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专题07 曲线运动及其实例分析
目录
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析........................................................................................................................1
类型1 基本概念的辨析与理解.........................................................................................................................1
类型2 曲线运动的动力学解释.......................................................................................................................3
题型二 运动的合成与分解........................................................................................................................................8
类型1 合运动与分运动的关系.......................................................................................................................8
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断.....................................................................................................9
类型3 运动合成与分解思想的迁移应用.......................................................................................................13
题型三 小船渡河问题..............................................................................................................................................18
题型四 实际运动中的两类关联速度模型..............................................................................................................22
类型1 绳端关联速度的分解问题.................................................................................................................24
类型2 杆端关联速度的分解问题.................................................................................................................27
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线
上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改
变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧
弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的
动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】（2023·海南海口·校考模拟预测）曲线运动是生活中一种常见的运动，下列关于曲
线运动的说法中正确的是（ ）
A．可能存在加速度为0的曲线运动
B．平抛运动是加速度随时间均匀变化的曲线运动
C．匀速圆周运动一定是加速度变化的曲线运动
D．圆周运动不可以分解为两个相互垂直的直线运动
【例2】．（2023春·云南·高三统考阶段练习）关于质点做曲线运动，下列说法正确的是
（ ）
A．曲线运动一定是变速运动，变速运动也一定是曲线运动
B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变
C．质点做曲线运动的过程中，某个时刻所受合力方向与速度方向可能相同
D．有些曲线运动也可能是匀速运动
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学科网（北京）股份有限公司【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）下列几种关于运动情况的描述，说法正确的是（
）
A．一物体受到变力作用不可能做直线运动
B．一物体受到恒力作用可能做圆周运动
C．在等量异种电荷的电场中，一带电粒子只在电场力作用下可能做匀速圆周运动
D．在匀强磁场中，一带电小球在重力和洛伦兹力作用下不可能做平抛运动
类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 改变速度的大小，沿径向的分力F 改变速度
2 1
的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在珠海举行的第13届中国航展吸引了全世
界的军事爱好者。如图，曲线 是一架飞机在竖直面内进行飞行表演时的轨迹。假设从a
到b的飞行过程中，飞机的速率保持不变。则沿曲线 运动时（ ）
A．飞机的合力方向与速度方向夹角可能为锐角也可能为钝角
B．飞机的竖直分速度逐渐变大
C．飞机的合外力做功为0
D．飞机的机械能保持不变
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）一质量为 的滑块在水平方向恒力 的
作用下，在光滑的水平面上运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过
P、Q两点时速度大小均为 ，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角 ，
， 。则下列说法正确的是（ ）
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
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学科网（北京）股份有限公司B．滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量为0m/s
C．滑块从P点运动到Q点的时间为0.3s
D．滑块从P点运动到Q点的过程中动能最小值为0.16J
【例3】（2023秋·河南郑州·高三河南省实验中学阶段练习）如图所示，质量为 的物块
受水平恒力作用在光滑的水平面上做曲线运动，经过时间 从 点运动到 点，速度大小
由 变为 ，且速度方向恰好改变了 。则（ ）
A．从 点运动到 点的过程中，恒力先做正功后做负功
B．从 点运动到 点的过程中物块的机械能增加了
C．恒力 的方向与 的连线垂直
D．从 点运动到 点的过程中，速率的最小值为
【例4】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a
点运动到b点，速度大小由2v 变为v ，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为(
0 0
)
