文档内容
第 15 讲 曲线运动和运动的合成与分解
学习目标
明 确目标 确定方向
1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.
2.掌握运动的合成与分解法则
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一．曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
3.曲线运动的条件：力与初速度不共线
二．运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程。
2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
第二部分：重难点辨析
一、物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的
“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
二运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等
(2)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
(3)独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运
动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
3．合运动性质的判断：合力与和运动的方向关系决定合运动的性质
三两种基本模型（一）小船渡河
1．船速：v船在静水中的速度、
1
水速：v水流速度、
2
合速度v船的实际速度
2．三种过河情景分析
(1)最短时间渡河：船头正对河岸时，渡河时间最短，t ＝(d为河宽)。
min
(2)最短位移渡河(vv时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v
2 1 2
矢量末端为圆心，以v矢量的大小为半径画弧，从v矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时
1 2
航程最短。
由图可知cosα＝，
最短航程s ＝＝d。
短
（二）绳端关联速度分解问题
分解原则：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等
【 典例分析 】 精 选例题 提高素养
【例1】．运动员出色表现的背后，不仅有自身努力的付出，也有科技的加持。利用风洞实验室为运动装
备风阻性能测试和运动姿态风阻优化在我国已大量运用在各类比赛项目中，帮助运动员提高成绩。为了更
加直观的研究风洞里的流场环境，我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察，如图甲所示。在某次实验中
获得一重力可忽略不计的烟尘颗粒做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．烟尘颗粒一定做匀变速曲线运动C．P点处的加速度方向可能水平向左
D．Q点处的合力方向可能竖直向下
例1【答案】D
【详解】A．曲线运动的速度大小可能不变，但方向一定在变，故A错误；
B．做曲线运动的合外力指向轨迹凹侧，可知烟尘颗粒所受的力在变化，故不可能是匀变速曲线运动，故B
错误；
C．做曲线运动的合外力指向轨迹凹侧，故P点处的加速度方向可能斜右上方，故C错误；
D．做曲线运动的合外力指向轨迹凹侧知Q点处的合力方向可能竖直向下，故D正确。
故选D。
【例2】．某实验小组的同学为了探究运动的合成与分解，将一蜡块放在竖直的玻璃管内，蜡块沿玻璃管
向上做匀速直线运动，同时在水平外力的作用下使玻璃管沿水平方向做匀变速直线运动，描绘出的蜡块的
轨迹图线如图所示，从运动开始经2s的时间蜡块由原点运动到图中的A点，A点的坐标如图。则下列说法
正确的是（ ）
A．蜡块沿玻璃管向上的速度为0.6m/s
B．蜡块的加速度大小为
C．2s末蜡块的速度大小为2.2m/s
D．经过足够长的时间，轨迹可以平行于x轴
例2【答案】A
【详解】A．由题意可知，蜡块在竖直方向做匀速直线运动，由
得
故A正确；
B．水平方向上蜡块做初速为零的匀加速直线运动，则由得
故B错误；
C．2s末蜡块的水平速度大小为
所以2s末蜡块的速度大小为
故C错误；
D．由于沿y轴的正方向蜡块做匀速直线运动，即使经过足够长的时间沿y轴方向的速度保持不变，则合速
度不可能平行于x轴，故D错误。
故选A。
【例3】．新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和
B．将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰
上。开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v向左运动，当绳子与杆A的夹角 时重物的速度
0
为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度正方向。下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例3【答案】C
