文档内容
第 9 讲 共点力平衡方法一
学习目标
明 确目标 确定方向
1.学会进行受力分析的一般步骤与方法.
2.掌握共点力的平衡条件及推论.
3.合成法解决平衡问题，动态图解解决动态平衡问题，相似三角形法解决三力平衡问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分：基础知识梳理
一.受力分析
1．受力分析的步骤
(1)确定研究对象：研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体的组合
(2)受力分析顺序：先分析已知力、重力，再分析接触面力：弹力和摩擦力，最后分析其他力。
(3)画出受力示意图：画出受力示意图，准确标出各力的方向。
2整体隔离法
(1)整体法：
①选用原则：研究系统外的物体对系统整体的作用力或者系统整体的加速度；
②注意问题：受力分析时不考虑系统内各物体之间的相互作用力。
(2)隔离法：
①选用原则：研究系统内部各物体之间的相互作用力；
②注意问题：一般情况下先隔离受力较少的物体。
第二部分：重难点辨析
1．处理平衡问题的常用方法
方法 内容
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力
合成法
的合力一定与第三个力等大、反向
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按
效果分解
力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡
法
条件
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所
正交分解
受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平
法
衡条件
力的三角 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移
形法 使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识
求解未知力
2.常用的数学工具
(1)力的三角形为直角三角形：三角函数、勾股定理等。
(2)力的三角形为斜三角形：三角形相似、正、余弦定理等。
3动态平衡问题
1．动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一
系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。
2动态平衡问题方法：
（1）解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因
变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，还有一个力的方向变
化。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情
况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】如图所示，物体A、B，C叠放在水平桌面上，水平力F作用于物体C上，使A、B、C以共同的速
度向右匀速运动，则物体A的受力个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
例1【答案】C
【详解】以A为研究对象，分析受力：重力、B的压力、C的压力和摩擦力、地面的支持力和摩擦力，共6
个力。
故选C。【例2】《天工开物》中记载有：“凡试弓力，以足踏弦就地，秤钩搭挂弓腰……则知多少。”图甲所示
是古代某次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，已知弓弦可看
成遵循胡克定律的弹性绳， ，弓腰和重物的总质量为83.2kg时OA与竖直方向的夹角α为37°，重
物质量减少50.8kg时α变为53°，弓弦始终处于弹性限度内，g取 ，不计弓弦的质量和一切摩擦，忽
略弓腰的形变，则弓弦的劲度系数为（ ）
A．300 N/m B．400 N/m C．500 N/m D．600 N/m
例2【答案】D
【详解】对弓腰和重物组成的系统进行受力分析，设重物质量改变前弓弦上的张力为 ，此时弓弦长度为
x1，原长为 ，有
由胡克定律有
根据几何关系有
重物质量改变后，设弓弦上的张力为 ，此时弓弦长度为x2，受力分析有
由胡克定律有
根据几何关系有联立解得
故选D。
