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专题14 曲线运动 运动的合成与分解（解析版）
注：【分层调研·提分要点】所选的例题变式和练习都是最新的高考真题和2024 年全国各地的模拟
试题，【真题再现·洞悉高考】选自最近3 年的全国个点的高考真题。【分层检测·能力拔高】选
择2024 年全国各地的模拟试题，题量适中，便于学生自测专用。
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目 录
01 思维导图·成竹在胸
02 知识梳理·复习重点
知识点1：曲线运动的基本概念..................................................................................2
知识点2：运动的合成与分解......................................................................................2
03 分层调研·提分要点
考向1 运动的合成及运动的性质分析........................................................................3
角度1：合力方向与速率变化的关系....................................................................3
角度2：合力、速度、轨迹的互判........................................................................4
考向2 合运动与分运动................................................................................................5
角度1：互成角度的两个匀速直线运动的合成....................................................5
角度2：运动的合成与分解....................................................................................6
考向3 小船渡河模型问题............................................................................................8
角度1：船速大于水流的速度................................................................................8
角度2：船速小于水流的速度..............................................................................10
考向4 绳（杆）端速度分解模型..............................................................................11
角度1：绳端速度关联问题..................................................................................11
角度2：杆端速度关联问题..................................................................................12
04 真题再现·洞悉高考
05 分层检测·能力拔高
【基础过关】...............................................................................................................16
【提升练习】...............................................................................................................20
知识点1：曲线运动的基本概念
1. 曲线运动
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.
（3）曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速
度方向不在同一条直线上.
2. 合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向
轨迹的“凹”侧.
知识点2：运动的合成与分解
1. 遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.
2. 合运动与分运动的关系
（1）等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.
（3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
3. 合运动的性质和轨迹的判断
考向1 曲线运动规律的理解
1．曲线运动的分类及特点
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变．
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向
轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，速率不变．
角度1：合力方向与速率变化的关系
【典例1】（2023·海南海口·一模）翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。翻滚过山车
（可看成质点）从高处冲下，过P 点时的速度方向如图所示，在圆形轨道内经过Q、M、N 三点时，下列
说法正确的是（ ）
A．过山车过Q 点时的速度方向由Q 指向N
B．过山车过M 点时所受的合力可能为零
C．过山车过Q、N 两点时的加速度方向相反
D．过山车过Q、N 两点时速度方向相反
【答案】D
【详解】AD．做曲线运动的物体的速度方向是过该点轨迹的切线方向，故翻滚过山车过Q 点时的速度方
向竖直向上，过N 点时的速度方向竖直向下，故A 错误，D 项正确；
B．做曲线运动的物体的加速度不为零，所受的合力不为零，故B 错误；
C．过山车做变速圆周运动，加速度方向并不指向圆心，过山车过Q、N 两点时的加速度方向不是反向
的，故C 错误。
故选D。
【变式1-1】（23-24 高三上·浙江衢州·期中）如图是运动员在某次水平掷出的铅球的运动轨迹。A、B、C
为铅球运动轨迹上的三点，BD 为轨迹上B 点的切线。将铅球视为质点，不考虑空气阻力，则铅球
（ ）
A．在A、C 两点的加速度相同
B．在B 点的速度方向沿AB 连线方向
C．在B 点的加速度沿BD 方向
