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第四章 曲线运动
第 01 练 曲线运动 运动的合成与分解
知识目标 知识点
目标一 曲线运动
目标二 运动的合成与分解
目标三 小船渡河问题
目标四 牵连（关联）速度问题
1．(2022·云南省·历年真题)以下说法中正确的是( )
A. 曲线运动一定是变速运动
B. 两个匀变速直线运动的合运动一定是直线运动
C. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动
D. 做匀速圆周运动物体的向心力是不变的
【答案】A
【知识点】曲线运动的概念和性质、物体做曲线运动的条件
【解析】
既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动。两个匀变速直线
运动的合运动可能是曲线运动，如平抛运动；而匀速圆周运动受到的是变力，是变加速曲线运动。
A.曲线运动物体的速度方向在不断改变，是变速运动，故A正确；
B.两个匀变速直线运动的合运动可能是曲线运动，如平抛运动，故B错误；
C.匀速圆周运动是加速度方向在变化的曲线运动不时匀变速，故C错误；
D.匀速圆周运动物体的向心力方向在变化，故D错误。
故选A。
2．(2022·上海市市辖区·月考试卷)如图，取一块较厚的板，置于水平面上。先按图甲所示分割成A、
B两部分，并分开适当距离，在两部分间形成曲线轨道，最后按图乙所示将其分割成序号为1、
2……6的六块板。现让小球以一定的初速度进入轨道，沿曲线轨道运动。若取走某些板后，小球
仍能沿原曲线运动，可取走( )A. 1、3、5 B. 2、4、6 C. 1、4、5 D. 2、3、6
【答案】C
【知识点】曲线运动
【解析】解：1、2板块处小球需指向1的向心力，必须2板块给以弹力；3、4板块处小球需指向4
的向心力，必须3给予弹力(4板块给的支持力指向凸侧，不满足运动需求)；5、6板块需6板块给予
弹力，故可以取走的是1、4、5板块，故C正确，ABD错误；
故选：C。
解曲线运动所受的合外力一定指向轨迹的凹侧，据此分析板块提供弹力情况，得出选项。
3．(2022·河北省沧州市·月考试卷)如图所示，降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若
风速越大，则降落伞( )
A. 落地时速度越小
B. 下落的时间越长
C. 下落的时间越短
D. 落地时速度越大
【答案】D
【知识点】运动的合成与分解
【解析】解：BC、根据运动的独立性可知，降落伞在竖直方向上仍然保持原来的运动，因此下落
的时间保持不变，故BC错误；
AD、风速越大，则降落伞在水平方向上的速度越大，根据运动的合成特点可知，落地时速度越大，
故D正确，A错误；
故选：D。
4．(2021·辽宁省·历年真题)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击
队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静
水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A. 75s B. 95s C. 100s D. 300s
【答案】D【知识点】小船渡河问题
【解析】解：当静水速与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时
间为：
d 300
t= = s=300s，故D正确，ABC错误；
v 1
c
故选：D。
当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直时，渡河航程最短．
5．(2020·江苏省无锡市·月考试卷)在珠海国际航展上，歼-20隐身战斗机是此次航展最大的“明
星”。歼-20战机在降落过程中的水平方向初速度为60m/s，竖直方向初速度为6m/s，已知歼
-20战机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于
0.2m/s2的匀减速直线运动，则歼-20战机在降落过程( )
A. 歼-20战机的运动轨迹为曲线
B. 经 20s歼-20战机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C. 在前20s内，歼-20战机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D. 歼-20战机在前20s内，水平方向的平均速度为40m/s
【答案】D
【知识点】合运动与分运动的概念和性质
v 6 1
【 解 析 】 解 ： 飞 机 的 速 度 的 方 向 ： tanα= y = = ， 飞 机 的 加 速 度 的 方 向 ：
v 60 10
x
a 0.2 1
tanβ= y = = ，可知飞机的速度的方向与加速度的方向是相同的，飞机做匀变速直线运动。
a 2 10
x
A、飞机的速度的方向与加速度的方向是相同的，飞机做匀变速直线运动。故A错误；
B、飞机做匀变速直线运动，水平方向的分初速度与竖直方向的分初速度不相等，20s时水平方向
的分速度与竖直方向的分速度大小不可能相等。故B错误；
C、飞机做匀变速直线运动，水平方向的分初速度与竖直方向的分初速度不相等，所以在前20s内
飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小不可能相等。故C错误；
D、在水平方向上，飞机在20s时的水平速度v =v -at=60m/s-2×20m/s=20m/s，平均
x x0
1 1
速度v = (v +v )= (60+20)m/s=40m/s，故D正确。
x 2 0x x 2
故选：D。
物体做曲线运动的条件是受到的合外力的方向与速度的方向不在同一条直线上；结合速度公式计算
速度，结合位移公式计算位移。
6．(2022·广东省·模拟题)如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉．小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子
到达石凳子时保持身体水平向右方向运动．已知老猴子以恒定大小为v拉动软藤，当软藤与竖直成
θ角时，则小猴子的水平运动速度大小为( )