【例3】如图，一带电小球a固定，a正上方 处有一小定滑轮。绝缘细线绕过定滑轮与另一带电小球b
连接。开始时a、b两球间距为l，位于同一水平面并处于静止状态。现缓慢向左拉动细线，在a、b连线转
至与水平面成 的过程中，两小球间相互作用力（ ）
A．不变 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．逐渐减小
例3【答案】A
【详解】根据题意，设小球 的带电量为 ，小球 的带电量为 ，缓慢移动前，对小球 受力分析，如
图所示
其中
由相似三角形有
现缓慢向左拉动细线，在a、b连线转至与水平面成 的过程中，小球 运动到某处时，与小球 的距离
为 ，对小球 受力分析，如图所示其中
由相似三角形有
可得
即在a、b连线转至与水平面成 的过程中，两小球间的距离不变，两小球间相互作用力不变。
故选A。
【例4】筷子是中华饮食文化的标志之一。某人使用筷子夹起一鱼丸，静止时可简化为如图所示的模型，
甲、乙表示两根筷子，鱼丸的质量为m，可看成质量均匀分布的球体，甲、乙和鱼丸在同一竖直平面内。
甲筷子保持竖直状态，乙筷子倾斜且与竖直方向夹角为θ，忽略筷子与鱼丸之间的摩擦及鱼丸的形变，重
力加速度为g，求：
（1）甲、乙两根筷子对鱼丸的作用力F、F 的大小分别为多少？
1 2
（2）甲筷子保持竖直状态，将乙筷子逆时针旋转，使两根筷子靠近一些，即θ变小一些（仍有θ＞0），
为保持鱼丸静止，F、F 的大小应如何变化？
1 2
例4【答案】（1） ， ；（2）F1增大，F2增大
【详解】（1）对鱼丸受力分析，如图所示F1、F2的合力F12方向竖直向上，大于与mg相等，所以
（2） 角减小，则 将减小，故F1增大； 将减小，故F2也增大。
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．如图所示，轻质弹簧一端系在质量为m＝2kg的小物块上，另一端固定在墙上。物块在斜面上静止时，
弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角 ，始终静止不动，斜面与小物块间的动摩擦因数
，物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等， ， ，
。下列说法正确的是（ ）
A．小物块一定受3个力 B．弹簧弹力大小一定等于8NC．地面对斜面的摩擦力可能等于4N D．弹簧弹力大小可能等于10N
1【答案】D
【详解】A．由于
可知小物块要静止在斜面上，弹簧对小物块一定存在垂直斜面向下的压力，即小物块受到重力、弹簧的压
力、斜面支持力和静摩擦力，故A错误；
BD．要小物块静止，沿斜面方向有
可得
故B错误，D正确；
C．以斜面和小物块为整体，根据受力平衡可得
故C错误。
故选D。
2．凿子是中国传统的木工工具，一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为 ，当凿子插入木板中后，若
用锤子沿中心轴线方向以适当的力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图，此时凿子作用于木板1
面、2面、3面的弹力大小分别为 、 、 ，忽略凿子重力和摩擦力，下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2【答案】C
【详解】对凿子受力分析并按图示建立正交坐标系由受力平衡可得
，
所以可得
，
ABD错误，C正确；
故选C。
3．图甲是学校篮球存放架，支撑篮球的两个横杆一高一低，其右视图简化为图乙所示。若已知篮球重力
大小为 ，较低的水平横杆a对篮球的支持力大小为 ，较高的水平横杆b对篮球的支持力大小为 ，
a、b两杆的距离正好等于篮球半径的 倍，忽略杆的粗细，不计一切摩擦，则 、 、 的关系为（
）
A． B． C． D．
3【答案】B
【详解】由于a、b两杆的距离正好等于篮球半径的 倍，可知 ，对篮球受力分析如图所示可知 与 之间的夹角为 ，根据受力平衡可得
设 与竖直方向的夹角为 ， 与竖直方向的夹角为 ，根据受力平衡可得
，
由于
可得
故选B。
4．如图甲所示，在长方体木箱 中有一倾斜的木板 。质量为 的光滑小球置于木板左侧，此时箱
壁对小球的支持力为 ；现将木箱顺时针旋转90°，箱壁对小球的支持力为 。已知 为 的3倍。重
力加速度取 ，则 的大小为（ ）
A．45° B．53° C．60° D．75°
4【答案】C
【详解】当小球置于木板左侧时，其受力分析图如图所示设∠QPC=θ，则有
当木箱顺时针旋转90°时，其受力分析图如图所示
同理
由以上两式可得