D．在B 点的速度方向在连线BC 和BD 之间
【答案】A
【详解】A．铅球做平抛运动，只受重力，所以在A、C 两点的加速度相同，都为重力加速度，故A 正
确；
BD．在B 点的速度方向沿切线方向，即BD 方向，故BD 错误；
C．在B 点的加速度竖直向下，故C 错误。
故选A。
【变式1-2】（2024·海南·一模）如图是“玉兔二号”巡视探测器在月球背面执行任务时的轨迹照片，
段为曲线，对沿
段运动的探测器，下列说法正确的是（ ）
A．速度的方向在不断变化
B．所受合力为0
C．加速度一定不为0
D．一定做匀变速曲线运动
【答案】AC
【详解】ABC．做曲线运动的探测器速度的方向不断变化，所受合力一定不为0，加速度一定不为0，故
AC 正确，B 错误；
D．由于不知道所受合外力是否恒定，因此加速度可能不断变化，可能做变加速曲线运动，故D 错误。
故选AC。
角度2：合力、速度、轨迹的互判
【典例2】（2023·全国·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头
的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB 错误；
CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C 错误，D 正确。
故选D。
【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·二模）体育课上两位同学在室内羽毛球场进行羽毛球比赛，羽毛球在空中上
升的运动轨迹如图中虚线所示，羽毛球加速度方向示意图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】AD．羽毛球在空中做曲线运动，可知羽毛球所受合力产生的加速度应指向轨迹的凹侧，故AD 错
误；
BC．羽毛球处于上升过程，速度在减小，可知所受合力产生的加速度与速度之间的夹角应为钝角，故B 错
误，C 正确。
故选C。
【变式2-2】（2024·陕西宝鸡·一模）在2023 年珠海航展上，我国自主研制的“威龙”J-20 高性能五代歼
击机在空中表演时做了连续的开普勒抛物线飞行，飞机从左向右运动的飞行轨迹如图所示，图中各点瞬时
速度与飞机所受合力的方向可能正确的（ ）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
【答案】B
【详解】当物体的速度的方向和合力方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，因此d 点不符合，物体做
曲线运动时，速度为某点的切线方向，
是正确的速度方向，曲线运动的运动轨迹弯向受力的一侧，只有
点的速度方向和所受合力方向符合实际情况。
故选B。
考向2 合运动与分运动
1. 合运动的性质判断
2. 两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运
动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
角度1：互成角度的两个匀速直线运动的合成
【典例3】（2024·辽宁·一模）如图所示，平静的湖面上一龙舟正以
的速度向东行驶，另一小摩
托艇正以
的速度向南行驶，则此时摩托艇驾驶员看到的龙舟行驶速度的大小和方向为
（ ）（
，
）
A．
，向东行驶
B．
，向北行驶
C．
，向东偏北
方向行驶
D．
，向西偏南
方向行驶
【答案】C
【详解】以摩托艇驾驶员为参照物，龙舟向东偏北方向行驶，速度大小为
m/s
夹角满足
，解得
°
则此时摩托艇驾驶员看到的龙舟行驶速度的大小为50m/s，方向向东偏北
方向行驶。
故选C。
【变式3-1】（2023·河北石家庄·二模）如图所示，一种桥式起重机主要由固定“桥架”和可移动“小车”
组成。在某次运送货物过程中，小车沿水平方向向右缓慢移动了 6m，同时货物竖直向上移动了8m。该过
程中货物相对地面的位移大小为（ ）
A．14m
B．10m
C．8m
D．6m
【答案】B
【详解】依题意，货物的水平位移为6m，竖直位移为8m，可得
，故选B。
【变式3-2】（多选）（2023·山东聊城·三模）图1 是一辆正以速度v 做匀速直线运动的自行车的车轮简化
示意图，车轮边缘某点P（图中未画出）离水平地面高度h 随自行车运动位移x 的变化关系如图2 所示，
图中的L 为已知量，则（ ）
A．该车轮的直径为L
B．该车轮的转速为
（转/每秒）
C．在
位置，P 相对地面的速度为零D．在
位置，P 相对地面的速度为
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，自行车运动位移L 时，车轮转动一周，则
，故A 错误；
B．车轮转动一周用时，
，则转速
（转/每秒），故B 正确；
C．在
位置，P 在最高点，速度恰好水平，相对地面速度为2v，故C 错误；
D．在
位置，P 处于与圆心等高处，此时其有水平方向的速度v，和竖直方向的速度v，根据平行四边
形定则可知，相对地面的速度为
，故D 正确。
故选BD。
角度2：运动的合成与分解
【典例4】（2023·天津静海·模拟预测）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我们的生活带来了方
便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处
于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错
误的是（ ）
A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为
C．如果图中的
变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
【答案】D
【详解】A．关门时弹簧逐渐被压缩，形变量变大，弹力变大，故A 正确，不符合题意；
B．锁舌运动时的速度如图：
则有
，即
，故B 正确，不符合题意；
C．设关门时弹簧弹力为
，锁壳对锁舌的作用力为
，锁舌受到的摩擦力为f，关门时锁舌受力如图
则缓慢关门时有
，
，
，联立可得，
，可见如果图中
的
变小，
会变大，关门时会更费力，故C 正确，不符合题意；
D．由C 选项分析可知关门时锁舌对锁壳的弹力大于弹簧的弹力，故D 错误，符合题意。
故选D。
【变式4-1】（2022·全国·模拟预测）某射击运动员站在O 点练习射击，移动靶沿
方向运动（如图所
示）。已知
垂直于
，
间的距离为60 m，移动靶以27 m/s 的速度沿
方向匀速移动，当靶移
动到A 处时，运动员沿
方向水平开枪射击，恰能命中靶心。已知子弹的速度为123 m/s（忽略枪管的长
度），子弹在空中的运动可看成平抛运动。关于A、B 间的距离
及子弹在竖直方向的位移h，下列正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AB．由题意，运动员沿
方向水平开枪射击，恰能命中靶心，说明子弹和移动靶在垂直于OA
方向的速度相同，即
，解得
根据几何关系有
，解得
，故A 错误，B 正确；
