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第四章 抛体运动与圆周运动
【曲线运动与天体运动的单元知识体系】
知识点 24：曲线运动 运动的合成与分解
考点一：曲线运动的条件和特征
题型一：轨迹、速度与力的位置关系
【知识思维方法技巧】
（1）曲线运动的特征：
①做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动
的条件)。②合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的
分力改变物体速度的大小。
（2）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
①速度方向与运动轨迹相切；②合力方向指向曲线的“凹”侧；③运动轨迹一定夹在速度
方向和合力方向之间.
【典例1提高题】质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示
意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )
【典例1提高题】【答案】A
【解析】A图中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，故A正确；B图
中，速度方向与加速度方向相同，质点做直线运动，不做曲线运动，故B错误；C图中，
加速度在速度的右侧，质点运动轨迹应向右侧凹，故 C错误；D图中，加速度方向与速度
方向夹角小于90°，质点做加速曲线运动，故D错误。
【典例1提高题对应练习】在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过
“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过
1
学科网（北京）股份有限公司程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是( )
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
【典例1提高题对应练习】【答案】C
【解析】足球做曲线运动，其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可
知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故选项C正确，A、B、D错误
题型二：合力方向与速率变化的关系
【知识思维方法技巧】
合力方向与速率变化的关系：
【典例2提高题】(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v 通过点O，如图所示，与此同时
0
给质点加上沿x轴正方向的恒力F 和沿y轴正方向的恒力F，则( )
x y
A．因为有F ，质点一定做曲线运动 B．如果F＜F ，质点向y轴一侧做曲线运动
x y x
C．如果F＝F tan α，质点做直线运动 D．如果F ＞，质点向x轴一侧做曲线运动
y x x
【典例2提高题】【答案】CD
【解析】如果F 、F 二力的合力沿v 方向，即F＝F tan α，则质点做直线运动，A错误，
x y 0 y x
C正确；若F ＞，则合力方向在v 与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运
x 0
动，若F ＜，则合力方向在v 与y轴之间，所以运动轨迹必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，
x 0
因不知α的大小，所以只凭F 、F 的大小不能确定F 是偏向x轴还是y轴，B错误，D正
x y 合
确．
【典例2提高题对应练习】如图所示，一质点受一恒定合外力F作用从y轴上的A点平行
于x轴射出，经过一段时间到达x轴上的B点，在B点时其速度垂直于x轴指向y轴负方
向，质点从A到B的过程，下列判断正确的是( )
2
学科网（北京）股份有限公司A. 合外力F可能指向y轴负方向 B. 该质点的运动为匀变速运动
C. 该质点的速度大小可能保持不变 D. 该质点的速度一直在减小
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】质点受到一恒力，从A到B，根据曲线运动的条件，则有合外力的方向在x轴负
方向与y轴负方向之间，不可能沿y轴负方向，否则B点的速度不可能垂直x轴，故A错
误；由于质点受到的合外力为恒力，因此做匀变速曲线运动，不可能做匀速圆周运动，所
以速度大小一定变化，故B正确，C错误；根据力与速度的夹角，可知速度先减小后增大，
故D错误．
考点二：运动的合成与分解
【知识思维方法技巧】
（1）合运动的性质分析：
①看合加速度：加速度a不变，则为匀变速运动；a变化（大小或方向），则为非匀变速
运动。
②看合加速度的方向与合初速度的方向：共线则为直线运动，不共线则为曲线运动。
（2）合运动与分运动的关系：
①等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、
同时停止。
②独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和
轨迹。
③等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
题型一：由合运动与分运动的关系判断物体运动的特点
【典例1提高题】（多选）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员从直升
机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风速的影响，下列说法正确的是( )
A．风速越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风速越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风速无关 D．运动员着地速度与风速无关
【典例1】【答案】BC
【解析】水平风速不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风速无关，选项 A错
误，C正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风速越大，落地时水平分速度
越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，选项B正确，D错误。
题型二：由分运动的运动图象判断合运动的性质
【典例2提高题】（多选）如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其 v－t
图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示．若以地面为参考
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学科网（北京）股份有限公司系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s D．猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】猴子在竖直方向做初速度为8 m/s、加速度为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向
做速度为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动
选项B正确，A错误；t＝0时猴子的速度大小为v ＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在
0
2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确．
【典例2提高题对应练习】在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上
从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和v－t图象分别如图4甲、乙所示，
y
求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)2 m/s (2)8 m
【解析】(1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为v ＝＝2 m/s，在
x
运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为4 m/s，则运动后4 s内质点运动的最大速度为
v ＝＝2 m/s.
m
(2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运
动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，此过程加速度大小为a＝＝ m/s2＝3
m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间t＝＝ s;则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
2
y＝×2× m－×4× m＝0;因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移
由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s＝x＝8 m.
