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专题07 曲线运动及其实例分析
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题型一 曲线运动的条件及轨迹分析........................................................................................................................1
类型1 基本概念的辨析与理解.........................................................................................................................1
类型2 曲线运动的动力学解释.......................................................................................................................3
题型二 运动的合成与分解........................................................................................................................................8
类型1 合运动与分运动的关系.......................................................................................................................8
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断.....................................................................................................9
类型3 运动合成与分解思想的迁移应用.......................................................................................................13
题型三 小船渡河问题..............................................................................................................................................18
题型四 实际运动中的两类关联速度模型..............................................................................................................22
类型1 绳端关联速度的分解问题.................................................................................................................24
类型2 杆端关联速度的分解问题.................................................................................................................27
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线
上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改
变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧
弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的
动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】（2023·海南海口·校考模拟预测）曲线运动是生活中一种常见的运动，下列关于曲
线运动的说法中正确的是（ ）
A．可能存在加速度为0的曲线运动
B．平抛运动是加速度随时间均匀变化的曲线运动
C．匀速圆周运动一定是加速度变化的曲线运动
D．圆周运动不可以分解为两个相互垂直的直线运动
【答案】C
【详解】A．根据曲线运动的特点可知，曲线运动的物体加速度不为0，故A错误；
B．平抛运动是加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，故B错误；
C．匀速圆周运动的加速度方向不断变化，故C正确；
D．圆周运动可以分解为两个相互垂直的简谐运动，故D错误；
故选C。
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学科网（北京）股份有限公司【例2】．（2023春·云南·高三统考阶段练习）关于质点做曲线运动，下列说法正确的是
（ ）
A．曲线运动一定是变速运动，变速运动也一定是曲线运动
B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变
C．质点做曲线运动的过程中，某个时刻所受合力方向与速度方向可能相同
D．有些曲线运动也可能是匀速运动
【答案】B
【详解】A．曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，也可以是直线运
动，故A错误；
B．质点做曲线运动，其加速度有可能不变，比如平抛运动的加速度为重力加速度，保持
不变，故B正确；
C．质点做曲线运动的过程中，每个时刻所受合力方向与速度方向都不在同一直线上，故C
错误；
D．曲线运动的速度方向时刻发生变化，不可能是匀速运动，故D错误。
故选B。
【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）下列几种关于运动情况的描述，说法正确的是（
）
A．一物体受到变力作用不可能做直线运动
B．一物体受到恒力作用可能做圆周运动
C．在等量异种电荷的电场中，一带电粒子只在电场力作用下可能做匀速圆周运动
D．在匀强磁场中，一带电小球在重力和洛伦兹力作用下不可能做平抛运动
【答案】CD
【详解】A．力与运动的方向共线物体就做直线运动，A错误；
B．做圆周运动的物体需要指向圆心的向心力，是个变力，故物体受到恒力作用不可能做
圆周运动，B错误；
