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第四章 抛体运动与圆周运动
【曲线运动与天体运动的单元知识体系】
知识点 24：曲线运动 运动的合成与分解
考点一：曲线运动的条件和特征
题型一：轨迹、速度与力的位置关系
【知识思维方法技巧】
（1）曲线运动的特征：
①做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动
的条件)。②合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的
分力改变物体速度的大小。
（2）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
①速度方向与运动轨迹相切；②合力方向指向曲线的“凹”侧；③运动轨迹一定夹在速度
方向和合力方向之间.
【典例1基础题】北京航展，我国五代战机“歼－20”再次闪亮登场。表演中，战机先水平
向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞
行速率不变。则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零 B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大 D．水平方向的分速度不变
【典例1基础题】【答案】C
1
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为战机做速率不变的曲线运动，所以合外力不为零且方向与速度方向垂直，故
A、B错误；对任一点的速度正交分解，如图所示v＝v cosα，v ＝v sinα，根据题意知α
y x
减小，v 增加，v 减小，故C正确，D错误。
y x
【典例1基础题对应练习】(多选)如图，曲线ab是一架飞机在竖直面内进行飞行表演时的
轨迹．假设从a到b的飞行过程中，飞机的速率保持不变．则沿曲线ab运动时，飞机(
)
A. 所受合力方向竖直向下 B. 所受合力大小不等于0
C. 飞机竖直分速度变大 D. 飞机水平分速度保持不变
【典例1基础题对应练习】【答案】BC
【解析】飞机做曲线运动，所受合力方向指向轨迹的凹向，则合力方向不一定竖直向下，
选项A错误；飞机做曲线运动，加速度不为零，则所受合力大小不等于0，选项B正确；
飞机的速率保持不变，则向下运动时竖直分速度变大，水平分速度减小，选项C正确，D
错误．
题型二：合力方向与速率变化的关系
【知识思维方法技巧】
合力方向与速率变化的关系：
【典例2基础题】运动员在体育场上奋力抛出铅球，其运动轨迹如图所示．已知B点为铅
球运动的最高点，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A点到D点加速度与速度的夹角先增大后减小
【典例2基础题】【答案】A
【解析】铅球在空中只受重力，合力的大小与方向均不变，加速度a＝g不变，故C错误；
B点为铅球运动的最高点，速度与加速度相互垂直，过 B点后速度与加速度的夹角变为锐
角，速率增大，A正确；铅球在A点的加速度方向与过A点的切线方向(即速度方向)夹角
大于90°，B错误；铅球从A点到D点加速度与速度的夹角一直变小，D错误．
2
学科网（北京）股份有限公司【典例2基础题对应练习】如图这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在
B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，C点
的速率比B点速率大，故选项A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度不变，
所以物体经过C点时的加速度与A点相同，故选项B错误；物体运动到B点时速度方向与
加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与
速度方向夹角小于90°，所以加速度方向与速度方向夹角一直减小，物体的速率先减小后
增大，故选项D错误。
考点二：运动的合成与分解
【知识思维方法技巧】
（1）合运动的性质分析：
①看合加速度：加速度a不变，则为匀变速运动；a变化（大小或方向），则为非匀变速
运动。
②看合加速度的方向与合初速度的方向：共线则为直线运动，不共线则为曲线运动。
（2）合运动与分运动的关系：
①等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、
同时停止。
②独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和
轨迹。
③等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
题型一：由分运动的运动图象判断合运动的性质
【典例1基础题】某校运动会开幕式隆重举行，各班进行入场式表演时，无人机从地面开
始起飞，在空中进行跟踪拍摄．若无人机在水平和竖直方向运动的速度随时间变化关系图
像如图甲、乙所示，则无人机( )
A. 在0～t 的时间内，运动轨迹为曲线 B. 在t～t 的时间内，运动轨迹为直线
1 1 2
C. 在t～t 的时间内，速度均匀变化 D. 在t 时刻的加速度方向竖直向上
1 2 3
3
