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专题05 曲线运动
考点内容
要求
考情
曲线运动的基本概念
b
2023·全国卷乙·2、2023·辽宁卷·1
2019·全国卷Ⅱ·19、2023·全国卷甲·1
2022·全国甲卷·24、2022·广东卷·6
2023·全国新课标卷·11、2023·山东卷·15
2021·江苏卷·9、2022·山东卷·11
2021·全国甲卷·15、2023·全国卷甲·4
2023·江苏卷·13、2020·全国卷Ⅰ·16
2023·北京卷·10、2022·福建卷·13
2021·河北卷·9、2022·全国甲卷·14、2022·上海
卷·6
运动的合成与分解
c
平抛运动
d
圆周运动、向心加速度、向心力
d
生活中的圆周运动
c
学
习
目
标
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点，理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重
要思想方法，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.
2.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.
3.学会处理平抛运动与竖直面、斜面和圆面结合的问题.
4.会处理平抛运动中的临界、极值问题．
5.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.
6.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型．
7.能解释生活中与圆周运动有关的问题，会应用所学知识解决实际问题。
1
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知识点01 曲线运动的基本概念...............................................................................................................................3
一、曲线运动的基本概念.................................................................................................................................. 3
二、运动的合成与分解 .................................................................................................................................... 4
三、两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断......................................................................................5
四、小船渡河问题..............................................................................................................................................5
五、关联速度......................................................................................................................................................5
知识点02 平抛运动................................................................................................................................................... 6
一、平抛运动的基本概念及规律...................................................................................................................... 6
二、平抛运动的推论..........................................................................................................................................8
三、平抛运动问题的求解思路.......................................................................................................................... 8
四、平抛运动与各种面结合问题...................................................................................................................... 9
五、平抛运动的临界问题................................................................................................................................ 11
六、斜抛问题....................................................................................................................................................12
知识点03 圆周运动................................................................................................................................................. 16
一、描述圆周运动的物理量............................................................................................................................ 16
二、向心力........................................................................................................................................................17
三、匀速圆周运动............................................................................................................................................21
四、圆周运动的求解思路................................................................................................................................ 21
五、圆周运动几种常见的临界条件................................................................................................................23
六、水平面内圆周运动的动力学问题............................................................................................................23
七、竖直平面内圆周运动问题的解题思路....................................................................................................24
八、绳子模型与轻杆模型对比........................................................................................................................ 25
九、常见的传动方式及特点............................................................................................................................ 26
十、变速圆周运动............................................................................................................................................26
知识点04 生活中的圆周运动................................................................................................................................. 27
一、火车转弯....................................................................................................................................................27
二、汽车过拱形桥............................................................................................................................................27
三、航天器中的失重现象................................................................................................................................ 28
四、离心运动和近心运动................................................................................................................................ 28
2
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知识点01 曲线运动的基本概念
一、曲线运动的基本概念
1.物体作曲线运动的条件:
①运动学角度：运动质点的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线.
①动力学角度：运动质点所受的合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线.
2.曲线运动的特点：一定是变速运动(质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度
方向时刻在变)
3.曲线运动的分类：
①a 恒定：匀变速曲线运动，如平抛运动；
②a 变化：非匀变速曲线运动，如圆周运动．
4.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
①速度方向与运动轨迹相切；
②合力方向指向曲线的“凹”侧；
③运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
【技巧点拨】曲线运动的四大特点
①运动学特点:由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线上物体位置的切线方向,所以做曲线
运动的物体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动.
②动力学特征:由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律
可知,物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于
【实战演练】
(2023·全国卷乙·2) 小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示
小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：根据曲线运动的特点可知，曲线运动速度方向沿运动轨迹的切线方向，合力方向指向运
动轨迹的凹侧。小车做曲线运动，且动能一直增加，则小车所受合力方向与运动方向夹角为锐角，故
ABC 错误，D 正确。
【实战演练】
(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图
可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：篮球在空中的运动轨迹为曲线，物体做曲线运动的条件是所受合力方向与运动方向(即轨
迹的切向方向)不共线，并且合力方向指向曲线轨迹的凹侧，故A 正确，BCD 错误。
3
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速度方向上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
③轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说
合力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出
物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.
④能量特征:若物体所受的合外力始终和物体的速度垂直,则合外力对物体不做功,物体的动能不
变;若合外力不与物体的速度方向垂直,则合外力对物体做功,物体的动能发生变化.