θ=60°
故选C。
5．如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一
个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳
的拉力为 ，杆与水平面夹角为 时，细绳的拉力为 ，则 为（ ）A． ：1 B．2：1 C．1： D．1：1
5【答案】A
【详解】首先这是一个含动杆的动态平衡问题，杆受到的弹力始终沿着杆并由 A指向B的方向，在B端被
绳子缓慢拉起的过程中，设B端到滑轮的距离为 ，并记滑轮处为点O，则在此动态变化的过程中，A、
B、O三点构成的三角形始终和杆所受到的重力、弹力、绳子上的拉力构成的矢量三角形具有相似性，由此
可得
当杆水平时，由勾股定理可得
解的
当杆与水平方向成 时，由几何关系可得
解的
故可得
故选A。
6．“拔河”活动在中国有着悠久的历史，近几年出现了三支队伍拔河的娱乐形式。如图所示，三支队伍
进行比赛，此时甲、乙两队对绳子的拉力大小均为5000N，三队所拉绳子的夹角均相等。开始时三队僵持
不下，当丙队发力，使得甲、乙两队绳子的夹角缓慢减小到 时（设甲、乙两队对绳子的拉力大小始终
不变），分析此过程中丙队对绳子的拉力是如何变化的（ ）A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．先增加后较小 D．先减小后增加
6【答案】A
【详解】由题意可得，三股绳子拉力平衡，且甲、乙两队绳子拉力大小相等，夹角逐渐减小，所以它们的
合力逐渐增加，丙队对绳子的拉力逐渐增加，A正确。
故选A。
7．工人用如图所示的轻质滑轮组和轻绳将重为G的材料提起，忽略一切摩擦，在将材料缓慢提升的过程
中，下列关于拉力F大小的说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．越来越小
C．等于 D．一定大于G
7【答案】A
【详解】根据题意，对重物和动滑轮整体受力分析，受重力和两个绳子的拉力，如图所示
由平衡条件有解得
可知，当 时
将材料缓慢提升的过程中， 增大，则 增大，且一定大于 。
故选A。
8．如图甲为北京大学所悬挂的校名牌匾，其示意图可简化为如图乙的侧视图。已知牌匾重力大小为G，两
根拉绳上的合为大小为 ，两个木制横挡和墙壁对牌匾的合力大小为F，F的方向恰好和拉绳相垂直，则
F、 、G的关系为（ ）
A． B． C． D．
8【答案】C
【详解】如图a，三力共点于O点，根据力的三角形定则和题给F的方向恰好和拉绳相垂直，可作图如图b
所示，由勾股定理可得F的大小为故选C。
9．轻绳两端分别固定在两根等高的竖直杆上， 在水平恒定风力作用下，重力为G的衣服处于静止状态，
如图所示。若风力大小为衣服重力的0.75倍，不计轻绳与衣架挂钩间的摩擦，则（ ）
A．两端与水平方向的夹角α=α B．两边与竖直方向的夹角β=β
1 2 1 2
C．拉力大小为 D．拉力大小为
9【答案】D
【详解】AB．轻绳拉力的合力方向沿斜向左上方向，因此β1>β2；α1<α2，故AB错误；
CD．衣服受到重力和水平的风力以及挂钩的作用力，重力和水平风力的合力为
则挂钩对轻绳作用力大小为 ，由
得故D正确；C错误。
故选D。
10．如图所示， 圆弧槽固定在水平地面上，用推力F推动光滑小球由A点向B点缓慢移动，第一次推动
过程中，力F的方向始终保持水平；第二次推动过程中，力F的方向始终沿圆弧的切线方向．则下列说法
正确的是（ ）
A．第一次推动过程中，推力F逐渐变大，圆弧槽对小球的支持力逐渐变小
B．第一次推动过程中，地面对圆弧槽的支持力不变，地面对圆弧槽的摩擦力不变
C．第二次推动过程中，推力F逐渐减小，圆弧槽对小球的支持力逐渐变小
D．第二次推动过程中，地面对圆弧槽的支持力逐渐变小，地面对圆弧槽的摩擦力先变大后变小
10【答案】D
【详解】A．设小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，小球质量为m，圆弧槽质量为M，圆弧对小球的支
持力为N，地面对圆弧槽的支持力为 ，地面对圆弧槽的摩擦力为f，则第一次推动过程中，对小球受力
分析如图所示
小球由A点向B点缓慢移动，可知小球受力平衡，重力和推力合成后，有
小球从A缓慢移动至B点时，θ越来越大，则推力为
可知θ越来越大，推力越来越大；另外支持力为可知θ越来越大，支持力越来越大，故A错误；
B．对圆弧槽与小球整体分析，θ越来越大，竖直方向满足
可知，无论θ变化与否，地面对圆弧槽的支持力不变；另外由于整体受力平衡，水平方向满足
由于θ越来越大，推力越来越大，所以地面对圆弧槽的摩擦力越来越大，故B错误；
