文档内容
第 2 讲 匀变速直线运动规律
学习目标
明 确目标 确定方向
1.掌握匀变速直线运动的速度公式、位移公式及速度—位移公式，并能熟练应用.
2.掌握并能应用匀变速直线运动的几个推论：平均速度公式、Δx＝aT2及初速度为零的匀加速直线运动的
比例关系式
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
一．匀变速直线运动的基本规律
1.速度与时间的关系式:① v=v +at 。
0
1
2.位移与时间的关系式:② x=v t+ at2 。
0 2
3.位移与速度的关系式:③ v2-v2=2ax 。
0
二匀变速直线运动的推论
v v +v
1.平均速度公式:v= t=④ 0 t 。
2 2
2.位移差公式:Δx=x -x =x -x =…=x -x =⑤ aT2 。
2 1 3 2 n n-1
可以推广到x -x =(m-n)aT2。
m n
3.初速度为零的匀加速直线运动比例式
(1)1T末,2T末,3T末…瞬时速度之比为:
v ∶v ∶v ∶…=⑥ 1∶2∶3∶… 。
1 2 3
(2)1T内,2T内,3T内…位移之比为:
x ∶x ∶x ∶…=⑦ 1∶22∶32∶… 。
1 2 3
(3)第一个T内,第二个T内,第三个T内…位移之比为:
x ∶x ∶x ∶…=⑧ 1∶3∶5∶… 。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为:
t ∶t ∶t ∶…=⑨ 1∶(√2-1)∶(√3-√2)∶… 。
1 2 3
二．解决匀变速直线运动规律的方法
1基本公式法:基本公式指速度公式、位移公式及速度位移关系式，它们均是矢量式，使用时要规定正方向
2平均速度法:
(1)定义式＝对任何性质的运动都适用
(2)＝(v＋v)只适用于匀变速直线运动
03.中间时刻速度法:利用“中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度”，即 ＝，该式适用于任何匀变
速直线运动
2
4推论法:匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即x －x ＝aT ，对一般的
n＋1 n
2
匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用Δx＝aT 求解
5.图像法应用v t图像，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避
开繁杂的计算，快速得出答案
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．如图的平潭海峡公铁两用大桥是世界上最长的跨海公铁两用大桥，其中元洪航道桥的A、B、C
三根桥墩间距分别为AB=132m、BC=196m。某同学测试所在的高速列车匀加速通过元洪航道桥，车头经
过AB和BC的时间分别为3s和4s，则这列高速列车经过元洪航道桥的加速度大小约为（ ）
A．0.7m/s2 B．1.4 m/s2 C．2.8 m/s2 D．6.3 m/s2
例1 【答案】B
【详解】高速列车在AB段的平均速度为
BC段的平均速度
根据匀变速直线运动的平均速度等于中间时刻的速度，可知
B正确.
故选B。【例2】．凤凰岭大桥是柳州市第一座公轨两用大桥，独具侗族民族风，桥梁全长2.3km。一辆宝骏新能源
电动汽车以5m/s的初速度上桥，以5m/s2的加速度匀加速到15m/s，并保持该速度匀速通过剩余路程，则
电动汽车通过桥梁全程所需时间为（ ）
A．150 s B．152s C．154s D．155s
例2【答案】C
【详解】由题意可知，总位移为
初速度为
匀加速的末速度为
设匀加速时间为 ，根据匀变速直线运动速度时间公式可得
代入数据，解得
设匀加速过程中的位移为 ，由位移时间公式
代入数据，解得
则匀速行驶需要行驶的位移为
故速度行驶的时间为
则通过全程的总时间为
ABD错误，C正确。故选C。
【例3】．（多选）一辆汽车以速度v 匀速行驶，司机观察到前方人行横道有行人要通过，于是立即刹
0
车。从刹车到停止，汽车正好经过了24块规格相同的路边石，汽车刹车过程可视为匀减速直线运动。下列
说法正确的是（ ）
A．汽车经过第1块路边石末端时的速度大小为
B．汽车经过第18块路边石末端时的速度大小为
C．汽车经过前12块路边石与后12块路边石的时间比为
D．汽车经过前18块路边石与后6块路边石的时间比为1:1
例3【答案】AD
【详解】A．从刹车到停止，汽车正好经过了24块规格相同的路边石，设路边石的长度为L，则有
解得
则汽车经过第1块路边石末端时的速度大小为