【详解】AB．重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于v0，即
所以当 时
故AB错误；
CD．重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角θ增大，由
可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动， ，故C正确，D错误。
故选C。
【例4】．（1）小刘和朋友一起在周末去探险，路过一化工厂外用区域时，发现一个正在偷排污水的水平
管口，如图1所示，实测管口离落水点的高度差为 ，污水水平射程为 。求：污水流出管
口时的速度大小；
（2）小刘和朋友继续探险，遇到一宽为 ，水流很急的小河。实测水流速度恒为 ，所带的
气垫船在静水中的速度为 ，假设两河岸相互平行，小刘要以最短路程渡河，求：气垫船与上游河
岸成多少夹角行驶；此过程的渡河时间多大。（已知 ）
例4【答案】（1） ；（2）53°，
【详解】（1）根据平抛运动规律，竖直方向上有
，
解得
水平方向上有，
解得
故污水流出管口时的速度大小为4m/s。
（2）解法1：水流速度 大于气垫船在静水中速度 ，故气垫船合速度的方向无法与河岸垂直，如图所
示，以 的矢量末端为圆心， 大小为半径画圆，当 与圆相切时，气垫船渡河路程最短。
设气垫船与上游河岸为 角，有
则
则渡河时间
解法2：设气垫船与上游河岸成 角渡河，合速度与河岸成 角。渡河时速度关系如图所示
设路程为s，满足有
故 越大，路程s越小，而
则有
取
，
则有
即
此时s最小，此时
则渡河时间
故此过程的渡河时间为2.5s。
【巩固练习】 举 一反三 提高能力
1．如图所示为飞机特技表演俯冲时的情形，飞机从 点运动到 点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．飞机的速度可能保持不变
B．飞机一定做匀速圆周运动
C．如果飞机的速度不断增大，则飞机受到的合力与飞机的速度夹角始终小于
D．如果飞机的速度不断增大，则飞机受到的合力与飞机的速度夹角可以互相垂直
1【答案】C【详解】A．从A点运动到B点过程中，飞机做曲线运动，速度方向不断改变，所以速度一直在变化，故A
错误；
B．飞机做曲线运动，不一定是圆周运动，速度的大小未知，所以飞机不一定做匀速圆周运动，故B错误；
CD．如果飞机的速度不断增大，由动能定理可知，合力对飞机一直做正功，则飞机受到的合力与飞机的速
度夹角始终小于 ，故C正确，D错误。
故选C。
2．如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一小段时间内，表演者让方桌在脚上飞速旋转，同
时完成“抛”“接”“腾空”等动作技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌面 是边长为1m的正方
形，桌子绕垂直于桌面的中心轴线 做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时刻演员用力将桌子竖直向上
蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速度 取 ，则桌子离开
演员脚的瞬间，桌角 点的速度大小约为（ ）
A． B．
C． D．
2【答案】C
【详解】桌子在水平面内做匀速圆周运动，转速约为2r/s，桌角 点的线速度为
又
故
桌子被蹬出瞬间竖直向上的速度为 ，由竖直上抛运动规律可得 ，解得则 点的合速度为
故选C。
3．某实验小组的同学在实验室用模型研究了小船渡河的问题，如图所示，已知模型船由岸边的A点开始渡
河，B点为正对岸的点，模型船在静水中的速度为 ，水流速度与河岸平行、且大小为 ， ．则下
列说法正确的是（ ）
A． 时模型船有可能到达B点 B．模型船到达对岸时的速度一定小于
C．模型船渡河所用的最短时间为 D．如果模型船到达B点，则所用时间为
3【答案】C
【详解】AD．欲使模型船到达B，则模型船的速度应斜向上指向上游，使得合速度垂直河岸，此时应有
，合速度大小为
此时的渡河时间为
AD错误；
B．由速度的合成法则可知，模型船到达对岸时的速度与 的大小关系不确定，B错误；
C．欲使模型船的渡河时间最短，则模型船的速度垂直河岸，渡河的时间为C正确。
故选C。
4．如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为M。杆上套有一质量为m的物块，杆与物块间动
摩擦因数为 。对小车施加一水平力，同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t
时刻小车的速度为 ，g为重力加速度，不计地面摩擦。则t时刻物块的速度为（ ）
A． B． C． D．
4【答案】B
【详解】由于t时刻小车的速度为
可知小车的加速度为g，方向水平向右，对物块在水平方向有
在竖直方向有
则t时刻物块的速度
解得
故选B。
5．2022年11月8日举办的珠海航展再次展现了我国强大的航天制造实力，其中可自由变向的无人机装备
表演尤其引人瞩目。若一无人机只受到重力和恒定推力，正以 的速度竖直向上匀速升空，突然收到