二、运动的合成与分解
1．基本概念
①运动的合成：已知分运动求合运动．
②运动的分解：已知合运动求分运动．
2.运动的合成与分解的法则:运动的合成与分解是指描述运动的各物理量,即位移、速度、加速度的合
成与分解,由于它们均是矢量,故合成与分解都遵循平行四边形定则.
3.分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动. 也可采用正交分解法．
4.合运动与分运动的关系:
①等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
三、两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
【实战演练】
(2019·全国卷Ⅱ·19)(多选)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落
的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v 表示他
在竖直方向的速度，其v－t 图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【答案】BD
【解析】根据v－t 图线与t 轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移
比第一次的大，选项A 错误；从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间长，由a＝可知，第二次
滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C 错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的
位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面
夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B 正确；竖直方向上的
速度大小为v1时，根据v－t 图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比
第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向
上所受阻力比第一次的大，选项D 正确．
4
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如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
四、小船渡河问题
1.解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就是船头指向
, 是分运动
;船的
运动方向也就是船的实际运动方向
, 是合运动
,一般情况下与船头指向不一致.
2.运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解.
模型解读
分运动1
分运动2
合运动
运动
船相对于静水的划行运动
船随水漂流的运动
船的实际运动
速度本质
发动机给船的速度v1
水流给船的速度v2
船相对于岸的速度v
速度方向
沿船头指向
沿水流方向
合速度方向,轨迹(切线)方向
渡河时间
①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关
②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最
短,
t min= d
v1 (d 为河宽)
渡河位移
①若v 船>v 水，当船头方向与上游河岸夹角θ 满
足v 船cos θ＝v 水时，合速度垂直河岸，渡河位移
最短，且xmin＝d
②若v 船<v 水，合速度不可能垂直于河岸，无法
垂直渡河．当船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂
直时，渡河位移最短，且xmin＝＝
五、关联速度
1．定义：两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)
的直线上，两物体的速度是关联的．
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速
度，把物体的实际速度分解为垂直于绳
( 杆
) 和平行于绳
( 杆
) 两个分速度，根据沿绳
( 杆
) 方向的分速度大小相
等求解.
3. 常见的速度分解模型
情景图示
定量结论
5
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v＝v 物cos θ
v 物′＝v∥＝v 物cos θ
v∥＝v∥′
即v 物cos θ＝v 物′cos α
v∥＝v∥′
即v 物cos α＝v 物′cos β
知识点02 平抛运动
一、平抛运动的基本概念及规律
1.特点:①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动.
2.性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：化曲为直
⑤水平方向：匀速直线运动；
⑥竖直方向：自由落体运动．
4.运动规律:
①建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x 轴正方向，竖直向下为y
轴正方向）;
②由两个分运动规律来处理.
【实战演练】
(2023·全国卷甲·1)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A. 机械能一直增加
B. 加速度保持不变
C. 速度大小保持不变
D. 被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【解析】解析：A、铅球在平抛运动过程中，仅受重力，机械能守桓，故A 错误；
B、铅球在平抛运动过程中加速度为重力加速度，保持不变，故B 正确；
CD、运动过程中减少的重力势能转化为动能，铅球的动能越来越大，速度也越来越大，故CD 错误。
6
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水平方向：匀速直线运动 竖直方向：自由落体运动
{y=
1
2
gt
2¿¿¿¿
{x=v
0t¿¿¿¿
实际运动轨迹（合运动）：
{位移：s=√x
2+y
2，夹角tanα=
y
x
¿¿¿¿
二、平抛运动的推论
1.飞行时间:由
t=√
2h
g 知,飞行
时间
取决于下落高度
h ,与初速度v0无关.
2.水平射程:
x=v0t=v0√
2h
g ,即水平射程由初速度
v 0 和下落高度
h 共同决定,与其他因素无关.
3.落地速度:
v=√v x
2+v y
2=√v0
2+2gh ,以θ 表示落地速度与x 轴正方向
【
实战演练】
(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05
s 发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的
第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度s1和
s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
【答案】 m/s
【解析】频闪仪每隔0.05 s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3 个影像，故相邻两球的时间间
隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s．设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，
竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t，y1＝gt2＝×10×0.22 m＝0.2 m，
y2＝g(2t)2－gt2＝×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m，令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为s1＝
s2＝＝
则有∶＝3∶7
整理得x＝y，故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝＝ m/s.
7
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间的夹角,有
tanθ= v y
v x
=√2gh
v0
,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h 有关.
