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第四章 抛体运动与圆周运动
【曲线运动与天体运动的单元知识体系】
知识点 24：曲线运动 运动的合成与分解
考点一：曲线运动的条件和特征
题型一：轨迹、速度与力的位置关系
【知识思维方法技巧】
（1）曲线运动的特征：
①做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动
的条件)。②合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的
分力改变物体速度的大小。
（2）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
①速度方向与运动轨迹相切；②合力方向指向曲线的“凹”侧；③运动轨迹一定夹在速度
方向和合力方向之间.
【典例1提高题】质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示
意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是( )
【典例1提高题】【答案】A
【解析】A图中，加速度方向与速度方向夹角大于90°，质点做减速运动，故A正确；B图
中，速度方向与加速度方向相同，质点做直线运动，不做曲线运动，故B错误；C图中，
加速度在速度的右侧，质点运动轨迹应向右侧凹，故 C错误；D图中，加速度方向与速度
方向夹角小于90°，质点做加速曲线运动，故D错误。
【典例1提高题对应练习】在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过
“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过
1
学科网（北京）股份有限公司程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是( )
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
【典例1提高题对应练习】【答案】C
【解析】足球做曲线运动，其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可
知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故选项C正确，A、B、D错误
题型二：合力方向与速率变化的关系
【知识思维方法技巧】
合力方向与速率变化的关系：
【典例2提高题】(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v 通过点O，如图所示，与此同时
0
给质点加上沿x轴正方向的恒力F 和沿y轴正方向的恒力F，则( )
x y
A．因为有F ，质点一定做曲线运动 B．如果F＜F ，质点向y轴一侧做曲线运动
x y x
C．如果F＝F tan α，质点做直线运动 D．如果F ＞，质点向x轴一侧做曲线运动
y x x
【典例2提高题】【答案】CD
【解析】如果F 、F 二力的合力沿v 方向，即F＝F tan α，则质点做直线运动，A错误，
x y 0 y x
C正确；若F ＞，则合力方向在v 与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运
x 0
动，若F ＜，则合力方向在v 与y轴之间，所以运动轨迹必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，
x 0
因不知α的大小，所以只凭F 、F 的大小不能确定F 是偏向x轴还是y轴，B错误，D正
x y 合
确．
【典例2提高题对应练习】如图所示，一质点受一恒定合外力F作用从y轴上的A点平行
于x轴射出，经过一段时间到达x轴上的B点，在B点时其速度垂直于x轴指向y轴负方
向，质点从A到B的过程，下列判断正确的是( )
2
学科网（北京）股份有限公司A. 合外力F可能指向y轴负方向 B. 该质点的运动为匀变速运动
C. 该质点的速度大小可能保持不变 D. 该质点的速度一直在减小
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】质点受到一恒力，从A到B，根据曲线运动的条件，则有合外力的方向在x轴负
方向与y轴负方向之间，不可能沿y轴负方向，否则B点的速度不可能垂直x轴，故A错
误；由于质点受到的合外力为恒力，因此做匀变速曲线运动，不可能做匀速圆周运动，所
以速度大小一定变化，故B正确，C错误；根据力与速度的夹角，可知速度先减小后增大，
故D错误．
考点二：运动的合成与分解
【知识思维方法技巧】
（1）合运动的性质分析：
①看合加速度：加速度a不变，则为匀变速运动；a变化（大小或方向），则为非匀变速
运动。
②看合加速度的方向与合初速度的方向：共线则为直线运动，不共线则为曲线运动。
（2）合运动与分运动的关系：
①等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、
同时停止。
②独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和
轨迹。
③等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
题型一：由合运动与分运动的关系判断物体运动的特点
【典例1提高题】（多选）跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员从直升
机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风速的影响，下列说法正确的是( )
A．风速越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风速越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风速无关 D．运动员着地速度与风速无关
【典例1】【答案】BC
【解析】水平风速不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风速无关，选项 A错
误，C正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风速越大，落地时水平分速度
越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，选项B正确，D错误。
题型二：由分运动的运动图象判断合运动的性质
【典例2提高题】（多选）如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其 v－t
图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示．若以地面为参考
3
学科网（北京）股份有限公司系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s D．猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】猴子在竖直方向做初速度为8 m/s、加速度为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向
做速度为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动
选项B正确，A错误；t＝0时猴子的速度大小为v ＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在
0
2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确．
【典例2提高题对应练习】在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上
从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和v－t图象分别如图4甲、乙所示，
y
求：
(1)运动后4 s内质点的最大速度；
(2)4 s末质点离坐标原点的距离．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)2 m/s (2)8 m
【解析】(1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为v ＝＝2 m/s，在
x
运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为4 m/s，则运动后4 s内质点运动的最大速度为
v ＝＝2 m/s.
