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半
径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计算
所得弧田面积约是( )
A．6 m2 B．9 m2
C．12 m2 D．15 m2
解析：选B 如图，由题意可得∠AOB＝，|OA|＝4，在Rt△AOD中，可
得∠AOD＝，∠DAO＝，|OD|＝|AO|＝×4＝2，于是矢＝4－2＝2.
由|AD|＝|AO|·sin ＝4×＝2，
可得弦长|AB|＝2|AD|＝2×2＝4.
所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．故选B.
2．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图，在半圆O中作出两个扇形
OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇
环形ABDC的面积为S，扇形OAB的面积为S，当S 与S 的比值为时，
1 2 1 2
扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )
A. B.
C．3－ D.－2
解析：选B 设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r，依题意，有＝，即＝，所以
1
＝＝＝2，从而得＝.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐
标为________．
解析：如图所示，设滚动后的圆的圆心为C，过点C作x轴的垂线，垂足
为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，则
∠PCB＝2－，
所以|PB|＝sin＝－cos 2，
|CB|＝cos＝sin 2，
所以x ＝2－|CB|＝2－sin 2，
P
y ＝1＋|PB|＝1－cos 2，
P
所以OP＝(2－sin 2,1－cos 2)．
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在
单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向
每秒钟转弧度，则 P，Q两点在第 2 019 次相遇时，点 P的坐标为
________．
解析：因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒
钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因
此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P所转过的弧度为＝＝＋336π.由终
边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴正半轴上，故点P的坐标为
(0,1)．
答案：(0,1)
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10
分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.
2．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )
A．－ B.
C．－ D．－
解析：选D 因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，
所以θ＝－.
3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( )
A．－ B.
C. D.解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故选D.
4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距
离为，若α＝，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
解析：选D 设P(x，y)，则sin α＝＝sin，∴y＝1.
又cos α＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．
5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与
角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1
－1＝－1.
6．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若0<α<，则sin αsin β，则( )
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
解析：选 D 因为 α，β 是第一象限角，所以 sin α>0，sin β>0，又 sin α>sin β，所以
sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α>0，所以tan2α>tan2β，因为
tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则
m－n＝________.
解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，
∴m2＝1，又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.
∴m－n＝2.
答案：2
11．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，
这个最大面积是________．
解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S ＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
扇形
∴当r＝1时，(S ) ＝1，此时|α|＝2.
扇形 max
答案：1 2 1
12.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向
右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停
止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S，S 的大小关系是________．
1 2
解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则AQ＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S＝S －S ＝tm·r－S ，
1 扇形AOQ 扇形AOB 扇形AOB
S＝S －S ＝tm·r－S ，
2 △AOP 扇形AOB 扇形AOB
∴S＝S 恒成立．
1 2
答案：S＝S
1 2
13．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
14．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合
且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边
不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则B，
可得tan∠AOB＝＝，故∠AOB＝.
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}.
(3)若α∈，则S ＝αr2＝α，
扇形OAB
而S ＝×1×1×sin α＝sin α，
△AOB
故弓形AB的面积S＝S －S ＝α－sin α，α∈.
扇形OAB △AOB
