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第四章 抛体运动与圆周运动
【曲线运动与天体运动的单元知识体系】
知识点 24：曲线运动 运动的合成与分解
考点一：曲线运动的条件和特征
题型一：轨迹、速度与力的位置关系
【知识思维方法技巧】
（1）曲线运动的特征：
①做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动
的条件)。②合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的
分力改变物体速度的大小。
（2）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
①速度方向与运动轨迹相切；②合力方向指向曲线的“凹”侧；③运动轨迹一定夹在速度
方向和合力方向之间.
【典例1提高题】质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示
意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )
【典例1提高题对应练习】在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过
“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过
程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
题型二：合力方向与速率变化的关系
【知识思维方法技巧】
合力方向与速率变化的关系：
【典例2提高题】(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v 通过点O，如图所示，与此同时
0
给质点加上沿x轴正方向的恒力F 和沿y轴正方向的恒力F，则( )
x y
A．因为有F ，质点一定做曲线运动 B．如果F＜F ，质点向y轴一侧做曲线运动
x y x
C．如果F＝F tan α，质点做直线运动 D．如果F ＞，质点向x轴一侧做曲线运动
y x x
【典例2提高题对应练习】如图所示，一质点受一恒定合外力F作用从y轴上的A点平行
于x轴射出，经过一段时间到达x轴上的B点，在B点时其速度垂直于x轴指向y轴负方
向，质点从A到B的过程，下列判断正确的是( )
A. 合外力F可能指向y轴负方向 B. 该质点的运动为匀变速运动
C. 该质点的速度大小可能保持不变 D. 该质点的速度一直在减小
考点二：运动的合成与分解
【知识思维方法技巧】
（1）合运动的性质分析：
①看合加速度：加速度a不变，则为匀变速运动；a变化（大小或方向），则为非匀变速
2
学科网（北京）股份有限公司运动。
②看合加速度的方向与合初速度的方向：共线则为直线运动，不共线则为曲线运动。
（2）合运动与分运动的关系：
①等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、
同时停止。
②独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和
轨迹。
③等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
题型一：由合运动与分运动的关系判断物体运动的特点
【典例1提高题】（多选）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员从直升
机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风速的影响，下列说法正确的是( )
A．风速越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风速越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风速无关 D．运动员着地速度与风速无关
题型二：由分运动的运动图象判断合运动的性质
【典例2提高题】（多选）如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其 v－t
图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示．若以地面为参考
系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s D．猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【典例2提高题对应练习】在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上
从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和v－t图象分别如图4甲、乙所示，
y
求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离．
3
学科网（北京）股份有限公司题型三：由分运动规律判断合运动的性质
【典例3提高题】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为 x＝－2t2－
4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(
)
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀减速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线
【典例3提高题对应练习】 在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a
的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v 水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的
0
高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法
中正确的是( )
A．相对地面做匀速直线运动
B．相对地面做匀加速曲线运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v＋at
0
D．t时间内猴子对地的位移大小为
题型四：由物体受力情况判断合运动的性质
【典例4提高题】质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的
原点处，先用沿x轴正方向的力F ＝8 N作用2 s，然后撤去F ；再用沿y轴正方向的力F
1 1 2
＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
【典例4提高题对应练习】如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy，一质量
m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点O时（此
时t=0），撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变。在t=0时刻之后，关
于小球的运动，下列说法正确的是
4
学科网（北京）股份有限公司A．做匀变速曲线运动
B．在任意相等的时间内，小球的速度变化相同
C．经过x、y坐标相同位置时所用的时间为1 s
D．在t=1 s时，小球的动能为1 J
题型五：参考系转化问题
【典例5提高题】 帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速
为v，以海岸为参考系，不计阻力．关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法中正
确的是( )
A．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为v
C．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为v
【典例5提高题对应练习】如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速
度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
考点三：小船渡河模型
【知识思维方法技巧】
三种过河情景分析：
（1）过河时间最短：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝，d为河宽。
min
（2）过河路径最短
①当v v 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，只有合速度垂直于船在静水中
水 船
的速度时，渡河路径最短，最短渡河位移为x ＝
min
注意：求渡河最小船速v 时，根据船速v 与水流速度v 的大小情况用动态三角形法分析
船 船 水
处理。
题型一：水速不变，水流速度小于船在静水中的速度模型
【典例1提高题】 一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时 t 。当发
1
生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，
水速是船相对于静水的速度大小的一半)( )
A.t B．2t C.t D.t
1 1 1 1
【典例1提高题对应练习】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾
着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程
所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B. C. D.