CD．子弹在空中运动的时间为
子弹在竖直方向的位移为
，故CD 错误。
故选B。
【变式4-2】（2022·陕西咸阳·二模）中学生在雨中打伞行走，从物理学可知当雨滴垂直落在伞面上时人淋
雨最少，若雨滴在空中以2m/s 的速度竖直下落，而学生打着伞以1.5m/s 的速度向西走，则该学生少淋雨的
打伞（伞柄指向）方式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在水平方向上，雨滴相对于人的速度为1.5m/s，方向向东，在竖直方向上，雨滴的速度为2m/s，
方向竖直向下，设雨伞与竖直方向夹角为α 雨滴相对于人的速度方向为
，解得
，雨
滴的速度为南偏东37°。
故选A。
考向3 小船渡河模型问题
1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.
2. 三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）.
3. 三种情景
（1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝（d 为河宽）.
（2）过河路径最短（v2<v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d. 船头指向上游与河岸夹角为
α，cos α＝.
（3）过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以
v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向
航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s 短＝＝d.
角度1：船速大于水流的速度
【典例5】（2024·辽宁·模拟预测）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d 的小河。现有
甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ 角，
两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间为
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能
到达A 点
【答案】C
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，
可知甲、乙两船到达对岸的时间均为
，故两船同时到达对岸，故AB 错误；
C．靠岸时两船间距增大了
，故C 正确；
D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则
，故如果河水流速增大，要使甲船
到达A 点，小船船头与河岸夹角应减小，故D 错误。
故选C。
求解小船渡河问题的方法
1. 正确区分分运动和合运动：船的划行方向就是船头的指向，是分运动；船的运动方向也就是船实际运动
方向，是合运动，一般情况下，船头指向不同；
2. 运动分解基本法：按实际效果分，沿船头指向和水流速度方向分解；
3. 渡河时间至于垂直于河岸的船的分速度有关，与水流的速度无关；
【变式5-1】（2023·海南·一模）一条两岸平直的宽为d 的小河如图所示，河水流速恒定。一人驾驶小船从
上游渡口A 前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大
小之比为
，行驶中船头始终垂直河岸，则A、B 两渡口沿河岸方向的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
设船在静水中速度为
、河水流速为
，船头垂直河岸，小船实际行驶方向与河岸之间夹角为
，则
，
、
两渡口沿河岸方向的距离为
，故B 正确。
故选B。
【变式5-2】（2023·陕西安康·一模）一小船（视为质点）在静水中的速度
m/s，它要渡过一条宽
m 的长直河道（两河岸平行），已知河水流速
m/s，若小船以最短路程过河，则（ ）
A．所需要的时间为60s
B．所需要的时间为45s
C．渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为135m
D．渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为225m
【答案】B
【详解】AB．如图，若小船以最短路程过河，则需要小船和水流的合速度垂直与河岸
根据平行四边形法则，有
，所以所需时间为
，A 错误，B 正确；
CD．因为题中有小船以最短路程过河，所以渡河过程中并不会有沿河岸方向的位移，CD 错误。
故选B。
角度2：船速小于水流的速度
【典例6】（2022·福建福州·模拟预测）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图
所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河
岸成30°角的线路把被困群众从A 处送到对岸安全地B 处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和船头正对河
岸的冲锋舟速度v2之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设冲锋舟以最小速度v1和船头正对河岸速度v2分别从A 到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB 连
线，
，冲锋舟速度v2垂直于水平河岸，
，可知
故选项D 正确。
【变式6-1】（2022·陕西安康·一模）长征途中，红军强渡湘江。为安全起见，侦察小分队先行渡江，如图
所示，侦察员乘坐渡船从A 点渡江，只有与A 点正对的B 点适合登陆，若河宽800m，水流的速度大小恒
为3m/s，渡船在静水中的速度大小恒为5m/s，侦察员沿直线到达对岸的B 点，则侦察员渡江的时间为（
）
A．200s
B．150s
C．120s
D．75s
【答案】A
【详解】侦查员的实际运动垂直于河岸，分解为沿水流方向的匀速直线运动和与上游成一定角度的匀速直
线运动，其中合速度与分速度关系为
，设侦察员渡江的时间为t，有
，解得
故选A。
【变式6-2】（多选）如图甲、乙所示，河的宽度为d，船在静水中的速率为v1，水流速为v2，现以甲、乙
两种方式渡河，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙渡河时间长
B．渡河最短时间为
C．若
，则不能到达正对岸
D．若
，如图乙，则渡河时间为
【答案】BC
【详解】ABD．船在静水中的速度与河岸垂直时渡河时间最短，由图示可知，甲的渡河时间最短，为
图乙中，由题图知
，乙渡河时间为
，显然
，故AD 错误，B 正确；
C．若
，则船的合速度不可能垂直对岸，则船不可能垂直过河，船不能到达正对岸，故C 正确。
故选BC。
考向4 绳（杆）端速度分解模型
1.模型特点
沿绳（杆）方向的速度分量大小相等.