m
(2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运
动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，此过程加速度大小为a＝＝ m/s2＝3
m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间t＝＝ s;则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
2
y＝×2× m－×4× m＝0;因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移
由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s＝x＝8 m.
题型三：由分运动规律判断合运动的性质
【典例3提高题】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为 x＝－2t2－
4
学科网（北京）股份有限公司4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(
)
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在y轴方向上做匀减速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线
【典例3提高题】【答案】C
【解析】 x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得：v ＝－4 m/s，v ＝6 m/s；a ＝－4 m/s2，a＝6
0x 0y x y
m/s2；物体在x轴方向上的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体
在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速度直线运动，故 B错误；题中分运动的初
速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是
匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【典例3提高题对应练习】 在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a
的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v 水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的
0
高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法
中正确的是( )
A．相对地面做匀速直线运动
B．相对地面做匀加速曲线运动
C．t时刻猴子对地速度的大小为v＋at
0
D．t时间内猴子对地的位移大小为
【典例3提高题对应练习】【答案】BD
【解析】猴子的运动是沿竖直杆向上匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动，
猴子相对地面的运动轨迹为抛物线，为匀加速曲线运动，选项A错误，B正确．t时刻猴子
对地速度的大小为v＝，选项C错误；t时间内猴子对地的位移大小为s＝，选项D正确．
题型四：由物体受力情况判断合运动的性质
【典例4提高题】质量为m＝2 kg的物体(可视为质点)静止在光滑水平面上的直角坐标系的
原点处，先用沿x轴正方向的力F ＝8 N作用2 s，然后撤去F ；再用沿y轴正方向的力F
1 1 2
＝10 N作用2 s。则物体在这4 s内的轨迹为( )
5
学科网（北京）股份有限公司【典例4提高题】【答案】D
【解析】物体在F 的作用下由静止开始从坐标系原点沿x轴正方向做匀加速直线运动，加
1
速度a ＝＝4 m/s2，末速度为v ＝at ＝8 m/s，对应位移x ＝at2＝8 m；到2 s末撤去F 再
1 1 11 1 11 1
受到沿y轴正方向的力F 的作用，物体在x轴正方向做匀速运动，x ＝vt ＝16 m，在y轴
2 2 12
正方向做匀加速运动，y轴正方向的加速度a＝＝5 m/s2，对应的位移y＝at2＝10 m，物体
2 22
做曲线运动。再根据曲线运动的加速度方向大致指向轨迹的凹侧，可知选项A、B、C均错
误，D正确。
【典例4提高题对应练习】如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy，一质量
m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点O时（此
时t=0），撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变。在t=0时刻之后，关
于小球的运动，下列说法正确的是
A．做匀变速曲线运动
B．在任意相等的时间内，小球的速度变化相同
C．经过x、y坐标相同位置时所用的时间为1 s
D．在t=1 s时，小球的动能为1 J
【典例4提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变，可知小球所受的合力
沿y轴正向且合力恒定，小球的加速度恒定不变，且与初速度垂直，可知小球做匀变速曲
线运动，选项A正确；因加速度不变，则根据∆v=at可知在任意相等的时间内，小球的速
度变化相同，选项B正确；小球沿y轴正向的加速度为 ，则
，x方向：x=vt，则当x=y时解得t=2 s，选项C错误；在t=1 s时，
0
6
学科网（北京）股份有限公司v=at=1 m/s，则此时小球的速度 ，则小球的动能为
y
，选项D正确.