题型三：由分运动规律判断合运动的性质
【典例3提高题】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为 x＝－2t2－
4
学科网（北京）股份有限公司4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(
)
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀减速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线
【典例3提高题】【答案】C
【解析】 x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得：v ＝－4 m/s，v ＝6 m/s；a ＝－4 m/s2，a＝6
0x 0y x y
m/s2；物体在x轴方向上的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体
在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速度直线运动，故 B错误；题中分运动的初
速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是
匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【典例3提高题对应练习】 在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a
的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v 水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的
0
高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法
中正确的是( )
A．相对地面做匀速直线运动
B．相对地面做匀加速曲线运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v＋at
0
D．t时间内猴子对地的位移大小为
【典例3提高题对应练习】【答案】BD
【解析】猴子的运动是沿竖直杆向上匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动，
猴子相对地面的运动轨迹为抛物线，为匀加速曲线运动，选项A错误，B正确．t时刻猴子
对地速度的大小为v＝，选项C错误；t时间内猴子对地的位移大小为s＝，选项D正确．
题型四：由物体受力情况判断合运动的性质
【典例4提高题】质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的
原点处，先用沿x轴正方向的力F ＝8 N作用2 s，然后撤去F ；再用沿y轴正方向的力F
1 1 2
＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
5
学科网（北京）股份有限公司【典例4提高题】【答案】D
【解析】物体在F 的作用下由静止开始从坐标系原点沿x轴正方向做匀加速直线运动，加
1
速度a ＝＝4 m/s2，末速度为v ＝at ＝8 m/s，对应位移x ＝at2＝8 m；到2 s末撤去F 再
1 1 11 1 11 1
受到沿y轴正方向的力F 的作用，物体在x轴正方向做匀速运动，x ＝vt ＝16 m，在y轴
2 2 12
正方向做匀加速运动，y轴正方向的加速度a＝＝5 m/s2，对应的位移y＝at2＝10 m，物体
2 22
做曲线运动。再根据曲线运动的加速度方向大致指向轨迹的凹侧，可知选项A、B、C均错
误，D正确。
【典例4提高题对应练习】如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy，一质量
m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点O时（此
时t=0），撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变。在t=0时刻之后，关
于小球的运动，下列说法正确的是
A．做匀变速曲线运动
B．在任意相等的时间内，小球的速度变化相同
C．经过x、y坐标相同位置时所用的时间为1 s
D．在t=1 s时，小球的动能为1 J
【典例4提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变，可知小球所受的合力
沿y轴正向且合力恒定，小球的加速度恒定不变，且与初速度垂直，可知小球做匀变速曲
线运动，选项A正确；因加速度不变，则根据∆v=at可知在任意相等的时间内，小球的速
度变化相同，选项B正确；小球沿y轴正向的加速度为 ，则
，x方向：x=vt，则当x=y时解得t=2 s，选项C错误；在t=1 s时，
0
6
学科网（北京）股份有限公司v=at=1 m/s，则此时小球的速度 ，则小球的动能为
y
，选项D正确.
题型五：参考系转化问题
【典例5提高题】 帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速
为v，以海岸为参考系，不计阻力．关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法中正
确的是( )
A．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为v
C．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为v
【典例5提高题】【答案】A
【解析】由于帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度 v航行，南风以v的风速向北
吹来，当以海岸为参考系时，实际速度v ＝＝2v，设帆船实际航行方向与正北方向夹角为
实
α，则sin α＝＝，α＝30°，即帆船沿北偏东30°方向航行，选项A正确．
【典例5提高题对应练习】如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速
度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【典例5提高题对应练习】【答案】 D
【解析】以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对
帆板的速度v ＝v，方向为北偏东45°，D正确．
相对
考点三：小船渡河模型
【知识思维方法技巧】
三种过河情景分析：
（1）过河时间最短：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝，d为河宽。
min
（2）过河路径最短
7
学科网（北京）股份有限公司①当v v 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，只有合速度垂直于船在静水中
水 船
的速度时，渡河路径最短，最短渡河位移为x ＝
min
注意：求渡河最小船速v 时，根据船速v 与水流速度v 的大小情况用动态三角形法分析
船 船 水
处理。
题型一：水速不变，水流速度小于船在静水中的速度模型
【典例1提高题】 一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时 t 。当发
1
生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，
水速是船相对于静水的速度大小的一半)( )
A.t B．2t C.t D.t
1 1 1 1
【典例1提高题】【答案】D
【解析】设河宽为L，船相对于静水的速度为v，则河水不流动时，船垂直渡河时间t ＝。
1
当水速为时，要垂直河岸渡河，则有v′＝＝v，船垂直渡河的时间t ＝＝＝·＝t ，选项D正
2 1
确。
【典例1提高题对应练习】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾
着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程
所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B. C. D.
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v，则去程渡河所用时间t＝，回程渡河
0 1
所用时间t＝.由题知＝k，联立以上各式得v＝，选项B正确，选项A、C、D错误．
2 0
题型二：水速不变，水流速度大于船在静水中的速度模型
【典例2提高题】一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4
m/s的河流中渡河，则该小船( )
A．能到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
【典例2提高题】【答案】C
【解析】因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；
当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间 t＝＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，故B
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学科网（北京）股份有限公司错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v t＝200 m，故C正确；当v 与实际运
水 船
动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为 θ，则cos θ＝，故渡河位移s＝
＝200 m，故D错误．
【典例2提高题】 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4
m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离
最短？最短距离是多少？
【典例2提高题】【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运
动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t
＝＝ s＝50 s，小船沿水流方向的位移s ＝v t＝2×50 m＝100 m，即船将在正对岸下游
水 水
100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度 v应垂直于河岸，如图甲所示，则 os θ＝＝＝，故θ＝
60°，即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝ s＝ s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角 θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直
于河岸方向的分速度v ＝v sin θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂
⊥ 船
直时，渡河时间最短，最短时间为t ＝50 s.
min
(4)因为v ＝3 m/s