学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题】【答案】C
【解析】 在0～t 的时间内，无人机沿x方向和y方向均做初速度为零的匀加速直线运动，
1
其合运动仍是直线运动，故A错误；在t～t 的时间内，无人机的加速度沿y轴负方向，但
1 2
初速度为t 时刻的末速度，方向不是沿y轴方向，初速度和加速度不共线，因此运动轨迹
1
应是曲线，故B错误；在t～t 的时间内，无人机加速度沿y轴负方向，且为定值，因此其
1 2
速度均匀变化，故C正确；在t 时刻，无人机有x轴负方向和y轴正方向的加速度分量，
3
合加速度方向不是竖直向上，故D错误．
【典例1基础题对应练习】（多选）为了抗击病毒疫情，保障百姓的基本生活，许多快递
公司推出了“无接触配送”。快递小哥想到了用无人机配送快递的方法，某次配送快递无
人机在飞行过程中，水平方向的速度v 及竖直方向的速度v 与飞行时间t的关系图像如图
x y
所示。关于无人机的运动说法正确的是( )
A．最初4 s内无人机的位移为8 m
B．从开始至6 s末无人机都做曲线运动
C．最初4 s内无人机做曲线运动，接下来的2 s内无人机做直线运动
D．最初4 s内无人机做直线运动，接下来的2 s内无人机做曲线运动
【典例1基础题对应练习】【答案】AC
【解析】由运动的独立性并结合vt图象可得：无人机在最初4 s内y轴方向的位移y＝8
m，x轴方向的位移x＝8 m，由运动的合成得位移s＝＝8 m，A正确；在0～4 s内，无人
机的加速度a＝a＝1 m/s2，初速度v ＝v ＝2 m/s，即无人机的加速度与速度不共线，无人
y 0 x0
机做曲线运动.4 s末无人机的速度与x轴正方向夹角的正切tan α＝＝＝2，在4～6 s内，
加速度与x轴正方向夹角的正切tan β＝＝＝2，初速度与加速度共线，无人机做直线运动，
B、D错误，C正确．
题型二：由分运动规律判断合运动的性质
【典例2基础题】（多选）如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手
沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖.
若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则
关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动 B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动 D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
4
学科网（北京）股份有限公司【典例2基础题】【答案】CD
【解析】笔尖同时参与了竖直向上的匀速运动和水平向右初速度为零的匀加速运动，合运
动为匀变速曲线运动，所以A、B选项错误，C选项正确；由于水平速度增大，所以笔尖
的速度方向与水平方向夹角逐渐变小，故D选项正确.
【典例2基础题对应练习】如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧
向右上方45°方向匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )．
A．大小和方向均不变 B．大小不变、方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
【典例2基础题对应练习】【答案】A
【解析】橡皮同时参与两个方向的分运动，一个是水平方向的匀速直线运动，另一个是竖
直方向的匀速直线运动，由于这两个方向上的分运动都是匀速直线运动，因此这两个运动
的合运动也是匀速直线运动，即橡皮的速度大小和方向都保持不变，所以A正确．
题型三：由物体受力情况判断合运动的性质
【典例3基础题】一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保
持第三个力大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是( )
A．不可能做圆周运动 B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动 D．一定做匀变速直线运动
【典例3基础题】【答案】A
【解析】若撤去两个力后，保持第三个力大小和方向均不变，而圆周运动合力是变力，所
以不可能做圆周运动，故A正确，B错误；若撤去两个力后，物体受到的合力与速度的方
向相同，则物体做匀加速直线运动；若撤去两个力后，物体受到的合力与速度的方向相反
则物体做匀减速直线运动；当合力与速度不共线时，物体做曲线运动，由于合力恒定，故
加速度恒定，即物体做匀变速曲线运动，故C、D错误。
【典例3基础题对应练习】如图所示，在光滑水平桌面上，小铁球沿直线向右运动。若在
桌面A处放一块磁铁，关于小球的运动下列说法正确的是
A．小铁球做匀速直线运动 B．小铁球做匀速圆周运动
C．小铁球做匀加速直线运动 D．小铁球做变加速曲线运动
【典例3基础题对应练习】【答案】D
【解析】磁铁放在A处时，合力与速度不共线，故小钢球向磁铁一侧偏转，但不是匀速圆
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学科网（北京）股份有限公司周运动，选项ABC错误；磁力大小与距离有关，故小球的加速度是变化的，故小球做变加
