文档内容
专题 二 力与物体的曲线运动
××
命 题 趋 势
本专题包括抛体运动、圆周运动以及万有引力与航天。抛体运动一般考查平抛运动的规律与临界问题；
圆周运动较多结合实际生活场景考查轻杆与轻绳模型，题型有选择题也有计算题；万有引力与航天多以当前
航天热点为背景，考查开普勒定律与万有引力的应用，体型一般为选择题。
考 点 清 单
一、抛体运动与圆周运动
1．平抛运动问题要构建好两类模型，一类是常规平抛运动模型，注意分解方法，应用匀变速运动的规律；
另一类是平抛斜面结合模型，要灵活应用斜面倾角，分解速度或位移，构建几何关系。
2．竖直面内的圆周运动(轻绳模型和轻杆模型)抓“两点”“一联”把握解题关键点
二、万有引力与航天
1．估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。
由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀
速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。
2．天体运行参数
(1)万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2·r＝m·r。
(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力
加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
精 题 集 训
（70分钟）经典训练题
1．如图所示，长为l的细绳的一端连着小球，另一端固定在O点，O点距离天花板的竖直高度为h，开
始时小球静止在最低点，细绳竖直。现给小球一个向左的初速度 v ，若要小球在绳子不松驰的情况下撞到天
0
花板，初速度v 应不小于( )
0
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若要小球在绳子不松驰的情况下恰好撞到天花板，此时绳子的拉力为零，则 mgcos θ＝ ，
cos θ＝ ，由机械能守恒定律，从最低点到撞到天花板，mv2＝mv2＋mg(l＋h)，解得 ，故选
0
B。
【点评】绳子不松弛的临界条件为张力F ＝0，此时重力的分力提供向心力。
T
2．图示为某滑雪运动员训练的情境，运动员从弧形坡面上滑下，沿水平方向飞出后落到斜面上。斜面足
够长且倾角为θ，弧形坡面与斜面顶端有一定高度差。某次训练时，运动员从弧形坡面水平飞出的速度大小
为v，飞出后在空中的姿势保持不变，不计空气阻力，下列判断正确的是( )
0
A．若运动员以不同的速度从弧形坡面飞出，落到斜面前瞬间速度方向一定相同
B．若运动员飞出时的水平速度大小变为2v，运动员飞出后经t＝距斜面最远
0
C．若运动员飞出时的水平速度大小变为2v，运动员落点位移为原来的4倍
0
D．若运动员飞出时的水平速度大小变为2v ，落到斜面前瞬间速度方向与水平方向的
0
夹角变大
【答案】B
【解析】利用物体从斜面顶端平抛的运动规律，设运动员从弧形坡面上A点做平抛运
动，落到斜面上的C点，沿AC作一直线ACB，如图所示，则从A平抛时，落到斜面AB(虚
拟)上时，速度方向与水平方向的夹角都相等，则落到实际斜面上 E点时竖直方向分速度v
yE
小于落到D点时竖直方向分速度v ，而二者水平方向分速度相同，则落到E点时速度与水平方向的夹角比落
yD
到D点小，故A、D项错误；运动员离斜面最远时的速度与斜面平行，当速度为2v 时，有tan θ＝，得t＝，
0
故B项正确；若沿倾角为α的AB斜面平抛，落到斜面上D点的时间tan α＝＝＝2tan θ，解得t＝，则x＝vt
0
＝，故s＝＝，可知当速度为2v 时，s′＝4s，则落到E点时的距离s″＜4s，故C项错误。
0
【点评】注意分析题中的条件：“沿水平方向飞出”——运动员做平抛运动，要应用分解思想。“弧形
斜面与斜面顶端有一定高度差”——可从抛出点构建斜面，比较实际斜面，应用二级结论。3．(多解)2020年12月17日1时59分，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，
标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成。假设嫦娥五号在着陆之前绕月球表面做近地圆周运动的半
径为r 、周期为T ；月球绕地球做圆周运动的半径为r 、周期为T ，引力常量为G。根据以上条件能得出(
1 1 2 2
)
A．月球的密度 B．地球对月球的引力大小
C．嫦娥五号的质量 D．关系式
【答案】AB
【解析】嫦娥五号绕月球做圆周运动，设月球质量M，嫦娥五号探测器的质量m， ，求
得月球质量 ，V＝πr3， ，则月球的密度可求，故A正确；地球对月球的引力提供月
1
球做圆周运动的向心力， ，则地球对月球的引力大小可求，故B正确；嫦娥五号绕月
球做圆周运动，可求出月球质量，不能求出环绕的探测器质量，故C错误；开普勒第三定律适用于围绕同一
中心天体做圆周运动的卫星，所以对月球和嫦娥五号不适用，故D错误。
【点评】在天体表面附近运行的卫星，对于天体半径R和卫星轨道半径r，有r≈R，利用万有引力提供天