v v
A. vcosθ B. vsinθ C. D.
cosθ sinθ
【答案】D
【知识点】绳牵连问题
【解析】解：小猴子参与了沿绳子和垂直于绳子两个方向的运动，合速度方向水平向右，如图，根
v v
据平行四边形定则得，合速度v = .所以小猴子的水平运动速度为 .故D正确，ABC错误。
合 sinθ sinθ
故选D。 小猴子参与了沿绳子和垂直于绳子两个方向的运动，两个运动的合运动水平向
右，根据平行四边形定则求出小猴子的合速度，即小猴子的水平速度．
解决本题的关键知道小猴子参与了沿绳子和垂直于绳子两个方向的运动，两个运动的合运动水平向
右，会根据平行四边形定则求合速度．
1．(2022·上海市市辖区·月考试卷)春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图所示，孔明灯
在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为( )
A. 直线OA B. 曲线OB
C. 曲线OC D. 曲线OD
【答案】D【知识点】两个直线运动的合成、物体做曲线运动的条件
【解析】解：孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，则合外力沿Oy方向，在水平Ox方向做匀速运动，
此方向上合力为零，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，孔明灯做曲
线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为OD，故D正确，ABC错误。
故选：D。
当合加速度的方向与合速度的方向在同一条直线上，物体做直线运动，当合速度的方向与合加速度
的方向不在同一条直线上，物体做曲线运动，根据孔明灯在两个方向的运动情况得出合力与速度方
向的关系，从而判断轨迹。
2．(2022·江苏省·模拟题)如图所示，在一个足够大、表面平坦的雪坡顶端，有一个小孩坐在滑雪板
上.给他一个大小为v 的水平初速度使其运动.设雪坡与滑雪板之间的动摩擦因数μμmgcosθ，则沿斜面向下方向的速度会越来越大，而沿v 方向
0
的速度越来越小，当沿v 方向的速度变为零时，滑动摩擦力变为沿斜面向上，此时整体将沿斜面向
0
下做匀加速直线运动，速度方向垂直于初速度v 方向，故B正确，ACD错误。
0
3．(2022·福建省·单元测试)如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重
物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至定滑轮的连线处于水平
位置时，其上升速度v ≠0，若这时B的速度为v ，则( )
1 2A. v =v B. v >v C. v ≠0 D. v =0
2 1 2 1 2 2
【答案】D
【知识点】绳牵连问题、两个直线运动的合成
【解析】
(1)以环A的实际运动速度为合速度，将其沿轻绳和垂直轻绳方向分解，抓住同条绳上各点速度大
小相等建立A、B运动间的关系；
(2)讨论当环A上升至连线水平时v 、v 及v 的关系，并对各选项做出判断即可。
1 2 a
对于A，它的速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v 、v ，如图所
a b
示：
其中v 大小等于B的速度大小(同一根绳子，大小相同)
a
当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，v =0，所以B的速度V =0
a 2
因v ≠0，所以v >v ，故ABC错误，D正确。
1 1 2
故选D。
4．(2022·上海市市辖区·期中考试)有甲、乙两只船，它们在静水中航行的速度分别为v 和v ，现在
1 2
两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵
t
1
达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河所用时间之比 为。( )
t
2
v 2 v v 2 v 2
A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
v v v 2 v 2
1 2 1 2
【答案】C
【知识点】两个直线运动的合成、小船渡河问题
【解析】
甲船以最短时间渡河，知静水速的方向与河岸垂直．乙船以最短航程渡河，因为两船抵达地点相同，
知乙船静水速小于水流速，不能垂直到对岸，乙船静水速方向与合速度方向垂直。两船抵达的地点
相同，知合速度方向相同，甲船静水速垂直于河岸，乙船的静水速与合速度垂直。如图：t v
两船的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度之反比，则
1= 乙合
，
t v
2 甲合
v