C．第二次推动过程中，对小球受力分析如图所示
推力F始终与圆弧对小球的支持力N垂直，小球受力平衡，重力和推力合成后，有
θ越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，故C错误；
D．对圆弧槽与小球整体分析，θ越来越大，水平方向由平衡关系式
可知地面对圆弧槽的摩擦力先增大后减小；竖直方向由平衡关系式
可知地面对圆弧槽的支持力逐渐变小，故D正确。
故选D。
多选11．蛀牙是口腔中多种因素复合作用所导致的牙齿硬组织进行性病损。蛀牙患者就餐时，把沙粒嚼到
牙洞处容易使牙齿裂开，图（a）为上述过程的示意图。将沙粒视为球形，牙洞视为小角度V形槽，建立
如图（b）所示的物理模型，下列说法正确的是（ ）A．其它条件一定，沙粒越大牙齿越容易裂开
B．其它条件一定，沙粒越小牙齿越容易裂开
C．其它条件一定，牙洞越大牙齿越容易裂开
D．其它条件一定，牙洞越小牙齿越容易裂开
11【答案】BC
【详解】AB．设沙粒受到牙洞的作用力 与竖直方向夹角为 ，就餐时咀嚼的力F一样，沙粒越大作用力
与竖直方向夹角越小
沙粒越小 越大，其它条件一定，沙粒越小牙齿越容易裂开，故B正确A错误；
CD．其它条件一定，牙洞越大 越大， 作用力越大，所以牙洞越大牙齿越容易裂开，故C正确D错误。
故选BC。
多选12．如图，两个半径均为r的光滑球a、b放在半径为R（R>2r）的半球形容器内，均静止时a、b与
半球的接触点P、Q与半球球心O的连线与水平方向的夹角为α和β（α<β）。若两球的质量用m、m，两
a b
球对容器的压力大小用F 、F 表示，则（ ）
Na Nb
A． B． C． D．
12【答案】BD
【详解】如图，三个球心连线围成一等腰三角形，设两底角分别为 ，分别对a、b受力分析，根据牛顿第
三定律可知 与 大小相等。a、b的重力与a、b连心线的夹角分别为 、 ，则 。根据共点
力的平衡条件和正弦定理故选BD。
多选13．如图所示，一条轻质细绳上有一滑轮C，滑轮下面挂一物块A，轻绳一端固定于直角支架MOD的
O点，支架固定在地面上，MO水平，OD竖直，轻绳另一端绕过一固定在斜面上的定滑轮Q与一物块B相
连，与B连接的轻绳与斜面平行，物块B静止在斜面上，物块A和斜面都处于静止状态，斜面和地面都是
粗糙的，滑轮的质量及轻绳与滑轮间的摩擦均忽略不计。如果将轻绳固定点由O点缓慢地移动到M点或N
点，物块A、B和斜面仍处于静止状态，轻绳仍为绷直状态。则（ ）
A．移动到M点后，轻绳对物块B的拉力变大，物体B受到的摩擦力变大
B．移动到M点后，轻绳对滑轮C的作用力保持不变，斜面受到地面的摩擦力变小
C．移动到N点后，轻绳对物块B的拉力不变，物体B受到的摩擦力不变
D．移动到N点后，轻绳对滑轮C的作用力不变，斜面受到地面的摩擦力变大
13【答案】BC
【详解】A．设拉滑轮C的绳与竖直方向的夹角为 ，则得
将轻绳固定点由O点移动到M点后， 减小，拉力T变小，轻绳对物块B的拉力变小，因为不知道初始时
物块B受到的静摩擦力的大小和方向，所以不能确定物块B受到的摩擦力大小的变化，A错误；
B．把斜面和物块B整体作为研究对象，斜面受到的摩擦力
可知 也变小，轻绳对滑轮C的作用力大小仍等于物块A的重力，B正确；
CD．将轻绳固定点由O点移动到N点后，设动滑轮两端绳长分别为l1、l2，动滑轮到O、Q的水平距离分
别为x1、x2，则
由题意可知， 不变，拉力T不变，把斜面和物块B整体作为研究对象，根据
可知，移动到N点后，轻绳对物块B的拉力不变，C正确，D错误。
故选BC。
14拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头
与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推
拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存
在一临界角θ，若θ≤θ ，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角
0 0
的正切值tan θ。
0
14【答案】(1) (2)λ
【解析】(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，由平衡条
件得Fcos θ＋mg－F ＝0①
N
Fsin θ－F＝0②
f
式中F 和F分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
N f
F＝μF ③
f N
联立①②③式得F＝④