4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量Δv=gΔt 相同,方向恒为竖直向下.
【技巧点拨】平抛运动的速度均匀变化，速率不是均匀变化。
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有tanθ=2tan α .
推导：
tanθ=
v y
v0
=gt
v0
¿}¿¿⇒tanθ=2tanα¿
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
如图所示，即x A=2 xB .
推导：
tanθ=
y A
xA−xB
¿}¿¿⇒xA=2xB¿
三、平抛运动问题的求解思路
1.若知道速度的大小和方向,则首先考虑分解速度.
2.若知道位移的大小和方向,则首先考虑分解位移.
3.两种分解方法:
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动;
②沿斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的匀减速运动.
四、平抛运动与各种面结合问题
1.平抛与竖直面结合
{水平：d=v0t¿¿¿¿
2.平抛与斜面结合
①顺着斜面平抛
情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下
处理方法：分解位移．
8
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{x=v0t¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t=2v0tanθ
g
.
情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下
处理方法：分解速度
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t= v0tanθ
g
.
②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向
下
处理方法：分解速度．
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t=
v0
gtanθ .
3.平抛与圆面结合
①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．
处理方法：由半径和几何关系制约时间t：
【实战演练】
(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的
枪口与小积木上P 点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静
止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P 点，t 大于
B．将击中P 点，t 等于
C．将击中P 点上方，t 大于
D．将击中P 点下方，t 等于
【答案】B
【解析】由题意知枪口与P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木
时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P 点；又由于初始状态
子弹到P 点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B.
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{h=1
2 gt 2 ¿ ¿¿¿
联立两方程可求t.
②小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α 与速度的偏
向角相等．
处理方法：分解速度．
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t= v0tanθ
g
.
③小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ 与速度的偏向角
相等．
处理方法：分解速度．
{vx=v0¿¿¿¿
¿
¿
可求得
t= v0tanθ
g
.
4. 与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水
平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．
五、平抛运动的临界问题
1.常见的三种临界特征
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止
点”,而这些起止点往往就是临界点.
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极
值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
①确定研究对象的运动性质;
②根据题意确定临界状态;
③确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
④应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
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六、斜抛问题
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下所做的运动.
2.运动性质：加速度为g 的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线.
3．研究方法：运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动；
②竖直方向：匀变速直线运动．
4.基本规律(以斜向上抛为例)
①水平方向:做匀速直线运动,
v0 x=v0cosθ , x=v0t cosθ .
②竖直方向:做竖直上抛运动,
v0 y=v0sinθ , y=v0t sinθ−1
2 gt 2
.
【实战演练】
(2023·全国新课标卷·11)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗
称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不
能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为ℎ处水平抛出，抛出速度的最小值为
多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
【答案】
解：根据平抛运动规律可知竖直方向有v y
2 =2gℎ
结合题意石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ，可知抛出速度的最小值满足，如图：
tanθ= v y
v0
解得v0= √2 gℎ
tanθ
答：抛出速度的最小值为√2 gℎ
tanθ 。
【解析】根据平抛运动竖直方向和水平方向的速度关系分析解答。本题考查平抛运动，解题关键掌握
平抛运动有关速度的计算公式。
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5.平抛运动和斜抛运动的相同点
①都只受到重力作用,加速度相同,相等时间内速度的变化量相同.
【实战演练】
(2023·山东卷·15 删减)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。
电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火
弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L=60m，灭火弹出膛速度
v0=50m/ s，方向与水平面夹角θ =53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小
g=10m/ s
2，sin53° =0.8。
(1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
【答案】解：(1)炮弹飞出后做抛体运动，将抛出点的速度分解如图所示；
由图可知，水平方向上的分速度v x = v0cos53° =50×0.6m/ s=30m/ s；
竖直方向上的分速度v y = v0sin53° =50×0.8m/ s= 40m/ s；水平方向上做匀速直线运动，到达高楼
时间t x = L
v x
= 60
30 s=2s；
竖直方向上做竖直上抛运动，由v =>¿可知，到达最高点所用时间t = v y
g = 40
10 s= 4 s，大于水平方向到
达高楼的时间，所以此时炮弹没有到达最高点，则上升的高度
H = v yt −1
2 gt
2= 40×2m−1
2 ×10×4 m=60m，即灭火弹击中高楼的位置高地面高为60m；
【解析】(1)灭火弹做斜抛运动，根据运动的合成和分解将其分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直
方向上的竖直上抛运动进行分析，由水平方向求出上升时间，再根据竖直上抛运动规律求出高度.
