文档内容
第 8 讲 曲线运动 运动的合成与分解
目录
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹.......................................................................................1
考点二 运动的合成及运动性质分析...........................................................................................1
考点三 小船渡河模型...................................................................................................................4
考点四 绳(杆)端速度分解模型....................................................................................................7
练出高分..........................................................................................................................................11
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运
动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速
度方向与速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外
力方向指向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
[例题1] （2023•海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动
轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（ ）
A．质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】C．质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D．质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减
小
1
[例题2] （2023•金山区二模）如图， 圆弧型管道MN置于水平面上，一光滑小
4
球从管道M端进入，它从出口N离开后的运动轨迹是（ ）
A．a B．b C．c D．d
[例题3] （2022•宜春模拟）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛
的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动
的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。
在图乙所示的各图中，圆表示冰壶， 表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，
则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（ ）
ω
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
[例题4] （2022•温州三模）如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车
赛道的实景图，乙图是其示意图。比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先
后经过A、P、B、C、D五点。运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是（
）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
[例题5] （2022•宜宾模拟）如图，在冬奥会短道速滑项目中，圆弧实线 ON为正
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】常运动路线的弯道，OM为运动员在O点的速度方向。若运动员在O点稍发生侧滑，
她就会偏离正常比赛路线，则其滑动线路（ ）
A．沿OM直线 B．在OM左侧区域Ⅰ
C．在OM和ON之间区域Ⅱ D．在ON右侧区域Ⅲ
考点二 运动的合成及运动性质分析
1．遵循的法则：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运
匀变速曲线运动
动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
[例题6] （2023•盐山县二模）曲线运动是生活中一种常见的运动，下列关于曲线
运动的说法中正确的是（ ）
A．可能存在加速度为0的曲线运动
B．平抛运动是加速度随时间均匀变化的曲线运动
C．匀速圆周运动一定是加速度变化的曲线运动
D．圆周运动不可以分解为两个相互垂直的直线运动
[例题7] （2023•辽宁模拟）在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】始计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向的运动规律分
别如图甲、乙所示，则重物（ ）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
[例题8] （2023•广州二模）潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小
的过程称为“掉深”。如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，
该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度 v 随时间变化的图像如图
y
b，水平速度vₓ保持不变。若以水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则潜艇“掉深”
后的0～30s内，能大致表示其运动轨迹的图形是（ ）
A． B．
C． D．
[例题9] （2023•浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物
线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的
理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落
地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力
加速度为g。下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】A．炮弹到达最高点b时的加速度为g
B．炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等
[例题10]（2023•广东模拟）a、b两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动。
图甲是a做匀加速直线运动的x﹣t图像，图乙是b做匀减速直线运动的x﹣v2图像。
则下列说法正确的是（ ）
A．t＝1.25s时两物体速度相等
B．前1s内两物体间距离一直在变大
C．t＝0时刻，a的速度为2m/s，b的速度为8m/s
D．a的加速度大小为4m/s2，b的加速度大小为8m/s2
考点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v(船在静水中的速度)、v(水流速度)、v(船的实际速度)．
1 2
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t ＝(d为河宽)．
短
②过河路径最短(vv 时)：合速度
2 1
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以 v 矢量末端为圆心，以
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】v 矢量的大小为半径画弧，从v 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最
1 2
短．由图可知：cos α＝，最短航程：s ＝＝d.
短
[例题11] （多选）（2023•上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河
对岸60m处的P点时，其下游80m处有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为
6m/s，水流的速度大小为5m/s，P点离另一河岸的距离大于100m，下列说法正确的是
（ ）
A．小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸
B．小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸
C．小船渡河的位移可能为60m
D．小船渡河的位移不可能为100m
[例题12]一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v水 ＝4m/s，让小船
船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足 x＝6t﹣
0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正
确的是（ ）
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中40s时的速度为√41m/s
C．小船在河水中40s时的位移为160m
D．小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m
[例题13]（2022•平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们
轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，
小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x ；若小
1
船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从 O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下
游B处，位移为x ．小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动
2
机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量
