文档内容
第 5 讲 追及相遇问题
学习目标
明 确目标 确定方向
1. 掌握追及相遇问题的分析方法
2.熟练掌握利用匀变速直线运动解决实际问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
一、追及和相遇问题
1．分析同一条直线上两个物体距离最大最小或者是否能相遇的问题叫追及相遇问题
2分析方法：两个关系和一个条件 一个草图
的切入点；
（1）两个等量关系：时间关系和位移关系，
（2）一个条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断
问题
（3）通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2．能否追上的方法
（1）物理方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x 。若v ＝v 时，x ＋x x ，则不能追上。
0 B A B A 0 B
（2）用数学方法写出函数关系，用函数求极值或者根据判别式判断是否有根
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．同一条平直公路上，甲车在前，乙车在后，两车在不同的行车道上同向行驶， 时刻甲和乙
两车相距 ，其速度—时间 图像分别为图中直线甲和直线乙，交点坐标图中已标出，则
（ ）A．乙车的加速度是
B． 时两车相距最远
C． 时两车相遇
D． 时两车再次相遇
例1【答案】C
【详解】A． 图像中，斜率表示加速度，由图可知，乙车的加速度是
甲车的加速度为
故A错误；
BCD．由图可知，甲车做初速度为0，加速度为 的匀加速直线运动，乙车做初速度为 ，加速度
为 的匀加速直线运动，设经过时间 两车相遇，由公式 有
解得
或
之后，甲车比乙车的速度大，两车之间的距离逐渐增大，由于不知道运动结束的时间，则不能确定
何时两车距离最大，故BD错误，C正确。
故选C。【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v 、加速度大小为2a的匀减速直
0
线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相
撞，求A车的初速度v 满足什么条件。
0
【答案】 v<
0
【解析】要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最大只能与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上
B车时，A车的位移为x 、末速度为v 、所用时间为t；B车的位移为x 、末速度为v 、运动过程如图所
A A B B
示，现用三种方法解答如下：
解法一 临界法 利用位移公式、速度公式求解，对A车有x ＝vt＋×(－2a)×t2，v ＝v＋(－2a)×t，
A 0 A 0
对B车有x ＝at2，v ＝at，
B B
两车位移关系有x＝x －x ，
A B
追上时，两车不相撞的临界条件是v ＝v ，
A B
联立以上各式解得v＝。
0
故要使两车不相撞，A车的初速度v 应满足的条件是v<。
0 0
解法二 函数法 利用判别式求解，由解法一可知x ＝x＋x ，即vt＋×(－2a)×t2＝x＋at2，
A B 0
整理得3at2－2vt＋2x＝0。
0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v)2－4·3a·2x<0时，t无实数解，即两车不相
0
撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v 应满足的条件是v<。
0 0
解法三 图象法 利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图所示，设经过t时间两车刚好不
相撞，则对A车有v ＝v＝v －2at，
A 0
对B车有v ＝v＝at，
B以上两式联立解得t＝。
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v·t＝v·
0 0
所以要使两车不相撞，A车的初速度v 应满足的条件是v<。
0 0
【例3】．在某次军事演习中，歼击机以 的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶
机。当两者相距 时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为
的匀加速直线运动， 时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹
对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为
零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速 后达到最大速度 ，且歼击机加速和
减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击
中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
例3【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意，设靶机速度为 ，则有
解得（2）设导弹被发射后经 时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有
解得
最大距离为