速曲线运动，选项D正确。
题型四：参考系转化问题
【典例4基础题】骑车人以3 m/s的速率向东骑行时，他感到风从正北方向吹来．当他骑车
速度加倍时，感到风从东北方向吹来，则( )
A. 风的速率为3 m/s，风向东南方向吹
B. 风的速率为6 m/s，风向西北方向吹
C. 人的骑行速度分别为2 m/s和4 m/s时，感觉风的速度相同
D. 当他以3 m/s的速率向南方骑行时，感觉风从东面吹来
【典例4基础题】【答案】A
【解析】骑车人以3 m/s的速率向东骑行时，他感到风从正北方向吹来，说明风有向东3
m/s的速度分量．当他骑车速度加倍时，感到风从东北方向吹来，说明风有向南3 m/s的速
度分量．因此风的速率为v＝ m/s＝3 m/s，风向东南方向吹，故A正确，B错误；
人的骑行速度分别为2 m/s和4 m/s时，感受到风沿东、西方向的速度分量方向相反，而风
从正北方向吹来的速度分量不变，因此人感觉到风的速度方向不同，故C错误；风有向南
3 m/s的速度分量和向东3 m/s的速度分量，当他以3 m/s的速率向南方骑行时，感觉风往
东吹，即风从西面吹来，故D错误．
【典例4基础题对应练习】某运动员以12 m/s的速度向正南方运动时，感觉到风是从正西
方向吹来的，当他以21 m/s的速度继续向正南方向运动时，感觉到风是从西南方向（西偏
南45°）吹来的，则风相对地的速度大小是( )
A．12 m/s B．15 m/s C．18 m/s D．21 m/s
【典例4基础题对应练习】【答案】B
【解析】根据运动员的运动方向和感受到的风(合运动)的方向可得，其速度合成关系如图
所示，则有v ＝12 m/s，v ＝21 m/s，v 为风速，v 是运动员的速度为12 m/s时风相对
OA OB OC AC
运动员的速度，v 是运动员的速度为21 m/s时风相对运动员的速度，且有∠ACB＝45°；
BC
则由几何关系可知，AC＝AB，即v ＝v －v ＝9 m/s，故v ＝ m/s＝15 m/s.故B正确．
AC OB OA OC
考点三：小船渡河模型
【知识思维方法技巧】
三种过河情景分析：
（1）过河时间最短：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝，d为河宽。
min
（2）过河路径最短
①当v v 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，只有合速度垂直于船在静水中
水 船
的速度时，渡河路径最短，最短渡河位移为x ＝
min
注意：求渡河最小船速v 时，根据船速v 与水流速度v 的大小情况用动态三角形法分析
船 船 水
处理。
题型一：水速不变，水流速度小于船在静水中的速度模型
【典例1基础题】（多选）一条小船在静水中的速度为10 m/s，要渡过宽度为60 m、水流
速度为6 m/s的河流，下列说法正确的是( )
A．小船渡河的最短时间为6 s
B．小船渡河的最短时间为10 s
C．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程减小
D．若小船在静水中的速度增加，则小船渡河的最短路程不变
【典例1基础题】【答案】AD
【解析】当小船船头垂直河岸过河时，过河时间最短，为t＝6 s，因此，B错误，A正确；
小船在静水中的速度为10 m/s，大于河水流速6 m/s，由速度合成的平行四边形定则可知，
合速度可以垂直河岸，因此，过河位移(即最短路程)为60 m，静水中船速增加时，合速度
要改变，由于船速始终大于水流的速度，合速度可以垂直河岸，过河的最短路程不改变，
C错误，D正确．
【典例1基础题对应练习】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A
点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝
OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 、t 的大小关系为(
甲 乙
)．
A．t t D．无法确定
甲 乙 甲 乙 甲 乙
【典例1基础题对应练习】【答案】C
【解析】 设水流的速度为v ，学生在静水中的速度为v ，从题意可知v >v ，令OA＝
水 人 人 水
OB＝L，对甲同学有t ＝＋，对乙同学来说，要想垂直到达B点且沿原路线返回，其速度
甲
方向要指向上游，由题意知乙同学来回时间相等，即 t ＝，因为t－t>0，所以t >t ，C
乙 甲 乙
正确．
题型二：水速不变，水流速度大于船在静水中的速度模型
【典例2基础题】唐僧、悟空、八戒、沙僧师徒四人想划船渡过一条宽200 m的河，他们
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学科网（北京）股份有限公司在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观测到河水的流速为5 m/s，对于这次划船过河，
他们有各自的看法，其中正确的是( )
A. 唐僧说：我们要想到达正对岸就得使船头朝向正对岸
B. 悟空说：我们要想到达正对岸船头必须朝向上游划船
C. 八戒说：我们要想走最少的路必须船头朝向正对岸划船
D. 沙僧说：我们要想走最少的路必须船头朝向上游划船
【典例2基础题】【答案】D
【解析】由于水速大于船速，无论怎么划船，都无法到达正对岸，A、B错误；v
