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第一讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识梳理
一、曲线运动
1.概念：运动的轨迹是曲线的运动
2.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
3.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3.做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3.遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
知识训练
考点一、曲线运动的概念和理解
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．3.速率变化的判断
例1、关于曲线运动，以下说法中正确的是( )
A．在恒力作用下的物体不可能做曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．做曲线运动的物体所受合力可以为零
D．曲线运动的速度大小一定变化
例2、(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从 M点向N点飞行的过程
中，探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )
例3、如图所示，一物体仅在三个共点恒力F 、F 、F 的作用下以速度v 水平向右做匀速直线运动，其中
1 2 3 0
F 斜向右上方，F 竖直向下，F 水平向左。某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，则下列
1 2 3
说法正确的是( )
A．如果撤去的是F，则物体做匀变速曲线运动，速率减小
1
B．如果撤去的是F，则物体做加速度变化的曲线运动
1
C．如果撤去的是F，则物体做匀变速曲线运动，速率将保持不变
2
D．如果撤去的是F，物体将向右做匀减速直线运动
3
课堂随练
训练1、(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是( )
A．质点速度方向时刻在改变
B．质点加速度方向时刻在改变
C．质点速度方向一定与加速度方向相同D．质点速度方向一定沿曲线的切线方向
训练2、(多选)初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是( )
A．小球可能做曲线运动
B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变
D．小球的加速度一定保持不变
训练3、质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图如图所示，且质点运动到 D点时速度方向与加速度方向恰好
互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比经过D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
考点二、运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
①等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
②独立性：各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
3.两个直线运动的合运动
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 与a 不共线，为匀变速曲线运动
合 合
例1、跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下
落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
例2、(多选)(2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做
成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v ＝0.02 m/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的
0
匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
例3、(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以
下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运
动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。若该同学左手的运动为匀速运动，右手相
对直尺的运动为初速度为零的匀加速运动。则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
训练2、(2021·广东深圳高三调研)2019北京航展，我国五代战机“歼－20”再次闪亮登场。表演中，战机先
水平向右，再沿曲线ab向上(如图)，最后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不
变。则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
训练3、(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—
时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/sD．2 s内质点的位移大小约为12 m
考点三、小船过河模型
1.两类问题，三种情景
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水
渡河 流速度无关；
时间
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，t ＝(d为河宽)
min
若v >v ，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v cos θ
船 水 船
＝v 时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，x ＝d
水 min
渡河
位移
若v <v ，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．
船 水
当船头方向(即v 方向)与合速度方向垂直时，渡河位移
船
最短，x ＝＝
min
例1、(多选)(2022·江苏省如东中学月考)如图所示，一条河宽为24 m，水流速度恒为2 m/s，现要将小船上
的货物由此岸的A处沿直线送到正对岸下游18 m处的B处，已知小船的速度最大可达2 m/s，取sin 53°＝
0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2，下列说法正确的有( )
A．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.2 m/s
B．如果小船以最小速度航行，小船的速度为1.6 m/s
C．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12 s
D．如果要使小船在最短时间内抵达B处，最短时间为12.5 s
例2、有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸
垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为。
回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2∶1
课堂随练
训练1、(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后 10 min到达对岸下
游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同．以下说法正确的是( )
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
训练2、(2014·四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时
船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的
速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A． B． C． D．
考点四、绳端模型
1.绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(杆)端速度的分解思路
2.四种常见的速度分解模型
例1、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情
况是( )A．绳的拉力等于M的重力
B．绳的拉力大于M的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
例2、如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，a、b两物体质量分别为m 和m ，且m<m 。若
1 2 1 2
将b从位置A由静止释放，当落到位置B时，b的速度为v ，且绳子与竖直方向的夹角为θ。这时a的速度
2
大小v 等于( )
1
A．vsin θ B． C．vcos θ D．
2 2
例3、如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m 和m 的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑
A B
球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v ，已知此
1
时轻杆与水平方向成 θ＝30°角，球B的速度大小为v，则( )
2
A．v＝v B．v＝2v C．v＝v D．v＝v
2 1 2 1 2 1 2 1
课堂随练
训练1、A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v 的
1
速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度为(绳始终有
拉力)( )
A． B． C． D．
训练2、如图所示，小球a、b用一细直棒相连，a球置于水平地面上，b球靠在竖直墙面上，释放后b球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平地面成θ角时，a、b两小球的速度大小的比值为( )
A．sin θ B．cos θ
C．tan θ D．
同步训练
1、关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用
2、如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在 B点的加速度方向与速度方向垂
直，则下列说法中正确的是( )
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
3、(2015广东)如果所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板
为参照物 （ ）
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为vB．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为 v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为 v
4、(多选)河宽l＝300 m，水速u＝1 m/s，船在静水中的速度v＝3 m/s，要求轨迹为直线并到达正对岸上游
100 m处，设船头与河岸的夹角为α，则( )
A．sin α＝0.6
B．sin α＝0.8
C．过河时间为t＝125 s
D．过河时间为t＝120 s
5、物体在相互垂直的x方向和y方向运动的vt图像如图1和图2所示。以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
6、(多选)(2022·重庆市一中上学期期末)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m
的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体
B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动
过程中，下列说法正确的是( )
A．物体A做加速运动
B．物体A做匀速运动
C．T小于mgsin θ
D．T大于mgsin θ7、如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端
沿墙下滑的速度大小为v，B端沿地面滑动的速度大小为v，则v、v 的关系是( )
1 2 1 2
A．v＝v B．v＝vcos θ
1 2 1 2
C．v＝vtan θ D．v＝vsin θ
1 2 1 2