2.思路与方法
合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则.
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小
相等求解.常见的模型如图所示.
角度1：绳端速度关联问题
【典例7】（23-24 高一下·贵州遵义·开学考试）质量为m 的物体P 置于倾角为θ1，的固定光滑斜面上，轻
质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水平向右做匀
速直线运动。已知重力加速度为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成θ2夹角时（如图所示），下列判
断正确的是（ ）
A．P 的速率为vcosθ1
B．P 的速率为vsinθ1
C．运动过程中P 处于超重状态
D．绳的拉力始终等于mgsinθ1
【答案】C
【详解】AB．将小车的速度沿细绳和垂直细绳方向分解，可知当小车和滑轮间的细绳与水平方向成夹角θ2
时，沿细绳方向分速度为
，由于细绳不可伸长，P 的速率等于小车速度沿绳方向分速度的大小，则
有
，故AB 错误；
CD．小车向右匀速运动过程，P 的速率表达式为
，由于v 不变，小车和滑轮间的细绳与水平方
向的夹角
逐渐减小，则P 的速度变大，P 沿斜面向上做加速运动，P 的加速度方向沿斜面向上，由牛顿
第二定律得
，可知绳的拉力大于
，P 在竖直方向上有向上的加速度分量，处于超
重状态，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式7-1】（23-24 高一上·江苏南通·阶段练习）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻
力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为
时，人以速度v 匀速向左运动，此时人的拉力大小为F，则此时
（ ）
A．船的速度为
B．船的速度为
C．船将匀速靠岸
D．船的加速度为
【答案】B
【详解】ABC．将船的速度分解为沿绳子方向与垂直绳子方向的两个分速度，其中沿绳子方向的分速度等
于人的速度，则有
，可得
由于船在靠岸过程中，
逐渐增大，
逐渐减小，则
逐渐增大，船将加速靠岸，故AC 错误，B 正
确；
D．水的阻为恒为
，此时人的拉力大小为F，以船为对象，根据牛顿第二定律可得，
解得船的加速度为
，故D 错误。
故选B。
【变式7-2】（多选）（2024 高三·河北·学业考试）如图为墨家创制的斜面引重车，在这辆前低后高的板车
后端装一个滑轮，绕过滑轮的细绳索一端系在后轮轴上，另一端系在低处的重物上，当车前进时，绳索在
后轮轴上缠绕，重物被牵引而沿车板上升。已知车板的倾角为
，车子前进的速度为v，前轮、后
轮、后轮轴边缘点的转动半径之比为4:12:1，
，下列说法正确的是（ ）
A．前轮与后轮的角速度之比为1:3
B．重物的水平速度大小为
C．重物的竖直速度大小为
D．重物的实际速度大小为
【答案】BC
【详解】A．根据线速度与角速度的关系可得，
，可得
，故A 错误；
B．重物相对车板的速度与后轮轴边缘点的线速度大小相等，后轮轴边缘点与后轮边缘点的角速度相同，
则
，重物的水平速度大小为
，故B 正确；
C．重物的竖直速度大小为
，故C 正确；
D．重物的实际速度大小为
，故D 错误。
故选BC。
角度2：杆关联问题
【典例8】（2024·云南·模拟预测）为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安装液压缓
冲杆，其结构如图所示。当液压杆
长度为L 时，
和水平方向夹角为
，
和水平方向夹角为
，A 点相对于
的速度是
，则A 点相对于
的角速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将
沿着
杆和垂直
杆分解，由几何关系可得，
，解得
故选A。
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）第一次工业革命的关键是蒸汽机的发明，蒸汽机通过连杆把往复直线
运动转化为圆周运动。如图所示的机械装置可以将滑块的往复直线运动转化为圆周运动，连杆
可
绕图中
三处的转轴转动。已知OB 杆长为L，当连杆AB 与水平方向夹角为
杆与OB 杆的夹
角为β 时，滑块A 向左以速度v 做直线运动，OB 绕O 点沿逆时针方向做匀速转动的角速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 点的速度的方向沿水平方向，如图将A 点的速度分解
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度
B 点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速
度，如图设B 的线速度为v′则，
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即
，联立可得
OB 绕O 点沿逆时针方向做匀速转动的角速度
，故选D。
【变式8-2】（多选）（2024·河南许昌·模拟预测）如图所示为某内燃机的活塞——曲轴结构，该结构由活
塞滑块P 和连杆PQ、OQ 组成。其中滑块P 穿在固定杆上，Q 点可绕着O 点顺时针转动，工作时气缸推动
