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第四章 抛体运动与圆周运动
【曲线运动与天体运动的单元知识体系】
知识点 24：曲线运动 运动的合成与分解
考点一：曲线运动的条件和特征
题型一：轨迹、速度与力的位置关系
【知识思维方法技巧】
（1）曲线运动的特征：
①做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动
的条件)。②合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的
分力改变物体速度的大小。
（2）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
①速度方向与运动轨迹相切；②合力方向指向曲线的“凹”侧；③运动轨迹一定夹在速度
方向和合力方向之间.
【典例1拔尖题】双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个
水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线 MN.v 与v 正好成90°角，则此过
M N
程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F B．F C．F D．F
1 2 3 4
【典例1拔尖题】【答案】C
【解析】根据题图所示乙运动员由M向N做曲线运动，乙运动员向前的速度减小，同时向
右的速度增大，故合外力的方向指向题图F 水平线右下方，故F 的方向可能是正确的，C
2 3
正确，A、B、D错误．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：合力方向与速率变化的关系
【知识思维方法技巧】
合力方向与速率变化的关系：
【典例2拔尖题】(多选)一个质量为2 kg的物体，在5个共点力作用下处于匀速直线运动
状态，现同时撤去大小分别为6 N和10 N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体
运动的说法中正确的是( )
A．可能做加速度大小是2 m/s2的匀变速直线运动
B．可能做加速度大小是10 m/s2的匀变速直线运动
C．可能做加速度大小是8 m/s2的匀变速曲线运动
D．可能做加速度大小是10 m/s2的匀变速曲线运动
【典例2拔尖题】【答案】AC
【解析】物体在5个共点力作用下处于匀速直线运动状态，即该物体处于受力平衡状态，
现同时撤去大小分别为6 N和10 N的两个力，这两个力的合力F′的大小为4 N≤F′≤16 N，
由于施加在该物体上的其他的力保持不变，即物体所受合外力F的大小为4 N≤F≤16 N，根
据牛顿第二定律可知，加速度a＝，所以该物体的加速度大小为2 m/s2≤a≤8 m/s2.若物体所
受合外力F的方向与速度的方向相同或相反，则该物体做匀变速直线运动；若合外力F的
方向与速度的方向成一定的夹角，则该物体做匀变速曲线运动，由此可知A、C正确，B、
D错误．
考点二：运动的合成与分解
【知识思维方法技巧】
（1）合运动的性质分析：
①看合加速度：加速度a不变，则为匀变速运动；a变化（大小或方向），则为非匀变速
运动。
②看合加速度的方向与合初速度的方向：共线则为直线运动，不共线则为曲线运动。
（2）合运动与分运动的关系：
①等时性：合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、
同时停止。
②独立性：各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和
轨迹。
③等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
题型一：由合运动与分运动的关系判断物体运动的特点
【典例1拔尖题】由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调
整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加
速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞
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学科网（北京）股份有限公司经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道
和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A.西偏北方向，1.9×103 m/s B.东偏南方向，1.9×103 m/s
C.西偏北方向，2.7×103 m/s D.东偏南方向，2.7×103 m/s
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】 附加速度Δv与卫星飞经赤道上空时的速度v 及同步卫星的环绕速度v 的矢量关
2 1
系如图所示.由余弦定理可知，Δv＝≈1.9×103 m/s，方向为东偏南方向，故B正确，A、
C、D错误.