C．等量异种电荷连线的两侧特定区域，带电粒子可做匀速圆周运动，如下图，C正确；
D．做平抛运动需要一个与初速度方向垂直的恒力作用在物体上，洛伦兹力始终与运动方
向垂直，重力方向始终沿竖直方向，若物体做曲线运动，洛伦兹力为变力，重力为恒力，
两者的合力为变力，故带电小球在重力和洛伦兹力作用下不可能做平抛运动，D正确。
故选CD。
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学科网（北京）股份有限公司类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 改变速度的大小，沿径向的分力F 改变速度
2 1
的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在珠海举行的第13届中国航展吸引了全世
界的军事爱好者。如图，曲线 是一架飞机在竖直面内进行飞行表演时的轨迹。假设从a
到b的飞行过程中，飞机的速率保持不变。则沿曲线 运动时（ ）
A．飞机的合力方向与速度方向夹角可能为锐角也可能为钝角
B．飞机的竖直分速度逐渐变大
C．飞机的合外力做功为0
D．飞机的机械能保持不变
【答案】BC
【详解】A．飞机做曲线运动，速率保持不变，说明合外力不做功，合外力方向始终与速
度方向垂直，故A错误；
C．飞机的速率保持不变，动能不变，由动能定理知合外力做功为零，故C正确；
B．飞机的速率保持不变，则向下运动时竖直分速度变大，故B正确；
D．飞机速率不变对应动能不变，高度降低对应重力势能减少，所以机械能减少，故D错
误。
故选BC。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）一质量为 的滑块在水平方向恒力 的
作用下，在光滑的水平面上运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过
P、Q两点时速度大小均为 ，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角 ，
， 。则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B．滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量为0m/s
C．滑块从P点运动到Q点的时间为0.3s
D．滑块从P点运动到Q点的过程中动能最小值为0.16J
【答案】CD
【详解】A．滑块在水平恒力作用下由P到Q，滑块过P、Q两点时速度大小均为0.5m/s，
即水平恒力做功为零，所以力应该和位移的方向垂直，且根据滑块运动轨迹可判断出其指
向轨迹凹处，A错误；
B．由于滑块在P、Q两点的速度方向不同，则滑块从P点运动到Q点的过程中速度变化量
不为零，B错误；
C．把滑块速度分解到垂直于PQ方向上，有
在这个方向上滑块先减速后反向加速，其运动的加速度为
运动具有对称性，则有
C正确；
D．把速度分解到PQ方向，有
滑块在这个方向上的运动为匀速运动，所以当滑块在垂直于PQ方向上的速度等于零时，
此时运动的动能最小，有
D正确。
故选CD。
【例3】（2023秋·河南郑州·高三河南省实验中学阶段练习）如图所示，质量为 的物块
受水平恒力作用在光滑的水平面上做曲线运动，经过时间 从 点运动到 点，速度大小
由 变为 ，且速度方向恰好改变了 。则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．从 点运动到 点的过程中，恒力先做正功后做负功
B．从 点运动到 点的过程中物块的机械能增加了
C．恒力 的方向与 的连线垂直
D．从 点运动到 点的过程中，速率的最小值为
【答案】BD
【详解】从 点到 点的运动过程中物块的速度变化量 ，恒力 与 方向相同，如图
所示
根据几何关系可得
设恒力 与 成 角，则
所以
A．恒力 与速度方向夹角先大于 ，后小于 ，故恒力 先做负功，再做正功，故A
错误；
B．从 点到 点的运动过程中物块机械能的增加等于物块动能的增加，所以有
故B正确；
C．曲线运动在相互垂直的两个方向的分运动均为匀变速直线运动，如图所示
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学科网（北京）股份有限公司则在初速度方向的位移为
与初速度垂直方向的位移为
则有
解得
则有
可知恒力 的方向与 的连线不垂直，故C错误；
D．将初速度 分解到 方向和垂直于 方向，当沿 方向分速度减小到0时，物体速度
最小，故最小速度为
故D正确。
故选BD。
【例4】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a
点运动到b点，速度大小由2v 变为v ，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为(
0 0
)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 根据矢量运算规则，利用三角形定则如图，可得速度的变化量为Δv＝v ，则质
0
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学科网（北京）股份有限公司点的加速度大小为a＝＝，故选项C正确。
【例5】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为 m的
质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v 从A点开始做曲线运动，图
0
中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与
初速度v 的方向垂直，则( )
0
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝
B.质点所受合外力的大小为
C.质点到达B点时的速度大小为
D.t s内恒力F做功为m(v2－v2)
0
【答案】 ABC
【解析】 分析可知，恒力F的方向应与速度方向成钝角，将速度按沿力的方向与垂直于
力的方向分解，如图所示.
在x′方向上由运动学知识得v＝vsin θ，在y′方向上由运动学知识得vcos θ＝at，由牛顿第
0 0 y
二定律有F＝ma，解得F＝，即恒力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，且
y
sin θ＝，故A、B正确；设质点从A点运动到B点历时t ，在v 方向上的加速度大小为
1 0
a ，在垂直v 方向上的加速度大小为a ，由牛顿第二定律有Fcos θ＝ma ，Fsin θ＝ma ，
1 0 2 1 2
由运动学知识可得v ＝at ，v ＝at ，解得v ＝，故C正确；根据动能定理得，t s内恒力
0 11 B 21 B
F做功为－m(v2－v2)，故D错误.