题型五：参考系转化问题
【典例5提高题】 帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速
为v，以海岸为参考系，不计阻力．关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法中正
确的是( )
A．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为v
C．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为v
【典例5提高题】【答案】A
【解析】由于帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度 v航行，南风以v的风速向北
吹来，当以海岸为参考系时，实际速度v ＝＝2v，设帆船实际航行方向与正北方向夹角为
实
α，则sin α＝＝，α＝30°，即帆船沿北偏东30°方向航行，选项A正确．
【典例5提高题对应练习】如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速
度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
【典例5提高题对应练习】【答案】 D
【解析】以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对
帆板的速度v ＝v，方向为北偏东45°，D正确．
相对
考点三：小船渡河模型
【知识思维方法技巧】
三种过河情景分析：
（1）过河时间最短：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝，d为河宽。
min
（2）过河路径最短
7
学科网（北京）股份有限公司①当v <v 时：合速度垂直于河岸时，航程最短，x ＝d。船头指向上游与河岸夹角为
水 船 min
α，cos α＝
②当v >v 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，只有合速度垂直于船在静水中
水 船
的速度时，渡河路径最短，最短渡河位移为x ＝
min
注意：求渡河最小船速v 时，根据船速v 与水流速度v 的大小情况用动态三角形法分析
船 船 水
处理。
题型一：水速不变，水流速度小于船在静水中的速度模型
【典例1提高题】 一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时 t 。当发
1
生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，
水速是船相对于静水的速度大小的一半)( )
A.t B．2t C.t D.t
1 1 1 1
【典例1提高题】【答案】D
【解析】设河宽为L，船相对于静水的速度为v，则河水不流动时，船垂直渡河时间t ＝。
1
当水速为时，要垂直河岸渡河，则有v′＝＝v，船垂直渡河的时间t ＝＝＝·＝t ，选项D正
2 1
确。
【典例1提高题对应练习】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾
着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程
所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B. C. D.
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v，则去程渡河所用时间t＝，回程渡河
0 1
所用时间t＝.由题知＝k，联立以上各式得v＝，选项B正确，选项A、C、D错误．
2 0
题型二：水速不变，水流速度大于船在静水中的速度模型
【典例2提高题】一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、水流速度为4
m/s的河流中渡河，则该小船( )
A．能到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
【典例2提高题】【答案】C
【解析】因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；
当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间 t＝＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，故B
8
学科网（北京）股份有限公司错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v t＝200 m，故C正确；当v 与实际运
水 船
动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为 θ，则cos θ＝，故渡河位移s＝
＝200 m，故D错误．
【典例2提高题】 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4
m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离
最短？最短距离是多少？
【典例2提高题】【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运
动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t
＝＝ s＝50 s，小船沿水流方向的位移s ＝v t＝2×50 m＝100 m，即船将在正对岸下游
水 水
100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度 v应垂直于河岸，如图甲所示，则 os θ＝＝＝，故θ＝
60°，即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝ s＝ s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角 θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直
于河岸方向的分速度v ＝v sin θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂
⊥ 船
直时，渡河时间最短，最短时间为t ＝50 s.
min
(4)因为v ＝3 m/s<v ＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲
船 水
向下游．如图丙所示，设船头(v )与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以
船
看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v 的矢尖为圆心，以v 的大小为半径画
水 船
圆，当合速度v与圆相切时，α角最大． 则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝
53°，又＝＝，代入数据解得x′≈267 m.
