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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
故 ，所以 .
故选：D.
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】又 ，即 ，可得 ，
又因为 在 上为增函数，由 ，可得 ，
所以 ， ，所以 .
故选：B.
3．已知命题p：集合 ，命题q：集合 ，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】 或 ，
或 ，
是 的真子集，
因此， 是 的必要不充分条件.
故选：B
4．命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为（ ）A． ，函数 在 上单调递减
B． ，函数 在 上不单调递增
C． ，函数 在 上单调递减
D． ，函数 在 上不单调递增
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为“ ，函数 在 上
不单调递增”．
故选：B．
5．若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由 可得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 符合题意.
所以 的最小值为 .
故选：A.
6．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是 ，在
不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整
完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
【解析】设矩形场地的长为 米，则宽为 米，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为 元.
故选：C7．已知实数 ， 且 ，则 取得最大值时， 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，或 取等号，
所以 或 .
故选：D
8．如果一个非空集合 上定义了一个运算 ，满足如下性质，则称 关于运算 构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的 ，有 ；
（2） 结合律，即对于任意的 ，有 ；
（3） 对于任意的 ，方程 与 在 中都有解．
例如，整数集 关于整数的加法（ ）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对
于任意的 ，方程 与 都有整数解；而实数集 关于实数的乘法（ ）不构成群，因
为方程 没有实数解.
以下关于“群”的真命题有（ ）
①自然数集 关于自然数的加法（ ）构成群；
②有理数集 关于有理数的乘法（ ）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；
④复数集 关于复数的加法（ ）构成群.
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
【答案】B
【解析】对于①， ，在自然数集中无解，错误；
对于②， ，在有理数集中无解，错误；
对于③， 是一个数量，不属于平面向量集，错误；
对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，
且对任意的 ，方程 与 有复数解，正确.
故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合 和 关系的Venn图如图所示，则 可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知 ，
对于A，显然 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C， ，则 ，故C正确；
对于D， ，或 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD
10．已知 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由 ，得 ，所以 ，A正确．
因为 ，所以 ，所以 0，所以 ，B正确．
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，C正确．
因为 ，所以 ，D错误．故选：ABC．
11．已知正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为自然数，则满足 恒成立的 ，
， 可以是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】BC
【解析】要满足 ，只需满足 ，
其中正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为正数，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
观察各选项，故只需 ，故只需 即可，
A选项， ， ， 时， ，A错误；
B选项， ， ， 时， ，B正确；
C选项， ， ， 时， ，C正确；
D选项， ， ， 时， ，D错误.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“ ，使 ”是假命题，所以“ ， ”为真命题，
其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13．设集合 .若 且 ，则 .
【答案】6
【解析】因为集合 ，
若 ，则 且 ，可得 ，解得 ，
即有 ，又 ，所以 ，所以 .
故答案为：6
14．设 表示不超过 的正整数集合， 表示k个元素的有限集， 表示集合A
中所有元素的和，集合 ，则 ；若 ，则m的最大值为
．
【答案】 22
【解析】当 时， 表示有2个元素的集合， ，
因为 ，且 有2个元素，
所以 或 或 ，所以 ；
由题中定义可知： ，
于是由
，
而 ，
即 ，又因为 ，
所以m的最大值为 ，
故答案为： ；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知命题 ， 为真命题.
(1)求实数 的取值集合A；
(2)设 为非空集合，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【解析】（1）
依题意，关于 的不等式 恒成立，
于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值的集合 ．（6分）
（2）因为 是 的必要不充分条件，所以 为 的真子集．
又 为非空集合，
所以 ， 得 ，
所以实数 的取值范围为 .（13分）
16．（15分）
为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月
的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本 （元）与月处理量 （吨）之间的函数关系近似地
表示为 .
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少
元?
【解析】（1）该企业的月处理成本 ，
因为 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.（7分）
（2）因为 ，
所以每吨的平均处理成本 .
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元.（15分）17．（15分）
已知集合 .
(1)若 ，存在集合 使得 为 的真子集且 为 的真子集，求这样的集合 ；
(2)若集合 是集合 的一个子集，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时，方程 的根的判别式 ，所以 .
又 ，故 .（4分）
由已知，得 应是一个非空集合，且是 的一个真子集，
用列举法可得这样的集合 共有6个，分别为 .（7分）
（2）当 时， 是 的一个子集，此时对于方程 ，
有 ，所以 .
当 时，因为 ，所以当 时，
，即 ，此时 ，
因为 ，所以 不是 的子集；
同理当 时， ， ，也不是 的子集；（12分）
当 时， ， ，也不是 的子集.
综上，满足条件的 的取值范围是 .（15分）
18．（17分）
已知 均为正实数，且满足 ．
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
【解析】（1）因为 均为正实数， ，
所以
，当且仅当 ，
即 时等号成立．（8分）（2）证明：根据柯西不等式有 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，
即原命题得证.（17分）
19．（17分）
数列 满足： .记 的前 项和为 ，并规定 .定义集合
.
(1)对数列 ： ，0.7， ，0.9，0.1，求集合 ；
(2)若集合 ，证明： .
(3)给定正整数 ，对所有满足 的数列 ，求集合 的元素个数的最小值.
【解析】（1）因为 ，
，
所以 .（4分）
（2）由集合 的定义知 ，
且 是使得 成立的最小的 ，
由于 ，
所以 ，即 .（8分）
（3）因为 ，所以 非空.
设集合 ，不妨设 ，
则由（2）可知， ，（10分）
同理 ，且 ，
所以
.
因为 ，所以 的元素个数 .（13分）
取常数数列 ： ，
并令 ，则 ，适合题意，
且 ，其元素个数恰为 .
综上， 的元素个数的最小值为 . （17分）