0
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
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学科网（北京）股份有限公司类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影
独立性
响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它
们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由
静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】 C
【解析】 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运
动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落
地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落
时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速
度越大，故B、D错误．
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开
甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小
等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于 1 m/s2的匀加速直线运动。
则离舰后( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
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学科网（北京）股份有限公司C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
【答案】 B
【解析】 飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机运动轨迹为直线，A错误；
10 s内水平方向位移x＝v t＋at2＝500 m，竖直方向位移y＝v t＋at2＝250 m，B正确；飞
0x x 0y y
机速度方向与水平方向夹角的正切tan θ＝0.5，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝
40×20 m＋×2×202 m＝1 200 m，则平均速度为v＝＝60 m/s，D错误。
x
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 与a 不共线，为匀变速曲线运动
合 合
【例1】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）关于运动的合成与分解以及受力，下
列判断正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，合外力与速度不共线，大小一定不变
B．二个直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动
C．二个初速度为零的匀加速直线运动，其合运动一定是匀加速直线运动
D．二个直线运动的合运动，合运动速度大小可能大于、可能等于、也可能小于一个分运
动速度的大小
【答案】BD
【详解】A．做曲线运动的物体，合外力与速度不共线，但大小可以变化，故A错误；
B．二个直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，比如二个匀速直线运
动的合运动是匀速直线运动，一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是曲线运
动，故B正确；
C．二个初速度为零的匀加速直线运动，如果两个分运动共线，且加速度大小相等，方向
相反，则合加速度为零，合运动处于静止状态，故C错误；
D．二个直线运动的合运动，根据平行四边形定则可知，合运动速度大小可能大于、可能
等于、也可能小于一个分运动速度的大小，故D正确。
故选BD。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中
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学科网（北京）股份有限公司放一红蜡块R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R
从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x、y方向的运动情况可能是（ ）
A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动
B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动
D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动
【答案】D
【详解】AB.由题图图像趋势可知，若x方向做匀速直线运动，则y方向应做减速直线运动，
故AB错误；
C.若在x方向做匀减速直线运动，y方向做匀加速直线运动，则合力方向向左上方，图像应
该向左上凹，故C错误；
D.由图像趋势可知，若在y方向做匀速直线运动，则在x方向应做加速运动，故D正确。
故选D。
【例3】（2023·辽宁·校联考模拟预测）在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开
始计时，以O为原点，设水平为x方向、竖直为y方向，重物x、y方向的运动规律分别如
图甲、乙所示，则重物（ ）
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．0～8s内的位移大小为40m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
【答案】B
【详解】A．由图甲可知重物在水平方向做匀速直线运动，故A不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B．重物在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，所以重物的运动轨
迹为抛物线，故B符合题意；
C．0～8s内水平方向位移为24m，竖直方向位移为
位移大小为
故C不符合题意；
D．重物加速度为
重物在相等时间内的速度变化量相等，故D不符合题意。
故选B。
【例4】（2023·河北·高三学业考试）一质量为 的物体（视为质点）在坐标系
中，从坐标原点 处计时开始沿 轴方向的 图像如图甲所示，沿 轴方向做初速
度为0的 图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物体受到的合力为2N
B．2s时物体沿 方向的分速度为4m/s