题型三：水速不变，水速与船速关系未知模型
【典例3提高题】如图所示，船从A点开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角
水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为( )
9
学科网（北京）股份有限公司A.2 m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.5 m/s
【典例3提高题】【答案】B
【解析】设水流速度为v ，船在静水中的速度为v ，船沿AB方向航行时，运动的分解如
1 2
图所示，当v 与AB垂直时，v 最小，v ＝vsin 37°＝2.4 m/s，选项B正确。
2 2 2min 1
【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到
河对岸的P点，河水的流速v 、船在静水中的速度v 与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为
水 静
L，且v 、v 的大小不变，下列说法正确的是( )
静 水
A. 渡河时间t＝ B. 渡河时间t＝
C. v 越小，渡河时间越短 D. 当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
水
【典例3提高题对应练习】【答案】BD
【解析】渡河时间t＝ ，与v 无关，选项A、C错误，B正确；
水
当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为t ＝ ＝ ，D正确．
min
题型四：水速变化模型
【典例4提高题】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离
河岸的距离的变化关系如图乙所示，则 ( )
A．船渡河的最短时间60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【典例4提高题】【答案】BD
【解析】 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300 m，t＝＝100
10
学科网（北京）股份有限公司s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断
变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河
水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，故D正确．
【典例4提高题对应练习】(多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v，
0
船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂
直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确
的是( )
A．乙船先到达对岸
B．若仅是河水流速v 增大，则两船的渡河时间都不变
0
C．不论河水流速v 如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点
0
D．若仅是河水流速v 增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L
0
【典例4提高题对应练习】【答案】BD
【解析】将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具
有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间t＝，故A错误；若仅是河水
流速v 增大，渡河的时间t＝，则两船的渡河时间都不变，故B正确；只有甲船速度大于
0
水流速度时，不论河水流速v 如何改变，甲船总能到达河的正对岸A点，故C错误；若仅
0
是河水流速v 增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向相对于静
0
水的分速度仍不变，则两船之间的距离仍然为L，故D正确．
考点四：绳连接体及杆连接体端点速度分解问题
【知识思维方法技巧】
绳（杆）速度分解模型的处理技巧：
（1）先确定合速度的方向：绳(杆)拉物体的实际运动速度方法
（2）确定两个分速度方向：沿绳（杆）方向的分速度和垂直绳（杆）方向的分速度。
（3）解题原则：画出速度分解图，把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳
（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。如图所示：
题型一：绳端速度分解的问题
类型一：绳两端物体速度的关系
【典例1a提高题】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小
11
学科网（北京）股份有限公司车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，
滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为( )
A． B． C． D．
【典例1a提高题】【答案】D
【解析】将速度v 和v按运动效果分解如图1、图2所示，由图2知沿绳方向v＝vcos β，
车 1
同理由图1知v＝v cos α，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等，v＝v，所以v
3 车 1 3 车
cos α＝vcos β，所以v ＝，故D正确。
车
【典例1a提高题对应练习】如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固
定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，两
段绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为v 、v ，且此时v ＋v ＝
A B A B
m/s，sin 37°＝ ，cos 37°＝ ，则v 的大小为( )
A
A. m/s B. m/s C. 2 m/s D. 4 m/s
【典例1a提高题对应练习】【答案】A
【解析】设此时绳子的速率为v ，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，
绳
可得v ＝v sin 37°，v ＝v cos 53°，结合v ＋v ＝ m/s，解得v ＝ m/s，故选A.