和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射
击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度 v 将
0
箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为 L，空气阻力不计。
请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求
小球落地前与箭头的最近距离。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】考点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v 与v 的合成遵循平行四边形定则．
1 2
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速
度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
[例题14]（2023•静海区校级模拟）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我
们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，
锁舌所夹的角度为 ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，
如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（ ）
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为v ＝vcot
1
C．如果图中的 变小，关门时会更费力
θ
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
θ
[例题15]（2023•浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动
转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆
OB长为R，连杆AB长为L（L＞R），当OB杆以角速度 逆时针匀速转动时，滑块
在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为 ，AB杆与OB杆的夹角为 。
ω
在滑块向左滑动过程中（ ）
α β
A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大
R2ω
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
L
Rω√L2+R2
D．当 ＝90°时，滑块的速度大小为
L
β
[例题16]（多选）（2023•葫芦岛一模）如图所示，小球A的右侧通过长度为L
的轻杆与转轴O相连。小球A的左侧通过足够长的轻绳绕过定滑轮与小球B相连。用
手托住小球A使轻杆水平时，AP段的轻绳也水平。已知小球A到定滑轮的距离也为
L。小球A的质量为2m，小球B的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦和定滑
轮质量。现将小球A由静止释放，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】A．小球B在竖直方向做简谐运动
B．轻绳与轻杆夹角为90度时，小球A受合力一定不为零
√2gL
C．轻绳与轻杆夹角为90度时，小球B的速度大小为
3
√ √2
D．轻绳与轻杆夹角为90度时，小球B的速度大小为 2(1− )gL
3
[例题17]（2022•襄城区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车
拉上倾角为 的光滑斜面，人拉动绳子的速度v恒定，下列说法正确的是（ ）
α
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升h高的过程中，绳子拉力对小车做的功大于小车重力势能的增加量
v
D．当绳子与斜面斜边的夹角为 时，小车的速度为
cos(α+β)
β
[例题18]（2022•青羊区校级二模）如图所示，小球A、B用一根长为L的轻杆相
连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，
小球A沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹
角为 ，小球A和墙面恰好分离，最后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的
是（ ）
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零
B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小
C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离
D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tan ：1
θ
练出高分
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•河西区期中）如图为高空拍摄的克鲁伦河蛇曲景观地形图，以下水流速度方
向大致相同的点是（ ）
A．A点和C点 B．C点和B点 C．A点和B点 D．B点和D点
2．（2023春•郑州期中）常见的曲线运动有抛体运动和圆周运动。抛体运动有上抛、平抛、
下抛、斜抛，圆周运动有匀速圆周运动、非匀速圆周运动。关于质点做曲线运动，下列
说法中正确的是（ ）
A．质点速度和加速度方向均时刻在改变
B．质点所受合力方向与速度方向相同或相反时，也可以做曲线运动
C．曲线运动轨迹上任一点的切线方向就是质点在这一点的瞬时速度方向
D．有些曲线运动也可能是匀速运动，比如匀速圆周运动
3．（2023春•洛阳期中）一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动，如图所示，其中A点
是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合
外力是恒力，曲线MN关于虚线2对称，则当物体运动到A点时，合外力的方向可能是
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】A．沿F 或F 的方向
1 5
B．沿F 或F 的方向
3 4
C．沿F 的方向
2
D．不在MN曲线所确定的水平面内
4．（2023春•西湖区校级月考）关于曲线运动，下列说法不正确的是（ ）
A．做曲线运动的质点的瞬时速度方向在曲线运动的切线方向
B．质点在恒力作用下可能做曲线运动
C．质点做曲线运动不一定有加速度
D．质点做曲线运动时受到的合力方向与速度方向一定不在同一直线上
5．（2023春•广州期中）如图所示，利用卷扬机将套在光滑竖直杆上的重物提升到高处。
当重物运动到图示位置时速度为v，连接重物的钢丝绳与竖直杆夹角为 ，则此时卷扬
机缠绕钢丝绳的速度v 为（ ）
0 θ
v v
A．vcos B． C．vsin D．
cosθ sinθ
6．（2023春θ •济宁期中）一质量为2g的小球在如图甲所θ 示的xOy平面上运动，在x方向
的v﹣t图像和y方向的s﹣t图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．前2s内小球做匀变速直线运动
B．小球的初速度为8m/s
C．2s末小球的速度大小为4m/s
D．前2s内小球所受的合外力大小为8N
7．（2023春•番禺区期中）一条河的两侧河岸平行，河的宽度为60m，水流速度为6m/s，
—条小船在静水中的速度为10m/s，则下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】A．渡河所需最短时间为10s
B．渡河最短位移为100m
C．以最短时间渡河时，小船渡河的位移为60m
D．以最短位移渡河时，小船渡河所需的时间为7.5s
8．（2023春•番禺区期中）如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的
一端系一重物，人握着绳的另一端以速度v拉着绳水平向左匀速运动，经过图示位置时
绳与水平方向的夹角为 ，此时重物的速度大小为（ ）
α
v v
A．v•sin B．v•cos C． D．
sinα cosα
9．（2023春α•包河区校级期中）如α图所示，河的宽度为d，船渡河时船头始终垂直河岸。
船在静水中的速度大小为v ，河水流速的大小为v ，则船渡河通过的位移为（ ）
1 2
d d
A． v B． √v2+v2
v 2 v 1 2
1 2
d d
C． v D． √v2+v2
v +v 1 v 1 2
1 2 1
10．（2023春•顺义区校级月考）如图所示，平台上的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定
滑轮牵引重物上升，平台足够长，汽车始终保持匀速运动，在重物未达到定滑轮高度之
前，下列说法正确的是（ ）
A．重物匀速上升 B．重物减速上升
C．绳子拉力大于重物重力 D．绳子拉力小于重物重力
二．解答题（共3小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】11．（2023春•越秀区校级期中）小船在静水中的速度大小v ＝5m/s，要渡过宽d＝60m、
1
两岸平行的河流，水流的速度大小v ＝3m/s。
2
（1）求小船渡河的最短时间t；
（2）求当小船以最小位移渡河时，船头与河岸夹角的正弦值sin 。
12．（2022秋•金凤区校级期末）在“观察红蜡块运动”的实验中，假设从某时刻（t＝0）
θ
开始，红蜡块在玻璃管内每秒上升的距离都是 10cm；从t＝0开始，玻璃管向右匀加速
平移，每一秒通过的水平位移依次是2cm、8cm、14cm、20cm。建立坐标系，用y表示
蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点。
（1）由题意可知蜡块竖直方向的速度为 0.10m/ s ；
（2）由题目所给条件玻璃管水平向右做匀加速直线运动的原因是
相邻的时间间隔内位移之差为一恒量 ；
（3）请在图中标出t等于1s、2s，3s，4s时蜡块的位置，并用平滑的曲线描绘蜡块的运
动轨迹。
13．（2022秋•重庆期末）如图，用跨过光滑定滑轮的不可伸长的缆绳将海面上一艘失去
动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机输出功率恒为 P，小船的质量为
m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时缆绳与海平面的夹角为 ，此时小船的速度
大小为v ，小船从A点沿直线加速运动到B点，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略
0 α
不计。求：
（1）小船在A点时，缆绳对小船的拉力大小F；
（2）小船在A点时的加速度大小a；
（3）若已知小船经过B点时的速度大小为v ，则小船从A点运动到B点经历时间t为
1
多大。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】