由图可知：v = 1 ，v =v tanθ；
甲合 sinθ 乙合 2
v v
其中：tanθ= 1 ；sinθ= 2
v v
水 水
t v v sinθ v2
则： 1= 乙合= 2 = 2
t v v tanθ v2
2 甲合 1 1
故ABD错误，C正确。
故选C。
5．(2022·广东省广州市·期末考试)如图所示，在光滑的水平面内建有一直角坐标系xOy，一质量为
m的小球在xOy坐标系内以大小为v 、方向与x轴正方向夹角为α的速度匀速运动，当小球运动到O
0
点时对其施加大小为F、方向沿y轴负方向的恒力，重力加速度为g。则小球再次经过x轴时的横坐
标为( )
mv2sin2α mv2sin2α mv2sin2α mv2sin2α
A. 0 B. 0 C. 0 D. 0
F F F+mg F+mg
【答案】A
【知识点】两个直线运动的合成、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】
物体在F作用下沿x轴做匀速直线运动，沿y轴做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律求出y轴方向
的加速度，计算出小球从O点到再次经过x轴经历的时间；由匀速直线运动规律计算小球再次经过x
轴时的横坐标。小球在xOy平面(即光滑的水平面)内运动，竖直方向重力与支持力平衡，在xOy平
面内受到的合外力为F，小球沿x轴做匀速直线运动，沿y轴做匀变速直线运动，由牛顿第二定律
2v sinα
得F=ma，小球从O点到再次经过x轴经历的时间为t= 0 ，所以小球再次经过x轴时的横坐
a
mv2sin2α
标为x=v cosα·t= 0 ；
0 F
故A正确，BCD错误。6．(2020·山东省济南市·模拟题)在光滑水平地面上有xOy坐标系，质量m=100g的质点以速度
v =10m/s沿x轴正方向运动，通过坐标原点O时受到与y轴平行的力F=1N，F大小保持不变。
0
(1)F沿y轴正方向作用2s后立即变为沿y轴负方向，求t=3s时质点速度的大小和方向。
(2)F沿y轴正方向作用1s后立即变为沿y轴负方向，又作用1s后立即变为沿y轴正方向，求t=3s
时质点的位置坐标。
【答案】
解：(1)已知m=100g=0.1kg
质点做类平抛运动，在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向先做匀加速直线运动，后做匀减速直
线运动，加速度为：
F 1
a= = m/s2=10m/s2t=3s时质点沿y轴方向的分速度为：
m 0.1
v =at -at =(10×2-10×1)m/s=10m/s
y 1 2
故t=3s时质点速度的大小为：v=√v2+v2=√102+102m/s=10√2m/s
0 y
因为v =v ，所以t=3s时质点速度方向与x轴正方向、y轴正方向均成45°角。
y 0
(2)根据运动过程的对称性可知，质点在第1s内、第2s内、第3s内沿y轴方向的位移相等，则
t=3s时质点沿y轴方向分位移为：
1 1
y=3× at2=3× ×10×12m=15mt=3s时质点沿x轴方向的分位移为：
2 2
x=v t=10×3m=30m=30m因此，t=3s时质点的位置坐标为(30m,15m)。
0
答：(1)t=3s时质点速度的大小为10√2m/s，速度方向与x轴正方向、y轴正方向均成45°角。
(2)t=3s时质点的位置坐标为(30m,15m)。
【知识点】运动的合成与分解、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】(1)本题运用运动的合成和分解法研究。质点在x轴正方向始终做匀速直线运动，在y轴方
向先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，根据分速度公式求出t=3s时质点沿y轴方向的分
速度，即可求出t=3s时质点速度的大小和方向。
(2)根据分位移公式求出t=3s时质点沿y轴方向分位移，从而求得t=3s时质点的位置坐标。
1． (2021·浙江省·历年真题)某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，
A，B，C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是
A. 相邻位置运动员重心的速度变化相同
B. 运动员在A、D位置时重心的速度相同
C. 运动员从A到B和从C到D的时间相同
D. 运动员重心位置的最高点位于B和C中间
【答案】A
【知识点】曲线运动的概念和性质、曲线运动的位移和速度、斜抛运动
【解析】
需要注意的是，因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻
位置运动员重心的速度变化均为Δv=g·Δt；运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方
