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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题21 曲线运动 运动的合成与分解
导练目标 导练内容
目标1 曲线运动的条件及轨迹分析
目标2 运动的合成与分解
目标3 小船过河模型
目标4 绳（杆）末端速度分解模型
【知识导学与典例导练】
一、曲线运动的条件及轨迹分析
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向
不在同一直线上，则物体做曲线运动。
(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为
“无力不弯，力速两边”。
2．速率变化的判断
【例1】图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景｡比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一
定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使
冰壶做曲线运动｡在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则
在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，而
后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，
则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。即①④正确。
故选B。
【例2】如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰
好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大
D．质点经过C点的动能比经过D点的大
【答案】D
【详解】A．质点从B点运动到E点的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故A错误；
BD．质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则经过A、B、C三点时的速度方向与加速
度方向的夹角大于 ，合外力做负功，由动能定理可得，经过D点时的动能比经过C点时的小，故D正
确，B错误；
C．质点做匀变速曲线运动，则加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与经过B点时的相同，故C错
误。
故选D。
二、运动的合成与分解
1.合运动轨迹和性质的判断方法
标准:看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线
(1)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
(2)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v合 与a
合
共线，为匀变速直线运动
[来源:学*科*网][来源:Zxxk.Com]
两个初速度不为零的匀变速直线运动
[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网]
如果v合 与a
合
不共线，为匀变速曲线运动
2．合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动同时开始，同时进行，同时结束独立性 各分运动相互独立，不受其他运动影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
【例3】如图所示，在一个足够大、表面平坦的雪坡顶端，有一个小孩坐在滑雪板上。给他一个大小为
的水平初速度使其运动。设雪坡与滑雪板之间的动摩擦因数 ，不计空气阻力，则小孩（ ）
A．一直做曲线运动
B．时间足够长速度方向会与初速度垂直
C．若 值合适可以沿初速度方向做匀速直线运动
D．做与初速度方向保持小于 角的加速直线运动
【答案】B
【详解】因为雪坡与滑雪板之间的动摩擦因数 ，所以 故阻力小于重力沿斜面向
下的分力，小孩不会停在斜面上。在垂直于初速度并沿斜面向下的方向上，小孩做初速度为零的加速直线
运动；因为摩擦力方向始终与运动方向相反，故小孩在水平方向做减速直线运动，当水平方向速度减为零
时，小孩合速度方向与初速度方向垂直并沿斜面向下，合力方向也与初速度方向垂直并沿斜面向下，此后
将沿斜面向下做匀加速直线运动。故选B。
【例4】一质量为2kg的物体在如图甲所示的xOy平面上运动，在x轴方向上的 图象和在y轴方向上的
图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）A．前2s内物体做匀变速直线运动 B．物体的初速度为8m/s
C．1s末物体的速度大小为 m/s D．前2s内物体所受的合外力为16N
【答案】C
【详解】A．由 图像可知，物体在x方向上做初速度为 的匀减速直线运动，加速度大小为
。根据 图像可知，物体在y方向上做速度大小为 的匀速直线运动，合速度方向与加
速度方向不在同一直线上，则在前2s内，物体的合运动为匀变速曲线运动，故A错误；
B．物体的初速度为水平速度和竖直速度的合速度，故初速度为 故B
错误；
C．1s末的物体x方向的速度为 故速度为 故C正确；
D．前2s内物体的加速度大小为4m/s2，由牛顿第二定律可知，其合力为 ，D错误。故选C。
三、小船过河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种相关速度：船在静水中的速度v 、水的流速v 、船的实际速度v。
船 水
3．两种渡河方式方式 图示 说明
渡河时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝
min
当v v 时，如果船头方向(即v 方向)与合速度方向垂
水 船 船
直，渡河位移最短，最短渡河位移为x ＝
min
【例5】2021年7月，河南因暴雨引发洪水。某救援队驾驶冲锋舟在洪水中救人。假设岸边是平直的，洪
水的流速为V，冲锋舟在静水中的速度为V，救人地点离岸边最近处A点的距离为d。如救援队想在最短
1 2
的时间内将人送上岸，则冲锋舟登陆的地点离A点的距离为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【详解】救援队想在最短的时间内将人送上岸，则船头方向垂直于岸边，此时用时最短为 则冲锋舟