活塞滑块P 沿着固定杆上下运动，带动Q 点转动。已知连杆OQ 长为R，某时刻活塞滑块在竖直杆上向下
滑动的速度为v，连杆PQ 与固定杆的夹角为θ，PQ 杆与OQ 杆的夹角为φ（此时φ 为钝角）。下列说法正
确的是（ ）
A．此时Q 点的线速度为
B．此时Q 点的角速度为
C．若Q 点匀速转动，则此时P 向下加速D．P 的速度大小始终小于Q 点的线速度大小
【答案】BC
【详解】AB.设活塞滑块的速度为v，P 点的速度的方向沿竖直方向，将P 点的速度分解，根据运动的合成
与分解可知，沿杆方向的分速度为
，Q 点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为
沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，设Q 的线速度为
，则
，
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即联立可得
，
，A 错误，B 正确；
CD.若Q 匀速转动，θ 增大、φ 减小，则此时P 向下加速，P、Q 线速度大小关系与边长有关，大小无法比
较，C 正确，D 错误。
故选BC。
1．（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀
加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间
内水平方向增加量
，竖直方向做在自由
落体运动，在时间
增加
；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角
就是一定的。
故选D。
2．（2021·辽宁·高考真题）1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着
枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则
突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s B．95s
C．100s
D．300s
【答案】D
【详解】河宽
一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船
相对静水的速度
，渡河时间最短为
，故选D。
3．（2021·广东·高考真题）由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆
与横杆
链接而成，P、Q 为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆
始终保持水平。杆
绕O 点从与水平
方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P 点的线速度大小不变
B．P 点的加速度方向不变
C．Q 点在竖直方向做匀速运动
D．Q 点在水平方向做匀速运动
【答案】A
【详解】A．由题知杆OP 绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P 点绕O 点做匀速圆周运动，则
P 点的线速度大小不变，A 正确；
B．由题知杆OP 绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P 点绕O 点做匀速圆周运动，P 点的加速
度方向时刻指向O 点，B 错误；
C．Q 点在竖直方向的运动与P 点相同，相对于O 点在竖直方向的位置y 关于时间t 的关系为
y = lOPsin(
+ ωt)，则可看出Q 点在竖直方向不是匀速运动，C 错误；
D．Q 点相对于O 点在水平方向的位置x 关于时间t 的关系为x = lOPcos(
+ ωt) + lPQ，则可看出Q 点在
水平方向也不是匀速运动，D 错误。
故选A。
4．（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为
足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立
Oxy 直角坐标系，如图（1）所示。从
开始，将一可视为质点的物块从0 点由静止释放，同时对物块施
加沿x 轴正方向的力
和
，其大小与时间t 的关系如图（2）所示。己知物块的质量为1.2kg，重力加速
度g 取
，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．
时，物块的y 坐标值为2.5m
C．
时，物块的加速度大小为
D．
时，物块的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．根据图像可得
，
，故两力的合力为
物块在y 轴方向受到的力不变为
，x 轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲
线运动，故A 错误；
B．在y 轴方向的加速度为
，故
时，物块的y 坐标值为
，故B 正确；
C．
时，
，故此时加速度大小为
，故C 错误；
D．对x 轴正方向，对物块根据动量定理
，由于F 与时间t 成线性关系故可得，
，解得
，此时y 轴方向速度为
，
故此时物块的速度大小为
，故D 正确。
故选BD。
5．（2020·山东·高考真题）单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模