指令，推力保持原来大小将方向调整为与竖直方向夹角为 且不变，则在此后的运动中，无人机的最小速度为（ ）
A．0 B．1m/s C． m/s D．2m/s
5【答案】C
【详解】无人机推力调整后速度与受力的关系如图所示
根据平行四边形定则合成推力和重力如图，将速度按照平行和垂直合力的方向进行分解，可知，沿 方向
无人机做匀减速直线运动，沿 方向无人机做匀速运动，当 减小到零时，无人机的速度最小，即此时无
人机的速度等于 ，推力与竖直方向夹角为 且
与 的夹角为
由几何关系可知， 与 的夹角为 ，故
故选C。
6．随着科技的飞速发展，人工智能越来越多地出现在人们的生活之中。如图所示，为某品牌的扫地机器
人，其形状为圆盘形，圆盘半径为R。扫地机器人在一片空旷的水平地面作业时，其中心轴上每一点均沿
着一条直线做匀速直线运动，速度大小为v。同时机身绕着中心轴做匀速圆周运动，角速度大小为ω。现
0
考虑圆盘边缘上的一点P，t=0时过该点的半径处在中心轴的运动方向上。下列关于P点运动的描述正确的
是（ ）A．P点的运动轨迹为直线
B．P点的运动轨迹为圆弧
C．经过半个周期，P点通过的位移大小为
D．经过一个周期，P点通过的位移大小为
6【答案】C
【详解】AB．P点的运动是匀速直线运动和圆周运动的合运动，其轨迹不可能是直线，也不可能是圆弧，
故AB错误；
C．经过半个周期，对于圆周运动的分运动位移为
x1=2R
对于匀速直线运动的分运动位移为
则P点通过的位移大小为
x=x1+x2=
故C正确；
D．经过一个周期，对于圆周运动的分运动位移为
x1=0
对于匀速直线运动的分运动位移为
则P点通过的位移大小为
x=x1+x2故D错误。
故选C。
7．一垂直江岸的路线，距离为s，一游泳爱好者欲以速度 沿此路线游泳，水流速度 ， ，
以开始游泳作为计时起点，则他实际到达的位置偏离原预定到达的位置的距离为（ ）
A． B． C． D．
7【答案】D
【详解】此人在垂直河岸方向做速度为v0的匀速运动，平行河岸方向做初速度为v0加速度为a的匀加速
运动，则
解得
则他实际到达的位置偏离原预定到达的位置的距离为 。
故选D。
8．洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋
舟若采取冲锋舟最小速度和船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处
送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v和船头正对河岸的冲锋舟速度v之比为（ ）
1 2
A． B． C． D．
8【答案】D【详解】设冲锋舟以最小速度v1和船头正对河岸速度v2分别从A到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线
冲锋舟速度v2垂直于水平河岸
可知
故选项D正确。
9．流沙是一种可以流动的沙，可以轻而易举地把一些大型动物困住，但是一些小动物却可以顺利地通过
流沙区域。现一小动物想从流沙河河岸上的某点到达正对岸，已知流沙的速度大小为 ，小动物在静沙中
的速度大小为 （ ），流沙河的宽度为d，则小动物通过流沙河的时间为（ ）
A． B． C． D．
9【答案】A
【详解】要想到达某点的正对面，则需要小动物的速度在流沙河方向的分速度和流沙的速度等大反向，由
运动的分解得，在垂直于流沙河方向的速度为
则时间
故A正确，BCD错误。
故选A。
10．2021年3月11号宁夏银川，一家餐厅后厨起火后，厨师和餐馆负责人却先跑了，三名顾客被困。大
火被扑灭后，三人被救出。两人因未尽到组织引导顾客疏散的义务被刑拘。火灾逃生的首要原则是离开火
灾现场，如图是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高
0
h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（ ）
A．v B．2v C． D．
0 0
10【答案】C
【详解】设杆与水平面CD的夹角为 ，由几何关系可知
即
将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度 和垂直杆转动的速度 ，由矢量三角形可知
而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 ，故选C。
11．如图所示，一轻质细绳跨过光滑定滑轮连接着两个小物体A、B，已知此时两物体的速度分别为 、
，细绳对A的拉力大小为F，则下列说法中正确的是（ ）
A．细绳对B的拉力大于F
B．细绳对B的拉力的功率为C．细绳对A做功的功率的大小等于细绳对B做功的功率的大小
D．由细绳对A、B做功功率大小相等（即 ），可知
11【答案】C
【详解】A．绳中张力处处大小相等，故A错误；
B．功率的计算式为 ，其中 是物体速度在力的方向的分速度，故B错误；
C．细绳对A的拉力大小等于对B的拉力，由 可知，在相同时间内绳对两物体做功的大小相
等，所以做功的功率的大小也相等，故C正确；
D．将A、B的速度都分解到绳的方向（即绳中张力的方向），然后再根据功率大小相等，可知两物体速度
沿绳方向的分速度大小相等，故D错误。
故选C。
12．经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救人的事件可简化如