登陆的地点离A点的距离为 故选C。
【例6】2021年10月6日，山西晋中因持续强降雨，咸阳河水库水位再次超出警戒线，当地武警接到命令
后立即赶赴现场救援。救援人员划船将河对岸的受灾群众进行安全转移。一艘船头指向始终与河岸垂直，
耗时6min到达对岸；另一艘船行驶路线与河岸垂直，耗时9min到达对岸。假设河两岸理想平行，整个过
程水流速恒为v ，两船在静水中速度相等且均恒为v ，且 ，则 为（ ）
水 船A．3： B．3：2 C．5：4 D．5：3
【答案】A
【详解】两小船过河示意图如图所示
船头指向始终与河岸垂直，过河时间为 船行驶路线与河岸垂直，过河时间为 将
代入得 故A正确，BCD错误。故选A。
【例7】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a，在船下河水点A的下游距离为b处是瀑
布。为了使小船安全渡河（不掉到瀑布里去，且不考虑船在A对面的上游靠岸）（ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为
B．小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，合速度最大，最大值为
C．小船沿轨迹AB运动位移最大，船速最小值为D．小船沿轨迹AB运动位移最大，船速最小值为
【答案】D
【详解】A．当小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为 故A错误；
B．小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，为a，但沿着船头指向的分速度速度必须指向上游，合速度不是最
大，因此船的航行速度也不是最大的，故B错误；
CD．要合速度要沿着AB方向，此时位移显然是最大的，划船的速度最小，即当船在静水中速度垂直合速
度时，则有 则有 故C错误，D正确。故选D。
四、绳（杆）末端速度分解模型
1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．分解思路：
3．解题原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等
求解。常见的模型如图所示。【例8】如图所示，质量相同的小球 通过质量不计的细杆相连接，紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动，
小球 分别沿水平地面和竖直墙面滑动，滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内，当细杆与水平
方向成37°角时，小球B的速度大小为v，重力加速度为g，忽略一切摩擦和阻力，
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球A的速度为
B．小球A的速度为
C．小球A的速度为v
D．小球A的速度为
【答案】A
【详解】小球B的速度大小为v时，设小球A的速度大小为 ，则有 解得
所以A正确；BCD错误；故选A。
【例9】如图，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑
斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现B、C间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，B在外力作用下以速度 匀速下滑。设绳子的张力为T，重力加速度的大小为g，在此后的运动过程中（A
未达斜面的顶部），下列说法正确的是（ ）
A．物体A做匀速运动 B．物体A做加速运动
C．T一定大于mgsinθ D．T可能等于mgsinθ
【答案】BC
【详解】AB．由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示，根据平行四边形定则，可知
因B以速度 匀速下滑，又α增大，所以 增大，A的速度与绳的速度相同，则物体A做加速
运动，故A错误，B正确；
CD．根据受力分析，结合牛顿第二定律，对A，则有 故C正确，D错误。故选BC。
【多维度分层专练】1．在光滑的水平面上，质量为1kg的物块在水平恒力F作用下运动，如图所示为物块运动的一段轨迹。已
知物块经过P、Q两点时的速率均为4m/s，用时为2s，且物块在P点的速度方向与PQ连线的夹角 。
则（ ）
A．
B．F的方向与PQ连线垂直
C．F的方向始终与速度垂直
D．P、Q两点的距离为6m
【答案】B
【详解】A．将速度分解为沿着PQ方向和垂直PQ方向，在沿着PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ
方向上做匀变速直线运动，所以F垂直PQ向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有
有 当F方向速度为零时， 解得 ，A错误；
BC．在P、Q两点的速度大小相等，根据动能定理知F做功为零，即F与位移PQ垂直，C错误，B正确；
D．根据对称性，滑块从P到Q的时间为 ，PQ连线的距离为 ，D错误。故选
B。
2．抗震救灾国之大事，消防队员冲锋在前。为保障灾民生命财产安全，消防队员利用无人机为灾民配送
物资，某次在执行任务时，无人机从地面起飞，所配送物资的质量为50kg（含包装材料），飞行过程中，
通过速度传感器测出无人机水平方向和竖直方向的分速度 和 随飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示，
无人机到达最大高度后释放物资，物资落在预定地点，不计空气阻力，物资落地后静止不动，缓冲时间为，g取 ， ，以下说法正确的是（ ）
A．0~10s时间内，无人机做曲线运动
B．25s时无人机速度为10m/s
C．0~40s时间内，无人机位移为410m
D．物资落地时受到地面的作用力为3000N
【答案】C
【详解】A．0~10s时间内，无人机在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向上做初速度为零
的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，A错误；
B．25s时刻无人机水平方向速度 竖直方向上速度 此时速度 ，B错
误；
C．0~40s时间内，无人机水平位移 无人机竖直方向高度 其位
移 ，C正确；
D．物资做平抛运动，落地时竖直方向速度 对物资竖直方向上，由动量定理
解得 水平方向上由动量定理得 解得 物资受到地面的作用力，D错误。故选C。
3．一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速 与船离河岸的距离x变化的关系如图甲