体做圆周运动的向心力可以估算中心天体的质量，不能求卫星的质量；进而利用体积V＝πR3、ρ＝可以求天
体密度。
高频易错题
1．如图所示，小伟正在荡秋千，他坐在秋千板上并保持姿势不变。当小伟从最高点摆至最低点过程中，
下列说法正确的是( )
A．在最低点绳的拉力等于重力
B．在最低点他的加速度方向沿水平方向
C．从最高点摆至最低点过程中，他要克服重力做功
D．在最高点他的加速度方向不指向圆心O
【答案】D
【解析】在最低点绳的拉力与重力的合力提供竖直向上向心力，所以在最低点绳的拉力大于重力，故 A
错误；在最低点他的加速度方向竖直向上，故B错误；从最高点摆至最低点过程中，重力做正功，故C错误；
在最高点受到的合力方向不指向圆心，故加速度方向不指向圆心，故D正确。【点评】注意分析秋千的运动规律，明确最高点和最低点的受力情况。
2．一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。如图所示，第一只球飞出时的初速度为v，落在
1
自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的 A点处；第二只球飞出时的初速度为v ，直
2
接擦网而过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，则( )
A．网球两次飞出时的初速度之比为1∶2
B．网球两次飞出时的初速度之比为1∶4
C．运动员击球点的高度H与网高h之比为3∶2
D．运动员击球点的高度H与网高h之比为4∶3
【答案】D
【解析】两球被击出后都做平抛运动，据平抛运动的规律知，两球被击至各自第一次落地的时间是相等
的．由题意结合图可知，两球从击出至第一次落地的水平射程之比x∶x ＝1∶3，则网球两次飞出时的初速
1 2
度之比v∶v ＝1∶3，故AB错误；第一个球落地后反弹做斜抛运动，据运动的对称性可知，DB段的逆过程
1 2
和OB段是相同的平抛运动，则两只球下落相同高度H－h后水平距离x′＋x′＝2x ，又x ＝vt ，x′＝vt ，x′
1 2 1 1 11 1 12 2
＝vt，可得t＝2t，由H＝gt2，H－h＝gt2，得H∶h＝4∶3，故C错误，D正确。
22 1 2 1 2
【点评】本题解题的关键在于，对于第一只球的斜抛运动，可以等效看成两个平抛运动组成，根据运动
的可逆性，斜上抛可以看成平抛的逆过程。
3．2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器，据估算，“天问一号”探测器将于
2020年除夕夜前后到达火星，向世人展示火星之美。假设探测器着陆火星后，在两极处测得质量为 m的物块
受到的火星引力为F，已知火星的半径为R，万有引力常量为G，则有关火星的科学猜想正确的是( )
A．火星的第一宇宙速度为
B．火星的质量为
C．赤道表面的重力加速度
D．火星的同步卫星线速度为
【答案】B
【解析】根据F＝m，解得火星的第一宇宙速度 ，A错误；根据F＝G，解得火星的质量为，B正确；设火星的自转周期为T，则火星表面赤道处有F－mg＝mR，解得 ，
C错误；根据G＝m，解得v＝，火星的同步卫星的轨道半径大于近地火星做圆周运动的半径，火星的同步卫
星线速度小于 ，D错误。
【点评】注意火星赤道上的物体随火星一起转动，具有和火星相同的角速度，所受万有引力并非全部提
供向心力。
精准预测题
1．一小孩站在岸边向湖面抛石子。a、b两粒石子先后从同一位置抛出后，各自运动的轨迹曲线如图所
示，两条曲线的最高点位于同一水平线上，忽略空气阻力的影响。关于a、b两粒石子的运动情况，下列说法
正确的是( )
A．相等时间间隔内的速度变化量大小Δv＞Δv
a b
B．在空中运动的时间t＜t
a b
C．抛出时的初速度v＞v
a b
D．入水时的末速度v′＜v′
a b
【答案】D
【解析】两粒石子均做斜抛运动，因石子在空中时只受重力，加速度等于重力加速度，由 Δv＝gΔt可知，
相等时间间隔内的速度变化量大小相等，故A错误；两石子均做斜抛运动，运动时间取决于竖直高度，从抛
出点到最高点高度相同，向上运动时间相同，从最高点下落高度相同，下落时间相同，所以两石子在空中运
动时间相等，故B错误；设任一石子初速度大小为v ，初速度的竖直分量为v，水平分量为v ，初速度与水
0 y x
平方向的夹角为α，上升的最大高度为h，取竖直向上方向为正方向，石子竖直方向上做匀减速直线运动，加
速度a＝－g，由0－v2＝－2gh得v ＝，h相同，v 相同，则两粒石子初速度的竖直分量相同。由速度的分解
y y y
知v＝vsin α，由于α不同，所以v 不同，b石子初速度与水平方向的夹角小，所以b石子抛出的初速度较大，
y 0 0
故C错误；根据机械能守恒定律得知mgH＝mv′2－mv2，得石子入水速率 ，抛出时位置相同，
0
b抛出时的初速度大，b石子入水时的末速度大，故D正确。
2．如图所示，一束平行光垂直斜面照射，小球从斜面上的O点以初速度v 沿水平方向抛出，落在斜面
0
上的P点，M是小球离斜面的最远点，N是M在斜面上的投影，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球在空中的运动时间为
B．小球在斜面上的影子做匀速运动C．小球在斜面上的投影距离NP是ON的3倍