解得
（3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为
经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线
运动，最后做匀减速直线运动，且到达歼击机所在位置时的速度为零。设歼击机的最大加速度为
歼击机做匀加速直线运动的位移大小为
歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为
歼击机做匀速直线运动的时间为
所以从歼击机击中靶机至歼击机到达靶机所在位置的最短时间为【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．甲、乙两车在同一条公路上做匀变速直线运动，甲车在后、乙车在前，初始时相距x=1000m，它们的
0
速度—时间图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．乙车比甲车早出发8s
B．甲、乙两车在t=36s时速度相等
C．两车会相撞
D．速度相等时两车相距x=40m
1【答案】B
【详解】A.乙车比甲车晚出发8s，故A错误。
B.由图可知甲做匀减速直线运动，有
乙车做匀加速直线运动，有
当两者速度相等时，有
解得
t=36s
故B正确。
CD.由B项解得共同速度当两车速度相等时不撞就不会再相撞，t=36s时，甲车的位移
乙车的位移
因为 ，所以两车不会相撞，速度相等时两车相距x=44m，故CD错误。
故选B。
2．如图所示，甲、乙两辆汽车并排沿平直路面向前行驶，两车车顶 两位置都装有蓝牙设备，这两
个蓝牙设备在 以内时能够实现通信。 时刻，甲、乙两车刚好位于图示位置，此时甲车的速度为
，乙车的速度为 的距离为 。从该时刻起甲车以 的加速度做匀减速运动直至
停下，乙车保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，从 时刻起，甲、乙两车能利用蓝牙通
信的时间为（ ）
A． B． C． D．
2【答案】D
【详解】根据几何知识可知，当甲车在乙车前方且 时，有
根据运动学公式有解得
，
因为甲车做匀减速运动而乙车做匀速运动，所以两车之间的距离先增大后减小，当 时，
； 时， 。t=t2=4s时，甲车的速度为
t=4s之后，甲、乙两车的距离不断减小，且甲车能够继续行驶的距离为
根据几何关系可知，从t=4s开始到乙车行驶至甲车前方4m的过程中， ，这段过程经历的时间为
所以甲、乙两车能利用蓝牙通信的时间为
故选D。
3．2021年4月13日的苏州奥体中心，在近万名现场球迷的加油声中，中国女足战胜韩国女足，拿到了东
京奥运会的入场券。如图所示，若运动员将足球以12m/s的速度踢出，足球沿草地做加速度大小为2m/s2
的匀减速直线运动，踢出的同时运动员以恒定速度8m/s去追足球，则运动员追上足球所需时间为
（ ）
A．2s B．4s C．6s D．8s
3【答案】B【详解】设足球的初速度为v0，运动运的速度为v，经时间t追上，满足
代入数据解得
t=4s
此时足球的速度为
还未停止运动，符合匀减速运动规律，故运动员追上足球所需时间为4s。
故选B。
4．城市公共汽车的加速度为1m/s2，汽车刚启动时，一未赶上车的乘客以6m/s速度追车，当人与车尾的
距离不超过5m，且维持4s以上，才能引起司机的注意，则（ ）
A．乘客开始追赶公共汽车时至少距离公共汽车21m才能引起司机注意
B．公共汽车在6s末距离乘客最远
C．若乘客开始追赶公共汽车时距离公共汽车小于20m，则乘客可以追上公共汽车
D．满足恰好引起司机注意的条件下，乘客可以追上公共汽车
4【答案】A
【详解】A．按题意
在乘客恰好引起司机注意的条件下，可得
则
x=21m
A正确；
B．由于汽车刚启动时乘客比汽车快，因此共速时乘客距离汽车最近，B错误；
CD．若t=6s时恰好追上为临界状态，此情形
即乘客能追上汽车的最小初始距离为18m，CD错误。
故选A。多选5．已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车
刚好以速度 从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的 图线，根据
这些信息，可以判断（ ）
A．5s末两车速度均为9m/s B．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇 D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
5【答案】AD
【详解】A．由v－t图象可以看出，5s末两车的速度相等，均为
A正确；
BC．0至10s，两图线与坐标轴围成图形的面积相等，由v－t图象的物理意义可知，10s末两车相遇，
两车间距变大20s之后两车间距变小，25s后会再相遇一次，BC错误；
D．由v－t图象可知，5s末两车的速度均为9m/s，由9m/s增加到18m/s，越野车所花的时间是自动驾驶车
的3倍，根据 可知，自动驾驶车的加速度是越野车的3倍，D正确。
故选AD。
多选6．田径运动会上正进行接力比赛。如图所示，静止在O处等待接棒的运动员甲，观察到乙以大小为
v的速度运动到P处时，甲从静止开始以大小为a的加速度匀加速直线运动，当甲速度达到v时，运动员乙
恰好追上甲。在此过程中运动员乙做匀速直线运动，则（ ）
A．运动员甲的运动时间为 B．运动员甲的运动时间为C．OP距离为 D．OP距离为
6【答案】AD
【详解】AB．设甲从出发到乙追上甲所用时间为t，甲做匀加速直线运动，则有
解得
故A正确。故B错误；