题型二：由分运动的运动图象判断合运动的性质
【典例2拔尖题】某研究性学习小组为了研究运动的合成与分解，利用图甲所示装置做了
如下实验：在一端封闭、长约1 m的均匀长直玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块，将玻
璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，蜡块能在玻璃管中以v＝10 cm/s的速
y
度匀速上升．若在蜡块上升的同时水平向右移动玻璃管，用y轴表示蜡块竖直方向的位移，
x轴表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时刻蜡块位于坐标原点，描出蜡块的运动轨
迹如图乙所示．下列说法正确的是( )
A. 玻璃管向右匀速平移 B. 蜡块做匀变速运动
C. 蜡块所受合外力的方向沿图线的切线方向 D. t＝2 s时蜡块的速度大小为20 cm/s
【典例2拔尖题】【答案】B
【解析】蜡块在玻璃管中以v＝10 cm/s的速度匀速上升，由题图乙可知，从t＝0时刻起，
y
每1 s内玻璃管通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm，因此玻璃管水
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学科网（北京）股份有限公司平向右匀加速平移，故A错误；蜡块沿水平方向的加速度大小恒定，由运动学公式可知，
水平方向的加速度大小为a＝ ＝5 cm/s2，所以蜡块做匀变速运动，故B正确；做曲线运
动的物体所受合外力方向指向轨迹内侧，故C错误；由以上分析和速度的合成知识可知，t
＝2 s时蜡块的速度大小为v＝10 cm/s，故D错误．
【典例2拔尖题对应练习】(多选)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体
的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从
离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t 和t 是他
1 2
落在倾斜雪道上的时刻．则( )
A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D. 竖直方向速度大小为v 时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
1
【典例2拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】根据v－t图线与t轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方
向上的位移比第一次的大，选项A错误；从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间
长，由a＝ 可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C
错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直
位移与水平位移的比值相同(均等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程
中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v 时，根据
1
v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，
由牛顿第二定律有mg－F＝ma，可知竖直方向为v 时，第二次滑翔过程中在竖直方向上
f 1
所受阻力比第一次的大，选项D正确．
题型三：由分运动规律判断合运动的性质
【典例3拔尖题】(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个
由蜡做成的小圆柱体R.R从坐标原点以速度v＝0.02 m/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正
0
方向做初速度为0的匀加速直线运动．测出t时刻R的 x、y 坐标值分别为0.25 m和0.10
m，则此时( )
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学科网（北京）股份有限公司A．玻璃管的速度大小为 0.05 m/s B．玻璃管的加速度大小为 0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0 D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【典例3拔尖题】【答案】BC
【解析】蜡块水平方向做匀加速直线运动，则t＝at2＝0.25 m，竖直方向做匀速直线运动，
则vt＝0.10 m，解得t＝5 s，v＝0.1 m/s，a＝0.02 m/s2，选项A错误，B正确；由x＝at2＝
0 x
0.01t2，y＝vt＝0.02t，消掉t解得x－25y2＝0，选项C正确，D错误．
0
【典例3拔尖题对应练习】如图所示，在灭火抢救过程中，消防队员有时要借助消防车上
的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，消防队员沿梯子匀加速向上运
动的同时消防车匀速后退，则关于消防队员的运动，下列说法正确的是( )
A．消防队员做匀加速直线运动 B．消防队员做匀变速曲线运动
C．消防队员做变加速曲线运动 D．消防队员水平方向的速度保持不变
【典例3拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】根据运动的合成，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，其合加
速度的方向、大小不变，所以消防队员做匀变速曲线运动，故 A、C错误，B正确．将消
防队员的运动分解为水平方向和竖直方向，知水平方向上的最终的速度为匀速后退的速度
和沿梯子方向速度在水平方向上的分速度的合速度，因为沿梯子方向的速度在水平方向上
的分速度在变，所以消防队员水平方向的速度在变，故D错误．
题型四：参考系转化问题
【典例4拔尖题】趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台
静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指
向表示投篮方向)的是( )
【典例4拔尖题】【答案】C
【解析】篮球的实际速度是运动员投篮球的速度与运动员所在位置平台转动速度的合速度。
当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐。故C
正确，A、B、D错误。
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学科网（北京）股份有限公司【典例4拔尖题对应练习】民族运动会上有一骑射项目如图8所示，运动员骑在奔跑的马
上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v ，运动员静止时射出
1
的弓箭速度为v ，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行
2
时间最短，则( )
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到固定目标的最短时间为
D.箭射到固定目标的最短时间为
【典例4拔尖题对应练习】【答案】 C
【解析】要想命中目标且使箭在空中飞行的时间最短，v必须垂直于v，并且v、v的合
2 1 1 2
速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C正确，D错误；运动员放箭
处离目标的距离为，又x＝vt＝v·，故＝＝，A、B错误。
1 1
考点三：小船渡河模型
【知识思维方法技巧】
三种过河情景分析：
（1）过河时间最短：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝，d为河宽。
min
（2）过河路径最短
①当v v 时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，只有合速度垂直于船在静水中
水 船
的速度时，渡河路径最短，最短渡河位移为x ＝
min
注意：求渡河最小船速v 时，根据船速v 与水流速度v 的大小情况用动态三角形法分析
船 船 水
处理。
题型一：水速不变，水流速度小于船在静水中的速度模型
【典例1拔尖题】如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对
岸，船在静水中行驶的速度为u，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t ，船的位移
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学科网（北京）股份有限公司为s；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t，船的位移为s.若AB、AC与河岸的垂
1 2 2
线方向的夹角相等，则有( )．
A．t>t ss C．t＝t ss
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【典例1拔尖题】【答案】D
【解析】由于船的速度大小相等，且与河岸的夹角相同，所以船速在垂直于河岸方向上的
分速度大小相同，渡河的时间由船垂直河岸的速度的大小决定，故船到达对岸的时间相等
船的位移决定于平行河岸方向的速度大小，结合题意知s>s.