所示，船在静水中的速度 与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2 D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】C
【详解】A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即 故A错误；
B．由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，故B错误；
C．船在最短时间内渡河，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝0到x＝50 m之间均匀
增加，则 同理x＝50 m到x＝100 m之间 则船在河水中的加
速度大小为0.4 m/s2，故C正确；
D．船在河水中的最大速度为 故D错误。故选C。
4．某次抗洪抢险中，必须用小船将物资送至河流对岸。如图所示，A处的下游靠河岸处有个漩涡，A点和
漩涡的连线与河岸的最大夹角为37°，若河流中水流的速度大小恒为5m/s，为使小船从A点以恒定的速度
安全到达对岸，则小船在静水中航行时速度的最小值为（已知 ， ）（ ）A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．10m/s
【答案】A
【详解】如图所示
当小船在静水中的速度 与其在河流中的速度v垂直时，小船在静水中的速度 最小，则最小值
故A正确，BCD错误。故选A。
5．如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开
始时，AB杆在竖直位置。则小环M的速度将（ ）
A．逐渐增大 B．先减小后增大
C．先增大后减小 D．逐渐减小【答案】A
【详解】设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为 则AB杆上小环M绕A点的线速度
将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于小环M绕A
点的线速度v，则小环M的速度v′＝ 随着时间的延长，根据余弦函数特点，可知速度的变
化率增大。故选A。
6．如图所示，水平光滑长杆上套有物块 ，跨过悬挂于 点的轻小光滑圆环的细线一端连接 ，另一端
悬挂物块 ，设细线的左边部分与水平方向的夹角为 ，初始时 很小。现将 由静止同时释放，角
逐渐增大，则下列说法错误的是（ ）
A． 时， 的速度大小之比是
B． 角增大到 时， 的速度最大、加速度最小
C． 角逐渐增大到 的过程中， 的动能增加， 的动能减小
D． 角逐渐增大到 的过程中， 的机械能增加， 的机械能减小
【答案】C
【详解】A. 用同一根绳连接，则 沿绳子方向的速度与 的速度相等，则当 时， 的速度解得 故A正确，不符合题意；
B． P机械能最小时，为 到达 点正下方时，此时 的速度最大，即当θ=90时， 的速度最大，加速
∘
度最小，故B正确，不符合题意；
C．θ角逐渐增大到90°的过程中， 的速度增大， 的动能增加，当θ=90时， 此时P的速度
∘
为零，因此P的速度先增大后减小，所以 的动能先增大后减小，故C错误，符合题意；
D．θ角逐渐增大到90°的过程中， 的速度增大，动能增大，而重力势能不变，所以 的机械能增加，
P、Q组成的系统，机械能守恒，所以 的机械能减小，故D正确，不符合题意；故选C。
7．篮球无转动加速下落时轨迹如图甲所示，若在篮球释放瞬间给它一个转动速度轨迹如图乙所示，引起
轨迹乙的原因称为马格努斯效应，马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍。已知 为甲轨迹上一点，
为乙轨迹上一点。根据轨迹下列判断正确的是（ ）
A．篮球在 点受到空气给它的力不可能水平向左 B．篮球在 点受到空气给它的力可能大于篮球重力
C．篮球在 点受到空气给它的力可能水平向左 D．篮球在 点受到空气给它的力可能斜向右上
【答案】AD
【详解】AB．P做直线运动，垂直于直线方向合力为零，因此篮球水平方向不受空气作用力，篮球加速下
落，竖直方向空气作用力小于重力，故A正确，B错误；
CD．当篮球做曲线运动时，需要向心力，空气给篮球的作用力和重力的合力指向曲线的凹向，重力竖直向
下，所以空气给蓝球的作用力可能斜向右上，故C错误，D正确。故选AD。8．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1kg的物体原来静止在坐标原点O（0，0），t
= 0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方
向的外力，下列描述正确的是（ ）
A．0 ~ 2s内物体的运动轨迹是一条直线
B．2 ~ 4s内物体的运动轨迹可能是一条直线
C．前2s内物体做匀加速直线运动，后2s内物体做匀加速曲线运动
D．前2s内物体发生的位移与后2s内物体发生的位移大小相等
【答案】AC
【详解】ABC．在前2s内，物体只受沿x轴方向的力，所以物体沿x轴方向做匀加速直线运动，则0 ~ 2s内
物体的运动轨迹是一条直线，2s末开始，x轴方向的力消失，以后物体仅受沿y轴方向的力，该力与2s末
速度方向垂直，且大小方向均不变，则物体以后做匀加速曲线运动，则2 ~ 4s内物体的运动轨迹是一条曲
线，B错误、AC正确；
D．在前2s内，物体只受沿x轴方向的力，所以物体沿x轴方向做匀加速直线运动，则有
a = = 2m/s2，x= axt2= 4m，vx= axt= 4m/s，2s末开始，x轴方向的力消失，以后物体仅受沿y
x 1 1 1 1
轴方向的力，该力与2s末速度方向垂直，且大小方向均不变，则物体以后做匀变速曲线运动，在x方向有
x= vxt= 8m，y方向有a = = 2m/s2，y= ayt2= 4m则合位移为L = = m，D错
2 12 y 2 2
误。
故选AC。9．如图所示，某河宽d=150m，水流的速度大小为v=1.5m/s，一小船以静水中的速度v 渡河，且船头方向
1 2
与河岸成θ角，小船恰好从河岸的A点沿直线匀速到达河对岸的B点；若船头方向保持不变，小船以 v
2
的速度航行，则小船从河岸的A点沿与河岸成60°角的直线匀速到达河对岸的C点。下列判断正确的是（
）
A．v= m/s
2
B．θ=45°
C．小船从A点运动到B点的时间为 s
D．小船从A点运动到C点的时间为 s
【答案】ACD
【详解】AB．由题意可知 ； 解得v= m/s； θ=30°选项A正确，B错误；
2
C．小船从A点运动到B点的时间为 选项C正确；
D．小船从A点运动到C点的时间为 选项D正确。故选ACD。