A. B.
C. D.
【例5】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为 m的
质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v 从A点开始做曲线运动，图
0
中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与
初速度v 的方向垂直，则( )
0
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝
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学科网（北京）股份有限公司B.质点所受合外力的大小为
C.质点到达B点时的速度大小为
D.t s内恒力F做功为m(v2－v2)
0
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影
独立性
响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它
们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由
静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开
甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小
等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于 1 m/s2的匀加速直线运动。
则离舰后( )
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学科网（北京）股份有限公司A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 与a 不共线，为匀变速曲线运动
合 合
【例1】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）关于运动的合成与分解以及受力，下
列判断正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，合外力与速度不共线，大小一定不变
B．二个直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动
C．二个初速度为零的匀加速直线运动，其合运动一定是匀加速直线运动
D．二个直线运动的合运动，合运动速度大小可能大于、可能等于、也可能小于一个分运
动速度的大小
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中
放一红蜡块R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R
从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x、y方向的运动情况可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动
B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动
【例3】（2023·辽宁·校联考模拟预测）在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开
始计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向的运动规律分别如
图甲、乙所示，则重物（ ）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
【例4】（2023·河北·高三学业考试）一质量为 的物体（视为质点）在坐标系
中，从坐标原点 处计时开始沿 轴方向的 图像如图甲所示，沿 轴方向做初速
度为0的 图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物体受到的合力为2N
B．2s时物体沿 方向的分速度为4m/s
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学科网（北京）股份有限公司C．2s时物体的速度为12m/s
D．前2s内物体的位移为
类型3 运动合成与分解思想的迁移应用
【例1】（2023·全国·二模）如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆
上套有一质量为m的物块，杆与物块间动摩擦因数为 。对小车施加一水平力，同时
释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t时刻小车的速度为 ，g为重
力加速度，不计地面摩擦。则t时刻物块的速度为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一内壁光滑、上端开口下端封闭的绝缘玻
璃管竖直放置，高为h，管底有质量为m、电荷量为+q的小球，玻璃管以速度v沿垂直于
磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。在外力作用下，玻璃管
在磁场中运动速度保持不变，小球最终从上端管口飞出，在此过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．洛伦兹力对小球做正功
B．小球做匀加速直线运动
C．小球机械能的增加量小于qvBh
D．若玻璃管运动速度越大，则小球在玻璃管中的运动时间越小
【例3】（2023·天津·高三专题练习）歼—20是我国自主研制的一款具备高隐身性、高态
势感知、高机动性等能力的重型歼击机，该机将担负中国空军未来对空、海的主权维护任
务。假设某次起飞时，飞机以水平速度v 飞离跑道后逐渐上升，此过程中飞机水平速度保
0
持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的合力提供，不含重力）
的作用。已知飞机质量为m，在水平方向上的位移为l时，上升高度为h，重力加速度为
g，上述过程中求：
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学科网（北京）股份有限公司（i）飞机受到的升力大小；
（ii）在高度h处飞机的动能。
【例4】．（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）风洞是研究空气动力学的实验设备。如
图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平
方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点
离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，
NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【例5】．（2023·高三课时练习）如图所示，竖直面内虚线所示的两水平面之间存在大小
恒定的水平风力，在该区域上方距离下边界为l的O点将质量为m的小球以一定初速度水
平抛出，小球从风力区域上边界的A点进入，风力区域下边界的B点位于A点正下方。若
风力沿水平向左方向，小球在重力和风力的共同作用下，从Q点离开时的速度方向恰好竖
直向下，若风力沿水平向右方向，小球在重力和风力的共同作用下，恰好做直线运动，并
从P点离开。竖直方向只受重力作用，且重力加速度大小为g。求：
（1）小球运动到Q点时速度的大小v；
（2）小球在风力区域中沿水平方向的位移x与x之比。
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
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学科网（北京）股份有限公司2．三种速度：船在静水中的速度v 、水的流速v 、船的实际速度v.