1 2
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，小船以大小为v(船在静水中的速度)、方向与上游河
岸成θ的速度从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O′处．现要使小船在更短的
时间内过河并且也正好到达正对岸O′处，在水流速度不变的情况下，可采取的方法是(
)
A．θ角不变且v增大 B．θ角减小且v增大
C．θ角增大且v减小 D．θ角增大且v增大
【典例1拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】由题意可知，航线恰好垂直于河岸，要使小船在更短的时间内过河并且也正好到
达正对岸O′处，则合速度增大，方向始终垂直河岸．如图所示，小船在静水中的速度增大，
与上游河岸的夹角θ增大， 故D正确，A、B、C错误．
题型二：水速不变，水流速度大于船在静水中的速度模型
【典例2拔尖题】一艘船以v 的速度用最短的时间渡河，另一艘船以v 的速度从同一地点
A B
以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之
比是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．v ∶v B．v ∶v
A B B A
C．v∶v D．v∶v
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】两船抵达的地点相同，知合速度方向相同，A船静水速度垂直于河岸，B船的静
水速度与合速度垂直，如图所示，两船的合位移相等，则渡河所用时间之比等于两船合速
度之反比，则：＝＝＝，故选项D正确，A、B、C错误．
题型三：水速不变，水速与船速关系未知模型
【典例3拔尖题】如图所示，河水的流速保持不变，船在静水中的速度大小也一定，当船
头的指向分别沿着图中4个箭头的方向，下列说法正确的是( )
A．①方向小船一定向上游前进
B．②方向小船一定沿图中虚线前进
C．②方向和④方向小船不可能到达对岸的同一地点
D．③方向小船过河时间一定最短
【典例3拔尖题】【答案】D
【解析】若河水的流速大于船在静水中的速度，则船头指向①方向时，小船向下游运动，
A项错误；若河水的流速大于船在静水中的速度，则无论船头指向哪个方向，都无法沿题
图中虚线过河，B项错误；由于不知道船在静水中的速度与水速的大小关系，也不知道②
方向与④方向小船具体的方向关系，若船头指向②方向和④方向，对应实际运动的合速度
方向相同，如图所示，则在这两种情况下，小船能到达对岸的同一地点，C项错误；当船
头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，D项正确。
【典例3拔尖题对应练习】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船
下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则( )
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为v ＝
max
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为v ＝
min
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学科网（北京）股份有限公司D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为v ＝
min
【典例3拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故
选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速
度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向
与AB垂直，可得v ＝，故选项C错误，D正确．
min
题型四：水速变化模型
【典例4拔尖题】一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方
向平行于河岸．小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于水分别做
匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹如图所示．下列说法错误的是( )
A．沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动 B．AD是匀减速运动的轨迹
C．沿AC轨迹渡河所用时间最短 D．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
【典例4拔尖题】【答案】D
【解析】船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起匀速运动，曲线
运动的加速度指向轨迹的内侧，故AC轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，
同理可知，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿
垂直于河岸方向做匀减速运动，沿AD轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，
故A、B正确，D错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于AC轨迹
船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀加速运动，AB轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做
匀速运动，AD轨迹船相对于静水沿垂直于河岸方向做匀减速运动，故沿三条不同路径渡
河的时间不同，沿AC轨迹渡河所用的时间最短，故C正确．
【典例4拔尖题对应练习】如图所示，河水由西向东流，河宽为 800 m，河中各点的水流
速度大小为v ，各点到较近河岸的距离为x，v 与x的关系为v ＝x (m/s)(x的单位为
水 水 水
m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v ＝4 m/s，则下列说法
船
中正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
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学科网（北京）股份有限公司【典例4拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速
速度方向与加速度方向不共线，小船的合运动是曲线运动，A错误．当小船运动到河中间
时，东西方向上的分速度最大，为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值v ＝5 m/s，B
m
正确．小船在距南岸200 m处的速度与在距北岸200 m处的速度大小相等，C错误．小船
的渡河时间t＝＝200 s，D错误．
考点四：绳连接体及杆连接体端点速度分解问题
【知识思维方法技巧】
绳（杆）速度分解模型的处理技巧：
（1）先确定合速度的方向：绳(杆)拉物体的实际运动速度方法
（2）确定两个分速度方向：沿绳（杆）方向的分速度和垂直绳（杆）方向的分速度。
（3）解题原则：画出速度分解图，把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳
（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。如图所示：
题型一：绳端速度分解的问题
【典例1拔尖题】如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑
圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，