D．小球在斜面上的投影距离OP等于
【答案】D
【解析】小球落在斜面上斜面的倾角等于位移的夹角 ，得 ，故A错误；将速
度分解成平行与垂直斜面方向，平行斜面方向运动是匀加速直线运动，而垂直斜面方向先匀减速直线运动，
后匀加速直线运动，可知小球在斜面上的影子做加速运动，故B错误；影子沿斜面做匀加速直线运动，从O
到N的时间等于从N到P的时间，由于初速度不为零，则小球在斜面上的投影距离NP不等于ON的3倍，故
C错误；影子运动的初速度为vcos θ，加速度为gsin θ，运动时间 ，根据匀变速直线运动规律可
0
知 ，故D正确。
4．如图所示，水平地面上有一光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连，且固定在同一个竖直面内。
将一质量为m的小球由弧形轨道上某一高度处无初速释放。为使小球在沿圆轨道运动时始终不脱离轨道，这
个高度h的取值可为( )
A．2.2r B．1.2r C．1.6r D．0.8r
【答案】D
【解析】小球沿圆轨道运动时，可能做完整的圆周运动，当小球刚好不脱离圆轨道时，在圆轨道最高点
重力提供向心力，则有mg＝m，由机械能守恒定律得mgh－mg·2r＝mv2，解得h＝2.5r。小球沿圆轨道运动时，
也可能不超过与圆心等高处，由机械能守恒定律得mgh＝mg·r，得h＝r，综上可得，为使小球在沿圆轨道运
动时始终不离开轨道，h的范围为h≤r或h≥2.5r，选项D正确。
5．宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑
行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，有两个为圆轨道，半径分别为 r 、r ，一个为椭圆轨道，半
1 3
长轴为a，a＝r 。在∆t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S 、S ；行星Ⅰ的速率为
3 2 3
v、行星Ⅱ在B点的速率为v 、行星Ⅱ在E点的速率为v 、行星Ⅲ的速率为v，下列说法正确的是( )
1 2B 2E 3
A．v ＜v＜v＜v
2E 3 1 2B
B．行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的向心加速度大小相等
C．S＝S
2 3
D．行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期【答案】A
【解析】根据开普勒第二定律可知v ＜v ，对于卫星在轨道ⅡB点的运动属于卫星在轨道ⅠB点做离心
2E 2B
运动的结果则v ＞v ＝v ，又因为r ＞r ＞r ，则v ＞v ＞v ，最后有v ＜v ＜v ＜v ，A正确；卫星在轨道
2B 1B 1 3 1 E 1 3 2E 2E 3 1 2B
Ⅲ和轨道Ⅱ的P点的加速度相同，但是轨道Ⅱ是椭圆轨道，行星在该点的向心加速度为沿P至椭圆圆心方向
的分量，所以行星在轨道Ⅱ的椭圆轨道上的向心加速度小于轨道Ⅲ的圆轨道上P点的向心加速度，B错误；
开普勒第二定律的条件是同一轨道在相同的时间内扫过的面积相等，而S 、S 分别对应不同的轨道，C错误；
2 3
根据开普勒第三定律有 ，由于a＝r，D错误。
3
6．中国北斗卫星导航系统（BeiDouNavigationSatelliteSystem，BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系
统，是继美国全球定位系统（GPS）。俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导
航系统。北斗卫星导航系统的卫星有地球静止轨道卫星和非静止轨道卫星组成，关于地球静止轨道卫星（即
地球同步卫星）的说法正确的是( )
A．相对于地面静止，离地面高度为在R～4R（R为地球半径）之间的任意值
B．运行速度大于7.9 km/s
C．角速度大于静止在地球赤道上物体的角速度
D．向心加速度大于静止在地球赤道上物体的向心加速度
【答案】D
【解析】地球静止轨道卫星（即地球同步卫星）的周期与地球自转的周期相同，是固定的24h，由万有
引力提供向心力 ，可知地球同步卫星离地面的高度是一定的，故A错误；由v＝，
可知卫星的运行速度随轨道半径的增大而减小，同步卫星是高轨道卫星，运行速度比低轨道卫星运行速度小，
小于7.9 km/s，故B错误；地球静止轨道卫星（即地球同步卫星）的周期与地球自转的周期相同，角速度等于
静止在地球赤道上物体的角速度，故C错误；由公式a＝ω2r可知，同步卫星和地面赤道上物体随地球自转的
角速度相同，同步卫星的轨道半径大，所以同步卫星的向心加速度大于静止在地球赤道上物体的向心加速度，
故D正确。
7．(多解)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝30°的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底
端沿斜面向上运动，其速度—时间图象如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数 ，该星球半径