向不同；根据对称性分析最高点位置。
A.因每次曝光的时间间隔相等，设曝光时间为Δt，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则
相邻位置运动员重心的速度变化均为Δv=g·Δt，故A正确；
B.运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，故B错误；
C.由图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间6Δt，所以时间不相同，故C错误；
D.由图可知运动员A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的
最高点位于C点，故D错误。
故选A。
2．(2021·北京市市辖区·期中考试)在无风的环境里，某人在高处释放静止的篮球，篮球竖直下落；
如果先让篮球以一定的角速度绕过球心的水平轴转动(如图)再释放，则篮球在向下掉落过程中偏离
竖直方向做曲线运动．其原因是，转动的篮球在运动过程中除受重力外，还受到空气施加的阻力f
1
和偏转力f .这两个力与篮球速度v的关系大致为：f =k v2 ，方向与篮球运动方向相反；f =k v，
2 1 1 2 2
方向与篮球运动方向垂直．下列说法正确的是
A. k 、k 是与篮球转动角速度无关的常量
1 2
B. 篮球可回到原高度且角速度与释放时的角速度相同
C. 人站得足够高，落地前篮球有可能向上运动D. 释放条件合适，篮球有可能在空中持续一段水平直线运动
【答案】C
【知识点】物体的受力分析、从受力确定运动情况、物体做曲线运动的条件
【解析】解：A、篮球未转动时，篮球竖直下落，没有受到偏转力f 的作用，而篮球转动时，将受
2
到偏转力f 的作用，所以偏转力f =k v中的k 与篮球转动角速度有关，故A错误；
2 2 2 2
B、空气阻力一直对篮球做负功，篮球的机械能将减小，篮球的角速度也将减小，所以篮球没有足
够的能量回到原高度，故B错误；
C、篮球下落过程中，其受力情况如下图所示：
篮球下落过程中，由受力分析可知，随着速度不断增大，篮球受到f 和f 的合力沿竖直方向的分力
1 2
可能比重力大，可使篮球竖直方向的分速度减小为零或变成竖直向上，所以篮球可能向上运动，故
C正确；
D、如果篮球的速度变成水平方向，则空气阻力的作用会使篮球速度减小，则篮球受到的偏转力f
2
将变小，不能保持f 与重力持续等大反向，所以不可能在空中持续一段水平直线运动，故D错误。
2
故选：C。
3．(2022·河北省衡水市·月考试卷)某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间
从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v ，所用时间为t ；第二次用最短航程渡河从
1 1
同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v ，所用时间为t ，结果两次恰好抵达对岸
2 2
的同一地点，则( )
d d
A. 第一次所用时间t = B. 第二次所用时间t =
1 v 2 v
2
vd t v2
C. 两次渡河的位移大小为 D. 两次渡河所用时间之比 1= 2
v t v2
1 2 1
【答案】D
【知识点】运动的合成与分解
【解析】解：A.两次渡河时如图：d d
渡河最短时间t= ，所以t = ，故A错误；
v 1 v
静 1
v v 1 v
B.第一次渡河有tanα= 1，第二次渡河时有： 2=sinα，所以 = 1 ，
v v cosα v
2
d
第二次渡河时间为：t = ，故B错误；
2 v cosα
2
C.根据题意可知两次位移之比为1：1，故C错误；
t v cosα v2
D.两次时间之比 1= 2 = 2 ，故D正确；
t v v2
2 1 1
故选：D。
d
(1)当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=
v
静
(2)当合速度的方向与静水速的方向垂直时，船的航程最短；
4．(2022·安徽省·模拟题)图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景。比赛中投壶手
在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶
前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的
方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹(虚线表示)可能正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【知识点】曲线运动