型： U 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为
17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10 m/s 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨
道，速度方向与轨道边缘线AD 的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视
图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2， sin72.8°=0.96，
cos72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
(2)M、N 之间的距离L。
【答案】(1)4.8 m；(2)12 m
【详解】(1)在M 点，设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
①
设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得，mgcos17.2°=ma1 ②
由运动学公式得，
③
联立①②③式，代入数据得，d=4.8 m ④
(2)在M 点，设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规得，v2=vMcos72.8°
⑤
设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得，mgsin17.2°=ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得，
⑦
⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得，L=12 m ⑨
一、单选题
1．（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯
开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼
水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s 内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为
0.6 m。下列说法正确的是（ ）
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P 位置飞出的小水珠初速度沿1 方向
C．杯子在旋转时的角速度大小为
D．杯子在旋转时的线速度大小约为
【答案】D
【详解】AB．由图乙中做离心运动的轨迹可知，杯子的旋转方向为逆时针方向，P 位置飞出的小水珠初速
度沿2 方向，故AB 错误。
C．杯子旋转的角速度为
，故C 错误。
D．杯子旋转的轨迹半径约为0.6 m，则线速度大小约为
，故D 正确。
故选D。
2．（2024·河南·模拟预测）如图甲所示，一条小河宽度为d，两河岸P、Q 平行，一小船以恒定速度v0从
河岸P 出发，船头总保持与河岸P 垂直，河水速度v 与离河岸P 的距离x 的关系图像如图乙所示，则小船
在小河中运动的轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在小船船头垂直于河岸P 匀速运动的过程中，河水的速度先增加，后减小，即小船沿河岸方向先
加速后减速到零。
故选D。
3．（22-23 高三上·湖北黄石·阶段练习）一长方形木板放置在水平地面上，在长方形木板的上方有一条状
竖直挡板，挡板的两端固定于水平地面上，挡板与木板不接触。现有一个方形物块在木板上沿挡板以速度
运动，同时方形木板以大小相等的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡
板和水平木板间的动摩擦因数分别为
和
，物块的质量为
，则关于物块所受摩擦力说法正确的是（
）
A．竖直挡板对物块的摩擦力大小0
B．竖直挡板对物块的摩擦力大小
C．只增大木板向左运动的速度，竖直挡板对物块的摩擦力将变小
D．只增大物块沿挡板运动的速度，木板对物块的摩擦力将增大
【答案】B
【详解】D．根据题意可知，物块与木板之间的弹力的大小等于物块的重力，由公式
可知，木板对
物块的摩擦力为
，只增大物块沿挡板运动的速度，木板对物块的摩擦力不变，故D 错误；
AB．根据题意，物体相对于木板的运动方向如图所示
根据运动的合成和分解规律可知，
，解得
由平衡条件可知，挡板对物体的支持力为
竖直挡板对物块的摩擦力大小
，故A 错误，B 正确；
C．结合AB 分析可知，只增大木板向左运动的速度，
增大，则
增大，竖直挡板对物块的摩擦力将变
大，故C 错误。
故选B。
4．（2023·湖南·模拟预测）阴历正月十五放花灯，称为灯节，或称“元宵节”。这一天，人们有观灯和吃
元宵的习惯。人们将制作好的花灯，点上蜡烛，放入河中漂流，供大家欣赏。若河水各点流速与该点到较
近河岸边的距离成正比，现将花灯以一定速度垂直河岸推出去，假设花灯垂直河岸的速度不变，则花灯到
达对岸的运动路径正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设垂直河岸的速度为v0，河宽为2d，花灯与河岸的距离为x（x