CD．设P、O两点之间的距离为x，则有
带入数据解得
故C错误。故D正确。
故选AD。
多选7．哈尔滨工业大学计算学部设计了一款能够与人协作、共同完成冰壶比赛的机器人。当机器人与冰
壶之间的距离保持在8m之内时，机器人可以实时追踪冰壶的运动信息。如图甲所示，在某次投掷练习中
机器人夹取冰壶，由静止开始做匀加速运动，之后释放冰壶，二者均做匀减速直线运动，冰壶准确命中目
标，二者在整个运动过程中的 图像如图乙所示。此次投掷中，下列说法中正确的是（ ）
A．冰壶减速运动的加速度大小为
B．9s末，冰壶的速度大小为5.75m/sC．7s末，冰壶、机器人二者间距为7m
D．机器人能够一直准确获取冰壶的运动信息
7【答案】AC
【详解】A．根据加速度的定义可知，冰壶减速运动的加速度大小为
故加速度大小为 ，A正确；
B．由速度时间公式可得，9s末，冰壶的速度大小为
B错误；
C．由图线可知，机器人的加速度为
故可得，7s末，冰壶的位移为
7s末，机器人的位移为
则7s末，冰壶、机器人二者间距为7m，C正确；
D．由于机器人停止运动时，其位移为18m，而此时冰壶的位移为
可知，机器人不能一直准确获取冰壶的运动信息，D错误。
故选AC。
多选8．为了测试小车的性能，甲、乙两辆小车同时从M处由静止开始沿平直公路均先做匀加速直线运
动，然后刹车做匀减速直线运动直至静止，两车先后停在N处，假设两车在各自匀加速阶段和匀减速阶段
的加速度大小相等，甲车、乙车全程经历的时间分别为 和 ，甲乙两车加速度大小分别为 和 ，最大速度分别为 和 ，则（ ）
A．
B．
C．甲车停下时，两车相距最远
D．甲车运动了 时，两车相距最远
8【答案】AD
【详解】AB．运动图像如图所示
由两车位移相等
解得
由图像可得，甲的加速度
乙的加速度
两车位移相等，有
整理有故A正确，B错误；
CD．速度相等时相距最远，设甲达到最大速度后，再经过 时间，相距最远。速度相等
对甲车
再联立
解得
甲车运动时间
两车相距最远。故C错误，D正确。
故选AD。
9．如图所示，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道宽的中心线（图中虚线所示）向前匀
速行驶， 。两车车长均为 ，车宽均为 。当甲、乙两车车头
到十字路口中心点O的距离分别为 时，乙车意识到有撞车的危险立即刹车做匀减速直
线运动，但甲车却仍保持原有运动状态向前行驶。为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则乙车的
加速度应该满足什么条件？9【答案】
【详解】若乙车加速度较大，乙车的车头刚好没撞上甲车的车尾，如图所示：
有
解得
乙车的加速度应该满足 。
10．公路上，一商务轿车定速巡航的速度为v=108km/h，某时刻突然发现前方有一辆故障车，由于无法变
1
道避让，轿车司机立即刹车，以恒定的加速度行驶， 时仍与故障车发生碰撞，两车碰撞时间极短，碰
撞后轿车熄火且两车车轮均抱死，之后两车又一起沿轿车的行驶方向滑行了s=2.5m才停下，两车与路面间
的动摩擦因数均为 。轿车质量为 ，故障车质量为 ，重力加速度g取
。
（1）求轿车刹车过程的加速度大小和轿车开始刹车时与故障车间的距离；
（2）若其他条件不变，前车是以72 km/h的速度匀速行驶的出租车，若两车不相撞，轿车刹车的恒定加速
度至少为多大？（结果保留两位小数）
10【答案】（1） ，58.5 m；（2）0.85m/s2
【详解】(1)设轿车与故障车碰撞前瞬间速度为 ，两车碰撞后瞬间的速度为 ，碰撞之后两车一起做匀减
速直线运动，由牛顿第二定律可得两车一起减速过程中的加速度大小为根据速度位移公式
两车碰撞时间极短，碰撞过程中动量守恒，有
对轿车碰撞前刹车过程，有
由题意知
解得轿车刹车过程的加速度大小为
轿车开始刹车时与故障车的距离为
(2)若轿车追上出租车时与出租车速度相等，两车恰好不相撞，则位移关系为
其中
轿车刹车的最小加速度为
解得
11．如图1所示，OB为接力赛跑道，AB为长L=20m的接力区，两名运动员未在接力区内完成交接棒视为
犯规。某次训练中，甲匀速跑至接力区前x=15m处时，向乙发出起跑口令。乙听到口令从A处开始起
0
跑，当加速到与甲速度相等时恰好被甲追上，完成交接棒。甲乙v-t图像如图2所示，忽略口令传播与乙的
反应时间，求：
（1）接棒前，乙的加速时间t和加速度a的大小；
（2）通过计算推断两人交接棒过程是否犯规。11【答案】（1）3s； m/ ；（2）交接棒过程中没有犯规
【详解】（1）乙接棒前加速过程，甲的位移
=vt
乙的位移
= vt
根据题意有
= -
v=at
联立得
t=3s
a=
（2）乙接棒前加速过程,乙的位移
= a = 15m
< L
因此甲乙在交接棒过程中没有犯规。
12．4 100米接力比赛是极具技巧性和观赏性的比赛，运动员必须在20m的接力区内完成交接棒，接力区
在中心线前后各10m，如图所示。某比赛小组中第三棒运动员甲匀速运动的最大速度为8m/s，第4棒的运
动员乙最大速度为10m/s，运动员的起跑可视为匀加速直线运动，加速度大小为5m/s2，为取得最佳比赛成
绩，求：
（1）甲运动员在距乙多远处时，乙开始起跑；
（2）乙运动员接棒后至到达终点运动的时间。12【答案】(1)6.4m；(2)10.4s
【详解】(1)因乙的最大速度大于甲的速度，故乙应在题图虚线处（接力区起点）开始起跑，且在乙加速至
v1=8m/s时，甲追上乙完成交接棒，此过程乙的位移为
所用时间为
甲的位移为
由于
故甲运动员在距乙6.4m处时，乙开始起跑。
(2)乙接棒后的总位移为
乙先加速至v2=10m/s，历时
该过程乙的位移为
匀速运动的过程，所需时间为
故乙运动员接棒后至到达终点运动的时间为