绳 A 绳 B A B A
类型二：绳端速度分解与物体状态分析的综合
【典例1b提高题】如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰
匀速上升，以下说法正确的是 ( )
A．物体B正向右做匀减速运动 B．物体B正向右做加速运动
12
学科网（北京）股份有限公司C．地面对B的摩擦力减小 D．右侧绳与水平方向成30°角时，v ∶v ＝∶2
A B
【典例1b提高题】【答案】D
【解析】将B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于A的
速度，如图所示，根据平行四边形定则有v cos α＝v ，所以v ＝，α减小，所以B的速度
B A B
减小，但不是匀减速运动，选项A、B错误；分别对A、B受力分析，在竖直方向上有T＝
m g，mg＝N＋Tsin α，α减小，则支持力增大，根据f＝μN可知，摩擦力增大，选项C错
A
误；根据v cos α＝v ，右侧绳与水平方向成30°角时，v ∶v ＝∶2，选项D正确。
B A A B
【典例1b提高题对应练习】（多选）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，
轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆
的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时
(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
【典例1b提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】小环释放后，v增加，而v ＝vcos θ，v 增大，由此可知小环刚释放时重物具有向
1 1
上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角
为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，
其分速度v 与重物上升的速度大小相等，v ＝vcos 45°＝v，所以，小环在B处的速度与重
1 1
物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确．
题型二：杆端速度分解的问题
类型一：单杆模型
13
学科网（北京）股份有限公司【典例2a提高题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m 和m 的两个小球A和B(可
A B
视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与
球形容器球心等高，其速度大小为v ，已知此时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，B球的速度
1
大小为v，则( )
2
A．v＝v B．v＝2v C．v＝v D．v＝v
2 1 2 1 2 1 2 1
【典例2a提高题】【答案】C
【解析】球A与球形容器球心等高，速度v 方向竖直向下，速度分解如图所示，有v ＝
1 11
vsin 30°＝v ，球B此时速度方向与杆成 α＝60°角，因此v ＝vcos 60°＝v ，沿杆方向两
1 1 21 2 2
球速度相等，即v ＝v ，解得v＝v，C项正确。
21 11 2 1
类型二：两杆连接（曲柄连杆）模型
【典例2b提高题】如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆
AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆
AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角
速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速
度大小为( )
A． B． C． D．
【典例2b提高题】【答案】D
【解析】设滑块的水平速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向，将A点的速度分解，
如图所示。
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度v ＝vcos α，B点做圆周运动，实际速度
A分
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学科网（北京）股份有限公司是圆周运动的线速度，可以分解为沿AB杆方向的分速度和垂直于AB杆方向的分速度，如
图，设B的线速度为，则v ＝v′cos θ＝v′cos(β－90°)＝v′cos (90°－β)＝v′sin β，v′＝ωL，
B分
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即v ＝v
A分 B分
联立可得v＝，故D正确。
考点五：杆物接触速度分解问题
【知识思维方法技巧】
杆物接触速度分解模型的处理技巧：
沿接触面的法线方向（与杆垂直的方向）的分速度相等
题型一：杆物贴靠接触模型
【典例1提高题】如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以
水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆
端点A的线速度为( )
A. B．vsin θ C. D．vcos θ
【典例1提高题】【答案】C
【解析】将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得：v ＝，选
0
项C正确，选项A、B、D错误．
【典例1提高题对应练习】如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，轻杆靠在
一个高为h的物块上，某时刻杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v，则此时
A点速度为( )
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【典例1提高题对应练习】【答案】C
【解析】如图所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B
点运动的速度v ＝v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v 和v ，其中v ＝v sin θ＝vsin θ为B
B 2 1 2 B
点做圆周运动的线速度，v ＝v cos θ为B点沿杆运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ时，
1 B
OB＝，由于B点的线速度为v＝vsin θ＝OBω，所以ω＝＝，所以A的线速度v ＝Lω＝，
2 A
选项C正确。
题型二：杆物贴套接触模型
【典例2提高题】如图所示， 杆以恒定角速度 绕A点在竖直平面内顺时针转动，并
带动套在固定水平杆 上的小环M运动， 间距离为h。运动开始时 杆在竖直位置，
则经过时间t（小环仍套在 和 杆上）小环M的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例2提高题】【答案】D
【解析】经过时间t， ，则AM的长度为 ;则AB杆上与小环M的接
触点绕A点的线速度 ;将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向
分解，垂直于AB杆方向的分速度等于速度v，则小环M的速度 ，
故选D。
【典例2提高题对应练习】如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水
平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将(
)
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学科网（北京）股份有限公司A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．逐渐减小
【典例2提高题对应练习】【答案】A
【解析】设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点的线速
度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分
速度大小等于小环M绕A点的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，随着时间的延长，则小
环的速度将不断变大，故选项A正确，B、C、D错误。
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