A正确；
B．汽车经过第18块路边石末端时的速度大小为
B错误；
C．根据初速度为零的匀变速运动的连续相等位移的所用时间比例关系可得：汽车经过前12块路边石与后
12块路边石的时间比为 ，C错误；
D．根据初速度为零的匀变速运动的连续相等时间的通过位移比例关系是 可得：汽车经过前18块路边石与后6块路边石的时间比为1:1，D正确。
故选AD。
【例4】物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时
速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所
用的时间。
①物体从A到C做什么运动？到C点的速度是多少？
②AB间、BC间的距离分别是多少？
例4【答案】 t
【解析】 解法一 逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。设物体从B到C所用的时间为t 。
BC
由运动学公式得 ， 又x ＝，
BC
由以上三式解得t ＝t。
BC
解法二 基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v，物体从B滑到C所用的时间为t ，由匀变速直线运动
0 BC
的规律可得
v＝2ax ①
AC
v＝v－2ax ②
AB
x ＝x ③
AB AC
由①②③解得v ＝④
B
又v ＝v－at⑤
B 0
v ＝at ⑥
B BC
由④⑤⑥解得t ＝t。
BC
解法三 比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x∶x∶x∶…∶x＝1∶3∶5∶…
1 2 3 n
∶(2n－1)。
因为x ∶x ＝∶＝1∶3，而通过x 的时间为t，所以通过x 的时间t ＝t。
CB BA BA BC BC
解法四 中间时刻速度法
利用推论：匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度， ＝＝。又v＝2ax ，v＝
AC AC
2ax ，x ＝。由以上三式解得v ＝。可以看成v 正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间
BC BC B B时刻，因此有t ＝t。
BC
解法五 图象法
根据匀变速直线运动的规律，画出v－t图象，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋t 。所以＝，解得
BC
t ＝t。
BC
a
【例5】一物体从A点由静止开始做加速度大小为 1的匀加速直线运动，经过时间t后，到达B点，此时
1
a a 2 a
物体的加速度大小变为 2，方向与 1的方向相反，经过时间 t后，物体有返回到A点，求（1） 1与
a
2的比值；（2）物体在B点时的速率与回到A点时的速率之比。
例5【答案】（1）1:8（2）1:3
1 1 1 1
a t2 =−[v t− a ( t) 2 ]
2 1 B2 2 2 2
【解析】（1）由
v =a t
又 B 1
a :a =1:8
得出 1 2
v =a t=a t,
（2） B 1 2
1
t, = t
8
1 3
v :v, =a t:a t=1:3
B A 28 28
【例6】．重庆云巴（ChongqingSkyShuttle），是服务于中国重庆市的城市轨道交通系统，2021年2月15
日至24日，重庆璧山云巴开展试乘车；4月16日，重庆云巴首条线路在璧山通车运营并举行通车启动仪
式。甲车进站前，以v=16m/s的初速度从减速线处开始减速，到站台停车线处时速度刚好减为0，停车
t0=30s时间后再加速至v=16m/s驶离，已知云巴加速和减速的加速度大小均为 a=1m/s2，将云巴视为质
点。
（1）甲车从到达减速线到再次加速至v，总共通过的路程和所需的时间；
（2）为了提高运行的效率，乙车到此站时没有停车，而是以v=16m/s的速度匀速通过，为了保证安全，乙
车与甲车在正常匀速行驶的安全距离至少为多少。（假设正常匀速行驶时的速度均16m/s，两站台距离足够远，且轨道是直的。）
例6【答案】（1）256m，62s；（2）736m
【解析】（1）由
可得甲车从到达减速线至停车的位移为
x=128m
则从到达减速线到再次加速至v的位移为
2x=256m
甲车运动方向没有变化，路程等于位移的大小，即
s总=256m
由
可得减速时间为
加速时间为
甲车从到达减速线到再次加速至v，总共所需的时间为
（2）乙车通过这段距离用时
甲车需要
故甲比乙车通过这段路多用的时间甲乙安全距离至少为