题型二：水速不变，水流速度大于船在静水中的速度模型
【典例2提高题】一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4
m/s的河流中渡河，则该小船( )
A．能到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
【典例2提高题】 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4
m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离
最短？最短距离是多少？
题型三：水速不变，水速与船速关系未知模型
【典例3提高题】如图所示，船从A点开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角
水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为( )
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学科网（北京）股份有限公司A.2 m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.5 m/s
【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到
河对岸的P点，河水的流速v 、船在静水中的速度v 与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为
水 静
L，且v 、v 的大小不变，下列说法正确的是( )
静 水
A. 渡河时间t＝ B. 渡河时间t＝
C. v 越小，渡河时间越短 D. 当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
水
题型四：水速变化模型
【典例4提高题】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离
河岸的距离的变化关系如图乙所示，则 ( )
A．船渡河的最短时间60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【典例4提高题对应练习】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v，
0
船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂
直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确
的是( )
A．乙船先到达对岸
B．若仅是河水流速v 增大，则两船的渡河时间都不变
0
C．不论河水流速v 如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
0
7
学科网（北京）股份有限公司D．若仅是河水流速v 增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
0
考点四：绳连接体及杆连接体端点速度分解问题
【知识思维方法技巧】
绳（杆）速度分解模型的处理技巧：
（1）先确定合速度的方向：绳(杆)拉物体的实际运动速度方法
（2）确定两个分速度方向：沿绳（杆）方向的分速度和垂直绳（杆）方向的分速度。
（3）解题原则：画出速度分解图，把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳
（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。如图所示：
题型一：绳端速度分解的问题
类型一：绳两端物体速度的关系
【典例1a提高题】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小
车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，
滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为( )
A． B． C． D．
【典例1a提高题对应练习】如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固
定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，两
段绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为v 、v ，且此时v ＋v ＝
A B A B
m/s，sin 37°＝ ，cos 37°＝ ，则v 的大小为( )
A
A. m/s B. m/s C. 2 m/s D. 4 m/s
类型二：绳端速度分解与物体状态分析的综合
【典例1b提高题】如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰
匀速上升，以下说法正确的是 ( )
8
学科网（北京）股份有限公司A．物体B正向右做匀减速运动 B．物体B正向右做加速运动
C．地面对B的摩擦力减小 D．右侧绳与水平方向成30°角时，v ∶v ＝∶2
A B
【典例1b提高题对应练习】（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，
轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆
的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时
(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
题型二：杆端速度分解的问题
类型一：单杆模型
【典例2a提高题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m 和m 的两个小球A和B(可
A B
视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与
球形容器球心等高，其速度大小为v ，已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，B球的速度
1
大小为v，则( )
2
A．v＝v B．v＝2v C．v＝v D．v＝v
2 1 2 1 2 1 2 1
类型二：两杆连接（曲柄连杆）模型
【典例2b提高题】如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆
AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆
AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角
速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速
度大小为( )
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
考点五：杆物接触速度分解问题
【知识思维方法技巧】
杆物接触速度分解模型的处理技巧：
沿接触面的法线方向（与杆垂直的方向）的分速度相等
题型一：杆物贴靠接触模型
【典例1提高题】如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以
水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆
端点A的线速度为( )
A. B．vsin θ C. D．vcos θ
【典例1提高题对应练习】如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，轻杆靠在
一个高为h的物块上，某时刻杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v，则此时
A点速度为( )
A. B. C. D.
题型二：杆物贴套接触模型
【典例2提高题】如图所示， 杆以恒定角速度 绕A点在竖直平面内顺时针转动，并
带动套在固定水平杆 上的小环M运动， 间距离为h。运动开始时 杆在竖直位置，
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学科网（北京）股份有限公司则经过时间t（小环仍套在 和 杆上）小环M的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例2提高题对应练习】如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水
平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将(
)
A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．逐渐减小
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学科网（北京）股份有限公司