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②都是匀变速曲线运动,轨迹都是抛物线.
③都可采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题.
【技巧点拨】逆向思维法处理斜抛问题：对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看
成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
【实战演练】
(2021·江苏卷·9)如图所示，A、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向
相同，下列判断正确的是( )
A．A 比B 先落入篮筐
B．A、B 运动的最大高度相同
C．A 在最高点的速度比B 在最高点的速度小
D．A、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同
【答案】D
【解析】若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的
两点，则A 上升的高度较大，高度决定时间，可知A 运动时间较长，即B 先落入篮筐中，A、B 错误；
因为两球抛射角相同，A 的射程较远，则A 球的水平速度较大，即A 在最高点的速度比B 在最高点的速
度大，C 错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B 上升到某一相同高度时的速度方向相同，D 正确．
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【实战演练】
(2022·山东卷·11)(多选)如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/ s的速度斜向上击出，击球点到
竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁
碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取
10m/ s
2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A. v =5m/ s
B. v =3√2m/ s
C. d =3.6m
D. d =3.9m
【答案】BD
【解析】
设网球被击出时竖直方向分速度v0 y
2 =2 g( H −ℎ)
代入数据得v0 y
❑=√2×10×(8.45−1.25)m/ s =12m/ s
网球被击出时的速度为v0，则网球被击出时水平方向分速度v0 x
❑=√v0
2−v0 y
2 =√13
2−12
2m/ s=5m/ s
又网球被击出到击中墙壁经历的时间t = v0 y
g = 12
10 s=1.2s
网球水平方向到P点的距离x = v0 xt =6m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0 x⊥= v0 x⋅4.8
6 = 4 m/ s
平行墙面的速度分量v0 x //=√v0 x
2 −v0 x⊥
2
=3m/ s
反弹后，垂直墙面的速度分量v x⊥
′
=0.75⋅v0 x⊥=3m/ s
则反弹后的网球速度大小为v =√v水平⊥
′2
+ v0水平//
2
=3√2m/ s
网球落到地面的时间t
′
=√
2 H
g =√
8.45×2
10
s=1.3 s
着地点到墙壁的距离d = v水平⊥
′
t
′
=3.9m
故BD正确，AC错误。
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知识点03 圆周运动
一、描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理
量
②是矢量，方向为质点在圆弧某点的线
速度方向沿圆弧该点切线方向
①
v=Δs
Δt (定义式)
②
v=2 πR
T
(与周期的关系)
③单位：m/s
角速度
(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②是矢量，但中学阶段不研究其方向
①ω= Δθ
Δt (定义式)
②
ω=2 π
T
(与周期的关系)
③单位：rad/s
④ω 与v 的关系：v=ωR
周期
(T)转
速(n)
频率
(f)
①周期是物体沿圆周运动一周所用的时
间，周期的倒数为频率
②转速是单位时间内物体转过的圈数，
也叫频率
①
T=2 πR
v
=1
f (与频率的关系)
②T 的单位：s
n 的单位：r/s、r/min
f 的单位：Hz
向心加
速度
(an)
①描述线速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①
an= v2
R =ω2 R=4π2
T 2 R=ωv
②单位：m/s2
【技巧点拨】
①对公式
的理解：在ω 一定时，v 与r 成正比；在v 一定时，ω 与r 成反比．
②对
的理解：在v 一定时，an 与r 成反比；在ω 一定时，an 与r 成正比．
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二、向心力
1.特点：总是指向圆心，产生向心加速度
2.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
3.大小：
Fn=man=m v2
R =mω2 R=m 4π2
T 2 R=mωv
4.方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
5.来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种力提供，也可以是几个
力的合力或某个力的分力提供，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
【实战演练】
(2021·全国甲卷·15)“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧
在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现．拉动多次后，纽扣绕其中心的转速
可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm 处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2
B．100 m/s2
C．1 000 m/s2
D．10 000 m/s2
【答案】C
【解析】根据匀速圆周运动的规律，
此时ω＝2πn＝100π rad/s，
向心加速度大小为a＝ω2r≈1 000 m/s2，故选C.