d），则花灯沿水流方向的速度
为
垂直于水流方向有，
，则有
可知，加速度为一恒定值，且推出花灯处的加速度方向沿水流方向，靠近对岸位置加速度方向与水流方向
相反，故花灯在从岸边到河中间的轨迹为类平抛运动，从河中间到对岸的轨迹与该轨迹对称，根据加速度
方向与合力方向相同，合力方向指向轨迹内侧可知第二个图像符合要求。
故选B。
5．（2022·河北唐山·二模）如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体
B 相连接，A、B 质量相同。现将A 从与B 等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度取g，当细绳与
竖直杆间的夹角为
时，A 下落的高度为h，此时物体B 的速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设物体A 下落高度h 时，物体A 的速度为vA，物体B 的速度为vB，此时有
物体A、B 组成的系统机械能守恒，则有
，联立方程，解得
故选A。
6．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，水平地面上固定有一竖直光滑杆，杆上套有一圆
环，地面上放一物块，圆环和物块由绕过光滑定滑轮的轻绳相连。现物块在外力作用下以速度向右匀速
移动，某时刻连接圆环和物块的轻绳与竖直方向的夹角分别为
，此时圆环的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将物块速度分解为沿绳子方向和垂直于绳方向，则此时绳子的速度为
同理将圆环速度分解为沿绳子方向和垂直于绳方向，此时有
，代入解得
故选A。
7．（2022·北京东城·三模）某质点在Oxy 平面上运动t=0 时，质点位于y 轴上。它在x 方向运动速度-时间
图像如图甲所示，它在y 方向的位移-时间图像如图乙所示。有关该质点的运动情况，下列说法正确的是（
）
A．质点沿x 轴正方向做匀速直线运动
B．质点沿y 轴正方向做匀速直线运动
C．质点在t=1s 时速度大小为
D．质点在t=1s 时的位置坐标
【答案】D
【详解】A．质点沿x 轴正方向做匀加速直线运动，A 错误；
B．质点沿y 轴负方向做匀速直线运动，B 错误；
C．质点在t=1s 时x 方向上的速度大小为6m/s，y 方向上的速度大小为
故质点在t=1s 时速度大小为，
，C 错误；
D．质点在t=1s 时纵坐标的位置为
；t=0 时，质点位于y 轴上横坐标的位置坐标，故质点在t=1s 时
横坐标的位置为
，质点在t=1s 时的位置坐标
，D 正确。
故选D。
二、多选题
8．（2023·湖北黄冈·二模）船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与某河岸边的距离的变化
关系如图乙所示，则（ ）
A．船渡河的最短时间50s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5m/s
【答案】BD
【详解】AB．当船在静水中速度与河岸垂直时，渡河时间是最短，最短时间为
，故A
错误，B 正确；
C．船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线，故C
错误；
D．船以最短时间渡河，即船在静水中速度与河岸垂直，船在河水中的最大速度是
，故D 正确。
故选BD。
9．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图所示，O 点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l
的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O 点，
使小球甲从墙面上距水平面高度为3l 的a 点由静止开始无初速度下滑，已知墙面上沿竖直方向的各点间距
，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲从a 点运动到O 点过程中（ ）
A．小球甲的最大速度为
B．小球甲的最大速度为
C．小球甲运动到b 点时，小球乙的最大速度为
D．小球甲运动到c 点时，小球乙的最大速度为
【答案】AC
【详解】A B．由分析知，当小球甲运动到O 点时，小球乙的速度为零，此时小球甲的速度最大，设其最
大速度为
，有
，解得
，故A 正确， B 错误；
C D．设小球乙的最大速度为
时，对应的小球甲的速度大小为
，杆与竖直方向的夹角为θ，对小球甲、
乙组成的系统，由机械能守恒定律可得，
，又
，联立解
得，
，求导可得，当
时，即小球甲运动到b 点时，
有最大值且
，故C 正确， D 错误。
故选AC。
10．（2024·江西萍乡·二模）转换参考系是一种常用的分析运动方法，可以将物体的实际运动分解为跟随
某参考点的运动与相对它运动的叠加。比如，与地面不打滑滚动的车轮上某点的运动可看成相对轮轴的匀
速圆周运动与跟随轮轴匀速直线运动的叠加。图1 是一辆正以速度v 做匀速直线运动的自行车的车轮简化
示意图，车轮边缘某点P（图中未画出）离水平地面高度h 随自行车运动位移x 的变化关系如图2 所示，
图中的L 为已知量，则（ ）
A．该车轮的直径为L
B．该车轮的转速为
（转/秒）
C．在
位置，P 相对地面的速度为零D．在