C．2s时物体的速度为12m/s
D．前2s内物体的位移为
【答案】BD
【详解】A．由甲图可得
则物体的加速度为
由牛顿第二定律可得
A错误；
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学科网（北京）股份有限公司BC． 时，物体分速度分别为
，
物体的速度为
B正确，C错误；
D．前 内，物体的分位移分别为
，
物体的位移为
D正确。
故选BD。
类型3 运动合成与分解思想的迁移应用
【例1】（2023·全国·二模）如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆
上套有一质量为m的物块，杆与物块间动摩擦因数为 。对小车施加一水平力，同时
释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t时刻小车的速度为 ，g为重
力加速度，不计地面摩擦。则t时刻物块的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于t时刻小车的速度为
可知小车的加速度为g，方向水平向右，对物块在水平方向有
在竖直方向有
则t时刻物块的速度
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学科网（北京）股份有限公司解得
故选B。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一内壁光滑、上端开口下端封闭的绝缘玻
璃管竖直放置，高为h，管底有质量为m、电荷量为+q的小球，玻璃管以速度v沿垂直于
磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。在外力作用下，玻璃管
在磁场中运动速度保持不变，小球最终从上端管口飞出，在此过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．洛伦兹力对小球做正功
B．小球做匀加速直线运动
C．小球机械能的增加量小于qvBh
D．若玻璃管运动速度越大，则小球在玻璃管中的运动时间越小
【答案】D
【详解】A．洛伦兹力的方向与速度方向垂直，永不做功，选项A错误；
B．玻璃管在水平方向做匀速运动，小球受到的洛伦兹力在竖直方向的分力保持不变，即
在竖直方向做匀加速运动，合运动为匀加速曲线运动，选项B错误；
C．由于管对球的支持力对小球做了功，小球的机械能是增加的，在竖直方向上，由牛顿
第二定律
由匀变速位移公式
小球离开管口的速度
合速度
动能增量
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学科网（北京）股份有限公司重力势能增量
联立解得
选项C错误；
D．小球的实际运动速度可分解为水平方向的速度v和竖直方向的速度vy，竖直方向的洛
伦兹力不变，在竖直方向上，由牛顿第二定律
由匀变速位移公式
联立解得
即玻璃管运动速度越大，则小球在玻璃管中的运动时间越小，选项D正确。
故选D。
【例3】（2023·天津·高三专题练习）歼—20是我国自主研制的一款具备高隐身性、高态
势感知、高机动性等能力的重型歼击机，该机将担负中国空军未来对空、海的主权维护任
务。假设某次起飞时，飞机以水平速度v 飞离跑道后逐渐上升，此过程中飞机水平速度保
0
持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的合力提供，不含重力）
的作用。已知飞机质量为m，在水平方向上的位移为l时，上升高度为h，重力加速度为
g，上述过程中求：
（i）飞机受到的升力大小；
（ii）在高度h处飞机的动能。
【答案】（i）mg(1+ )；（ii） mv2(1+ )
0
【详解】（i）飞机水平速度不变
l＝vt
0
y方向加速度恒定
在竖直方向上，由牛顿第二定律
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学科网（北京）股份有限公司F−mg=ma
解得
（ii）在h处有
v2=v2+v2
0 t
解得
【例4】．（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）风洞是研究空气动力学的实验设备。如
图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平
方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点
离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，
NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【答案】（1）mg；（2） ；（3）
【详解】（1）因为小球做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，有
可得
（2）在最高点，小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N点的水平方向速
度也为v，设小球在M、N点竖直方向的速度为vy，在O点的初速度为v，由O到M的时
0
间为t，水平方向有
在P点，水平方向有
在竖直方向上，小球在从O点到P点做上抛运动，竖直方向上速度相等，此时速度方向与
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学科网（北京）股份有限公司水平方向夹角为45°，可得
由N到P小球做直线运动，设在N点竖直方向速度为vy，则有
2
可得
设最高点为Q点，则在竖直方向上，由Q到N，有
由N到P，有
可得
在竖直方向上，有
可得
（3）水平方向，由O到M，有
由M到N，有
由N到P，有
由（2）可知
，
联立可得
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学科网（北京）股份有限公司【例5】．（2023·高三课时练习）如图所示，竖直面内虚线所示的两水平面之间存在大小
恒定的水平风力，在该区域上方距离下边界为l的O点将质量为m的小球以一定初速度水
平抛出，小球从风力区域上边界的A点进入，风力区域下边界的B点位于A点正下方。若
风力沿水平向左方向，小球在重力和风力的共同作用下，从Q点离开时的速度方向恰好竖
直向下，若风力沿水平向右方向，小球在重力和风力的共同作用下，恰好做直线运动，并
从P点离开。竖直方向只受重力作用，且重力加速度大小为g。求：
（1）小球运动到Q点时速度的大小v；
（2）小球在风力区域中沿水平方向的位移x与x之比。
【答案】（1） ；（2）1∶3
【详解】（1）小球从O到A做平抛运动，竖直方向做加速度为g的加速运动，进入虚线区
域后，竖直方向的加速度仍为g不变，则运动到Q点时速度
v
（2）无论风力向左还是向右，小球在竖直方向的运动不变，则运动时间相等，设为t，设
小球在水平风力作用下的加速度大小为a，进入虚线区域时的水平速度为v，则
x at2
x at2
由小球从Q点离开时的速度方向恰好竖直向下，得
v
解得
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v 、水的流速v 、船的实际速度v.