为R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是( )A．该星球的第一宇宙速度v＝3.0×104 m/s
1
B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s
D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
【答案】ABD
【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋mgsin θ＝ma ，下滑过程
1
中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma ，又知v－t图象的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物
2
块的加速度大小分别为a ＝10 m/s2，a ＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2。该星球的第一宇宙速度v ＝＝3.0×104
1 2 1
m/s，故A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量M＝＝8.1×1026 kg，故B正确；根据所给条件
无法计算出该星球的自转周期，故C错误；该星球的密度ρ＝＝896 kg/m3，故D正确。
8．(多解)2020年12月17日1时59分，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，
标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成。嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之
战。假如嫦娥五号探测器在月球表面以初速度v 竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点。已知
0
月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．探测器在月球表面获得 的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】BC
【解析】由竖直上抛运动规律Δv＝gt，可知月球表面的重力加速度 ，A错误；在月球表面重力
与万有引力相等有G＝mg，月球质量 ，B正确；据万有引力提供圆周运动向心力可知，卫星的最
大运行速度 ，C正确；绕月球表面匀速飞行的卫星的周期 ，D错误。
9．一种餐桌的构造如图所示，已知圆形玻璃转盘的半径r＝0.6 m，圆形桌面的半径R＝1 m，不计转盘的厚度，桌面到地面的高度h＝1 m。轻绳一端固定在转盘边缘，另一端连着小球，小球被轻绳带动沿桌面边缘
一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同，俯视图如图所示。某时刻绳子突然断裂，小球沿桌面边缘飞
出后的落地点到桌面和转盘共同圆心的距离s＝ m，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力。求：
(1)小球飞出桌面边缘时的速度大小v；
0
(2)小球与桌面之间的动摩擦因数μ。
【解析】(1)设小球做平抛运动的水平位移为x，由几何关系有：
s2＝h2＋(R2＋x2)
解得：x＝1 m
由公式h＝gt2得t＝ s
小球的初速度v
0
＝＝ m/s
(2)由几何关系得：
将拉力分解如图，则有：T＝Ftan θ＝m
1 n
由速度方向合力为0得：T＝f＝μmg
1
联立解得：μ＝。
10．如图所示，长为l的轻质细线固定在O 点，细线的下端系一质量为m的小球，固定点O 的正下方
1 1
0.5l处的P点可以垂直于竖直平面插入一颗钉子，现将小球从细线处于水平状态由静止释放，此时钉子还未
插入P点，在B点右下方水平地面上固定有一半径为R＝l的光滑圆弧形槽，槽的圆心在O，D点为最低点，
2
且∠COD＝37°，重力加速度为g，不计空气阻力。求：(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
2
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)如果钉子插入P点后，小球仍然从A点静止释放，到达B点时，绳子恰好被拉断，求绳子能承受的最
大拉力；
(3)在第(2)问的情况下，小球恰好从槽的C点无碰撞地进入槽内，求整个过程中小球对槽的最大压力。
【解析】(1)设小球运动到B点的速度为v ，由A到B应用动能定理：mg·l＝mv
B
解得：v ＝。
B
(2)插入钉子后，小球再次经过B点时有：F－mg＝m
解得绳子能承受的最大拉力F＝5mg。
(3)小球从B点开始做平抛运动，在C点时速度方向恰好沿轨道切线方向，即：v ＝
C
小球沿槽运动到最低点时对轨道的压力最大，小球从C到D过程中机械能守恒有：mgR(1－cos 37°)＝mv－mv
在D点有：F －mg＝m
N
解得槽对小球的支持力F ＝11.4mg
N
由牛顿第三定律得小球对槽的最大压力为F′ ＝11.4mg，方向竖直向下。
N