位置，P 相对地面的速度为
【答案】BD
【详解】A．根据题意可知，自行车运动位移L 时，车轮转动一周，则该车轮的直径为
，故A 错
误；
B．车轮转动一周用时为
，则转速为
（转/秒），故B 正确；
C．在
位置，P 在最高点，此时质点做匀速圆周运动的分速度方向与质点做匀速直线运动的分速度方
向相同，相对地面速度为2v，故C 错误；
D．在位置，P 处于与圆心等高处，此时质点做匀速圆周运动的分速度向上，根据平行四边形定则可知，
相对地面的速度为
，故D 正确。
故选BD。
三、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）中国打造的JF-22 超高速风洞，能够模拟在40~100 公里的高空中，以每秒10
公里的高速飞行，这相当于大约30 倍音速的飞行条件。如图所示为简化的该风洞实验室的侧视图，虚线
AB 和CD 之间是风洞区域，物体进入该区域，就会受到水平方向的恒定风力，离开该区域，就不会受到风
的作用力，一科研人员将一质量为m 的小球从虚线CD 上的M 点以某一速度
（大小未知）抛入风洞区
域，小球从M 点正上方AB 边上的N 点与虚线AB 成
角射出风洞区域。已知初速度
与水平方向的
夹角
，虚线AB 和CD 间距为H，重力加速度为g，
，
，求：
（1）小球抛出时的初速度
的大小；
（2）风对小球的作用力大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设小球到达N 点时的速度大小为v，由题意可得，小球在垂直于虚线方向上做竖直上抛运
动，在沿风力方向上做匀变速直线运动，由于N 点在M 点正上方，可得，
对小球由M 点到N 点过程，应用动能定理可得，
，
代入数据解得小球抛出时的初速度，
（2）设小球由M 点运动到N 点所需时间为t，水平方向的加速度为
，则满足，
，
，又
由以上三式得，
又有牛顿第二定律得，小球所受风力
，解得
12．（2023·山东潍坊·模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果
以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为
H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O 点将质量为m 的小球
以一定的初速度竖直上抛，从M 点离开风洞区域，经过最高点Q 后小球再次从N 点返回风洞区域后做直线
运动，落在风洞区域的下边界P 处，NP 与水平方向的夹角为37°，
，
，重力加速
度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度；
（3）OP 的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球再次从N 点返回风洞区域后做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，受力
情况如图所示
根据平行四边形定则和几何知识知，
，解得
（2）最高点的小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N 点的水平方向速度也为v，设小球
在M、N 点竖直方向的速度大小为
，在 O 点的初速度为
。由O 到M 的时间为t，水平方向有
在P 点，水平方向有
，竖直方向速度大小为
，则
，解得
在竖直方向上，小球在从O 点到P 点做上抛运动，竖直方向上速度相等，可得 ，
由N 到P 小球做直线运动，则有
，可得
最高点为Q 点，则在竖直方向上，由Q 到N，则
由N 到P 有
，解得
QN 在竖直方向上有
NP 在竖直方向上有
，可得
小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度
（3）水平方向由O 到M 有
由M 到 N 有，
由N 到P 有，
又
，
，解得
13．（2023·山东·模拟预测）空气动力学是世界科学领域里最为活跃、最具有发展潜力的学科之一，为了
研究各类高速运动的物体，如飞机、汽车等在实际运行过程中所受空气阻力的影响，可在实验室中构建出
不同的风力环境进而模拟出实际环境。现利用能产生水平方向恒定风力的实验室研究小球的运动情况，如
图所示，设定风力只存在于
的区域内。将小球从原点O 竖直向上抛出，在实验室中测得小球
运动的最高点高度为
，再次经过x 轴的坐标为
，已知小球质量为
，重力加速度g 取
，求：
（1）实验室设定的风力大小为多少？
（2）再次经过x 轴前的运动过程中速度的最大值和最小值分别为多少？
【答案】（1）
；（2）
；
【详解】（1）由题意可知，小球在竖直方向做竖直上抛运动，最高点的竖直高度有
解得
小球抛出后在风洞范围内，竖直方向做匀减速直线运动，有
，解得
水平方向有
冲出风洞时竖直方向的速度
水平方向的速度
小球从风洞区域冲出后的运动时间
小球在风洞外水平方向的位移大小
小球返回风洞后水平方向的位移
，联立可知
又
，解得
对小球，水平方向
，代入数据得
（2）小球经过
时的速度最大，水平速度为
此时速度为
，解得
小球在风洞外的最小速度出现在轨迹的最高点，等于小球离开风洞时的水平速度，即
在风洞内速度最小值出现在合外力方向速度减为零时，即速度方向与合力方向垂直时。
设小球所受合力方向与水平面夹角为
。根据运动的分解，速度最小值为
又因为
，所以
故小球的最小速度为
。