【
实战演练】
(2023·全国卷甲·4)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期
与轨道半径成反比，则n等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】解：根据题意质点做匀速圆周运动，所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比：Fn∝r
n
运动周期与轨道半径成反比可知：T = K
r ( K为常数)
解得：Fn=m 4 π
2
K
2 r
3，其中m 4 π
2
K
2 均为常数，r的指数为3，故n=3，故C 正确，ABD 错误。
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【实战演练】
(2023·江苏卷·13)“转碟”是传统的杂技项目。如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边
缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速
度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f 。
【答案】解：根据线速度的计算公式可得发光物体的速度大小为：v0=ω0r
物体受到的摩擦力提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得：f =mω0
2r
答：发光物体的速度大小为ω0r，受到的静摩擦力大小为mω0
2r。
【解析】根据线速度的计算公式得出发光物体的速度大小；
物体受到的摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得出摩擦力的大小。
【实战演练】
(2020·全国卷Ⅰ·16)如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总
质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根
绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N C．600 N D．800 N
【答案】B
【解析】取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时受力如图所示，设每根绳子中平均拉力大小为F.
由牛顿第二定律知：2F－mg＝，取g＝9.8 m/s2，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约
为405 N，选项B 正确．
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6.匀速圆周运动中向心力来源
运动模型
汽车在水平路面转弯
水平转台（光滑）
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
火车转弯
飞机水平转弯
向心力的来源图示
【实战演练】
(2023·北京卷·10)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一
端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为F，用
停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法
正确的是( )
A. 圆周运动轨道可处于任意平面内 B. 小球的质量为FRt
2
4 π
2n
2
C. 若误将n−1圈记作n圈，则所得质量偏大 D. 若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
【答案】A
【解析】解：A、在太空实验室中，物体均处于完全失重状态，则小球没有重力效果，圆周运动轨道
处于任意平面内时，小球所受合力均为绳上的拉力，小球做圆周运动的效果都相同，故A 正确；
B、小球做匀速圆周运动，小球所受合力为绳上的拉力F，该拉力充当向心力，则由牛顿第二定律有
F =mω
2 R =m( 2π
T )
2 R
周期为：T = t
n
联立方程得：m=
F t
2
4 π
2n
2 R
故B 错误；
C、若误将n−1圈记作n圈
则n变大
由m=
F t
2
2
2
可知
m变小
故C 错误；
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【实战演练】
(2022·福建卷·13)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。
500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
(1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2s。该过程可视为匀加速直线运动，求此
过程加速度大小；
(2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/ s。已知
武大靖的质量为73kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
(3)武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过
弯，如图所示。求武大靖在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加
速度大小取10m/ s
2，tan 22
∘=0.40、tan 27
∘=0.51、tan32
∘=0.62、tan37
∘=0.75)
【答案】
(1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前x1=8m用时t1=2s
根据位移—时间关系可得：x1= 1
2 at1
2
代入数据解得：a= 4 m/ s
2；
(2)根据向心力的计算公式可得：Fn=m v
2
r =73× 14
2
10 N =1430.8 N；
(3)设场地对武大靖的作用力大小为F，F与重力的合力提供向心力，如图所示：
根据几何关系可得：tanθ = mg
Fn
代入数据解得：tanθ≈0.51 所以θ =27°。
答：(1)求此过程加速度大小为4 m/ s
2；
(2)此次过弯时所需的向心力大小为1430.8 N；
(3)武大靖在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小为27°。
【解析】(1)武大靖从静止出发，根据位移—时间关系求解加速度大小；
(2)根据向心力的计算公式求解向心力大小；
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7.变速圆周运动中向心力来源：如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，
，如图所示．
三、匀速圆周运动
1.定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动．
2.特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，加速度大小不变，方向始终指向
圆心，速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动．
3.条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
四、圆周运动的求解思路
1.一审题：审题意，确定研究对象（以做圆周运动的物体为研究对象）
2.二确定：确定圆周运动的轨道平面，确定圆心
3.三分析：
①分析几何关系，求半径
②分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源（关键）
③分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量，确定向心加速度的表达式
4.列方程：根据牛顿运动定律合圆周运动知识列方程
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【实战演练】
(2021·河北卷·9)(多选)如图，矩形金属框MNQP 竖直放置，其中MN、PQ 足够长，且PQ 杆光滑，一根
轻弹簧一端固定在M 点，另一端连接一个质量为m 的小球，小球穿过PQ 杆，金属框绕MN 轴分别以
角速度ω 和ω′匀速转动时，小球均相对PQ 杆静止，若ω′>ω，则与以ω 匀速转动时相比，以ω′
匀速转动时( )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【答案】BD
【解析】对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin
θ＝mg，而FT＝k
可知θ 为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A 错误，B 正确；
水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcos θ－FN＝mω2r
即FN＝FTcos θ－mω2r
当转速较大，FN指向转轴时，
则FTcos θ＋FN′＝mω′2r
即FN′＝mω′2r－FTcos θ
因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C 错误；
根据F 合＝mω2r 可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，则D 正确．
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五、圆周运动几种常见的临界条件
1.物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与接触面间恰好达到最大静摩擦力．
2.物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
3.绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
六、水平面内圆周运动的动力学问题
运动模型
汽车在水平路面转弯
水平转台（光滑）
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
火车转弯
飞机水平转弯
向心力的来源图示
【技巧点拨】圆锥摆模型
①如图所示，向心力F 向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，联立解得v＝，ω＝.