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．2022年8月4日13时，中国人民解放军东部战区陆军部队，在台湾海峡实施了远程火力实弹射击训
练，对台湾海峡东部特定区域进行了精确打击，取得了预期效果。据悉，参训的某种战机可达到每分钟50
公里的最大速度，且从静止加速到最大速度所需的最短时间仅为2分钟，设该战机从静止开始做加速直线
运动（视为匀加速直线运动），则该战机从静止开始运动后10分钟内可以行进的最大距离为（ ）
A．400km B．450km C．480km D．500km
1【答案】B匀加速的位移为
匀速运动的位移为
该战机从静止开始运动后10分钟内可以行进的最大距离为
故选B。
2．上海磁悬浮列车专线西起轨道交通2号线的龙阳路站，东至上海浦东国际机场，专线全长 30公里，是
中德合作开发的世界第一条磁悬浮商运线，也是世界上第一条商业运营的高架磁悬浮专线。一列磁悬浮列
车傍晚从浦东国际机场由静止出发，先匀加速至时速300km/h，后匀速运动再匀减速至恰好停在龙阳路
站，全过程耗时7分钟。全程可视为直线运动，其中加速和减速阶段的加速度大小相等。列车运行过程中
（ ）
A．匀速运动时间为3分钟 B．匀速运动时间为4分钟
C．加速时的加速度大小约为0.7m/s2 D．加速时的加速度大小约为1.4m/s2
2【答案】D
AB．设匀加速时间为 ，匀速时间为 。则匀减速时间也为 ，由题意可知解方程可得
AB错误；
CD．加速度
C错误D正确。
故选D。
3．泸定桥曾是大渡河上最长的铁索桥，为古代劳动人民智慧的结晶，长征时期红军“飞夺泸定桥”的壮
举更是蜚声中外。泸定桥全长103.67m，宽3m，由于对岸有敌人阻击，红军战士只能冒着炮火匍匐前进。
假设一位战士（视为质点）由静止开始以0.1m/s2的加速度匀加速前进了80m，因突然遭到猛烈炮火压制
而不得不瞬间停止前进，经过5s激烈还击后以1.5m/s的速度匀速到达对岸，则这位红军战士过泸定桥总
共花的时间是（ ）
A．40.78s B．36.88s C．60.78s D．53.28s
3【答案】C
【详解】匀加速前进80m时
解得
t1=40s
匀速运动的时间这位红军战士过泸定桥总共花的时间是
故选C。
4．广州地铁18号线列车的最高速度为 （约 ），设列车匀加速出站和匀减速进站的时间均
为 ，则列车在轨道平直、距离为 的两站点间运行的最短时间约为（ ）
A． B． C． D．
4【答案】A
【详解】列车在两站间运行时间要最短，则全过程的平均速度要达到最大，则以最大速度运动的时间最
长，则列车的运动过程应是：先匀加速到最高速度，再匀速，再从最高速度减小到零，恰好到站。设列车
出站加速到最高速度时间为t1，位移为x1，根据对称性，列车进站减速到零时间和位移也为t1、x1，由匀
变速直线运动规律
则匀速运动时间
则运动的总时间为
故选A。
5．2020年初，新冠肺炎疫情暴发，为了控制疫情的传播，各地采取了严格的管控措施。一辆运送防疫物
资的货车（可视为质点）以54km/h的速度在平直公路上匀速行驶，司机发现前方60m有一防疫卡口后立
即刹车减速，货车刹车后做匀减速运动并恰好停在卡口处。经 45s检查完毕，司机启动车辆以2.5m/s2的
加速度做匀加速直线运动，货车加速54km/h后继续做匀速直线运动。若未遇到这一卡口，货车可节省的
时间为（ ）
A．7s B．52s C．56.9s D．59s
5【答案】B
【详解】汽车在遇到防疫卡扣减速时的加速度为故减速所用的时间为
检查所用时间为 ，司机启动车辆以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动所用的时间为
在匀加速直线运动中的位移为
若未遇到这一卡口，货车可节省的时间为
故B正确，ACD错误。
故选B。
6．不久前，万众瞩目的北京冬奥会已圆满落幕。如图，在高山滑雪训练中，运动员从斜坡上 A点由静止
匀加速下滑，到最底端B后，在水平面做匀减速直线最后停止在C点。已知 ， 。忽略
运动员在B点的速度损失，则由两段时间之比 为（ ）
A． B． C． D．
6答案】C
【详解】设运动员在B点的速度大小为v，运动员从A到B和从B到C都做匀变速直线运动，且运动员在
A、C的速度均为零，根据运动学规律有
解得故选C。
7．水上飞行器是水上飞行游乐产品，它利用脚下的喷水装置产生巨大的推力，将一个成年男子提升到离
水面10m的位置，请估算该男子起飞的初速度（单位：m/s）大约为（ ）
A．0.5 B．5 C．15 D．50
7【答案】C
【详解】根据
代入数据解得起飞初速度约
与选项中15m/s最接近。
故选C。
8．如图，篮球运动员站在广场上的某一喷泉水柱旁边，虚线“1”“2”“3”所在水平面分别是地面、运动员的