初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(
)
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，则当θ＝
60°时，Q的速度v cos 60°＝v ，解得＝，故选项A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正
Q P
下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即v ＝0，此时Q的速度最大，故选项B正确，C
P
错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度
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学科网（北京）股份有限公司为零，合力为零，故选项D错误。
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的
不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升
至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则( )
A．刚开始时B的速度大小为
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
【典例1拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】对于A，它的速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度大小
分别是v 、v ，其中v 等于B的速率(同一根绳子，两端速度大小相同)，故刚开始上升时B
a b b
的速度大小为v ＝v ＝vcos θ，故A不符合题意；由于A匀速上升，θ在增大，所以v 在
B b B
减小，故B不符合题意；B下降过程做减速运动，处于超重状态，绳对B的拉力大于B的
重力，故C符合题意；当A运动到位置N时θ＝90°，此时v ＝0，故D不符合题意．
B
题型二：杆端速度分解的问题
【典例2拔尖题】曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，
如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做
直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v 的匀速圆周运动，则下列说法
0
正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v
0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v
0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v
0
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学科网（北京）股份有限公司D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v
0
【典例2拔尖题】【答案】A
【解析】当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿
杆方向和垂直于杆方向的速度；将活塞的速度 v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，
则此时vcos θ＝vcos θ，即v＝v ，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P
0 0
沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误.
考点五：杆物接触速度分解问题
【知识思维方法技巧】
杆物接触速度分解模型的处理技巧：
沿接触面的法线方向（与杆垂直的方向）的分速度相等
题型一：杆物贴靠接触模型
【典例1拔尖题】如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端
固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立
方块沿地面向右滑动到图示位置（杆与地面夹角为 α）时，速度为v，则甲图中小球的速度
大小v 和乙图中小球的速度大小v′ 应为（ ）
A A
A．v ＝，v′ ＝vsin α B．v ＝，v′ ＝vsin α
A A A A
C．v ＝vsin α，v′ ＝ D．v ＝，v′ ＝sin2α
A A A A
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12
学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题】【答案】D
【解析】图甲中，杆绕O转动，球A的速度v 垂直于杆，将速度v 沿水平和竖直两方向正
A A
交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图（a）所示，得v sin α
A
＝v，故v ＝，故B、C错误；图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度v′ 和杆与立方块
A A
接触点的速度v 的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度ω相同，则有＝.将立方块的速度v
1
沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图（b）所示，则杆与立方块接触点的速度v 应
1
与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即v ＝vsin α，联立以上两式得v′ ＝sin2α，故A错
1 A
误，D正确．
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，长为L的轻直棒一端可绕固定轴O转动，另一端固
定一质量为m的小球，小球搁在水平升降台上，升降平台以速度 v匀速上升．下列说法正
确的是( )
A．小球做匀速圆周运动 B．当棒与竖直方向的夹角为α时，小球的速度为
C．棒的角速度逐渐增大 D．当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为
【典例1拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】棒与平台接触点(即小球)的运动可视为竖直向上的匀速运动和沿平台向左的运动
的合成．小球的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上方，如图所示．设棒的角速度
为ω，则合速度v ＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω
实
＝，小球速度为v ＝ωL＝，由此可知棒(小球)的角速度随棒与竖直方向的夹角α的增大而
实
减小，小球做角速度越来越小的变速圆周运动，选项A、B、C错误，D正确．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：杆物贴套接触模型
【典例2拔尖题】如图所示，细棒AB水平放置在地面，A端紧挨着墙面，C为AB棒的中
点。现让棒的A端沿着墙面匀速上移，当B端与C点的速度大小相等时，AB棒与地面的
夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【典例2拔尖题】【答案】A
【解析】由分析可知，中点C点是以墙角为圆心，以棒长一半为半径做圆周运动（斜边的
中线等于斜边的一半）；设AB棒与地面的夹角为 ，如图
有几何关系可知 ;中点C点速度与B段的速度在沿杆方向上的分
速度相等，则有 ;解得 ，故A正确，BCD错误。故选A。
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