船 水
3．两种渡河方式
方式 图示 说明
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学科网（北京）股份有限公司渡河时间 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最
最短 短时间t ＝
min
渡河位移 当v ＜v 时，如果满足v －v cos θ＝
水 船 水 船
最短 0，渡河位移最短，x ＝d
min
当v ＞v 时，如果船头方向(即v 方向)
水 船 船
渡河位
与合速度方向垂直，渡河位移最短，最
移最短
短渡河位移为x ＝
min
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中
划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自
的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【思维建构】
【动态图解法】
类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。
1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所示，则船
速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的末端也就在这个圆
周上移动。
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学科网（北京）股份有限公司2.当合速度v⊥v
船
时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。
【答案】 BC
【规范分析】
如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选项A错误；如图
(2)若要垂直到达正对岸，需要满足v >v ，该题中v >v ，所以不论怎样调整船头方向
船 水 水 船
都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如图(3)所示，当v⊥v
船
时，合速度v与河岸夹角最
大，位移最小。根据三角形相似＝，解得
s＝150 m，选项C正确；以最短位移渡河时，所需时间t＝＝37.5 s，选项D错误。
【方法感悟】
所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不变，另一
个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以大胆尝试用这种动
态图解法画图，往往垂直“出”最小。
【例2】（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考期中）如图，有一条宽为100m的河道，一小船从
岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大
小为4m/s，水流速度大小为3m/s。下列说法正确的是（ ）
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线 B．小船渡河过程中的位移大小为100m
C．小船在河水中的速度是7m/s D．小船渡河的时间是25s
【答案】D
【详解】A．小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向也做匀速直线运动，所以
小船的实际运动为匀速直线运动，A错误；
D．由于渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直，故
解得
D正确；
B．小船到达河对岸时，垂直于河岸的位移为100m，沿河岸方向的位移为
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学科网（北京）股份有限公司合位移为
B错误；
C．小船在河水中的速度为
C错误。
故选D。
【例3】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）有一条两岸平直、河水均匀
流动的大河，一艘船行驶时船头始终垂直于河岸且其相对静水的速率不变，现由于上游水
电站开闸放水，船运行到河中央位置时水速突然变为原来的2倍，则下列说法正确的是（
）
A．过河的路程不变 B．过河的路程变长
C．过河的时间变为原来的 D．过河的时间变为原来的2倍
【答案】B
【详解】小船同时参与两个运动，一个是垂直河岸方向的匀速运动，二是沿河水方向向下
漂移，垂直河岸方向的位移不变，过河的时间不变，沿河水方向的位移与水的流速有关，
船运行到河中央位置时水速突然变为原来的2倍，沿河水方向的位移变大，合位移将变大，
过河的路程变长。
故选B。
【例4】.（2023秋·海南·高三统考期末）小船沿垂直于河岸方向，匀速渡河到达正对岸，
已知水流的速度大小为3m/s，小船相对河岸速度为4m/s，河岸宽为100m， ，
则（ ）
A．船在静水中的速度为4m/s
B．开始运动时船头与河岸的夹角为53°
C．小船渡河的时间为20s
D．若水流速度略微变大，小船渡河到正对岸的时间变短
【答案】B
【详解】AB．根据题意分析可知，合速度与船速及水流速度之间的关系如下图所示。设船
头与垂直河岸的夹角为θ。则由图可得
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学科网（北京）股份有限公司解得
故船头与河岸的夹角为53°，故A错误，B正确；
C．小船做匀速直线运动，故渡河时间为
故C错误；
D．若水流速度略微变大，若船的静水速度不变，船仍然沿垂直河岸方向渡河，则船头与
河岸的夹角减小，船速在垂直河岸方向的分速度减小，而河宽不变，故小船渡河到正对岸
的时间变大。故D错误。
故选B。
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳
都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连
接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大
小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的
大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解
为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v 一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样