头顶、该水柱最高点所在的水平面。根据图中信息和生活经验，可以估算出该水柱从地面喷出时的速度约
为（ ）
A．2m/s B．6m/s
C．12m/s D．20m/s
8【答案】C【详解】篮球运动员身高约为1.8m，由图可知水柱的高度约为人身高的4倍，即7.2m，则
解得
故选C。
9．2021年7月，云南的亚洲象北上引发人们关注，有关部门已采取措施引导象群返回了原栖息地。象群
经过某一平直路段时，一小象因贪玩落后象群里的象妈妈 处时才察觉，于是小象立刻由静止开始以大
小为 的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为 的速度匀速前行，小象达到最大速度 后的
速度保持不变。下列说法正确的是（ ）
A．从小象开始追赶象妈妈起，经 它们相距最远
B．小象追赶象妈妈的过程中，与象妈妈的最远距离为
C．从小象开始追赶象妈妈起，经 小象追上象妈妈
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为
9【答案】D
【详解】A．从小象开始追赶象妈妈，当速度相等时它们相聚最远，则有
A错误；
B．与象妈妈的最远距离为
B错误；
C．小象在四秒时达到最大速度 ，则小象追上象妈妈满足位移关系
四秒时小象的位移只有8m，故小象追上象妈妈时一定达到了最大速度，故经 小象追上象妈妈，C错误；
D．小象追赶象妈妈过程中的位移大小为
D正确。
故选D。
10．今年1月10日，首发“复兴号”动车D843次载着旅客，从西昌出发一路向南驶向攀枝花，正式开启
了凉山的“动车时代”。假如动车进站时从某时刻起做匀减速直线运动，分别用时 3s、2s、1s连续通过三
段位移后停下，则这三段位移的平均速度之比是（ ）
A．3：2：1 B．27：8：1 C．5：3：1 D．9：4：1
10【答案】D
【详解】将动车的运动反向看做初速度为零的匀加速直线运动，则1s内的位移为
2s内的位移为
3s内的位移为
故位移之比
平均速度
故平均速度之比为
故D正确。
故选D。
11．2021年9月29日万里黄河第一隧道“济南黄河济泺路隧道”建成通车，隧道全长s=4760m。某次通
车前实验时一辆小型汽车在距隧道口一定距离处由静止开始做匀加速直线运动，当汽车速度达到某速度后（未超过隧道限定速度）开始匀速运动。某坐在副驾驶位的乘客从汽车刚进入隧道口时开始计时，发现汽
车匀加速直线运动过程中经过距隧道入口50m和紧接着100m的两段路程用时相等，忽略汽车的长度。
（1）求汽车开始运动的位置距隧道入口的距离；
（2）若汽车从（1）问中开始运动的位置以a'=2.5m/s2的加速度由静止开始匀加速直线运动，速度达到
90km/h后保持匀速运动，求汽车从开始运动到刚穿出隧道所用的时间。
11【答案】（1）6.25m；（2）195.65s
【详解】（1）汽车匀变速直线运动，设经过隧道入口x1=50m与紧邻的x2=100m相等的时间间隔为t，则
根据
可得
则经过隧道入口50m时，速度大小为
汽车由开始运动到经过隧道入口50m时，有
故
联立以上式子得
故汽车开始起动到隧道口的距离为
（2）依题意知
v1=90km/h=25m/s
速度达到25m/s时，由代入数据求得
用时
故匀速运动的距离
匀速运动时
可得
故从开始运动到穿出隧道用时
12．2022年北京冬奥会开幕式又一次让中国惊艳世界，其中“五环破冰”寓意打破隔阂，大家融为一体，
向世界展示了中国人的浪漫。设定“五环”均为半径 r＝3m的圆环（厚度忽略不计），上三环的下边缘与
下两环圆心在同一水平面上。整个过程可简化为如图所示物理模型：初始时，“五环”位于同一竖直面
内，恰藏于“冰”中置于水平地面上，“冰”上下表面均水平，其中上三环上边缘与“冰”上表面齐平，
下两环下边缘与“冰”下表面齐平。现使“五环”和“冰”同时以大小相等的加速度 a＝0.30m/s2分别竖
直向上、向下做匀加速直线运动，速度达到某同一值后均匀速运动，各自快到达终点时分别以加速度 a＝
0.30m/s2做匀减速直线运动直至静止，最终“五环”用时43s上升12.6m，悬挂在空中，“冰”上表面恰
好与水平地面融为一体。求：
（1）“五环”运动过程中的速度最大值；
（2）“五环破冰”（从开始运动到两者分离）所用时间。
12【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）取“五环”运动过程的最大速度为 ，加、减速用时匀速用时
位移满足
联立解得
（2）有（1）易得加、减速过程位移
“冰”匀速运动过程用时
设“冰”减速前“五环”已离开“冰”，取开始匀速到两者恰好分离用时t4，有
由
可得“冰”减速前“五环”已离开“冰”，“五环破冰”用时