船 水
3．两种渡河方式
方式 图示 说明
渡河时间 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最
最短 短时间t ＝
min
渡河位移 当v ＜v 时，如果满足v －v cos θ＝
水 船 水 船
最短 0，渡河位移最短，x ＝d
min
当v ＞v 时，如果船头方向(即v 方向)
水 船 船
渡河位
与合速度方向垂直，渡河位移最短，最
移最短
短渡河位移为x ＝
min
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中
划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自
的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【例2】（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考期中）如图，有一条宽为100m的河道，一小船从
岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大
小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（ ）
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线 B．小船渡河过程中的位移大小为100m
C．小船在河水中的速度是7m/s D．小船渡河的时间是25s
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学科网（北京）股份有限公司【例3】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）有一条两岸平直、河水均匀
流动的大河，一艘船行驶时船头始终垂直于河岸且其相对静水的速率不变，现由于上游水
电站开闸放水，船运行到河中央位置时水速突然变为原来的2倍，则下列说法正确的是（
）
A．过河的路程不变 B．过河的路程变长
C．过河的时间变为原来的 D．过河的时间变为原来的2倍
【例4】.（2023秋·海南·高三统考期末）小船沿垂直于河岸方向，匀速渡河到达正对岸，
已知水流的速度大小为3m/s，小船相对河岸速度为4m/s，河岸宽为100m， ，
则（ ）
A．船在静水中的速度为4m/s
B．开始运动时船头与河岸的夹角为53°
C．小船渡河的时间为20s
D．若水流速度略微变大，小船渡河到正对岸的时间变短
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳
都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连
接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大
小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的
大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解
为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v 一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样
⊥
v 的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
∥
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物
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学科网（北京）股份有限公司体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即v ＝v 。
A∥ B∥
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳
方向的分速度相等，即v ＝v 。
A∥ B∥
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿
杆方向的分速度大小相等，即v ＝v 。
A∥ B∥
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
v cos α＝ v sin α＝
A B
定量结论 v ＝v cos θ v cos θ＝v
B A A 0
v cos β v cos α
B A
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边
基本思路
形定则求解
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O
与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车
的运动在同一竖直平面内，拖车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v沿水
面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的阻力保持不变．则在上述运动过程中（
）
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学科网（北京）股份有限公司A．当拉船的轻绳与水平面的夹角为 时，拖车运动的速度为
B．小船受到绳的拉力不断减小
C．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D．拖车的动能不断减小
【例2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，在粗糙水平地面上
有一质量为M的物块，物块固连一轻质滑轮，并用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，拉
力恒为F，物块与地面间的动摩擦因数为 ，当物块运动到轻绳之间的夹角为 时，物块
的速度为 ，则此时（ ）
A．物块的加速度为
B．物块的加速度为
C．拉绳子的速度为
D．拉绳子的速度为
【例3】．（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，质量为 的P物体套在光滑的竖直杆
上，质量为 的Q物体放置在倾角为 的足够长的固定粗糙斜面上，用一不可伸长轻绳连
接。初始时轻绳右端经过定滑轮呈水平，P物体从a点由静止释放，下落到b点时速度大小
为v，a、b之间的距离为l，此时连接P物体的轻绳与水平方向夹角为 ，重力加速度为 。
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P物体做匀加速直线运动
B．P物体从a点由静止释放时加速度大小等于
C．P物体到b点时，Q物体的速度大小为
D．该过程中产生的热量为
【例4】．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B
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学科网（北京）股份有限公司两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以 匀速运动，当连A的绳子与水平方
向成 角，连B的绳子与水平方向成 角，B物体的速度为 ，则（ ）
A．A物体的速度 与B物体的速度 的大小相等
B．A物体的速度 与B物体的速度 的大小关系满足
C．此后B物体以速度 做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为 L的光滑轻质硬细杆
AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v 匀速运动
0
已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为
B．此时，杆B端的速度大小为vtan θ
0
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，两个质量均为m的小球a、b通过轻质铰链用
轻杆连接，a套在固定的竖直杆上，b放在水平地面上。一轻质弹簧水平放置，左端固定在
杆上，右端与b相连。当弹簧处于原长状态时，将a由静止释放，已知a下降高度为h时
的速度大小为v，此时杆与水平面夹角为 。弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力
加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．释放a的瞬间，a的加速度大小为g
B．释放a的瞬间，地面对b的支持力大小为2mg
C．a的速度大小为v时，b的速度大小为
D．a的速度大小为v时，弹簧的弹性势能为
【例3】（2023·全国·高三专题练习）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将
活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，
活塞可沿水平方向往复运动，曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的
A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则（ ）
A．活塞做水平方向的匀速直线运动
B．当OA与AB垂直时，A点与B点的速度大小相等
C．当OA与AB共线时，A点与B点的速度大小相等
D．当OA与OB垂直时，A点与B点的速度大小相等
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根长为l的轻杆OA、O端用铰链固定，
另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向
右运动至轻杆与水平面的夹角为 时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（
）
A．小球A的线速度大小为
B．轻杆转动的角速度为
C．小球A的线速度大小为
D．轻杆转动的角速度为
【例5】（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，
另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在
光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控
制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【例6】．（2023·全国·模拟预测）如图所示，长为L的轻杆 的O端用铰链固定，轻杆
靠在半径为R的半圆柱体上，接触点为B，某时刻杆与水平方向的夹角为 ，半圆柱体向
右运动的速度为v，此时A点的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
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