⊥
v 的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
∥
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物
体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即v ＝v 。
A∥ B∥
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学科网（北京）股份有限公司如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳
方向的分速度相等，即v ＝v 。
A∥ B∥
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿
杆方向的分速度大小相等，即v ＝v 。
A∥ B∥
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
v cos α＝ v sin α＝
A B
定量结论 v ＝v cos θ v cos θ＝v
B A A 0
v cos β v cos α
B A
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边
基本思路
形定则求解
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O
与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车
的运动在同一竖直平面内，拖车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v沿水
面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的阻力保持不变．则在上述运动过程中（
）
A．当拉船的轻绳与水平面的夹角为 时，拖车运动的速度为
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学科网（北京）股份有限公司B．小船受到绳的拉力不断减小
C．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D．拖车的动能不断减小
【答案】D
【详解】AD．船的速度沿绳方向的分数与拖车速度相等，拖车运动的速度为
增大时，拖车速度减小，拖车动能减小，A错误，D正确；
B．由平衡条件
可知， 增大时，绳拉力增大，B错误；
C．小船做匀速运动，受到绳的拉力的功率等于克服阻力做功的功率，保持不变，C错误。
故选D。
【例2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）如图所示，在粗糙水平地面上
有一质量为M的物块，物块固连一轻质滑轮，并用轻绳按如图所示方式拉着物块运动，拉
力恒为F，物块与地面间的动摩擦因数为 ，当物块运动到轻绳之间的夹角为 时，物块
的速度为 ，则此时（ ）
A．物块的加速度为
B．物块的加速度为
C．拉绳子的速度为
D．拉绳子的速度为
【答案】BC
【详解】
AB．如图1所示，由受力分析得物块的加速度为
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学科网（北京）股份有限公司故A错误，B正确；
CD．如图2所示，假设经过足够小的 时间，则滑轮运动过的距离为 ，此时，在原
来的绳子上取AB段与现在绳子长度相同，其余部分 则为绳子收缩掉的长度，由于
时间很小，故
则收缩掉的绳子长度
故有
即
或如图3所示，将滑轮的速度y分解为沿绳方向 ，则拉绳子的速度是滑轮两侧绳子
运动速度之和，即
故C正确，D错误。
故选BC。
【例3】．（2023·河南安阳·统考二模）如图所示，质量为 的P物体套在光滑的竖直杆
上，质量为 的Q物体放置在倾角为 的足够长的固定粗糙斜面上，用一不可伸长轻绳连
接。初始时轻绳右端经过定滑轮呈水平，P物体从a点由静止释放，下落到b点时速度大小
为v，a、b之间的距离为l，此时连接P物体的轻绳与水平方向夹角为 ，重力加速度为 。
在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P物体做匀加速直线运动
B．P物体从a点由静止释放时加速度大小等于
C．P物体到b点时，Q物体的速度大小为
D．该过程中产生的热量为
【答案】BCD
【详解】AB．从a点刚释放瞬间，P物体只受重力，加速度为 ，当下落到b点时，由牛
顿第二定律，可得
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学科网（北京）股份有限公司此时的加速度小于重力加速度，故P物体不是做匀加速直线运动，故A错误，B正确；
C．P物体到b点时，此时两物体速度关系满足
故C正确；
D．该过程由能量守恒，得
该过程中产生的热量为
故D正确。
故选BCD。
【例4】．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）一根细绳通过定滑轮且两端分别系着A和B
两个物体，如图所示，物体A在外力作用下，向左以 匀速运动，当连A的绳子与水平方
向成 角，连B的绳子与水平方向成 角，B物体的速度为 ，则（ ）
A．A物体的速度 与B物体的速度 的大小相等
B．A物体的速度 与B物体的速度 的大小关系满足
C．此后B物体以速度 做匀速运动
D．此后B物体的速度越来越大，所以做加速运动
【答案】BD
【详解】AB．将A、B两物体的速度分解到沿绳方向和垂直绳方向，两物体沿绳方向分速
度大小相等，则有
A错误，B正确；
CD．由 可得
不变，A向左运动过程， 减小， 增大，则 增大，B做加速运动，C错误，D正确。
故选BD。
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学科网（北京）股份有限公司类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为 L的光滑轻质硬细杆
AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v 匀速运动
0
已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为
B．此时，杆B端的速度大小为vtan θ
0
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为
【答案】 ACD
【解析】 如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，
