专题 05 曲线运动
考点内容 要求 课程标准要求
曲线运动 b
1.了解曲线运动，知道物体做曲线运动的
条件。
2.认识平抛运动的规律。会用运动合成与
运动的合成与分解 c
分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分
解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中
的抛体运动。
平抛运动 d 3.会用线速度、角速度、周期描述匀速圆
周运动。知道匀速圆周运动向心加速度的大小
和方向。
4.能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的
圆周运动、向心加速度、向心力 d
向心力。
5.了解生产生活中的离心现象及其产生的
原因。
生活中的圆周运动 c
条件：F与v有一定夹角
特点：速度沿轨迹的切线
方向，是变速运动a≠0
运动的独立性
运动
的合
小船过河：最短位移与最短时间
成与
分解 绳子末端速度的分解
定义：v0沿水平方向，a=g
曲 {x=v t ¿¿¿¿
线 平抛 水平：匀速直线运动 0
运 分解
运动
动 { 1
曲
（
线
匀
运
变
动
速
）
竖直：自由落体运动
y=
gt2
¿¿¿¿
2
实 快慢的描述 2πR 2π 1
v= ,ω= ,v=ωR,T= ,ω=2πn
例 v,ω,n,T,f T T f
圆周 向心加速度 a=
v2
=ω2R
运动 R
v2
（变加 向心力 F=m =mω2R
速运
R
动）
生活中的圆周运动：火车拐弯、凹凸桥、航天器中的失重、离心现象一、曲线运动
1.物体作曲线运动的条件:运动质点所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线
2.曲线运动的特点：一定是变速运动
3.运动的合成与分解
①合运动与分运动的关系:等时性、独立性、等效性.
②运动的合成与分解的法则:运动的合成与分解是指描述运动的各物理量,即位移、速度、加速度
的合成与分解,由于它们均是矢量,故合成与分解都遵循平行四边形定则.
③分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动.
二、平抛运动
1.特点:①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动.
2.运动规律:平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.
①建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点O，以初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下为y
轴正方向）;
②由两个分运动规律来处理.
水平方向：匀速直线运动
{ 1
y=
gt2
¿¿¿¿
2
竖直方向：自由落体运动
{x=v t ¿¿¿¿
0
实际运动轨迹（合运动）：
{ y
位移：s = √ x 2 +y 2，夹角tanα = ¿¿¿¿
x
三、圆周运动1.描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
Δs
v=
①描述圆周运动的物体运动快慢 Δt
① (定义式)
线速度 的物理量
2πR
(v) ②是矢量，方向为质点在圆弧某 v=
点的线速度方向沿圆弧该点切线方向 ② T (与周期的关系)
m/s
③单位：
Δθ
ω=
Δt
① (定义式)
①描述物体绕圆心转动快慢的物
2π
角速度 理量
ω=
(ω) ②是矢量，但中学阶段不研究其 T
② (与周期的关系)
方向
rad/s
③单位：
④ω与v的关系： v=ωR
2πR 1
T= =
①周期是物体沿圆周运动一周所 v f
周期(T) ① (与频率的关系)
用的时间，周期的倒数为频率
转速(n) ②T 的单位：s
②转速是单位时间内物体转过的
频率(f) r/s r/min
圈数，也叫频率 n的单位： 、
f Hz
的单位：
v2 4π2
①描述线速度方向变化快慢的物 a = =ω2R= R=ωv
向心加速
理量 ①
n R T2
度(a)
n ②方向指向圆心 m/s2
②单位：
①总是指向圆心，产生向心加速 v2
F =ma =m =mω2R
度
n n R
①
②向心力只改变线速度的方向，
向心力
不改变速度的大小
4π2
(F
n
)
③向心力可以由一个力提供，也
F
n
=m
T2
R=mωv
可以由几个力的合力提供，还可以由
一个力的分力提供． ②单位： N
2.匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动．
②特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，加速度大小不变，方向始终
指向圆心，速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动．
③条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
3.变速圆周运动:速度大小方向都发生变化，不仅存在着向心加速度（改变速度的方向），而且还存
在着切向加速度（方向沿着轨道的切线方向，用来改变速度的大小）.一般而言，合加速度方向不指向圆
心，合力不一定等于向心力.合外力在指向圆心方向的分力充当向心力，产生向心加速度;合外力在切线方
向的分力产生切向加速度.一、曲线运动的四大特点
1.运动学特点:由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线上物体位置的切线方向,所以做曲线运动
的物体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动.
2.动力学特征:由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律可知,
物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于速度方向
上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
3.轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力
的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受
合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.
4.能量特征:若物体所受的合外力始终和物体的速度垂直,则合外力对物体不做功,物体的动能不变;若
合外力不与物体的速度方向垂直,则合外力对物体做功,物体的动能发生变化.
二、两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动
两个匀速直线运动 匀速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
v a
如果 合与 合共线,为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
v a
如果 合与 合不共线,为匀变速曲线运动
v a
如果 合与 合共线,为匀变速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
v a
如果 合与 合不共线,为匀变速曲线运动
三、小船渡河问题
1.解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就是船头指向,是分运动;船的
运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致.
2.运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解.