【实战演练】
(2022·全国甲卷·14)北京2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a 处由静止自由
滑下，到b 处起跳，c 点为a、b 之间的最低点，a、c 两处的高度差为h.要求运动员经过c 点时对滑雪
板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段
圆弧雪道的半径不应小于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】运动员从a 到c 根据动能定理有mgh＝mvc
2，在c 点有FNc－mg＝m，FNc≤ kmg，联立有Rc≥，
故选D.
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②稳定状态下，θ 角越大，对应的角速度ω 和线速度v 就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需
的向心力也越大．
七、竖直平面内圆周运动问题的解题思路
1.定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
2.确定临界点:
v临=√gr ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是FN表
现为支持力还是拉力的临界点.
3.研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
4.受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,
F合=F向.
5.过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【技巧点拨】斜面上圆周运动的临界问题：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂
直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2R.
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八、绳子模型与轻杆模型对比
绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动
的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
示意图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
过最高
点的临
界条件
F弹=0
mg=m vmin
2
R
vmin=√gR
v=0
即F向=0
F弹=mg
讨论
分析
①过最高点时, v≥√gR ,
F弹+mg=m v2
R ,绳、圆轨道对
球产生弹力F弹
②不能过最高点时, v<√gR ,
在到达最高点前小球已经脱离了圆
轨道
①当v=0 时, F弹=mg ,F弹为支持
力,沿半径背离圆心
②当0<v<√gR 时,
-F弹+mg=m v2
R ,F弹背离圆心,随v
的增大而减小
③当v=√gR 时, F弹=0
④当v>√gR 时,
F弹+mg=m v2
R ,F弹指向圆心并随v
的增大而增大
九、常见的传动方式及特点
1.皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即
v A=vB .
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2.摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大
小相等，即v A=vB
3.同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA=ωB ，由v=ωR 知v
与R 成正比．
十、变速圆周运动
1.变速圆周运动速度大小方向都发生变化，不仅存在着向心加速度（改变速度的方向），而且还存在
着切向加速度（方向沿着轨道的切线方向，用来改变速度的大小）.
2.一般而言，合加速度方向不指向圆心，合力不一定等于向心力
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v 同向时，速度增大，做加速
圆周运动，反向时做减速圆周运动．
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向．
知识点04 生活中的圆周运动
一、火车转弯
1．如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力．
2．铁路弯道的特点
①弯道处外轨略高于内轨．
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②火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧．支持力与重力的合力
指向圆心．
【技巧点拨】
①铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支
持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R 为弯道半径，θ 为轨道平面与水平面间的
夹角(θ 很小的情况下，tan θ≈sin θ)．
②当火车行驶速度v 等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨
道对火车轮缘无挤压作用．
二、汽车过拱形桥
汽车过拱形桥
汽车过凹形路面
受力分析
动力学方程
对桥(路面)
的压力
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重
力（失重），而且汽车速度越
大，汽车对桥的压力越小
汽车对路面的压力大于汽车的重
力（超重），而且汽车速度越
大，汽车对路面的压力越大
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，所以
．
2．完全失重状态：当
时座舱对航天员的支持力
，航天员处于完全失重状态．
四、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，
就做逐渐远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力．
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3.受力特点
①当F=0 时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0<F<mω2 R 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动．
③当F>mω2 R 时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
4.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
5.离心运动的应用和防止
①应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机．
②防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度．
【实战演练】
(2022·上海卷·6)运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向
心加速度为a。则( )
A. ω变小，a变小B. ω变小，a变大
C. ω变大，a变小
D. ω变大，a变大
【答案】D
【解析】根据ω= v
r 可知，速率不变，半径减小，则角速度ω变大，根据a= v
2
r 可知，速率不变，半径
减小，向心加速度a变大，故D 正确，ABC 错误。
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