【解析】解：由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前
侧受到的摩擦力，而后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋
转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针
方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。即①④正确。
故选：B。
擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面，则冰壶前后两侧受到的摩擦力的大小不同，由此分析即可。该题属于物理知识在日常生活中的应用，解答的关键是明白擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面
会引起动摩擦因数的变化，导致冰壶前后两侧受到的摩擦力不同。
5．(2022·安徽省·单元测试)汽车以速度v 沿平直的水平面向右匀速运动，通过定滑轮(不计滑轮的质
0
量和摩擦)把质量为m的重物向上提起，某时刻汽车后面的绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示。
则下列说法正确的是( )
A. 此时重物的速度大小为v=v sinθ
0
B. 重物上升的速度越来越小
C. 由于汽车做匀速运动，所以重物也是匀速上升
D. 绳子中的拉力大于重物的重力
【答案】D
【知识点】绳牵连问题、超重和失重
【解析】
A.绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的
速度等于重物的速度，根据平行四边形定则得，v=v cosθ，故A错误；
0
BCD.车子在匀速向右的运动过程中，绳子与水平方向的夹角为θ减小，所以重物的速度增大，重
物做加速上升运动，则拉力大于重物的重力，故BC错误，D正确。
故选D。
6．(2022·广东省·模拟题)图(a)是我国的传统农具——风鼓车，图 是其工作原理示意图。转动摇柄，
联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H 漏出的谷物经过车斗，质量大于2.0×10-5kg的
谷粒为饱粒，落入第一出料口A B；质量为1.2×10-5kg∼2.0×10-5kg的谷粒为瘪粒，落入第二
1
出料口A B；质量小于1.2×10-5kg的草屑被吹出出风口。已知A 、B、A 三点在同一水平线上，
2 1 2
A B的宽度为0.27m，A 在H 正下方，A H的高度为0.45m。质量为2.0×10-5kg的谷粒从H漏
1 1 1
出，恰好经B点落入A B，设谷物从H漏出时速度为零，谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，
2
只考虑其所受重力和水平风力作用，取重力加速度g为10m/s2。(1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)若瘪粒恰好能全部落入A B，求A B的宽度。
2 2
【答案】
解：(1)质量m=2.0×10-5kg的饱粒从H漏出后，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀加速直
1
线运动。设饱粒下落时间为t，则：竖直方向上，有：h= gt2① ， 代入数据可得： t=0.3s ②；
2
(2)设质量m=2.0×10-5kg的饱粒在水平方向的加速度为a，受水平风力大小为f。则：水平方向上，
1
有： s = at2③ ， 对饱粒，由牛顿第二定律： f =ma④，
A 1 B 2
联立①③④并代入数据可得： f =1.2×10-4N⑤;
(3)由分析可知，质量m =1.2×10-5kg的瘪粒从H漏出后，竖直方向做自由落体运动，水平方向
1
做匀加速直线运动，下落时间仍为0.3s，且恰落在A ，设其水平方向加速度为a 。则：由牛顿第
2 1
二定律：f =m a ⑥ ，
1 1
1
又水平方向上，有 s = a t2⑦ ，A B的宽度： s =s -s ⑧，
A 1 A 2 2 1 1 A 2 B A 1 A2 A 1 B
联立⑤⑥⑦⑧式并代入数据，解得：s =0.18m。
A B
2
【知识点】运动的合成与分解、牛顿运动定律的应用、自由落体运动
【解析】
(1)谷粒从H落到出料口，在竖直方向上做自由落体运动，根据下落的高度求所经历的时间；
(2)质量为2.0×10-5kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入A B，根据水平位移和运动时间求出水平
2
分加速度，再由牛顿第二定律求谷粒所受水平风力的大小；
(3)瘪粒恰好能全部落入A B，质量最小的瘪粒水平位移最大，根据牛顿第二定律求出该瘪粒的水
2
平分加速度，由位移—时间公式求A B的宽度。
2