模型解读 分运动1 分运动2 合运动
运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动
速度本质 v v 船相对于岸的速度v
发动机给船的速度 1 水流给船的速度 2
速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水
流速度无关
渡河时间 (2)渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短,
d
t =
min v
1 (d为河宽)
v >v
(1)渡河路径最短( 1 2时):合速度垂直于河岸时,航
x =d
程最短, min .船头指向上游,与河岸夹角为α,
渡河位移 v
cosα= 2
v
1
v <v
(2)渡河路径最短( 1 2时):合速度不可能垂直于河
岸,无法垂直于河岸渡河
四、平抛运动的分解方法与技巧
1.若知道速度的大小和方向,则首先考虑分解速度.
2.若知道位移的大小和方向,则首先考虑分解位移.
3.两种分解方法:
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动;
②沿斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的匀减速运动.
五、平抛运动的临界问题
1.常见的三种临界特征
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止
点”,而这些起止点往往就是临界点.
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极
值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
①确定研究对象的运动性质;
②根据题意确定临界状态;
③确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
④应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
六、平抛运动规律的一般应用
√2h
t=
g
1.飞行时间:由 知,时间取决于下落高度h,与初速度v无关.
0√2h
x=v t=v
0 0 g
2.水平射程: ,即水平射程由初速度v和下落高度h共同决定,与其他因素无关.
0
v= √v2 +v2 = √v2 +2gh
3.落地速度: x y 0 ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有
v √2gh
tanθ= y =
v v
x 0 ,所以落地速度只与初速度v和下落高度h有关.
0
4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量
Δv=gΔt
相同,方向恒为
竖直向下.
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有
tanθ=2tanα
.
推导：
v
gt }
y
tanθ=
= ¿ ¿¿⇒
tanθ=2tanα¿
v v
0 0
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
x =2x
如图所示，即 A B.
推导：
y
}
A
tanθ= ¿ ¿¿⇒x =2x ¿
x −x A B
A B
七、平抛运动与各种面结合问题
1.平抛与竖直面结合
{ 水平：d = v t ¿¿¿
¿
0
2.平抛与斜面结合
①顺着斜面平抛
情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下
处理方法：分解位移．
{x=v t ¿¿¿
¿
0 ¿
2v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下处理方法：分解速度
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下
处理方法：分解速度．
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v
¿ t= 0
gtanθ
可求得 .
3.平抛与圆面结合
①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．
处理方法：由半径和几何关系制约时间t：
{ 1
h=
gt2
¿ ¿¿¿
2
联立两方程可求t.
②小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直
于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．
③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆
心角θ与速度的偏向角相等．
4. 与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就
可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．
八、斜抛问题
1.定义：将物体以初速度v斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下所做的运动.
0
2.运动性质：加速度为g的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线.
3.基本规律(以斜向上抛为例)
①水平方向:做匀速直线运动,
v =v cosθ,x=v tcosθ
0x 0 0 .
②竖直方向:做竖直上抛运动,
1
v =v sinθ, y=v tsinθ− gt2
0y 0 0 2
.
4.平抛运动和斜抛运动的相同点
①都只受到重力作用,加速度相同,相等时间内速度的变化量相同.
②都是匀变速曲线运动,轨迹都是抛物线.
③都可采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题.九、圆周运动的求解思路
1.一审题：审题意，确定研究对象（以做圆周运动的物体为研究对象）
2.二确定：确定圆周运动的轨道平面，确定圆心
3.三分析：
①分析几何关系，求半径
②分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源（关键）
③分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量，确定向心加速度的表达式
4.列方程：根据牛顿运动定律合圆周运动知识列方程
十、圆周运动几种常见的临界条件
1.物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与接触面间恰好达到最大静摩擦力．
2.物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
3.绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
十一、水平面内圆周运动的动力学问题
运动模型 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型 飞车走壁 火车转弯 飞机水平转弯
向心力的来源图示
十二、绳子模型与轻杆模型对比
绳模型 杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的球与杆连接、球在光滑管道中运动等
“过山车”等
常见
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球受力
示意图
F 向下或等于零
弹 F 向下、等于零或向上
弹
力学
mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
方程
F =0
弹 v=0
过最高
点的临 mg=m
v2
min 即
F
向
=0
R
界条件 F =mg
v =√gR 弹
min
F =mg F
①当
v=0
时, 弹 , 弹为支持力,沿半径
v≥√gR 背离圆心
①过最高点时, ,
v2
F +mg=m
v2
②当
0<v<√gR
时,
-F
弹
+mg=m
R ,
弹 R
讨论 ,绳、圆轨道对球
F
弹背离圆心,随v的增大而减小
分析 F
产生弹力 弹
v=√gR F =0
v<√gR ③当 时, 弹
②不能过最高点时, ,在到
v2
达最高点前小球已经脱离了圆轨道 v>√gR F
弹
+mg=m
R
F
④当 时, , 弹指向
圆心并随v的增大而增大
十三、竖直平面内圆周运动问题的解题思路
1.定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
v =√gr
2.确定临界点: 临 ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是F表
N
现为支持力还是拉力的临界点.
3.研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
F =F
4.受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程, 合 向.
5.过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
十四、常见的传动方式及特点1.皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即
v =v
A B.
2.摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大
v =v
小相等，即 A B
3.同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，
ω
A
=ω
B，由
v=ωR
知v
与R成正比．
十五、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，
就做逐渐远离圆心的运动．
2.受力特点
①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当
0<F<mω2R
时，物体逐渐远离圆心，做离心运动．
③当
F>mω2R
时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小
于做匀速圆周运动需要的向心力．