则有v sin θ＝vcos θ，得v ＝，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐
B 0 B
标分别为(2x,0)，(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得
x2＋y2＝2，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为，故C正确；画出P点的运动轨迹，
如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，
由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相
等，则vcos α＝vcos θ，即vcos (2θ－90°)＝vcos θ，得v＝，故D正确．
0 0
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，两个质量均为m的小球a、b通过轻质铰链用
轻杆连接，a套在固定的竖直杆上，b放在水平地面上。一轻质弹簧水平放置，左端固定在
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学科网（北京）股份有限公司杆上，右端与b相连。当弹簧处于原长状态时，将a由静止释放，已知a下降高度为h时
的速度大小为v，此时杆与水平面夹角为 。弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力
加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．释放a的瞬间，a的加速度大小为g
B．释放a的瞬间，地面对b的支持力大小为2mg
C．a的速度大小为v时，b的速度大小为
D．a的速度大小为v时，弹簧的弹性势能为
【答案】C
【详解】A．释放a的瞬间，a开始向下做加速运动，对a进行受力分析，竖直方向上受重
力和轻杆沿竖直方向的分力，即此时a的加速度不为g，A错误；
B．把a、b作为整体，竖直方向有
则有
即释放a的瞬间，地面对b的支持力小于2mg，B错误；
C．当a的速度大小为v时，a沿轻杆方向的分速度为 ，沿着轻杆方向速度不变，则
此时b的速度大小为
C正确；
D．整个系统机械能守恒，则有
则有此时弹簧的弹性势能
D错误。
故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功用是将
活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。其结构示意图如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司活塞可沿水平方向往复运动，曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的
A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，则（ ）
A．活塞做水平方向的匀速直线运动
B．当OA与AB垂直时，A点与B点的速度大小相等
C．当OA与AB共线时，A点与B点的速度大小相等
D．当OA与OB垂直时，A点与B点的速度大小相等
【答案】D
【详解】B．设A点的线速度大小为vA，当OA与AB垂直时，设AB与水平方向的夹角为
θ，则
故B错误；
C．当OA与AB共线时，vA在沿杆方向的分量为零，此时B点速度为零，故C错误；
D．当OA与OB垂直时，设AB与水平方向的夹角为α，则
即
故D正确；
A．根据前面分析可知活塞做水平方向做变速直线运动，故A错误。
故选D。
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一根长为l的轻杆OA、O端用铰链固定，
另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。不计摩擦，则当物块以速度v向
右运动至轻杆与水平面的夹角为 时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（
）
A．小球A的线速度大小为
B．轻杆转动的角速度为
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学科网（北京）股份有限公司C．小球A的线速度大小为
D．轻杆转动的角速度为
【答案】C
【详解】AC．物块的速度v在垂直于杆方向的分速度等于B点的线速度，即
根据
可知
联立以上两式解得
故A错误，C正确；
BD．轻杆转动的角速度为
故BD错误。
故选C。
【例5】（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，
另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在
光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控
制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力F ，如图
N
1所示，
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学科网（北京）股份有限公司在水平方向由牛顿第二定律得
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平
方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而 逐
渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，
加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，
如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，
故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加
速，故C错误。
故选D。
【例6】．（2023·全国·模拟预测）如图所示，长为L的轻杆 的O端用铰链固定，轻杆
靠在半径为R的半圆柱体上，接触点为B，某时刻杆与水平方向的夹角为 ，半圆柱体向
右运动的速度为v，此时A点的速度大小为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将半圆柱体的速度v分解为沿杆方向的分速度
垂直杆方向的分速度
由于轻杆上各点的角速度相等，则
其中
解得
故选B。
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