图，落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽
和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为 ，则（ ）
A．游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向
B．小伙子在静水中游泳的速度至少应为
C．小伙子渡河的时间为
D．若小伙子总面对着A处游，其轨迹为一条曲线且到达不了A处
12【答案】B
【详解】A．游泳时小伙子面对的方向是分运动的方向，其速度与人在静水中的速度相等，A错误；
B．令AB连线与河岸夹角为 ，则有
解得由于分速度与合速度的关系满足平行四边形定则，根据几何关系可知，小伙子在静水中游泳的速度的最小
值为
B正确；
C．人渡河的速度方向不能确定，则合速度大小不能确定，则小伙子渡河的时间不确定，C错误；
D．若小伙子总面对着A处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，可
知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向 A点右侧，即到达不了A处，D错
误。
故选B。
13．某质点在xOy平面内运动， 时，质点位于坐标原点处，它在x轴方向的x-t图像如图甲所示，它
在y轴方向的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．质点在0～2s内做匀变速直线运动
B． 时，质点的速度大小为2m/s
C． 时，速度方向与合外力方向的夹角为
D． 时，质点的坐标为（2m，-2m）
13【答案】C
【详解】A．由图像可知，在0～2s内，质点在沿x轴以1m/s的速度做匀速直线运动，在y轴方向以2m/s
的初速度、1m/s2的加速度做匀减速直线运动，由运动的合成知识可知，质点做匀变速曲线运动，故A错
误；
B． 时，质点在y轴方向速度为
则质点的速度大小为故B错误；
C．根据B项分析知， 时
即速度方向和x轴正方向与y轴正方向的夹角均为 ，又合外力的方向沿y轴负方向，故速度方向与合外
力方向的夹角为 ，故C正确；
D．在1s时，质点在x轴上的分位移为1m，质点在y轴上的分位移为
所以质点在1s时的位置坐标为（1m，1.5m），故D错误。
故选C。
多选14．某河宽度为120m，河水流动与河岸平行，流速均匀且恒定，一艘小船从河边某点出发，则
（ ）
A．若船的速度大小恒为4m/s，方向可变，其航行轨迹一定为直线
B．若船的速度大小恒为4m/s，方向可变，则其过河至少需要30s
C．若船头方向与河岸垂直，由静止启动，船速随时间均匀增加，则其航行轨迹一定为抛物线
D．若船头方向与河岸垂直，由静止启动，船速随时间均匀增加，其完全过河时与出发点的正对岸相距
240m，则小船靠岸时的船速大小与水速相等
14【答案】BCD
【详解】A．若船的速度大小恒为4m/s，方向时刻发生变化，则船的加速度不为零，沿着河岸方向做匀速
直线运动，船的运动轨迹为曲线，故A错误；
B．若船的速度大小恒为4m/s，当船头一直垂直河岸时，渡河时间最短为
可知其过河至少需要30s，故B正确；
C．垂直河岸方向做初速度为零的匀加速直线运动，沿着河岸方向做匀速直线运动，船做类平抛运动，其
航行轨迹一定为抛物线，故C正确；
D．若船头方向与河岸垂直，垂直河岸方向
沿着河岸方向小船靠岸时的船速
联立解得
故D正确。
故选BCD。
多选15．某机械装置可以用于提升重物的高度，其结构如图所示。薄板OA可绕固定于竖直墙壁的转轴O
自由转动，底面半径为R的圆柱形重物M置于薄板与墙壁间，现将薄板从水平位置以角速度 逆时针匀速
转动，使重物沿着墙壁上升，设OA与墙壁的夹角为θ。则（ ）
A．重物加速上升
B．重物减速上升
C．重物垂直于板方向的分速度为
D．重物垂直于板方向的分速度为
15【答案】AC
【详解】CD．如图所示，将速度分解为垂直于挡板方向和平行于挡板方向，由线速度与角速度关系结合几
何关系可知
选项C正确，D错误；AB．由
重物沿着墙壁上升， 减小，v增大，选项A正确，B错误。
故选AC。
16．如图，在水平地面上方高为H的区域存在水平向右的风场。现从风场上方P处分别向左右两边水平抛
出两个相同的小球N、M，初速度大小相同。两小球进入风场后将受到相同大小水平向右的恒定风力作用，
直至落地，整个过程中除重力与风场内水平风力以外，其他作用力忽略不计。已知N落地时速度方向竖直
向下，M在风场中做直线运动，落地时速度是N落地时的 倍。重力加速度为g。求：
（1）M、N在风场中沿水平方向的位移之比；
（2）P点距风场上边界的高度；
（3）恒定风力的大小。
16【答案】（1）3:1；（2） ；（3）
【详解】（1）M球在水平方向上做匀加速直线运动，N球在水平方向做匀减速直线运动，两球水平方向的
加速度大小相等，两球在竖直方向均只受重力，运动时间相等，加速度相等，则有
解得
（2）设M小球离开风洞时的竖直分速度为v，水平分速度为v1，两球离开风洞时竖直分速度相等，则有所以
由于M做直线运动，设小球进风场时在竖直方向的分速度为vy1，所以
解得
在竖直方向上有
所以
（3）因为M做直线运动，合力方向与速度方向在同一直线上，有
所以
